Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

14.3 信息流与几何聚焦：利用 QNEC 证明广义视界单调性定理

在 14.2 节中，我们从广义熵的二阶稳定性推导出了量子零能条件（QNEC）。这一条件 $⟨T_{kk}⟩\ge \frac{\hslash }{2\pi }{S}_{\text{mat}}^{\prime \prime }$ 允许能量密度为负，但对其负值设定了严格的信息论下界。本节将证明，QNEC 不仅仅是一个静态的不等式，它是广义热力学第二定律（GSL） 在时空几何动力学中的微观保障。

我们将引入量子聚焦猜想（Quantum Focusing Conjecture, QFC），这是经典聚焦定理的量子推广。我们将展示，QNEC 保证了即使在经典能量条件失效（引力排斥）的情况下，包含量子修正的“广义视界区域“依然遵循单调不减的演化规律。这不仅拯救了黑洞热力学，更揭示了引力的本质：时空弯曲是为了顺应信息流的不可逆性。

14.3.1 经典聚焦的失效与广义膨胀标量

回顾瑞查德乌利方程（11.4 节），经典聚焦定理 $\frac{d\theta }{d\lambda }\le 0$ 依赖于 $R_{kk}\ge 0$（即 NEC，$T_{kk}\ge 0$）。当存在卡西米尔效应等负能量时，$R_{kk}<0$，导致 $\frac{d\theta }{d\lambda }>0$，光束可能发散，视界面积可能减小。这似乎违背了热力学第二定律。

为了解决这一矛盾，我们必须将“几何面积“与“物质熵“合并考虑。我们定义广义膨胀标量（Generalized Expansion） $\Theta$。

定义 14.3.1 (广义膨胀标量 $\Theta$)

对于一束类光测地线，其横截面面积元为 $\mathcal{A}$。广义膨胀标量 $\Theta$ 定义为广义熵 $S_{\text{gen}}$ 对仿射参数 $\lambda$ 的一阶变分（归一化）：

$$\Theta \equiv \frac{4G\hslash }{\mathcal{A}}\frac{d{S}_{\text{gen}}}{d\lambda }=\theta +\frac{4G\hslash }{\mathcal{A}}\frac{d{S}_{\text{mat}}}{d\lambda }$$

其中 $\theta =\frac{1}{\mathcal{A}}\frac{d\mathcal{A}}{d\lambda }$ 是经典的几何膨胀率，$S_{\text{mat}}^{\prime }$ 是物质纠缠熵沿光束的变化率。

物理意义：

$\Theta$ 描述了“总信息截面“的变化率。即使几何截面在收缩（$\theta <0$），如果内部纠缠熵在快速增加（$S_{\text{mat}}^{\prime }>0$），总的广义视界仍然可能在“膨胀“。

14.3.2 量子聚焦猜想 (QFC)

经典聚焦定理断言 ${\theta }^{\prime }\le 0$。作为其全息推广，我们提出量子聚焦猜想。

公理 14.3.2 (量子聚焦猜想 / QFC)

对于任意类光测地线束，广义膨胀标量 $\Theta$ 是沿仿射参数单调递减的：

$$\frac{d\Theta }{d\lambda }\le 0$$

即：

$$\frac{d\theta }{d\lambda }+\frac{4G\hslash }{\mathcal{A}}\frac{d^2{S}_{\text{mat}}}{d{\lambda }^2}\le 0$$

（忽略高阶项如 $\theta S^{\prime }$ 的耦合）。

QFC 与 QNEC 的关系：

将瑞查德乌利方程 ${\theta }^{\prime }=-R_{kk}-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2$ 代入 QFC 不等式：

$$-R_{kk}-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2+\frac{4G\hslash }{\mathcal{A}}{S}_{\text{mat}}^{\prime \prime }\le 0$$

在局域极限下（取 $\mathcal{A}\to 0$ 或考虑平面波前，使得 $\theta \approx 0,\sigma \approx 0$），上式退化为：

$$R_{kk}\ge \frac{4G\hslash }{\mathcal{A}}{S}_{\text{mat}}^{\prime \prime }$$

利用爱因斯坦方程 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$，这正是 QNEC ($T_{kk}\ge \frac{\hslash }{2\pi \mathcal{A}}{S}_{\text{mat}}^{\prime \prime }$)。

因此，QNEC 是 QFC 的局域极限。反之，如果 QNEC 成立，则在半经典近似下，QFC 也是成立的（因为 ${\theta }^2$ 和 ${\sigma }^2$ 总是非负的，只会加强不等式）。

14.3.3 广义视界单调性定理

利用 QFC，我们可以证明广义热力学第二定律（GSL）的一个强版本。

定理 14.3.3 (广义视界单调性)

考虑一个因果视界（如黑洞事件视界或去西特视界），其生成线为类光测地线。如果在遥远的未来视界趋于稳态（$\Theta \to 0$ 当 $\lambda \to \infty$），则在任意时刻 $\lambda$，广义膨胀率必须非负：

$$\Theta (\lambda )\ge 0$$

这意味着广义熵 $S_{\text{gen}}$ 随时间单调增加。

证明：

根据 QFC，$\Theta (\lambda )$ 是单调递减函数（${\Theta }^{\prime }\le 0$）。

如果未来 $\Theta (\infty )=0$（热平衡态），那么对于任何有限时刻 $\lambda$，必须有 $\Theta (\lambda )\ge \Theta (\infty )=0$。

$$\frac{d{S}_{\text{gen}}}{d\lambda }=\frac{\mathcal{A}}{4G\hslash }\Theta \ge 0$$

$\square$

物理推论：

即使黑洞正在蒸发（霍金辐射导致 $\theta <0$，视界几何面积减小），辐射出的纠缠熵流 $S_{\text{mat}}^{\prime }$ 必定足够大，使得 $\Theta =\theta +4G{S}^{\prime }\ge 0$。

这证明了广义第二定律（GSL）在半经典引力中是严格成立的，前提是物质服从 QNEC。

14.3.4 信息流驱动几何聚焦

这一节的结论彻底颠覆了因果关系：

• 传统观点：质量弯曲时空 $\to$ 光线聚焦 $\to$ 信息被捕获。

• 熵引力观点：信息流结构（$S_{\text{mat}}^{\prime \prime }$）设定了不等式约束 $\to$ 能量密度 $T_{kk}$ 必须满足 QNEC $\to$ 时空几何必须弯曲以维持 QFC。

几何聚焦的本质：

为什么引力会导致聚焦（吸引）？因为信息处理具有不可逆性。

当我们沿光线追踪一个量子系统时，我们获得信息的速率（$S^{\prime }$）倾向于减慢（$S^{\prime \prime }<0$ 有下界，或受 QFC 约束）。为了补偿这种信息的“扩散“或“遗忘“，几何截面必须收缩（$\theta <0$），以将物理自由度“聚焦“到更小的相空间体积中，从而维持全息界限的有效性。

引力坍缩是信息压缩的几何表现。

14.3.5 总结

本节利用 QNEC 和 QFC 证明了广义视界的单调性。

1. 统一性：QFC 将几何聚焦（Raychaudhuri）与熵的凹性（信息论）统一为一个不等式。

2. 稳定性：证明了只要微观物质满足 QNEC，宏观时空就不会违反热力学第二定律，即使在负能量存在的情况下。

3. 方向性：时空演化的方向（引力吸引）由信息流的不可逆性（广义熵增）锁定。

在下一节 14.4 中，我们将探讨这种聚焦的终极后果——奇点。我们将证明，奇点不是时空的崩溃，而是信息密度饱和导致的热力学相变点（几何焦散）。