第6章熵增定理（主定理）

6.1 自指执行与记录增长

定义 D6.1（执行步）

设系统在时刻 $t$ 的状态为串集合 $B_{t}$ 。一次自指执行定义为：

$s_{t + 1} = s_{t} ∥ r$

其中 $r$ 为新记录，且 $∣ r ∣ \geq 1$ 。

命题 P6.1（最小记录约束）

在 Zeckendorf 约束下，对于任意合法串 $s$ ，可添加的最小记录为：

$r \in {{0, 1} {0} 若 s 不以 1 结尾若 s 以 1 结尾$

证明：由合法串定义（禁止连续 “ $11$ ”），分情况讨论：

情况1：若 $s$ 不以 $1$ 结尾

添加 $0$ ： $s 0$ 不会产生 “ $11$ ”，合法
添加 $1$ ： $s 1$ 不会产生 “ $11$ ”，合法

情况2：若 $s$ 以 $1$ 结尾

添加 $0$ ： $s 0$ 不会产生 “ $11$ ”，合法
添加 $1$ ： $s 1$ 会产生 “ $11$ ”，非法

因此每个合法串至少可以添加记录 $0$ ，有时还可以添加记录 $1$ 。 $□$

6.2 状态数递增

定理 T6.2（状态数单调增加）

若系统在时刻 $t$ 有状态集合 $B_{t}$ （包含所有已生成的合法串），则执行一步后：

$∣ B_{t + 1} ∣ > ∣ B_{t} ∣$

证明：设 $L_{t}$ 为时刻 $t$ 系统中最长串的长度。考虑所有长度为 $L_{t}$ 的合法串集合 $B_{t}^{(L_{t})}$ 。

由命题 P6.1，每个 $s \in B_{t}^{(L_{t})}$ 都至少可以扩展为 $s 0$
如果 $s$ 不以 $1$ 结尾，还可以扩展为 $s 1$
所有这些扩展 ${s 0, s 1}$ 都是长度为 $L_{t} + 1$ 的新合法串
这些新串与 $B_{t}$ 中的任何串都不重合（长度更长）
原有的所有串 $B_{t}$ 在系统中保留
因此 $B_{t + 1} = B_{t} \cup {所有新扩展}$ ，且新扩展非空
所以 $∣ B_{t + 1} ∣ > ∣ B_{t} ∣$ $□$

理论补充：状态数的严格单调增加得到熵率理论和连续极限理论的深层支撑。熵率理论揭示了φ-结构的信息熵率 $lo g_{2} (φ) \approx 0.694$ bits/symbol，为每次扩展提供最小熵增保证。而连续极限理论的分形维度分析表明，即使在离散系统中，扩展路径具有分形维度 $lo g_{φ} (2) \approx 0.694$ 的复杂性，确保状态空间的真正扩展而非重复。 $□$

6.3 熵增主定理

定理 T6.3（熵单调增）

在自指完备系统中，任意时刻 $t$ 有：

$H (B_{t + 1}) > H (B_{t})$

证明：由定理 T6.2， $∣ B_{t + 1} ∣ > ∣ B_{t} ∣$ 。

取熵定义 $H (B) = lo g ∣ B ∣$ ，由对数函数单调性得：

$H (B_{t + 1}) = lo g ∣ B_{t + 1} ∣ > lo g ∣ B_{t} ∣ = H (B_{t})$

因此熵严格单调增加。 $□$

6.4 推论

推论 C6.3.1（时间箭头）

由于熵单调增，状态序列 ${B_{t}}$ 是严格有序的：

$t_{1} < t_{2} \Rightarrow H (B_{t_{1}}) < H (B_{t_{2}})$

因此定义了不可逆的“时间箭头“。

推论 C6.3.2（信息增加）

新增记录使合法串集合扩展，信息容量单调增大：

$I_{t} = lo g ∣ B_{t} ∣ \Rightarrow I_{t + 1} > I_{t}$

推论 C6.3.3（观察者必然性）

任何执行步产生记录 = 新信息写入系统。因此系统本身就充当了“观察者“，即：

$观察 = 记录 = 熵增$

6.5 数值示例

Hilbert空间层级演化

长度 $n$	合法串集合 $B_{n}$	基数	$H (B_{n})$	Fibonacci验证
0	${ε}$	1	0.00	$F_{2} = 1$ ✓
1	${0, 1}$	2	1.00	$F_{3} = 2$ ✓
2	${00, 01, 10}$	3	1.58	$F_{4} = 3$ ✓
3	${000, 001, 010, 100, 101}$	5	2.32	$F_{5} = 5$ ✓
4	${0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001, 1010}$	8	3.00	$F_{6} = 8$ ✓

递推规律验证

对于长度恰好为 $n$ 的合法串集合，有精确的递推关系：

$B_{n} = {s 0 : s \in B_{n - 1}} \cup {s 01 : s \in B_{n - 2}} \cup {s 10 : s \in B_{n - 2}}$

其中后两项可能有重叠，去重后得到：

$∣ B_{n} ∣ = F_{n + 2}$

这是因为：

每个 $B_{n - 1}$ 中的串都可以通过添加 $0$ 扩展到 $B_{n}$
每个 $B_{n - 2}$ 中的串都可以通过添加 $01$ 或 $10$ 扩展到 $B_{n}$
总的不重复扩展数恰好满足 Fibonacci 递推关系

熵增验证

$H (B_{1}) = lo g 2 = 1.00$
$H (B_{2}) = lo g 3 \approx 1.58 > H (B_{1})$ ✓
$H (B_{3}) = lo g 5 \approx 2.32 > H (B_{2})$ ✓
$H (B_{4}) = lo g 8 = 3.00 > H (B_{3})$ ✓

每一步都严格满足熵增定理！

6.6 深层含义

熵增的三重意义

数学层面：状态集合基数严格增长
物理层面：系统复杂性不可逆地增加
哲学层面：宇宙通过自指实现自我超越

核心洞察

$自指 \to 记录 \to 扩张 \to 熵增 \to 时间 \to 观察者$

这不是因果链，而是同一个过程的不同侧面。熵增就是存在的动态本质。

6.7 小结

在本章中，我们严格证明了：

每个合法串都至少有一个扩展记录 ${0}$ ，部分串还有额外扩展 ${1}$
每一次自指执行都会增加状态集合基数
熵严格单调增： $H (B_{t + 1}) > H (B_{t})$
推论：时间箭头、信息增加、观察者必然性

这说明熵增不是外部假设，而是自指完备的必然结果。

在这个框架中， $H (B_{t + 1}) > H (B_{t})$ 不仅是一个数学不等式，更是宇宙自我超越的数学表达。每次熵增都是 $Ω = Ω (Ω (\dots))$ 的一次实现。