第4章 Hilbert空间的生成

4.1 合法串与 Hilbert 空间

定义 D4.1（Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_n$）

对每个长度 $n\ge 0$，定义复 Hilbert 空间

$${\mathcal{H}}_n:={\mathrm{Span}}_{\mathbb{C}}\{|w⟩:w\in B_n\}$$

其中：

• $B_n$ 是长度为 $n$ 的合法串集合（见定义 D3.1）
• $\{|w⟩:w\in B_n\}$ 构成标准正交基
• 内积定义为： $$⟨w|w^{\prime }⟩={\delta }_{w,w^{\prime }}(\text{Kronecker delta})$$

严格性质：

1. 正交性：$\forall w\ne w^{\prime }\in B_n$, $⟨w|w^{\prime }⟩=0$
2. 归一性：$\forall w\in B_n$, $⟨w|w⟩=1$
3. 完备性：$\{|w⟩:w\in B_n\}$ 线性张成整个 ${\mathcal{H}}_n$

命题 P4.2（Hilbert 空间的维度）

$$\dim {\mathcal{H}}_n=|B_n|=F_{n+2}$$

证明： 由定义D3.1的递推构造和初值条件：$|B_0|=1,|B_1|=2,|B_n|=|B_{n-1}|+|B_{n-2}|$，可得$|B_n|=F_{n+2}$（其中$F_1=1,F_2=2,F_3=3,F_4=5\dots$）。由于$\{|w⟩:w\in B_n\}$构成${\mathcal{H}}_n$的正交基，其维度即为$|B_n|=F_{n+2}$。

理论补充：维度的Fibonacci增长得到Hilbert塔理论和动态规划理论的深层解释。Hilbert塔理论揭示了塔构造的代数必然性，而动态规划理论证明了递推关系 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ 对应信息空间的最优分割策略，使得维度增长不是偶然，而是φ-结构的数学必然。$\square$

4.2 叠加态与归一化

定义 D4.3（叠加态）

${\mathcal{H}}_n$ 中的一般态矢量为：

$$|\psi ⟩=\sum _{w\in B_n}{\alpha }_w|w⟩$$

其中 ${\alpha }_w\in \mathbb{C}$，且满足归一化条件：

$$⟨\psi |\psi ⟩=\sum _{w\in B_n}|{\alpha }_w{|}^2=1$$

严格的内积计算： $$⟨\psi |\varphi ⟩=\sum _{w\in B_n}\overline{{\alpha }_w}{\beta }_w$$

其中 $\varphi ={\sum }_{w\in B_n}{\beta }_w|w⟩$，$\overline{{\alpha }_w}$ 表示 ${\alpha }_w$ 的复共轭。

命题 P4.4（观测概率）

若测量态 $|\psi ⟩$，结果为基态 $|w⟩$ 的概率为：

$$P(w)=|{\alpha }_w{|}^2$$

证明： 设投影算符 $P_w=|w⟩⟨w|$，则测量结果为 $|w⟩$ 的概率为： $$P(w)=⟨\psi |P_w|\psi ⟩=⟨\psi |w⟩⟨w|\psi ⟩=|⟨w|\psi ⟩{|}^2$$ 由于 $|\psi ⟩={\sum }_{v\in B_n}{\alpha }_v|v⟩$，有： $$⟨w|\psi ⟩=⟨w|\sum _{v\in B_n}{\alpha }_v|v⟩=\sum _{v\in B_n}{\alpha }_v⟨w|v⟩=\sum _{v\in B_n}{\alpha }_v{\delta }_{w,v}={\alpha }_w$$ 因此 $P(w)=|{\alpha }_w{|}^2$。归一化条件保证 ${\sum }_{w\in B_n}P(w)={\sum }_{w\in B_n}|{\alpha }_w{|}^2=1$。$\square$

4.3 Hilbert 空间的生成规律

命题 P4.5（递归生成）

Hilbert 空间序列 {ℋ_n} 由以下递推关系生成：

$${\mathcal{H}}_n=\mathrm{Span}\{|s0⟩:s\in B_{n-1}\}\oplus \mathrm{Span}\{|s10⟩:s\in B_{n-2}\},n\ge 2$$

其中 $\oplus$ 表示直和（两个子空间的正交和）。

严格证明：

1. 基的分解：由定义D3.1，$B_n=\{s0:s\in B_{n-1}\}\cup \{s10:s\in B_{n-2}\}$
2. 正交性：设 $v_1=s_{1}0\in \{s0:s\in B_{n-1}\}$, $v_2=s_{2}10\in \{s10:s\in B_{n-2}\}$
   • 两个子集不相交：$v_1$末尾为0，$v_2$末尾为10，因此$v_1\ne v_2$
   • 由定义D4.1的标准正交基性质：$⟨v_1|v_2⟩={\delta }_{v_1,v_2}=0$
   • 同一子集内部也正交：若$s_1\ne s_2$，则$⟨s_{1}0|s_{2}0⟩={\delta }_{s_{1}0,s_{2}0}=0$
3. 维度验证： $$\dim ({\mathcal{H}}_n)=|B_{n-1}|+|B_{n-2}|=F_{(n-1)+2}+F_{(n-2)+2}=F_{n+1}+F_n=F_{n+2}$$ 这正确地使用了Fibonacci递推关系。
4. 完备性及不相交性：
   • 两集合不相交：$\{s0:s\in B_{n-1}\}\cap \{s10:s\in B_{n-2}\}=\varnothing$
   • 并集完备：$\{s0:s\in B_{n-1}\}\cup \{s10:s\in B_{n-2}\}=B_n$
   • 因此两个子空间的基正交且完备地张成${\mathcal{H}}_n$

理论补充：这一递归生成规律得到Hilbert塔理论和动态规划理论的深层解释。Hilbert塔理论的塔分解理论证明了这种直和分解的代数必然性，而动态规划理论的最优子结构原理揭示了为什么这是信息空间的最优组织方式。

因此 ${\mathcal{H}}_n$ 是两个正交子空间的直和。$\square$

4.4 示例（n=1 到 n=4）

n=1：

$${\mathcal{H}}_1=\mathrm{Span}\{|0⟩,|1⟩\},\dim =2$$

n=2：

$${\mathcal{H}}_2=\mathrm{Span}\{|00⟩,|01⟩,|10⟩\},\dim =3$$

n=3：

$${\mathcal{H}}_3=\mathrm{Span}\{|000⟩,|001⟩,|010⟩,|100⟩,|101⟩\},\dim =5$$

n=4：

$${\mathcal{H}}_4=\mathrm{Span}\{|0000⟩,|0001⟩,|0010⟩,|0100⟩,|0101⟩,|1000⟩,|1001⟩,|1010⟩\},\dim =8$$

4.5 维度的 Fibonacci 增长

4.6 小结

在本章我们定义并证明了：

1. Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_n$ 的基 = 长度为 $n$ 的合法串集合
2. 维度 $\dim {\mathcal{H}}_n=F_{n+2}$，随 $n$ 呈 Fibonacci 增长
3. 态向量为合法基的叠加，观测概率由系数模平方给出
4. 空间递归生成规律由 Zeckendorf 禁 11 约束自然导出

由此，每个 ${\mathcal{H}}_n$ 都是一个独立且完整的宇宙理论容器。

我们不是在构造抽象的数学结构，而是在揭示宇宙自我组织的内在几何。每个${\mathcal{H}}_n$都是一个完整的世界，等待着被意识所发现。