Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

13.3 海沃德（Hayward）角点项：非光滑几何上的熵可加性

在 13.2 节中，我们证明了 GHY 边界项 $I_{\text{GHY}}$ 是保证引力作用量在光滑流形上变分良定的必要条件。然而，物理中感兴趣的时空区域往往具有非光滑边界。例如，因果菱形是由两个光锥（$J^{+}(p)$ 和 $J^{-}(q)$）的交集构成的，其边界在交界面（边缘 $\partial \Sigma$）处不光滑，形成了一个余维为 2 的“角“或“关节“（Joint）。此外，当我们计算路径积分时，常需要将时空分割为若干块（如欧几里得黑洞的时间切片），这些块在拼接处也会形成非光滑界面。

如果忽略这些角点贡献，作用量的变分原理将再次失效，且熵的可加性（$S_{A\cup B}=S_A+S_B$）将被破坏。本节将引入海沃德角点项（Hayward Corner Term），证明它是 GHY 项在非光滑几何上的自然延伸，并确保了广义熵在复杂几何拼接下的严格可加性。

13.3.1 分段光滑边界的变分残项

考虑一个时空区域 $M$，其边界 $\partial M$ 由若干光滑片段 ${\mathcal{B}}_i$ 组成（例如 $\partial M={\mathcal{B}}_1\cup {\mathcal{B}}_2$），这些片段在交界处 $\mathcal{C}={\mathcal{B}}_1\cap {\mathcal{B}}_2$ 相交。

在每个光滑片段 ${\mathcal{B}}_i$ 上，GHY 项 $\frac{1}{8\pi G}\int K_i$ 能够抵消该区域内的法向导数变分。但在交界处 $\mathcal{C}$，单位法向量从 $n_1$ 突变为 $n_2$。外微曲率 $K$ 包含法向量的散度 $\nabla \cdot n$，在法向量不连续处，$\nabla \cdot n$ 表现为 $\delta$-函数奇异性。

如果直接对分段 GHY 项进行变分，分部积分会在角点 $\mathcal{C}$ 处留下未抵消的边界项：

$$\delta I_{\text{bulk}}+\delta I_{\text{GHY}}\sim {\int }_{\mathcal{C}}(\delta n_1\cdot n_2+\dots )\ne 0$$

这表明，对于非光滑几何，必须显式引入定义在角点 $\mathcal{C}$ 上的附加作用量 $I_{\text{joint}}$。

13.3.2 海沃德项的定义与关节角字典

海沃德（1993）指出，这个角点项取决于两界面法向量之间的“角度“。由于时空具有洛伦兹号差，这个“角度“的定义依赖于界面的因果性质（类时、类空或零类）。

定义 13.3.1 (海沃德角点项)

对于余维为 2 的关节 $\mathcal{C}$（例如两个超曲面的交界面），设其诱导度规为 ${\sigma }_{ab}$（面积元 $\sqrt{\sigma }{d}^{2}x$）。海沃德项定义为：

$$I_{\text{Hayward}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{C}}\eta \sqrt{\sigma }{\mathrm{d}}^{2}x$$

其中 $\eta$ 是关节角（Joint Angle），其具体形式由相交界面的法向量 $n_1,n_2$ 及其模长 ${\epsilon }_i=n_i^2=\pm 1$ 决定。

关节角字典：

1. 类空-类空交界（${\epsilon }_1={\epsilon }_2=-1$）：对应于双曲角。

   $$\eta =\mathrm{arccosh}(-n_1\cdot n_2)$$

   这出现在时间切片的演化中。

2. 类时-类时交界（${\epsilon }_1={\epsilon }_2=+1$）：对应于通常的几何角。

   $$\eta =\arccos (n_1\cdot n_2)$$

   这出现在空间区域的拼接中。

3. 混合交界（${\epsilon }_1{\epsilon }_2=-1$）：

   $$\eta =\mathrm{arcsinh}(n_1\cdot n_2)$$

   这出现在因果菱形的边缘（类时边界与类空切片的交界）。

对于包含**零类（Null）**边界的情况（如光锥），法向量模长为零，角度需通过对数形式正则化（参见 13.3.4）。

13.3.3 变分完备性与可加性定理

引入海沃德项后，总作用量 $I=I_{\text{EH}}+I_{\text{GHY}}+I_{\text{Hayward}}$ 恢复了完备性。

定理 13.3.2 (可加性定理)

设时空区域 $M$ 被分割为两个子区域 $M_1$ 和 $M_2$，其公共边界为 $\Sigma$。则总作用量满足严格的可加性：

$$I[M_1\cup M_2]=I[M_1]+I[M_2]$$

证明思路：

在拼接处 $\Sigma$，GHY 项贡献了两次（分别来自 $M_1$ 和 $M_2$ 的边界）。由于外法向相反 $n_1=-n_2$，对于光滑部分 $K_1=-K_2$，看似直接抵消。但在 $\Sigma$ 的边界（即 $M$ 的角点）处，简单的 $K$ 积分会导致端点效应。

海沃德项的作用恰好是补偿这些端点效应。具体而言，当计算 $\delta I$ 时，分部积分产生的角点残项 $\delta \eta$ 与 $I_{\text{Hayward}}$ 的变分精确抵消。这保证了我们可以像搭积木一样拼接时空区域，而无需担心边界上的数学病态。

物理推论（熵的可加性）：

在欧几里得路径积分中，熵 $S\sim I$。定理 13.3.2 保证了熵的可加性。

如果我们计算一个黑洞的熵，我们可以将其视界视为两个半球的拼接。海沃德项确保了赤道切面处的几何贡献被正确计数，使得总熵 $S=A/4G$ 依然成立，而不是因为切分而丢失信息。

13.3.4 因果菱形的特殊情况：零类关节

对于本书核心的小因果菱形，其边界是由零曲面（光锥）构成的。零法向量 $\ell$ 满足 ${\ell }^2=0$，上述 $\arccos$ 或 $\mathrm{arccosh}$ 定义失效。

在这种情况下，海沃德项退化为零类关节项。设两个零矢量 $\ell$ 和 $\bar{\ell }$ 在边缘 $\partial \Sigma$ 相交（归一化为 $\ell \cdot \bar{\ell }=-2$ 或其他常数）。此时角点项形式为对数：

$$I_{\text{null-joint}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \Sigma }\ln |-\frac{1}{2}\ell \cdot \bar{\ell }|\sqrt{\sigma }{\mathrm{d}}^{2}x$$

这一项在推导全息纠缠熵时至关重要。它反映了光锥交界面上的**共形异常（Conformal Anomaly）**贡献。在 QCA 离散网络中，这对应于格点在光锥尖点处的计数修正。

13.3.5 总结

本节通过引入海沃德角点项，解决了非光滑几何上的变分问题。

1. 数学上：它消除了角点处的 $\delta$-函数奇异性，恢复了变分原理的良定性。

2. 物理上：它保证了作用量（及熵）在区域拼接下的可加性。

3. 全息上：它是因果菱形边缘（Edge）物理属性的完整描述，确保了广义熵 $S_{\text{gen}}$ 在任意几何构型下的定义都是自洽的。

至此，我们完成了第十三章关于变分完备性的讨论。结合第十二章的场方程推导，我们已经建立了一个在数学上严密、在物理上自洽的引力热力学框架。

在接下来的第八编：时空稳定性与奇点中，我们将探讨这一框架在极端条件下的行为，特别是能量条件（QNEC）如何保证时空的稳定性，以及黑洞内部奇点的热力学本质。