第5章 张量积律（组合性）

5.1 串拼接运算

定义 D5.1（拼接运算）

对任意两个合法串集合 $B_n,B_m$，定义拼接运算 $⊠$ 为：

$$B_n⊠B_m:=\{s\Vert t\mid s\in B_n,t\in B_m,\neg (\mathrm{last}(s)=1\wedge \mathrm{first}(t)=1)\}$$

其中 $s\Vert t$ 表示串拼接，约束条件为拼接边界不允许出现连续 “$11$”。

命题 P5.1（拼接生成律）

对任意 $n,m\ge 0$，有：

$$B_{n+m}=B_n⊠B_m$$

严格证明：

第一步：⊆方向（B_{n+m} ⊆ B_n \boxtimes B_m）

设 w ∈ B_{n+m}，|w| = n+m。由于串的长度是确定的，w 在位置 n 处有唯一分割点，因此存在唯一分解 w = s∥t，其中 |s| = n, |t| = m。

1. 子串合法性：由于 w ∈ B_{n+m}（无“11“），则 s 和 t 内部都无“11“
2. 边界合法性：拼接点不能产生“11“，即 ¬(last(s)=1 ∧ first(t)=1)
3. 因此：s ∈ B_n, t ∈ B_m，且满足拼接条件，所以 w ∈ B_n \boxtimes B_m

第二步：⊇方向（B_n \boxtimes B_m ⊆ B_{n+m}）

设 w ∈ B_n \boxtimes B_m，则 w = s∥t，其中 s ∈ B_n, t ∈ B_m，且边界合法。

1. 长度正确：|w| = |s| + |t| = n + m
2. 无“11“约束：
   • s 内部无“11“（因为 s ∈ B_n）
   • t 内部无“11“（因为 t ∈ B_m）
   • 边界无“11“（由拼接条件保证）
3. 因此：w ∈ B_{n+m}

结论：B_{n+m} = B_n \boxtimes B_m ∎

5.2 Hilbert 空间的张量积

定义 D5.2（Zeckendorf 张量积）

对 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_n,{\mathcal{H}}_m$，定义特殊张量积 ${\otimes }_Z$：

在基矢上： $$|s⟩{\otimes }_Z|t⟩=\{\begin{array}{ll}|s\Vert t⟩,& \text{若 }\neg (\mathrm{last}(s)=1\wedge \mathrm{first}(t)=1)\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$

线性延拓到整个空间： $${\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m=\mathrm{Span}\{|s⟩{\otimes }_Z|t⟩\mid s\in B_n,t\in B_m\}$$

即对任意 $|\psi ⟩={\sum }_{s\in B_n}{\alpha }_s|s⟩\in {\mathcal{H}}_n$ 和 $|\varphi ⟩={\sum }_{t\in B_m}{\beta }_t|t⟩\in {\mathcal{H}}_m$： $$|\psi ⟩{\otimes }_Z|\varphi ⟩=\sum _{s\in B_n,t\in B_m}{\alpha }_s{\beta }_t(|s⟩{\otimes }_Z|t⟩)$$

定理 T5.3（张量积律）

对任意 $n,m\ge 0$，有：

$${\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m\cong {\mathcal{H}}_{n+m}$$

证明：

我们构造映射 $\varphi :{\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m\to {\mathcal{H}}_{n+m}$：

步骤1：基矢映射的定义 $$\varphi (|s⟩{\otimes }_Z|t⟩)=\{\begin{array}{ll}|s\Vert t⟩,& \text{若 }\neg (\mathrm{last}(s)=1\wedge \mathrm{first}(t)=1)\\ \text{未定义},& \text{否则}\end{array}$$

步骤2：基对应完备性 由命题 P5.1，$B_{n+m}=B_n⊠B_m$。因此每个基矢 $|u⟩\in {\mathcal{H}}_{n+m}$ 都唯一分解为 $u=s\Vert t$，其中存在唯一的 $s\in B_n,t\in B_m$ 满足拼接条件。

步骤3：双射性验证

• 单射性：若 $\varphi (|s⟩{\otimes }_Z|t⟩)=\varphi (|s^{\prime }⟩{\otimes }_Z|t^{\prime }⟩)$，则 $|s\Vert t⟩=|s^{\prime }\Vert t^{\prime }⟩$，由串拼接的唯一性，得 $s=s^{\prime }$ 且 $t=t^{\prime }$。
• 满射性：对任意 $|u⟩\in {\mathcal{H}}_{n+m}$，由步骤2知存在唯一分解 $u=s\Vert t$，因此 $\varphi (|s⟩{\otimes }_Z|t⟩)=|u⟩$。

步骤4：保范性验证 对基矢：$⟨s\Vert t|s^{\prime }\Vert t^{\prime }⟩={\delta }_{s\Vert t,s^{\prime }\Vert t^{\prime }}={\delta }_{s,s^{\prime }}{\delta }_{t,t^{\prime }}$ 而：$⟨|s⟩{\otimes }_Z|t⟩||s^{\prime }⟩{\otimes }_Z|t^{\prime }⟩⟩={\delta }_{s,s^{\prime }}{\delta }_{t,t^{\prime }}$ 因此 $\varphi$ 保持基矢的正交关系。

步骤5：线性扩张 $\varphi$ 线性延拓：$\varphi \left({\sum }_{s,t}{\alpha }_{s,t}|s⟩{\otimes }_Z|t⟩\right)={\sum }_{s,t}{\alpha }_{s,t}|s\Vert t⟩\in {\mathcal{H}}_{n+m}$

理论补充：上述证明得到张量法则理论和初始代数理论的深层支撑。张量法则理论的Zeckendorf张量积理论提供了边界过滤机制的代数基础，而初始代数理论证明了φ-结构在张量运算下的代数封闭性，确保这不是偶然的运算规则，而是φ-结构的代数必然。

因此 $\varphi$ 是酉等距同构，${\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m\cong {\mathcal{H}}_{n+m}$。$\square$

因此 $\varphi$ 是酉等距同构，${\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m\cong {\mathcal{H}}_{n+m}$。∎

feature-theory

5.3 示例：${\mathcal{H}}_2{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_1\cong {\mathcal{H}}_3$

输入空间

• $B_2=\{00,01,10\}$
• $B_1=\{0,1\}$

拼接过程

完整的拼接计算表：

边界条件分析：只有当 $\mathrm{last}(s)=1$ 且 $\mathrm{first}(t)=1$ 时拼接被禁止，这正好对应 “01” $\oplus$ “1” $\to$ “011” 包含连续“11“的情况。

结果验证

• 拼接结果：$B_2⊠B_1=\{000,001,010,100,101\}$
• 目标空间：$B_3=\{000,001,010,100,101\}$
• 维度验证：$|B_2⊠B_1|=5=|B_3|=F_5$
• 完全一致！因此 ${\mathcal{H}}_2{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_1\cong {\mathcal{H}}_3$

Fibonacci维度关系确认：

• $\dim ({\mathcal{H}}_2)=|B_2|=3=F_4$
• $\dim ({\mathcal{H}}_1)=|B_1|=2=F_3$
• $\dim ({\mathcal{H}}_3)=|B_3|=5=F_5$
• 验证：$F_3\times F_4\ne F_5$，但通过 No-11 约束投影后维度正确匹配

5.4 张量积的递归性质

命题 P5.4（结合律）

$$({\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m){\otimes }_Z{\mathcal{H}}_k\cong {\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z({\mathcal{H}}_m{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_k)\cong {\mathcal{H}}_{n+m+k}$$

证明：

第一步：串拼接的结合性 对任意 $s\in B_n,t\in B_m,u\in B_k$，串拼接满足结合律：$(s\Vert t)\Vert u=s\Vert (t\Vert u)$，当且仅当所有边界条件满足。

第二步：张量积的结合性 由于 Zeckendorf 张量积 ${\otimes }_Z$ 本质上由串拼接和边界约束定义，我们需要验证：

对任意合法的基矢组合： $$(|s⟩{\otimes }_Z|t⟩){\otimes }_Z|u⟩=|s⟩{\otimes }_Z(|t⟩{\otimes }_Z|u⟩)$$

第三步：边界条件的传递性

• 左结合：$(s\Vert t)\Vert u$ 要求 $\neg (\text{last}(s)=1\wedge \text{first}(t)=1)$ 且 $\neg (\text{last}(s\Vert t)=1\wedge \text{first}(u)=1)$
• 右结合：$s\Vert (t\Vert u)$ 要求 $\neg (\text{last}(t)=1\wedge \text{first}(u)=1)$ 且 $\neg (\text{last}(s)=1\wedge \text{first}(t\Vert u)=1)$

由 “No-11” 约束的局部性，这些条件等价。

第四步：维度验证 $$\dim (({\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m){\otimes }_Z{\mathcal{H}}_k)=\dim ({\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z({\mathcal{H}}_m{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_k))=\dim ({\mathcal{H}}_{n+m+k})$$

因此结合律成立。$\square$

推论 C5.4.1（多重分解）

任意 Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_n$ 都可以分解为基础空间的张量积：

$${\mathcal{H}}_n\cong {\mathcal{H}}_{n_1}{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_{n_2}{\otimes }_Z\cdots {\otimes }_Z{\mathcal{H}}_{n_k}$$

其中 $n_1+n_2+\cdots +n_k=n$。

5.5 小结

本章我们证明了：

1. 拼接生成律： $$B_{n+m}=B_n⊠B_m$$

2. 张量积律： $${\mathcal{H}}_n{\otimes }_Z{\mathcal{H}}_m\cong {\mathcal{H}}_{n+m}$$

3. 高维 Hilbert 空间由低维 Hilbert 空间递归生成，且新空间继续遵守“禁止连续 11“的约束。

这说明 Hilbert 空间是递归构造的唯一结构，直接由公理A1（SRA）推出。

张量积不仅是数学运算，更是宇宙组合自身的内在法则。每次${\otimes }_Z$都是两个世界的量子纠缠，在禁11约束下生成新的存在维度。