Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

14.2 量子零能条件 (QNEC) 的推导：广义熵二阶变分的非正性

在 14.1 节中，我们看到经典零能条件（NEC）在量子场论中被普遍违反，这导致了半经典引力的潜在不稳定性。为了拯救时空的因果结构，我们需要一个更弱、但对量子涨落更具鲁棒性的能量条件。

本节将证明，如果我们坚持最大纠缠平衡公理（MEEA）的二阶稳定性要求——即广义熵在平衡态（真空）附近不仅是一阶驻值，而且是局域极大的（二阶变分非正）——我们就能直接推导出量子零能条件（Quantum Null Energy Condition, QNEC）。QNEC 将能量密度的下界与纠缠熵的二阶导数联系起来，表明能量可以为负，但不能比信息的流逝速率更负。这是物理学中第一个明确连接局域能量密度与量子信息的逐点不等式。

14.2.1 广义熵的稳定性假设

在第十二章中，我们利用 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 推导了爱因斯坦场方程。这对应于热力学中的平衡条件。然而，一个稳定的物理系统，其平衡态应当是熵的极大值点（至少是局域极大）。

公理 14.2.1 (广义熵稳定性 / Generalized Entropy Stability)

对于时空中的任意小因果菱形 $\Sigma$，若其几何与物质场处于基态（真空或近真空），则广义熵泛函 $S_{\text{gen}}$ 相对于零切平面（Null Slice）的形变应当具有非正的二阶变分：

$$\frac{d^2{S}_{\text{gen}}}{d{\lambda }^2}\le 0$$

其中 $\lambda$ 是沿视界生成线（类光测地线）的仿射参数。

物理图景：

这一条件等价于要求真空是关于几何与纠缠的“山顶“。任何偏离真空的动力学演化（无论是由几何弯曲引起还是物质激发引起）都会导致广义熵的增长速率减缓（凹函数性质），从而保证系统不会自发地向熵无限增加的不稳定方向失控。

14.2.2 几何项的二阶展开：瑞查德乌利方程的回归

广义熵由几何部分 $S_{\text{grav}}=A/4G$ 和物质部分 $S_{\text{mat}}$ 组成。我们首先计算几何项的二阶导数。

考察因果菱形边缘（全息屏）的一束类光生成线，切矢量为 $k^{\mu }=(\frac{d}{d\lambda }{)}^{\mu }$。

面积 $A(\lambda )$ 的一阶导数由膨胀标量 $\theta$ 给出：

$$\frac{dA}{d\lambda }={\int }_{\partial \Sigma }\theta \sqrt{h}{d}^{d-2}y$$

我们选择一个使得初始时刻 $\lambda =0$ 为极值面（Minimal Surface）的截面，即 $\theta {|}_{\lambda =0}=0$（或 $\delta \theta =0$）。

面积的二阶导数为：

$$\frac{d^{2}A}{d{\lambda }^2}{|}_{\lambda =0}={\int }_{\partial \Sigma }\frac{d\theta }{d\lambda }\sqrt{h}{d}^{d-2}y$$

代入瑞查德乌利（Raychaudhuri）方程（11.4.2 节），并略去剪切项 ${\sigma }^2$（在小菱形极限下为高阶小量，或对于真空微扰为二阶）：

$$\frac{d\theta }{d\lambda }=-R_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2\approx -R_{kk}$$

其中 $R_{kk}\equiv R_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }$。

因此，几何熵的二阶变分为：

$$\frac{d^2{S}_{\text{grav}}}{d{\lambda }^2}=\frac{1}{4G\hslash }\frac{d^{2}A}{d{\lambda }^2}\approx -\frac{1}{4G\hslash }{\int }_{\partial \Sigma }{R}_{kk}dA$$

14.2.3 物质项的二阶形状导数

现在考虑物质纠缠熵 $S_{\text{mat}}$ 随 $\lambda$ 的变化。

在 QFT 中，当纠缠表面沿类光方向形变时，纠缠熵的变化率通常是发散的。然而，QNEC 关注的是二阶导数 $S_{\text{mat}}^{\prime \prime }\equiv \frac{d^2{S}_{\text{mat}}}{d{\lambda }^2}$。

Bousso, Fisher, Leichenauer 和 Wall (2016) 证明，对于相对论性量子场论，纠缠熵的二阶导数具有良好的定义，且与能量动量张量密切相关。

将两部分结合，稳定性条件变为：

$$\frac{d^2{S}_{\text{gen}}}{d{\lambda }^2}=-\frac{1}{4G\hslash }\int R_{kk}+\frac{d^2{S}_{\text{mat}}}{d{\lambda }^2}\le 0$$

对于逐点（pointwise）成立的情况（取积分区域无穷小），我们得到：

$$R_{kk}\ge 4G\hslash \frac{d^2{S}_{\text{mat}}}{d{\lambda }^2}{|}_{\text{density}}$$

（注：这里 $S^{\prime \prime }$ 理解为单位面积的熵变率密度，或通过极限 ${\lim }_{A\to 0}\frac{1}{A}{S}^{\prime \prime }$ 定义）。

14.2.4 量子零能条件的推导

利用爱因斯坦场方程 $R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=8\pi G{T}_{\mu \nu }$。

对于类光矢量 $k^{\mu }$，由于 $g_{\mu \nu }{k}^{\mu }{k}^{\nu }=0$，方程收缩为：

$$R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$$

将此代入稳定性不等式：

$$8\pi G{T}_{kk}\ge 4G\hslash S_{\text{mat}}^{\prime \prime }$$

消去 $4G$，我们得到了著名的 量子零能条件 (QNEC)：

定理 14.2.2 (QNEC)

对于相对论性量子场论中的任意点 $p$ 和任意类光方向 $k$，重整化的能量动量张量期望值 $⟨T_{\mu \nu }⟩$ 受到纠缠熵二阶导数的下界限制：

$$⟨T_{kk}⟩\ge \frac{\hslash }{2\pi }\frac{d^2{S}_{\text{mat}}}{d{\lambda }^2}$$

（注：系数 $\hslash /2\pi$ 来自 Unruh 温度效应的归一化，在几何单位制下通常写为 $S^{\prime \prime }/2\pi$）。

14.2.5 物理意义：能量被信息所限

QNEC 是物理学史上第一个非经典的能量条件。它深刻地改变了我们对能量和引力的理解：

1. 允许负能量：QNEC 不要求 $T_{kk}\ge 0$。如果纠缠熵的二阶导数 $S^{\prime \prime }$ 是负的（即纠缠熵随变形“加速减少“），则能量密度可以是负的。

2. 负能量的代价：能量不能“任意“负。它被信息的流逝速率（熵的曲率）所限制。要想制造负能量（如维持虫洞），必须构建一种特殊的量子态，使得当我们沿光线探测时，其获得信息的速率以极快的速度下降。

3. 因果保护：QNEC 恰好足够弱以允许量子涨落（如卡西米尔效应），但又足够强以禁止宏观的时间机器和违反热力学第二定律的视界收缩。它是自然界在“允许量子奇迹“和“维护宏观因果律“之间达成的微妙妥协。

14.2.6 QCA 视角：离散网络中的流量限制

在 QCA 离散本体论中，QNEC 具有直观的网络流解释。

• 能量流 $T_{kk}$：对应于 QCA 格点上信息的传输通量（比特/步）。

• 熵变率 $S^{\prime \prime }$：对应于网络连接结构的凸性。

QNEC $T\ge S^{\prime \prime }$ 实际上是**最大流-最小割（Max-flow Min-cut）**定理的动态版本：通过一个界面的最大信息流（能量），受限于该界面两侧纠缠结构能够支持的关联变化率。如果试图从一个纠缠度迅速衰减的区域抽取过多能量，网络将断裂，导致几何定义的失效。

结论

本节通过广义熵的稳定性分析，严格推导了 QNEC。这一结果不仅解决了半经典引力的稳定性危机，更确立了信息（熵）对物质（能量）的支配地位：物质的能量密度不再是自由设定的参数，它必须服从由时空纠缠结构所规定的信息论不等式。在下一节，我们将利用 QNEC 证明广义第二定律（GSL）和视界单调性定理，进一步巩固时空的热力学箭头。