一阶变分：从熵到Einstein方程

“当熵取极值，Einstein方程自然涌现。”

🎯 目标

我们已经拥有所有工具：

• 广义熵：$S_{\text{gen}}=A/(4G\hslash )+S_{\text{out}}$
• 小因果菱形：变分的舞台 ${\mathcal{D}}_{\ell }(p)$
• Raychaudhuri方程：$\delta A\approx -\int \lambda R_{kk}d\lambda dA$

现在，让我们完成IGVP的核心推导：

$$\boxed{\delta S_{\text{gen}}=0\Rightarrow G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}}$$

📐 变分设定

基本变分

在小因果菱形 ${\mathcal{D}}_{\ell }(p)$ 上，广义熵为：

$$S_{\text{gen}}=\frac{A(S_{\ell })}{4G\hslash }+S_{\text{out}}^{\text{ren}}-\frac{\Lambda }{8\pi G}\frac{V(B_{\ell })}{T}$$

约束条件：

1. 固定端点：$p^{-}$ 和 $p^{+}$ 不变
2. 固定体积：$\delta V(B_{\ell })=0$
3. 固定温度：$\delta T=0$（一阶层面）

变分泛函：

$$\delta S_{\text{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\text{out}}^{\text{ren}}$$

IGVP原理：

$$\boxed{\delta S_{\text{gen}}=0}$$

graph TB
    S["广义熵<br/>S_gen = A/4Gℏ + S_out"] --> V["变分（固定体积）<br/>δS_gen"]

    V --> G["几何贡献<br/>δA/4Gℏ"]
    V --> Q["量子贡献<br/>δS_out"]

    G --> R["Raychaudhuri方程<br/>δA ~ -∫ λR_kk dλ dA"]
    Q --> M["模块理论<br/>δS_out ~ ∫ λT_kk dλ dA"]

    R --> E["变分为零<br/>δS_gen = 0"]
    M --> E

    E --> F["族约束<br/>∫ λ(R_kk - 8πGT_kk) = o(ℓ²)"]

    style S fill:#e1f5ff
    style E fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style F fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

🔧 面积变分的计算

从Raychaudhuri到面积

回顾Raychaudhuri方程的积分形式（已在上一篇推导）：

$$\frac{\delta A}{4G\hslash }=-\frac{1}{4G\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}(\lambda )d\lambda dA+O({\epsilon }^2)$$

其中：

• $\mathcal{H}$：腰面 $S_{\ell }$
• $\lambda$：沿零测地线的仿射参数
• ${\lambda }_{\ast }\sim \ell$：上限
• $dA$：腰面的面积元
• $O({\epsilon }^2)$：剪切和扩张的高阶贡献

关键洞察：面积变化直接关联曲率在零方向上的积分！

误差控制

在小钻石极限 $\ell \to 0$，误差项为：

$$\left|\delta A+{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda dA\right|\le C_d{\epsilon }^3{\ell }^{d-2}$$

其中 $C_d=C_d(C_R,C_{\nabla R},C_{\mathcal{C}};d)$ 是几何常数。

要点：

• 主项正比于 ${\ell }^{d-2}$（面积标度）
• 误差是 $O({\epsilon }^3)$（三阶小量）
• $\epsilon =\ell /L_{\text{curv}}\ll 1$

⚛️ 量子场熵变分

模块理论的结果

在Hadamard态和近似KMS条件下，量子场熵的变分满足一阶律：

$$\delta S_{\text{out}}^{\text{ren}}=\frac{\delta ⟨K_{\chi }⟩}{T}+O({\epsilon }^2)$$

其中：

• $K_{\chi }$：模哈密顿量（modular Hamiltonian）
• $T=\hslash |{\kappa }_{\chi }|/(2\pi )$：Unruh温度
• ${\kappa }_{\chi }$：近似Killing场 ${\chi }^a$ 的表面引力

模哈密顿量的局域化

在小因果菱形上，模哈密顿量可以局域化为：

$$K_{\chi }={\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}2\pi \lambda T_{kk}(\lambda )d\lambda dA+O({\epsilon }^2)$$

其中：

• $T_{kk}:=T_{ab}{k}^a{k}^b$：应力张量沿零方向的分量
• 权重 $2\pi \lambda$：来自Rindler几何

物理意义：模哈密顿量是应力张量在因果视界附近的加权积分！

graph LR
    K["模哈密顿量<br/>K_χ"] --> T["应力张量积分<br/>∫ λT_kk dλ dA"]
    T --> S["熵变分<br/>δS_out = δK_χ/T"]

    S --> F["一阶律<br/>δS_out ~ ∫ λT_kk dλ dA"]

    style K fill:#e1f5ff
    style F fill:#ffe1e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

变分公式

因此：

$$\delta S_{\text{out}}^{\text{ren}}=\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda T_{kk}(\lambda )d\lambda dA+O({\epsilon }^2)$$

或者简记为：

$$\delta S_{\text{out}}=\frac{\delta Q}{T}$$

其中 $\delta Q=2\pi \int \lambda T_{kk}d\lambda dA$ 是“热量“变化。

⚖️ 合并变分：族约束

一阶极值条件

将两项合并：

$$\delta S_{\text{gen}}=\frac{\delta A}{4G\hslash }+\delta S_{\text{out}}^{\text{ren}}=0$$

代入显式表达式：

$$-\frac{1}{4G\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda R_{kk}d\lambda dA+\frac{2\pi }{\hslash }{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda T_{kk}d\lambda dA=O({\epsilon }^2)$$

简化（$\hslash =1$ 单位制，$4G\cdot 2\pi =8\pi G$）：

$$\boxed{{\int }_{\mathcal{H}}{\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda (R_{kk}-8\pi G{T}_{kk})d\lambda dA=o({\ell }^{d-2})}$$

这就是族约束（family constraint）！

族约束的含义

对所有小因果菱形 ${\mathcal{D}}_{\ell }(p)$（当 $\ell$ 足够小），上述积分为 $o({\ell }^{d-2})$。

问题：如何从这个积分条件（对一族菱形成立）推出点态方程 $R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}$ 在每个点成立？

答案：Radon型闭包！

graph TB
    F["族约束<br/>∀ 小菱形: ∫ λ(R_kk - 8πGT_kk) = o(ℓ²)"] --> L["局域化<br/>测试函数 φ ∈ C_c^∞(S_ℓ)"]

    L --> R["加权光线变换<br/>ℒ_λ[f](p,k̂) = ∫ λf dλ"]

    R --> I["局部可逆性<br/>ℒ_λ[f] = 0 ⇒ f(p) = 0"]

    I --> P["点态方程<br/>R_kk = 8πGT_kk"]

    style F fill:#e1f5ff
    style R fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style P fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🔬 Radon型闭包：从族到点

加权光线变换

对函数 $f:{\mathcal{D}}_{\ell }\to \mathbb{R}$，定义加权光线变换：

$${\mathcal{L}}_{\lambda }[f](p,\hat{k}):={\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda f({\gamma }_{p,\hat{k}}(\lambda ))d\lambda$$

其中 ${\gamma }_{p,\hat{k}}$ 是从 $p$ 沿方向 $\hat{k}$ 的零测地线。

物理意义：沿光线的加权平均，权重为 $\lambda$（与Rindler温度对偶）。

小域展开

在小钻石中，Taylor展开：

$${\mathcal{L}}_{\lambda }[f](p,\hat{k})=\frac{1}{2}{\lambda }_{\ast }^{2}f(p)+O({\lambda }_{\ast }^3|\nabla f{|}_{\infty })$$

关键：主项正比于 $f(p)$！

逆问题：如果 ${\mathcal{L}}_{\lambda }[f]=o({\ell }^2)$ 对所有方向 $\hat{k}$ 成立，能否推出 $f(p)=0$？

局部可逆性定理

定理（零测地一阶矩局部可逆性）：

在 $p$ 的正规邻域内，若：

1. 无共轭点（no conjugate points）
2. 零测地丛横截空间光滑

则加权光线变换 ${\mathcal{L}}_{\lambda }$ 在 $p$ 点局部可逆：

$${\mathcal{L}}_{\lambda }[f](p,\hat{k})=o({\ell }^2)\forall \hat{k}\Rightarrow f(p)=0$$

证明思路：

• 利用Fubini定理分离空间和“时间“方向
• 用mollifier逼近Dirac $\delta$ 函数
• 在小尺度下，光线变换类似于Radon变换的一阶矩
• 一阶矩数据足以重建 $f$ 在 $p$ 点的值

应用到族约束

取 $f=R_{kk}-8\pi G{T}_{kk}$，族约束告诉我们：

$${\int }_{S_{\ell }}\phi (x){\int }_0^{{\lambda }_{\ast }}\lambda f({\gamma }_{p,\hat{k}}(\lambda ))d\lambda dA=o({\ell }^2)$$

对所有测试函数 $\phi \in C_c^{\infty }(S_{\ell })$ 成立。

局域化引理保证这等价于：

$${\mathcal{L}}_{\lambda }[f](p,\hat{k})=o({\ell }^2)\forall \hat{k}$$

由局部可逆性：

$$f(p)=R_{kk}(p)-8\pi G{T}_{kk}(p)=0$$

结论：

$$\boxed{R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}\text{对所有零方向 }{k}^a}$$

这是零方向Einstein方程！

🎯 张量化：从零方向到完整方程

零锥刻画引理

引理（$d\ge 3$ 必要）：

设 $X_{ab}$ 是光滑对称张量。如果对所有零向量 $k^a$ 都有：

$$X_{ab}{k}^a{k}^b=0$$

则必有：

$$X_{ab}=\Phi g_{ab}$$

其中 $\Phi$ 是某个标量函数。

证明思路：

• 在 $d\ge 3$ 维，零锥张成整个切空间
• 任何对称张量可分解为迹部分和无迹部分
• 零锥约束完全确定无迹部分为零

注：$d=2$ 时此引理不成立，Einstein方程退化！

应用Bianchi恒等式

定义：

$$X_{ab}:=R_{ab}-8\pi G{T}_{ab}$$

我们已经证明了 $X_{ab}{k}^a{k}^b=0$ 对所有 $k$ 成立，故：

$$X_{ab}=\Phi g_{ab}$$

利用Bianchi恒等式：

$${\nabla }^a{R}_{ab}=\frac{1}{2}{\nabla }_{b}R$$

利用能量-动量守恒：

$${\nabla }^a{T}_{ab}=0$$

因此：

$${\nabla }^a{X}_{ab}={\nabla }^a{R}_{ab}-8\pi G{\nabla }^a{T}_{ab}=\frac{1}{2}{\nabla }_{b}R$$

但由 $X_{ab}=\Phi g_{ab}$：

$${\nabla }^a{X}_{ab}={\nabla }^a(\Phi g_{ab})={\nabla }_b\Phi$$

比较两式：

$${\nabla }_b\Phi =\frac{1}{2}{\nabla }_{b}R$$

即：

$${\nabla }_b\left(\Phi -\frac{1}{2}R\right)=0$$

因此 $\Phi -\frac{1}{2}R$ 是常数，记为 $-\Lambda$：

$$\Phi =\frac{1}{2}R-\Lambda$$

Einstein方程

代回 $X_{ab}=\Phi g_{ab}$：

$$R_{ab}-8\pi G{T}_{ab}=\left(\frac{1}{2}R-\Lambda \right)g_{ab}$$

整理：

$$R_{ab}-\frac{1}{2}R{g}_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$$

即：

$$\boxed{G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}}$$

这就是带宇宙学常数的Einstein场方程！

graph TB
    Z["零方向方程<br/>R_kk = 8πGT_kk ∀k"] --> L["零锥刻画引理<br/>X_ab = Φg_ab"]

    L --> B["Bianchi恒等式<br/>∇^a R_ab = ½∇_b R"]
    L --> C["能量守恒<br/>∇^a T_ab = 0"]

    B --> N["导数约束<br/>∇_b(Φ - ½R) = 0"]
    C --> N

    N --> LA["宇宙学常数<br/>Λ := ½R - Φ"]

    LA --> E["Einstein方程<br/>G_ab + Λg_ab = 8πGT_ab"]

    style Z fill:#e1f5ff
    style L fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🌟 完整推导链总结

让我们回顾整个推导过程：

第1步：定义广义熵

$$S_{\text{gen}}=\frac{A}{4G\hslash }+S_{\text{out}}$$

第2步：变分设定

在小因果菱形上，固定体积，令 $\delta S_{\text{gen}}=0$。

第3步：计算面积变分

用Raychaudhuri方程：

$$\frac{\delta A}{4G\hslash }=-\frac{1}{4G\hslash }\int \lambda R_{kk}d\lambda dA$$

第4步：计算场熵变分

用模块理论：

$$\delta S_{\text{out}}=\frac{2\pi }{\hslash }\int \lambda T_{kk}d\lambda dA$$

第5步：族约束

合并得：

$$\int \lambda (R_{kk}-8\pi G{T}_{kk})d\lambda dA=o({\ell }^{d-2})$$

第6步：Radon型闭包

用加权光线变换的局部可逆性：

$$R_{kk}=8\pi G{T}_{kk}\forall k$$

第7步：张量化

用零锥刻画引理 + Bianchi恒等式：

$$G_{ab}+\Lambda g_{ab}=8\pi G{T}_{ab}$$

完成！

graph TB
    S1["步骤1: 广义熵<br/>S_gen = A/4Gℏ + S_out"] --> S2["步骤2: 变分原理<br/>δS_gen = 0 (固定V)"]

    S2 --> S3["Step 3: Raychaudhuri<br/>δA ~ -∫ λR_kk dλ dA"]
    S2 --> S4["步骤4: 模块理论<br/>δS_out ~ ∫ λT_kk dλ dA"]

    S3 --> S5["步骤5: 族约束<br/>∫ λ(R_kk - 8πGT_kk) = o(ℓ²)"]
    S4 --> S5

    S5 --> S6["步骤6: Radon闭包<br/>R_kk = 8πGT_kk ∀k"]

    S6 --> S7["步骤7: 零锥刻画<br/>R_ab - 8πGT_ab = Φg_ab"]

    S7 --> S8["Step 8: Bianchi<br/>∇_b(Φ - ½R) = 0"]

    S8 --> S9["步骤9: Einstein方程<br/>G_ab + Λg_ab = 8πGT_ab"]

    style S1 fill:#e1f5ff
    style S5 fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style S6 fill:#ffe1e1
    style S9 fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

💡 物理洞察

熵是基本的

传统视角：Einstein方程是基本公理 → 黑洞熵是导出结果

IGVP视角：广义熵是基本泛函 → Einstein方程是变分结果

$$\text{熵极值}\Rightarrow \text{引力场方程}$$

引力可视作热力学现象

Einstein方程在此框架下可以理解为：

$$\underset{\text{几何熵变}}{\underbrace{\frac{\delta A}{4G\hslash }}}+\underset{\text{热力学第一定律}}{\underbrace{\frac{\delta Q}{T}}}=0$$

这类似于热平衡条件。

局域性的体现

从局域熵极值（小因果菱形）推导出点态场方程，这一过程突显了引力的局域特性。

宇宙学常数的涌现

$\Lambda$ 在此推导中并非事先假设，而是作为变分过程中的积分常数自然涌现。

它的物理意义可以解释为体积约束的对偶变量。

📝 关键公式速查

🎓 深入阅读

• Jacobson原始推导：T. Jacobson, “Thermodynamics of spacetime” (1995)
• Radon变换：S. Helgason, The Radon Transform (Birkhäuser, 1999)
• GLS完整证明：igvp-einstein-complete.md
• 上一篇：03-raychaudhuri-equation.md - Raychaudhuri方程
• 下一篇：05-second-order-variation.md - 二阶变分与稳定性

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么族约束中的权重是 $\lambda$ 而不是常数？
   • Radon型闭包的“局部可逆性“是什么意思？
   • 零锥刻画引理为什么要求 $d\ge 3$？

2. 推导练习：

   • 验证 $X_{ab}=\Phi g_{ab}$ 蕴含 ${\nabla }^a{X}_{ab}={\nabla }_b\Phi$
   • 从Bianchi恒等式推导 ${\nabla }^a{G}_{ab}=0$
   • 在 $d=4$ 时，检验宇宙学常数的单位

3. 物理应用：

   • 如果 $T_{ab}=0$（真空），Einstein方程变成什么？
   • Schwarzschild解如何满足 $\delta S_{\text{gen}}=0$？
   • 为什么说引力是“热力学现象“？

4. 进阶思考：

   • 如果不固定体积，变分会得到什么方程？
   • 高阶引力理论（如 $f(R)$）的IGVP推导如何修改？
   • IGVP能否推导Lovelock方程？（提示：用Wald熵）

下一步：一阶变分给出场方程，但稳定性如何保证？让我们进入二阶变分的世界！