第八编：时空稳定性与奇点

第十四章：能量条件的信息论起源

在第七编中，我们建立了熵变分原理（IGVP），推导出了爱因斯坦场方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$。这一方程告诉我们时空如何响应物质及其运动，但它并没有限制物质本身的性质。如果物质的能量动量张量 $T_{\mu \nu }$ 可以取任意值（例如任意大的负能量密度），广义相对论将允许各种病态的时空结构，如可穿越虫洞、时间机器（闭合类时曲线）以及真空的灾难性失稳。

为了保证时空的因果结构和热力学稳定性，物理学必须对 $T_{\mu \nu }$ 施加限制，即能量条件（Energy Conditions）。本章将证明，经典的能量条件在量子世界中必然失效，取而代之的是更深刻的量子零能条件（QNEC）。我们将揭示，QNEC 并非是一个外加的假设，而是广义熵二阶变分非正性的直接推论。能量必须受限，不是因为物质的“硬度“，而是因为信息的流速不能超过其纠缠结构允许的极限。

14.1 经典能量条件的失效与半经典引力的困境

在经典广义相对论中，为了证明奇点定理（Singularity Theorems）或正质量定理（Positive Mass Theorem），我们通常假设物质满足零能条件（Null Energy Condition, NEC）。然而，随着量子场论的发展，人们发现这一经典假设在微观层面是极其脆弱的。本节将分析这一矛盾，并指出半经典引力因此面临的稳定性危机。

14.1.1 经典零能条件 (NEC) 及其几何意义

定义 14.1.1 (零能条件 / NEC)

对于时空中的任意点 $p$ 和任意零矢量（Null Vector）$k^{\mu }$，物质的能量动量张量满足：

$$T_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }\ge 0$$

物理上，这意味着任何以光速运动的观测者测得的局域能量密度必须是非负的。

几何推论：引力聚焦

结合爱因斯坦方程 $R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$，NEC 等价于几何条件 $R_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }\ge 0$。

代入瑞查德乌利（Raychaudhuri）方程（11.4 节）：

$$\frac{d\theta }{d\lambda }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2-R_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }$$

若 NEC 成立，则 $\frac{d\theta }{d\lambda }\le 0$。这保证了引力总是吸引的，光束一旦开始收敛就会不可避免地形成焦点（Focusing Theorem）。这是彭罗斯-霍金奇点定理以及黑洞视界截面积单调增加定理（热力学第二定律的几何版本）的基石。

14.1.2 量子场论对 NEC 的普遍违背

虽然宏观经典流体通常满足 NEC，但在量子场论（QFT）中，NEC 并不是一个算符层面的恒等式。事实上，重整化后的能量动量张量期望值 $⟨T_{\mu \nu }⟩$ 可以轻易地违反 NEC。

案例 A：卡西米尔效应（Casimir Effect）

在两块平行金属板之间的真空中，由于模式截断，真空零点能密度 ${\rho }_{vac}$ 低于板外的自由真空。

$${\rho }_{vac}=-\frac{{\pi }^2\hslash c}{720a^4}<0$$

对于沿平行于板的方向运动的光子，其感受到的能量密度投影为负，即 $⟨T_{\mu \nu }⟩k^{\mu }{k}^{\nu }<0$。这意味着在卡西米尔板之间，引力实际上是排斥的（导致光束发散）。

案例 B：压缩真空态（Squeezed Vacuum）

在量子光学中，通过非线性晶体可以制备出压缩态。在某些时空区域内，能量密度可以低于真空基态（负能量），只要在其他区域有正能量补偿。Epstein 等人（1965）证明，没有任何局域算符能保证 $⟨T_{\mu \nu }⟩$ 处处非负。

14.1.3 半经典引力的稳定性危机

当我们考虑半经典爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu }=8\pi G⟨T_{\mu \nu }⟩$ 时，NEC 的失效导致了严重的理论危机。

1. 虫洞与时间机器：如果允许 $T_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }<0$，我们就可以构造出具有“负能量撑开“喉部的莫里斯-索恩（Morris-Thorne）虫洞。进一步组合虫洞可以制造闭合类时曲线（CTC），破坏因果律。

2. 视界稳定性：如果黑洞视界附近的能量密度为负，光束可以发散（$\theta >0$），导致视界面积减小（$\dot{A}<0$）。这违反了黑洞热力学第二定律。

3. 真空衰变：如果能量密度没有下界，时空本身可能会向任意大曲率的负能量状态坍缩。

困境总结：

一方面，量子力学明确允许局域负能量；另一方面，广义相对论的稳定性强烈依赖于正能量条件。

这暗示我们：单纯的 $T_{\mu \nu }\ge 0$ 是错误的条件。在信息物理的视角下，能量密度的下界不应是零，而应该与量子信息的熵流有关。

能量可以为负，但不能“太负“。这个“度“由什么决定？由不确定性原理和纠缠结构决定。负能量往往伴随着量子纠缠的削弱或特定关联的建立。这引导我们寻找一个将能量 $T_{\mu \nu }$ 与熵 $S$ 直接关联的新界限——这就是下一节要推导的量子零能条件（QNEC）。