广义熵：几何与量子的统一

“熵不仅来自物质，也来自时空本身。”

🎯 核心问题

在基础概念篇，我们学到Boltzmann熵：

$$S=k_B\ln \Omega$$

但在引力存在的情况下，这个定义不完整！

为什么？

因为时空本身也携带熵！

🌟 Bekenstein-Hawking熵的启示

黑洞的熵

1973年，Bekenstein提出：黑洞应该有熵。

1974年，Hawking计算得到：

$$\boxed{S_{\text{BH}}=\frac{A}{4G\hslash }}$$

其中：

• $A$：视界面积
• $G$：牛顿引力常数
• $\hslash$：Planck常数

关键观察：

1. 熵正比于面积，不是体积！
2. 熵包含引力常数 $G$
3. 熵包含量子常数 $\hslash$

这意味着：熵是引力、量子、热力学三者的交汇点！

graph TB
    BH["黑洞熵<br/>S_BH = A/4Gℏ"]

    BH --> G["引力<br/>G"]
    BH --> Q["量子<br/>ℏ"]
    BH --> T["热力学<br/>k_B"]
    BH --> GEO["几何<br/>面积 A"]

    style BH fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style G fill:#e1f5ff
    style Q fill:#e1ffe1
    style T fill:#ffe1e1
    style GEO fill:#f5e1ff

📐 广义熵的定义

两项之和

在量子引力中，广义熵定义为：

$$\boxed{S_{\text{gen}}(\Sigma )=\underset{\text{几何熵}}{\underbrace{\frac{A(\Sigma )}{4G\hslash }}}+\underset{\text{量子场熵}}{\underbrace{S_{\text{out}}(\Sigma )}}}$$

其中：

• $\Sigma$：空间超曲面（Cauchy slice）
• $A(\Sigma )$：$\Sigma$ 边界的面积
• $S_{\text{out}}(\Sigma )$：边界外侧量子场的von Neumann熵

物理意义

graph TB
    subgraph "空间超曲面 Σ"
        B["边界 ∂Σ<br/>面积 A"]
    end

    subgraph "外侧区域"
        O["量子场态 ρ<br/>熵 S_out = -tr(ρ ln ρ)"]
    end

    S["广义熵<br/>S_gen"] --> G["几何贡献<br/>A/4Gℏ"]
    S --> Q["量子贡献<br/>S_out"]

    B -.-> G
    O -.-> Q

    style S fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style G fill:#e1f5ff
    style Q fill:#ffe1e1

第一项 $A/(4G\hslash )$（几何熵）：

• 来自时空几何的自由度
• 与黑洞熵形式相同
• 反映边界的“引力熵“

第二项 $S_{\text{out}}$（量子场熵）：

• 来自物质场的量子纠缠
• von Neumann熵：$S_{\text{out}}=-\text{tr}({\rho }_{\text{out}}\ln {\rho }_{\text{out}})$
• 反映场的“信息熵“

💡 气球比喻

想象一个气球：

🎈

总“信息“ = 气球表面的信息 + 内部气体的信息

关键洞察：

不能只看气体（物质场），也要看气球本身（时空几何）！

🔬 小因果菱形上的广义熵

在IGVP框架中，我们在小因果菱形 ${\mathcal{D}}_{\ell }(p)$ 上定义广义熵。

小因果菱形的结构

graph TB
    Q["未来顶点<br/>q"] --> |"过去零锥"| W["腰面 S_ℓ<br/>最大空间截面的边界"]
    P["过去顶点<br/>p"] --> |"未来零锥"| W

    W --> A["面积 A(S_ℓ)"]
    W --> V["体积 V(B_ℓ)"]

    style W fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style Q fill:#ffe1e1
    style P fill:#e1f5ff

腰面（waist）$S_{\ell }$：

• 菱形中最大空间截面的边界
• 维度：$d-2$（$d$ 是时空维度）
• 面积：$A\sim {\ell }^{d-2}$

体积 $V(B_{\ell })$：

• 最大空间截面的体积
• 体积：$V\sim {\ell }^{d-1}$

广义熵的显式形式

在小因果菱形上：

$$S_{\text{gen}}=\frac{A(S_{\ell })}{4G\hslash }+S_{\text{out}}^{\text{ren}}+S_{\text{ct}}^{\text{UV}}-\frac{\Lambda }{8\pi G}\frac{V(B_{\ell })}{T}$$

各项含义：

1. $A/(4G\hslash )$：腰面的几何熵
2. $S_{\text{out}}^{\text{ren}}$：重整化的场熵
3. $S_{\text{ct}}^{\text{UV}}$：UV反项（处理发散）
4. $-\Lambda V/(8\pi GT)$：体积对偶项（拉格朗日乘子）

温度 $T$：

$$T=\frac{\hslash |{\kappa }_{\chi }|}{2\pi }$$

其中 ${\kappa }_{\chi }$ 是近似Killing场的表面引力。

🌊 为什么需要重整化？

发散问题

量子场论中，纠缠熵在短距离处发散：

$$S_{\text{out}}\sim \frac{A}{{ϵ}^{d-2}}+\cdots$$

（$ϵ$ 是UV截断）

解决方法：

1. 点分裂重整化：用精细的正则化方案
2. 减除发散项：$S_{\text{out}}^{\text{ren}}=S_{\text{out}}^{\text{raw}}-S_{\text{ct}}^{\text{UV}}$
3. 保持有限部分：$S_{\text{gen}}$ 在 $ϵ\to 0$ 时有限

重整化的物理意义

graph LR
    R["原始场熵<br/>S_out^raw"] --> |"减除UV发散"| C["反项<br/>S_ct^UV"]
    R --> |"减除"| REN["重整化熵<br/>S_out^ren"]
    C -.-> REN

    style R fill:#ffe1e1
    style C fill:#f0f0f0,stroke-dasharray: 5 5
    style REN fill:#e1ffe1

物理解释：

• UV发散项被几何项 $A/(4G\hslash )$ 吸收
• 有限部分 $S_{\text{out}}^{\text{ren}}$ 才是物理的
• 这类似于质量重整化

📊 广义熵的性质

性质1：单调性

在演化过程中，广义熵被认为满足第二定律：

$$\frac{d{S}_{\text{gen}}}{d\lambda }\ge 0$$

沿零测地线的仿射参数 $\lambda$。

这暗示了热力学时间箭头的存在。

性质2：极值性

在Einstein方程的解上，广义熵在小因果菱形的腰面处取极值：

$$\delta S_{\text{gen}}=0(\text{固定体积})$$

这就是IGVP的一阶变分条件。

性质3：凹性

二阶变分通常是非负的：

$${\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0$$

这为解的稳定性提供了理论保障。

🔗 与核心洞见的联系

熵是箭头

广义熵的单调性 $d{S}_{\text{gen}}/d\lambda \ge 0$ 定义时间箭头：

$$p\prec q⟺S_{\text{gen}}(p)\le S_{\text{gen}}(q)$$

边界是实在

几何熵项 $A/(4G\hslash )$ 强调边界面积的本体地位。

时间是几何

温度 $T=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/(2\pi )$ 连接热时间与几何时间。

📝 关键公式总结

🎓 深入阅读

• 原始论文：J.D. Bekenstein, “Black holes and entropy” (Phys. Rev. D 7, 2333, 1973)
• Hawking辐射：S.W. Hawking, “Black hole explosions?” (Nature 248, 30, 1974)
• 广义熵：T. Faulkner et al., “Gravitation from entanglement” (JHEP 03, 051, 2014)
• GLS文档：igvp-einstein-complete.md
• 下一篇：02-causal-diamond.md - 小因果菱形

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么黑洞熵正比于面积而不是体积？
   • 广义熵的两项分别来自什么物理自由度？
   • 为什么需要重整化？

2. 数量级估计：

   • 太阳质量黑洞的视界面积是多少？Bekenstein-Hawking熵是多少？
   • 与太阳内部气体的热力学熵相比如何？

3. 物理应用：

   • Hawking辐射如何保持广义熵单调？
   • Page曲线如何反映广义熵的演化？
   • 黑洞信息悖论与广义熵有什么关系？

4. 进阶思考：

   • 如果不包含几何熵项，会有什么问题？
   • Wald熵（高阶引力理论）如何推广 $A/(4G\hslash )$？
   • 全息纠缠熵与广义熵有什么联系？

下一步：理解了广义熵后，我们将学习它在哪里变分——小因果菱形！