Raychaudhuri方程：光的汇聚

“曲率使光线汇聚，面积随之变化——这就是Raychaudhuri方程的精髓。”

🎯 核心问题

在小因果菱形上变分广义熵：

$$\delta S_{\text{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\text{out}}$$

关键问题：面积变化 $\delta A$ 如何与时空曲率 $R_{ab}$ 联系起来？

答案：Raychaudhuri方程！

💡 直观图像：聚焦的光束

日常类比

想象阳光穿过放大镜：

   ∥ ∥ ∥ ∥     ← 平行光束
    ∥∥ ∥∥
     ∥ ∥       ← 汇聚
      ∥
     焦点

问题：

• 为什么平行光线会汇聚?
• 汇聚速度与透镜曲率有什么关系?

答案：

• 光学：折射定律
• 引力：Raychaudhuri方程

引力透镜

在弯曲时空中，光线（零测地线）的束（bundle）会：

1. 扩张（expansion）$\theta >0$：光束散开
2. 收缩（contraction）$\theta <0$：光束汇聚
3. 保持：$\theta =0$

Raychaudhuri方程描述 $\theta$ 如何随时间演化，特别是曲率如何导致汇聚！

graph TB
    L["光束（零测地线束）"] --> E["扩张率 θ"]
    E --> R["Raychaudhuri方程<br/>θ' = -θ²/(d-2) - σ² - R_kk"]

    R --> C1["曲率项 -R_kk<br/>导致汇聚"]
    R --> C2["扩张平方 -θ²/(d-2)<br/>自我汇聚"]
    R --> C3["剪切 -σ²<br/>增强汇聚"]

    C1 --> A["面积变化<br/>dA/dλ = θA"]

    style R fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style A fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

📐 零测地线的数学框架

零测地线束

考虑从腰面 $S_{\ell }$ 发出的零测地线束：

切向量：$k^a$，满足：

• $k^a{k}_a=0$（零向量）
• $k^b{\nabla }_b{k}^a=0$（测地线，仿射参数化）

横截空间：在每点 $\gamma (\lambda )$ 上，定义与 $k^a$ 正交的 $(d-2)$-维空间，记为“screen space“。

选择正交基 $\{e_A^a\}$（$A=1,\dots ,d-2$），满足：

• $k^a{e}_{Aa}=0$（正交于 $k^a$）
• $e_A^a{e}_{Ba}={\delta }_{AB}$（归一化）

光束的形变张量

光束的形变由投影导数刻画：

$$B_{AB}:=e_A^a{\nabla }_a{k}_b\cdot e_B^b$$

分解（无挠率情形 ${\omega }_{AB}=0$）：

$$B_{AB}=\frac{1}{d-2}\theta {\delta }_{AB}+{\sigma }_{AB}$$

其中：

• 扩张率（expansion）：$\theta :=B_A{}^A={\nabla }_a{k}^a$（迹）
• 剪切（shear）：${\sigma }_{AB}:=B_{AB}-\frac{1}{d-2}\theta {\delta }_{AB}$（无迹部分）

物理意义：

🌊 Raychaudhuri方程

方程形式

沿零测地线，扩张率演化满足：

$$\boxed{\frac{d\theta }{d\lambda }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2-R_{kk}}$$

其中：

• $\lambda$：仿射参数
• $R_{kk}:=R_{ab}{k}^a{k}^b$：Ricci曲率沿零方向的收缩
• $d$：时空维度

假设：挠率 ${\omega }_{AB}=0$（在零测地丛超曲面正交时成立）

推导草图

从Riemann曲率张量的定义：

$$[{\nabla }_a,{\nabla }_b]k^c=R_{abc}{}^d{k}^d$$

取 ${\nabla }_a{k}^b$ 的散度，投影到横截空间，利用测地线条件和Ricci恒等式，经过一系列计算得到Raychaudhuri方程。

详细推导见标准GR教材（如Wald, Carroll）。

📊 各项的物理意义

1. 曲率项：$-R_{kk}$

$$R_{kk}=R_{ab}{k}^a{k}^b$$

正曲率 $R_{kk}>0$：

• 代表引力吸引
• 导致 ${\theta }^{\prime }<0$（汇聚加速）
• 光线被“拉向一起“

例子：地球附近的光线偏折

graph LR
    M["物质<br/>T_ab > 0"] --> |"Einstein方程"| R["正曲率<br/>R_kk > 0"]
    R --> C["光线汇聚<br/>θ' < 0"]

    style M fill:#e1f5ff
    style R fill:#fff4e1
    style C fill:#ffe1e1

2. 扩张平方项：$-\frac{1}{d-2}{\theta }^2$

自我汇聚：

• 即使无曲率（$R_{kk}=0$）
• 如果光束已经在收缩（$\theta <0$）
• 收缩会自我加速

例子：惯性汇聚，类似于“雪球效应“

3. 剪切项：$-{\sigma }^2$

$${\sigma }^2={\sigma }_{AB}{\sigma }^{AB}\ge 0$$

总是非负：

• 剪切总是增强汇聚
• 代表光束的“扭曲形变“

例子：潮汐力导致的形变

🧮 面积演化公式

从扩张率到面积

考虑腰面 $S_{\ell }$ 上一个小面积元 $d{A}_0$，沿零测地线传播到参数 $\lambda$ 处，面积变为 $dA(\lambda )$。

面积演化：

$$\frac{1}{A}\frac{dA}{d\lambda }=\theta$$

证明：

• 面积元 $dA$ 正比于横截方向向量的叉积
• $\theta ={\nabla }_a{k}^a$ 正是这个“横截体积“的对数导数

微分形式：

$$\frac{dA}{d\lambda }=\theta A$$

积分形式

从腰面（$\lambda =0$，$\theta (0)=0$）到 $\lambda ={\lambda }_{\ast }$：

$$A(\lambda )=A(0)\exp \left({\int }_0^{\lambda }\theta ({\lambda }^{\prime })d{\lambda }^{\prime }\right)$$

在小钻石极限 $|\theta |\ll 1$，Taylor展开：

$$A(\lambda )\approx A(0)\left[1+{\int }_0^{\lambda }\theta ({\lambda }^{\prime })d{\lambda }^{\prime }+O({\theta }^2)\right]$$

面积变化：

$$\delta A=A(\lambda )-A(0)=A(0){\int }_0^{\lambda }\theta ({\lambda }^{\prime })d{\lambda }^{\prime }$$

🔍 与曲率的联系

积分Raychaudhuri方程

从Raychaudhuri方程：

$${\theta }^{\prime }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2-R_{kk}$$

两边乘以 $\lambda$ 并积分（关键技巧）：

$${\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda {\theta }^{\prime }d\lambda =-{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda \left[\frac{1}{d-2}{\theta }^2+{\sigma }^2+R_{kk}\right]d\lambda$$

分部积分左边：

$${\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda {\theta }^{\prime }d\lambda =[\lambda \theta {]}_0^{{\lambda }_{\ast }}-{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\theta d\lambda$$

在小钻石极限，${\lambda }_{\ast }\sim \ell \to 0$，$\theta ({\lambda }_{\ast })=O(\epsilon )$，故 ${\lambda }_{\ast }\theta ({\lambda }_{\ast })=o(\ell )$。

又 $\theta (0)=0$（腰面是最大体积截面），得：

$${\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda {\theta }^{\prime }d\lambda =-{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\theta d\lambda +o(\ell )$$

面积-曲率恒等式

结合 $\delta A=A(0){\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\theta d\lambda$，得：

$$\boxed{\delta A+{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda \cdot A(0)=-{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda \left[\frac{1}{d-2}{\theta }^2+{\sigma }^2\right]d\lambda \cdot A(0)}$$

右边是高阶小量（$O({\epsilon }^2)$ 或更高），在一阶变分中忽略！

关键结果：

$$\frac{\delta A}{4G\hslash }\approx -\frac{1}{4G\hslash }{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda dA$$

这建立了面积变化与曲率的精确联系。

graph TB
    R["Raychaudhuri方程<br/>θ' = -θ²/(d-2) - σ² - R_kk"] --> I["积分（乘以λ）"]
    I --> P["分部积分"]
    P --> F["面积-曲率恒等式<br/>δA ≈ -∫ λ R_kk dλ dA"]

    T["初值：θ(0)=0<br/>腰面是最大截面"] -.-> P

    F --> IG["用于IGVP<br/>δS_gen = 0"]

    style R fill:#e1f5ff
    style F fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style IG fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

📈 小钻石极限的精确控制

误差估计

在IGVP推导中，需要精确控制各项误差：

几何常数：

• $C_R:={\sup }_{{\mathcal{D}}_{\ell }}|R_{kk}|$（曲率上界）
• $C_{\nabla R}:={\sup }_{{\mathcal{D}}_{\ell }}|{\nabla }_k{R}_{kk}|$（曲率梯度上界）
• $C_{\mathcal{C}}:={\sup }_{{\mathcal{D}}_{\ell }}|{\mathcal{C}}_{AB}|$（Weyl曲率投影）
• $C_{\sigma ,0}:={\sup }_{S_{\ell }}|\sigma (0)|$（初始剪切）

剪切控制（变系数Grönwall）：

$$|\sigma (\lambda )|\le (C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}|\lambda |)\exp \left(\frac{2}{d-2}{\int }_0^{|\lambda |}|\theta |ds\right)$$

在小极限 $|\theta |{\lambda }_{\ast }\ll 1$：

$$\underset{\lambda \in [0,{\lambda }_{\ast }]}{\sup }|\sigma (\lambda )|\le C_{\sigma }:=C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_{\ast }$$

扩张控制：

从Raychaudhuri方程：

$$|\theta (\lambda )|\le C_R|\lambda |+\frac{1}{d-2}{\int }_0^{|\lambda |}{\theta }^{2}ds+{\int }_0^{|\lambda |}{\sigma }^{2}ds$$

再用Grönwall不等式，得：

$$|\theta (\lambda )|=O(\epsilon \ell )$$

其中 $\epsilon =\ell /L_{\text{curv}}\ll 1$。

主控函数

定义主控函数（dominating function）：

$${\tilde{M}}_{\text{dom}}(\lambda ):=\frac{1}{2}{C}_{\nabla R}{\lambda }^2+(C_{\sigma ,0}+C_{\mathcal{C}}{\lambda }_0{)}^2|\lambda |+\frac{4}{3(d-2)}{C}_R^2{\lambda }_0^3$$

满足：

$$\left|\theta (\lambda )+\lambda R_{kk}\right|\le {\tilde{M}}_{\text{dom}}(\lambda )$$

且：${\tilde{M}}_{\text{dom}}\in L^1([0,{\lambda }_0])$（可积！）

重要性：这保证了被控收敛定理（dominated convergence theorem）适用，从而可以交换极限与积分次序！

🎨 Minkowski时空的例子

平直时空

在平直时空 $R_{ab}=0$，Raychaudhuri方程简化为：

$${\theta }^{\prime }=-\frac{1}{d-2}{\theta }^2-{\sigma }^2$$

初值 $\theta (0)=0$，$\sigma (0)=0$（对称配置）：

解：$\theta (\lambda )\equiv 0$，$\sigma (\lambda )\equiv 0$

面积：$A(\lambda )=A(0)=\text{常数}$

这符合预期：平直时空中，平行光束保持平行！

加入扰动

如果 $\sigma (0)\ne 0$（初始剪切）：

$${\theta }^{\prime }=-{\sigma }^2<0$$

即使 $\theta (0)=0$，$\theta$ 会变负（汇聚），面积减小！

物理意义：初始的“扭曲“会导致后续的汇聚。

🌌 Schwarzschild时空的例子

径向零测地线

在Schwarzschild度规：

$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\Omega }^2$$

径向向外零测地线（$\theta =0,\varphi =\text{const}$）：

$$k^a{\partial }_a={\partial }_t+\left(1-\frac{2M}{r}\right){\partial }_r$$

曲率：

$$R_{kk}=\frac{4M}{r^3}(1-\frac{2M}{r})>0$$

Raychaudhuri：

$${\theta }^{\prime }=-{\sigma }^2-\frac{4M}{r^3}(1-\frac{2M}{r})$$

在 $r\gg 2M$（远离视界）：

$${\theta }^{\prime }\approx -\frac{4M}{r^3}<0$$

结论：即使光向外传播，正曲率导致扩张率减小（汇聚趋势）！

📝 关键公式总结

🎓 深入阅读

• 原始论文：A.K. Raychaudhuri, “Relativistic cosmology” (Phys. Rev. 98, 1123, 1955)
• 现代处理：R.M. Wald, General Relativity (University of Chicago Press, 1984), §9.2
• 奇点定理：S.W. Hawking, R. Penrose, “The singularities of gravitational collapse” (Proc. Roy. Soc. A 314, 529, 1970)
• GLS应用：igvp-einstein-complete.md
• 上一篇：02-causal-diamond.md - 小因果菱形
• 下一篇：04-first-order-variation.md - 一阶变分与Einstein方程

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么扩张率 $\theta$ 的定义是 ${\nabla }_a{k}^a$？
   • Raychaudhuri方程中为什么所有项都是负号（除了 ${\omega }^2$）？
   • 什么是“焦点“（focal point）？与 $\theta \to -\infty$ 有什么关系？

2. 计算练习：

   • 在二维 $(t,x)$ 时空，Raychaudhuri方程的形式是什么？（提示：$d=2$）
   • 验证平直时空中 $\theta \equiv 0$ 是Raychaudhuri方程的解
   • 在FRW宇宙中，计算径向零测地线的 $R_{kk}$

3. 物理应用：

   • 引力透镜如何用Raychaudhuri方程解释？
   • 为什么说“物质总是导致汇聚“？（提示：能量条件）
   • 宇宙膨胀中，光子的扩张率 $\theta$ 如何演化？

4. 进阶思考：

   • Raychaudhuri方程如何导致Penrose-Hawking奇点定理？
   • 如果 ${\omega }_{AB}\ne 0$（有挠率），方程如何改变？
   • 面积-曲率恒等式中为什么要乘以权重 $\lambda$？（提示：分部积分）

下一步：掌握了Raychaudhuri方程后，我们将看到如何从 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 推导出Einstein方程！