Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

12.2 爱因斯坦场方程的完整推导：从标量熵平衡到张量动力学

在 12.1 节中，我们利用小因果菱形的中心点性质，初步导出了爱因斯坦场方程的标量形式 $\delta G_{00}=8\pi G\delta T_{00}$。这仅仅确立了能量与曲率在时间方向上的联系。为了完整复现广义相对论，我们需要证明这一关系在所有的时空方向上、对于任意的物质分布都是成立的。

本节将完成这一张量化过程。我们将证明，最大纠缠平衡公理（MEEA）不仅限制了 $G_{00}$，还通过微分同胚不变性（Diffeomorphism Invariance）和比安基恒等式（Bianchi Identity），强制要求整个张量方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$ 成立。此外，我们将讨论为何这一推导排除了其他引力理论（如标量引力），确立了张量引力的唯一性。

12.2.1 任意观测者与洛伦兹协变性

在 12.1 节的推导中，我们选取了一个特定的因果菱形，其时间轴由类时矢量 $u^{\mu }$ 定义。这导致了标量方程：

$$R_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }$$

（注：为简化，暂设 $\Lambda =0$，后续补充）。

然而，根据相对论性原理，真空的极大纠缠属性应当是观测者无关的。对于通过时空同一点 $p$ 的任意类时观测者 $u^{\prime \mu }$（通过洛伦兹变换联系），其构建的小因果菱形 ${\Sigma }^{\prime }$ 也必须满足熵平衡条件。

定理 12.2.1 (张量提升定理)

若对于时空点 $p$ 处的所有未来指向的单位类时矢量 $u^{\mu }$，标量方程 $X_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }=0$ 均成立（其中 $X_{\mu \nu }=G_{\mu \nu }-8\pi G{T}_{\mu \nu }$ 是对称张量），则该张量本身必须为零：

$$X_{\mu \nu }=0$$

证明：

对称张量 $X_{\mu \nu }$ 完全由其二次型 $Q(u)=X_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }$ 决定。

若 $Q(u)=0$ 对所有 $u$ 成立，我们可以通过极化恒等式（Polarization Identity）重构 $X_{\mu \nu }$。

取 $u=(v+w)/\sqrt{(v+w{)}^2}$（对于类时 $v,w$），可推出 $X_{\mu \nu }{v}^{\mu }{w}^{\nu }=0$。

由于类时矢量基底张成整个切空间，故 $X_{\mu \nu }=0$。

$\square$

物理推论：

这意味着，只要我们在每一个参考系中都要求“引力聚焦（几何熵减）平衡物质熵增“，我们就能自动获得完整的协变场方程。引力不只是时间延缓（$g_{00}$），它必然也是空间弯曲（$g_{ij}$）和动量流效应（$g_{0i}$）。

12.2.2 能量动量守恒与几何恒等式的一致性

在广义相对论中，爱因斯坦场方程的一致性依赖于两个著名的守恒律：

1. 物质侧：能量动量张量的局域守恒 ${\nabla }^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0$（源于物质作用量的微分同胚不变性）。

2. 几何侧：爱因斯坦张量的比安基恒等式 ${\nabla }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=0$（源于黎曼几何的内禀性质）。

在熵变分原理中，我们并没有预设这两个守恒律。然而，奇妙的是，熵平衡条件本身隐含了守恒要求。

定理 12.2.2 (熵梯度的守恒性)

若熵平衡条件 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 在整个时空中处处成立，则物质的能量动量守恒 ${\nabla }^{\mu }{T}_{\mu \nu }=0$ 是必然推论。

论证：

假设 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$ 成立。

对等式两边取协变散度：

$${\nabla }^{\mu }{G}_{\mu \nu }=8\pi G{\nabla }^{\mu }{T}_{\mu \nu }$$

由于左边恒为零（比安基恒等式），右边也必须为零。

这意味着，如果我们要寻找一个几何动力学方程来描述引力，爱因斯坦张量 $G_{\mu \nu }$ 是唯一可能的选择（在二阶导数且守恒的限制下，由 Lovelock 定理保证）。任何试图修改左边（如引入 $R_{\mu \nu }$ 而非 $G_{\mu \nu }$）的尝试，都会导致物质能量不守恒，从而破坏热力学的一致性。

12.2.3 宇宙常数 $\Lambda$ 的积分常数地位

在 12.1 节的推导中，我们实际上是在比较 $G_{\mu \nu }$ 和 $8\pi G{T}_{\mu \nu }$ 的变化量。这意味着方程两边可能相差一个度规的常数倍（因为 ${\nabla }^{\mu }{g}_{\mu \nu }=0$ 也是守恒的）。

考虑全方程：

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$$

这里的 $\Lambda$ 在熵变分推导中表现为状态方程的积分常数。

• 几何视点：$\Lambda$ 代表了真空（$T_{\mu \nu }=0$）时的曲率半径。在最大纠缠假说中，这对应于最大对称空间的曲率。

• 热力学视点：在第 9.4 节中，我们将 $\Lambda$ 识别为真空态密度 ${\rho }_{\text{vac}}$ 引起的背景相位漂移。在场方程中，这正是 $T_{\mu \nu }^{\text{vac}}=-{\rho }_{\text{vac}}{g}_{\mu \nu }$ 项。

  $$G_{\mu \nu }=8\pi G(T_{\mu \nu }^{\text{matter}}+T_{\mu \nu }^{\text{vac}})⟹G_{\mu \nu }+{\Lambda }_{eff}{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }^{\text{matter}}$$

  其中 ${\Lambda }_{eff}=8\pi G{\rho }_{\text{vac}}$。

12.2.4 为什么是张量引力？（标量引力的排除）

有人可能会问：为什么引力必须是张量场 $g_{\mu \nu }$？能不能是一个标量场 $\varphi$？

Nordström 曾尝试建立标量引力理论，但在 IGVP 框架下，这是不可能的。

1. 熵的各向异性：纠缠熵的变化 $\delta S_{\text{mat}}$ 依赖于能量流 $T_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }$。这是一个各向异性的量（取决于观测者 $u^{\mu }$）。

2. 响应的匹配：为了平衡各向异性的物质熵流，几何响应（面积变化）也必须具有相同的方向依赖性。

   • 标量引力导致的“体积变化“是各向同性的。

   • 张量引力（度规变化）可以产生剪切和各向异性的聚焦。

只有张量场 $g_{\mu \nu }$ 具有足够的自由度（$d(d+1)/2$ 个分量），能够对任意方向的能量流做出精确的熵平衡响应。这就是为什么引力子必须是自旋 2 的粒子。

总结

本节完成了爱因斯坦场方程的完整推导。

1. 张量化：利用洛伦兹协变性，将标量熵平衡提升为张量方程。

2. 守恒性：证明了方程与能量守恒和几何恒等式的一致性。

3. 唯一性：排除了标量引力，确立了张量引力作为满足全息原理的唯一低能有效理论。

至此，我们已经从纯粹的信息论原则（最大纠缠熵）“推导“出了广义相对论。这证明了：时空几何就是量子信息的流体力学。

在接下来的 12.3 节，我们将详细讨论 $\Lambda$ 作为积分常数的涌现机制。