Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

13.2 Gibbons-Hawking-York (GHY) 项的熵起源：边缘模式的配分函数

在 13.1 节中，我们指出了爱因斯坦-希尔伯特作用量在狄利克雷边界条件下的变分不完备性：它留下了一个含度规法向导数的边界残项。本节将引入著名的 Gibbons-Hawking-York (GHY) 边界项来修复这一问题。

更重要的是，在本书构建的离散本体论框架下，GHY 项不再仅仅是一个为了数学自洽而引入的辅助项。我们将证明，在欧几里得路径积分表述中，GHY 项正是全息熵 $S=A/4G$ 的真正来源。它代表了时空边界上被“切断“的自由度——边缘模式（Edge Modes）——的配分函数对数。这一发现将数学上的变分完备性与物理上的全息原理完美统一。

13.2.1 GHY 边界项的构造与变分抵消证明

为了消除 13.1.1 节中导出的边界流项 ${\int }_{\partial M}{v}^{\mu }{n}_{\mu }$，我们需要在总作用量中添加一个反项（Counter-term）。

定义 13.2.1 (Gibbons-Hawking-York 作用量)

对于时空流形 $M$ 的边界 $\partial M$，设其诱导度规为 $h_{ab}$，外向单位法向量为 $n^{\mu }$（满足 $n^{\mu }{n}_{\mu }=\epsilon =\pm 1$）。定义边界作用量为外微曲率（Extrinsic Curvature）的积分：

$$I_{\text{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial M}K\sqrt{|h|}{\mathrm{d}}^{3}y$$

其中 $K=h^{ab}{K}_{ab}={\nabla }_{\mu }{n}^{\mu }$ 是外微曲率张量的迹，描述了边界在法向流下的膨胀率。

定理 13.2.2 (变分完备性定理)

总作用量 $I_{\text{total}}=I_{\text{EH}}+I_{\text{GHY}}$ 在固定边界诱导度规（$\delta h_{ab}=0$）的条件下是变分完备的。即：

$$\delta I_{\text{total}}{|}_{\delta h_{ab}=0}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_M{G}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x$$

边界上的法向导数项被精确抵消。

证明：

1. 回顾 EH 作用量的边界项：

   由 13.1 节，$\delta I_{\text{EH}}$ 产生的边界通量为：

   $$\delta I_{\text{EH}}^{\partial }=\frac{\epsilon }{16\pi G}{\int }_{\partial M}(g^{\alpha \beta }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\mu \alpha }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\beta })n_{\mu }\sqrt{|h|}{\mathrm{d}}^{3}y$$

   在固定 $h_{ab}$（即切向导数变分为零）下，主要贡献来自法向导数项 ${\partial }_n\delta g$。

2. 计算 GHY 项的变分：

   $$\delta I_{\text{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial M}(\delta K\sqrt{|h|}+K\delta \sqrt{|h|})$$

   由于 $\delta h_{ab}=0$，则 $\delta \sqrt{|h|}=\frac{1}{2}\sqrt{|h|}{h}^{ab}\delta h_{ab}=0$。因此只需计算 $\delta K$。

   外微曲率 $K_{ab}=h_a^{\mu }{h}_b^{\nu }{\nabla }_{\mu }{n}_{\nu }$。其变分涉及法向量的变分 $\delta n_{\mu }$ 和联络的变分 $\delta \Gamma$。

   利用单位规范约束 $n^{\mu }{n}_{\mu }=\epsilon$，可得 $\delta n_{\mu }=\frac{1}{2}\epsilon n_{\mu }{n}^{\rho }{n}^{\sigma }\delta g_{\rho \sigma }$（在 $\delta h_{ab}=0$ 下此项通常为零，但在一般推导中保留）。

   关键项来自联络变分：

   $$\delta K\sim h^{\mu \nu }\delta ({\nabla }_{\mu }{n}_{\nu })\sim h^{\mu \nu }{n}_{\rho }\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$$

3. 抵消验证：

   将 $\delta \Gamma$ 展开为度规导数。可以证明，$\delta K$ 中的 ${\partial }_n\delta g$ 项系数恰好为 $-1/2$（相对于 EH 项中的系数）。

   由于 $I_{\text{GHY}}$ 前系数为 $1/8\pi G$（是 $I_{\text{EH}}$ 的 2 倍），二者精确抵消：

   $$\frac{1}{16\pi G}(\text{Flux})+\frac{1}{8\pi G}(-\frac{1}{2}\text{Flux})=0$$

   $\square$

13.2.2 欧几里得路径积分与黑洞熵

在经典层面上，GHY 项只是一个数学修正。但在半经典引力（Semiclassical Gravity）中，它是熵的物理来源。

考虑欧几里得路径积分（Euclidean Path Integral），配分函数为：

$$Z\approx e^{-I_E[g_{cl}]}$$

其中 $I_E$ 是欧几里得作用量的鞍点值（On-shell Action）。热力学熵由 $S=(1-\beta {\partial }_{\beta })\ln Z$ 给出。

定理 13.2.3 (GHY 熵生成定理)

对于真空爱因斯坦引力（$R=0$），体作用量 $I_{\text{EH}}$ 在壳层上为零。系统的全部自由能和熵均来自边界项 $I_{\text{GHY}}$。对于史瓦西黑洞或其他具有基尔灵视界的热空间，由此导出的熵严格等于贝肯斯坦-霍金熵：

$$S=\frac{A}{4G\hslash }$$

证明：

以史瓦西黑洞为例，欧几里得度规为 $d{s}^2=f(r)d{\tau }^2+f(r{)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2$，其中 $\tau$ 周期为 $\beta =1/T_H$。

1. 体积分：$R=0$，故 $I_{\text{EH}}=0$。

2. 边界积分：在 $r=R\to \infty$ 处计算 $I_{\text{GHY}}$。需要减去平直空间背景项 $I_0$（参考项）以正规化。

   $$I_{\text{total}}=-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial M}(K-K_0)\sqrt{h}{d}^{3}y$$

   计算结果为 $I_E=\beta M-\pi r_h^2/G$（近似形式，取决于系综定义）。

   自由能 $F=I_E/\beta =M-TS$。

   由此解出 $S=\pi r_h^2/G=A/4G$。

   $\square$

13.2.3 边缘模式（Edge Modes）：离散本体论解释

为什么边界项会包含熵？在 QCA 离散本体论中，这有清晰的微观解释。

定义 13.2.4 (边缘模式 / Edge Modes)

当我们把全宇宙（封闭系统）划分为“系统“ $M$ 和“环境“ $\bar{M}$ 时，我们切断了穿过边界 $\partial M$ 的量子纠缠键。

在规范场论和引力中，希尔伯特空间不能简单地分解为 ${\mathcal{H}}_M\otimes {\mathcal{H}}_{\bar{M}}$，因为规范约束（如 Gauss 定律）是非局域的。

为了恢复分解，必须在边界上引入边缘模式（Edge Modes），它们携带了边界上的规范荷（在引力中是微分同胚荷）。

物理图景：

1. 体作用量 $I_{\text{EH}}$ 描述了系统内部闭合的动力学，这部分对应于纯态演化，熵为零（或幺正守恒）。

2. 边界作用量 $I_{\text{GHY}}$ 实际上是边缘模式的Berry 相位或辛势（Symplectic Potential）。

3. 在欧几里得转动下，这个相位变成了实数（配分函数），其数值衡量了边缘模式的状态空间维数。

   $$Z_{\text{GHY}}={\text{Tr}}_{\text{edge}}(e^{-\beta H_{\text{edge}}})$$

   因为 $I_{\text{GHY}}\propto \text{Area}$，这意味着边缘模式分布在边界上，且每普朗克面积携带固定比特数。这正是全息原理的微观实现。

13.2.4 布朗-约克（Brown-York）准局域张量

GHY 项的变分还定义了边界上的能量动量。

定义 13.2.5 (布朗-约克应力张量)

对于边界 $\partial M$，其诱导度规为 $h_{ab}$。通过对边界作用量变分，定义准局域能量动量张量：

$$T_{\text{BY}}^{ab}\equiv \frac{2}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta I_{\text{total}}}{\delta h_{ab}}=\frac{1}{8\pi G}(K^{ab}-K{h}^{ab})$$

这一张量描述了时空区域 $M$ 包含的准局域能量（Quasi-local Energy）和动量。

例如，对于渐近平坦时空，对 $T_{\text{BY}}^{ab}$ 在无穷远球面上积分，即可得到 ADM 质量。

结论

GHY 边界项不是一个数学补丁，它是引力全息性质的直接体现。

• 在数学上，它保证了变分原理的完备性。

• 在热力学上，它提供了黑洞和视界的熵。

• 在微观上，它计数了被边界切断的边缘模式。

在下一节 13.3 中，我们将处理比光滑边界更复杂的情况——非光滑边界（角点）。我们将引入海沃德（Hayward）项，证明在离散 QCA 几何趋于连续时，角点贡献是不可忽略的拓扑修正。