小因果菱形：变分的舞台

“引力的舞台不是宏大的宇宙，而是微小的局域因果区域。”

🎯 核心问题

在上一篇中，我们定义了广义熵：

$$S_{\text{gen}}=\frac{A}{4G\hslash }+S_{\text{out}}$$

但这个熵是在哪里变分的？

答案：小因果菱形（small causal diamond）！

💎 什么是因果菱形？

直观图像

想象一个沙漏：

     ⋰ 未来顶点 q
    ╱ ╲
   ╱   ╲
  ╱     ╲
 ╱  腰面  ╲  ← 最粗的地方
╱    S_ℓ   ╲
╲         ╱
 ╲       ╱
  ╲     ╱
   ╲   ╱
    ╲ ╱
     ⋱ 过去顶点 p

这就是因果菱形的形状！

物理意义：

• 从过去顶点 $p$ 发出的所有未来光锥
• 与到达未来顶点 $q$ 的所有过去光锥
• 两者的交集

数学定义

在洛伦兹流形 $(M,g)$ 上，对点 $p\in M$，取足够小的尺度 $\ell \ll L_{\text{curv}}(p)$（$L_{\text{curv}}$ 是局域曲率尺度），定义小因果菱形：

$$\boxed{{\mathcal{D}}_{\ell }(p)=J^{+}(p^{-})\cap J^{-}(p^{+})}$$

其中：

• $p^{-}$：过去顶点，沿某参考类时方向本征时间 $-\ell$ 的点
• $p^{+}$：未来顶点，沿本征时间 $+\ell$ 的点
• $J^{+}(p^{-})$：$p^{-}$ 的因果未来（所有能从 $p^{-}$ 因果到达的点）
• $J^{-}(p^{+})$：$p^{+}$ 的因果过去（所有能因果到达 $p^{+}$ 的点）

graph TB
    Q["未来顶点 q<br/>(p⁺)"] --> |"过去零锥"| W["腰面 S_ℓ<br/>最大空间截面边界"]
    P["过去顶点 p<br/>(p⁻)"] --> |"未来零锥"| W

    W --> N1["零超曲面 𝓝⁺"]
    W --> N2["零超曲面 𝓝⁻"]

    N1 --> D["小因果菱形<br/>𝒟_ℓ(p)"]
    N2 --> D

    style W fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style D fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style Q fill:#ffe1e1
    style P fill:#e1f5ff

🔍 小因果菱形的结构

边界组成

小因果菱形的边界 $\partial {\mathcal{D}}_{\ell }$ 由以下部分组成：

1. 过去零超曲面 ${\mathcal{N}}^{+}$：

   • 从过去顶点 $p^{-}$ 发出的未来光锥
   • 由零测地线（null geodesics）生成
   • 维度：$d-1$（$d$ 是时空维度）

2. 未来零超曲面 ${\mathcal{N}}^{-}$：

   • 到达未来顶点 $p^{+}$ 的过去光锥
   • 也由零测地线生成
   • 维度：$d-1$

3. 腰面（waist）$S_{\ell }$：

   • 两个零锥的交线
   • 菱形内最大空间截面的边界
   • 维度：$d-2$
   • 这是广义熵变分的关键！

腰面的重要性

为什么叫“腰面“？

因为它是菱形中间最“粗“的地方，就像沙漏的腰部！

物理意义：

graph TB
    subgraph "小因果菱形内部"
        C["中心点 p"]
        B["最大空间截面<br/>B_ℓ (体积)"]
        S["边界腰面<br/>S_ℓ (面积)"]
    end

    B --> S

    S --> A["几何熵<br/>A(S_ℓ)/4Gℏ"]
    S --> Q["量子场熵<br/>S_out(S_ℓ)"]

    A --> SG["广义熵<br/>S_gen"]
    Q --> SG

    style S fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style SG fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

腰面的几何数据：

• 面积：$A(S_{\ell })\sim {\ell }^{d-2}$
• 内部最大空间截面体积：$V(B_{\ell })\sim {\ell }^{d-1}$
• 曲率半径：$L_{\text{curv}}\gg \ell$

📏 “小“的含义

小钻石极限

“小“是什么意思？

在IGVP推导中，我们取 $\ell \to 0$ 的极限，即小钻石极限：

$$\ell \ll L_{\text{curv}}$$

为什么要取小极限？

1. 局域性：引力是局域的物理规律，应该在每个点附近成立
2. 可控性：在小极限下，曲率修正是高阶小量 $O({\ell }^2/L_{\text{curv}}^2)$
3. 近似平直：小钻石内部近似为Minkowski时空的因果菱形

几何近似

在正规坐标下，小因果菱形满足：

$$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+O\left(\frac{{\ell }^2}{L_{\text{curv}}^2}\right)$$

其中 ${\eta }_{\mu \nu }$ 是Minkowski度规。

这意味着：在足够小的尺度下，时空局域地“看起来像“平直时空！

graph LR
    C["弯曲时空<br/>小因果菱形"] --> |"ℓ → 0 极限"| M["Minkowski时空<br/>因果菱形"]

    C --> E["误差<br/>O(ℓ²/L²_curv)"]

    style C fill:#ffe1e1
    style M fill:#e1f5ff
    style E fill:#f0f0f0,stroke-dasharray: 5 5

🌊 为什么用小因果菱形？

原因1：Jacobson的启示

1995年，Jacobson首次从热力学推导Einstein方程时，就使用了局域因果视界（local causal horizon）。

小因果菱形是这个想法的精确数学实现：

• 腰面 $S_{\ell }$ 类似于局域视界
• 广义熵在这个“视界“上定义
• 变分在固定体积 $V(B_{\ell })$ 下进行

原因2：局域性原理

物理定律应该是局域的：

关键逻辑：

从局域熵极值 → 通过Radon型闭包 → 推导出点态Einstein方程

原因3：控制误差

在小极限下，所有误差项都是可控的高阶小量：

1. 几何误差：$O({\ell }^2/L_{\text{curv}}^2)$
2. 量子场论误差：$O({\epsilon }^2)$（$\epsilon$ 是小参数）
3. 边界效应：$o({\ell }^{d-2})$

这保证了推导的严格性！

🎨 平直时空中的因果菱形

Minkowski时空的例子

在平直时空 $({\mathbb{R}}^{1,d-1},\eta )$ 中，取原点 $p=0$，参考类时方向为 $t$ 轴，则：

因果菱形：

$${\mathcal{D}}_{\ell }(0)=\{(t,\mathbf{x}):|t|+|\mathbf{x}|\le \ell \}$$

腰面（$t=0$ 截面的边界）：

$$S_{\ell }=\{(0,\mathbf{x}):|\mathbf{x}|=\ell \}$$

这是半径为 $\ell$ 的 $(d-2)$-维球面！

面积：

$$A(S_{\ell })={\Omega }_{d-2}{\ell }^{d-2}$$

其中 ${\Omega }_{d-2}$ 是单位 $(d-2)$-球面的体积。

最大空间截面（$t=0$ 的球）：

$$B_{\ell }=\{(0,\mathbf{x}):|\mathbf{x}|\le \ell \}$$

体积：

$$V(B_{\ell })=\frac{{\Omega }_{d-2}}{d-1}{\ell }^{d-1}$$

四维时空的具体计算

在 $d=4$ 时：

• 腰面 $S_{\ell }$ 是2-球面（普通球面）
• 面积：$A=4\pi {\ell }^2$
• 体积：$V=\frac{4\pi }{3}{\ell }^3$

几何熵：

$$S_{\text{geom}}=\frac{A}{4G\hslash }=\frac{4\pi {\ell }^2}{4G\hslash }=\frac{\pi {\ell }^2}{G\hslash }$$

这与Planck面积 ${\ell }_P^2=G\hslash /c^3$ 的关系：

$$S_{\text{geom}}=\frac{\pi c^3}{\hslash }{\left(\frac{\ell }{{\ell }_P}\right)}^2$$

物理解释：几何熵正比于面积（以Planck单位测量）！

🔄 近似Killing场

在小因果菱形上，存在近似Killing场 ${\chi }^a$：

$${\mathcal{L}}_{\chi }{g}_{ab}=O\left(\frac{{\ell }^2}{L_{\text{curv}}^2}\right)$$

物理意义：

在小尺度下，存在近似对称性，对应于：

• 近似的时间平移不变性
• 近似的boost对称性（沿零方向）

表面引力：

$${\kappa }_{\chi }=\frac{2}{\ell }+O\left(\frac{\ell }{L_{\text{curv}}^2}\right)$$

Unruh温度：

$$T=\frac{\hslash |{\kappa }_{\chi }|}{2\pi }=\frac{\hslash }{\pi \ell }+O\left(\frac{\ell }{L_{\text{curv}}^2}\right)$$

关键洞察：小因果菱形具有由几何决定的内在温度。

📐 变分设定

在IGVP中，我们在小因果菱形上进行以下变分：

变分参数

1. 腰面位置：改变 $S_{\ell }$ 的嵌入
2. 量子态：改变场的量子态 $\rho$

约束条件

1. 固定端点：$p^{-}$ 和 $p^{+}$ 不变
2. 固定体积：$\delta V(B_{\ell })=0$
3. 固定温度：$\delta T=0$（一阶变分层面）

变分对象

广义熵：

$$S_{\text{gen}}(S_{\ell })=\frac{A(S_{\ell })}{4G\hslash }+S_{\text{out}}(S_{\ell })$$

一阶条件：

$$\boxed{\delta S_{\text{gen}}=0}(\text{固定体积})$$

这是IGVP的核心假设之一。

graph TB
    D["小因果菱形 𝒟_ℓ"] --> V["变分：改变腰面位置<br/>δS_ℓ"]
    D --> C["约束：固定体积<br/>δV = 0"]

    V --> S["广义熵变分<br/>δS_gen = δ(A/4Gℏ) + δS_out"]
    C --> S

    S --> E["极值条件<br/>δS_gen = 0"]

    E --> R["导出<br/>Einstein方程"]

    style D fill:#e1f5ff
    style S fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style E fill:#ffe1e1
    style R fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🌟 从局域到全局

Radon型闭包

核心思想：如果对所有小因果菱形某个积分条件成立，能否推出点态方程？

答案：在适当条件下是可以的。

步骤：

1. 局域化：对腰面 $S_{\ell }$ 上的任意测试函数 $\phi \in C_c^{\infty }(S_{\ell })$
2. 积分条件：${\int }_{S_{\ell }}\phi {\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda (R_{kk}-8\pi G{T}_{kk})d\lambda dA=o({\ell }^2)$
3. 闭包：由光线变换的局部可逆性，推出 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 在每点成立

这构成了从“族约束“到“点态方程“的逻辑桥梁。

族约束的物理意义

族约束：对一族小因果菱形，熵极值条件成立

$$\forall p\in M,\forall \ell \ll L_{\text{curv}}(p):\delta S_{\text{gen}}({\mathcal{D}}_{\ell }(p))=0$$

点态方程：在每个点，Einstein方程成立

$$\forall p\in M:G_{ab}(p)+\Lambda g_{ab}(p)=8\pi G{T}_{ab}(p)$$

逻辑链：

族约束（对所有小菱形）
    ↓
积分恒等式（沿零测地）
    ↓
Radon型闭包
    ↓
点态方程（在每个点）

🎓 与其他方法的比较

IGVP的优势：

1. 完全局域（不需要全局视界）
2. 数学严格（显式误差控制）
3. 推导完整（一阶+二阶）
4. 适用广泛（不限于平直背景）

📝 关键公式总结

🎓 深入阅读

• Jacobson原始论文：T. Jacobson, “Thermodynamics of spacetime” (Phys. Rev. Lett. 75, 1260, 1995)
• 小钻石几何：T. Jacobson, “Entanglement Equilibrium and the Einstein Equation” (Phys. Rev. Lett. 116, 201101, 2016)
• GLS完整推导：igvp-einstein-complete.md
• 上一篇：01-generalized-entropy.md - 广义熵定义
• 下一篇：03-raychaudhuri-equation.md - Raychaudhuri方程

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么因果菱形叫“菱形“？在Minkowski时空中画出来
   • 什么是腰面？为什么它是“最大空间截面的边界“？
   • “小“的含义是什么？为什么要取 $\ell \to 0$ 极限？

2. 几何计算：

   • 在三维时空 $(t,x,y)$ 中，写出 $\ell =1$ 的因果菱形的显式表达式
   • 计算腰面的面积和内部体积
   • 验证 $A\sim {\ell }^{d-2}$ 和 $V\sim {\ell }^{d-1}$

3. 物理应用：

   • 为什么固定体积 $\delta V=0$ 是合理的约束？
   • Unruh温度 $T=\hslash /(pi\ell )$ 如何理解？
   • 小因果菱形与Rindler楔有什么关系？

4. 进阶思考：

   • 如果不取小极限，会有什么问题？
   • 族约束如何通过Radon型闭包变成点态方程？（提示：光线变换）
   • 小因果菱形的边界为什么是零超曲面？这有什么物理意义？

下一步：理解了变分的舞台后，我们将学习几何如何响应——Raychaudhuri方程！