二阶变分：稳定性的保证

“极值不足以决定物理，还需要稳定性。”

🎯 为什么需要二阶变分？

一阶变分 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 给出Einstein方程，但这只是必要条件。

关键问题：

• 这个极值是极大还是极小？
• 解是否稳定？
• 小扰动会不会导致发散？

答案：需要检查二阶变分！

经典类比：单摆

考虑单摆的势能：

$$V(\theta )=-mgl\cos \theta$$

极值点：

• $\theta =0$（下垂）：$V^{\prime }=0$，且 $V^{\prime \prime }>0$（稳定极小值）
• $\theta =\pi$（倒立）：$V^{\prime }=0$，但 $V^{\prime \prime }<0$（不稳定极大值）

      ↑
     / \    不稳定（V'' < 0）
    /   \
   |  O  |
   |  |  |  稳定（V'' > 0）
   --------

物理实在：只有 $V^{\prime \prime }>0$ 的极值才是物理可实现的稳定态！

IGVP的二阶条件

类似地，IGVP要求：

1. 一阶条件：$\delta S_{\text{gen}}=0$ → Einstein方程
2. 二阶条件：${\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0$ → 稳定性

graph TB
    I["IGVP变分原理"] --> F["一阶层<br/>δS_gen = 0"]
    I --> S["二阶层<br/>δ²S_rel ≥ 0"]

    F --> E["Einstein方程<br/>G_ab + Λg_ab = 8πGT_ab"]
    S --> H["Hollands-Wald<br/>稳定性"]

    E --> P["必要条件<br/>（极值）"]
    H --> C["充分条件<br/>（稳定极值）"]

    style I fill:#e1f5ff
    style F fill:#fff4e1
    style S fill:#ffe1e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style E fill:#e1ffe1
    style H fill:#e1ffe1

📐 相对熵

定义

相对熵（relative entropy）是信息几何中测量两个态“距离“的核心概念。

对两个量子态 $\rho$ 和 $\sigma$，定义：

$$S(\rho ||\sigma ):=\text{tr}(\rho \ln \rho )-\text{tr}(\rho \ln \sigma )$$

性质：

1. 非负性：$S(\rho ||\sigma )\ge 0$（Klein不等式）
2. 为零当且仅当：$S(\rho ||\sigma )=0\iff \rho =\sigma$
3. 单调性：对完全正映射 $\Phi$，$S(\Phi (\rho )||\Phi (\sigma ))\le S(\rho ||\sigma )$

几何解释

相对熵是信息几何中的“距离平方“：

$$S(\rho ||\sigma )\approx \frac{1}{2}{g}_{ij}\Delta {\theta }^i\Delta {\theta }^j$$

其中 $g_{ij}$ 是Fisher信息矩阵（度规）。

二阶展开：

$$S({\rho }_0+\delta \rho ||{\rho }_0)\approx \frac{1}{2}{\delta }^2{S}_{\text{rel}}$$

其中 ${\delta }^2{S}_{\text{rel}}$ 是相对熵的Hessian（二阶变分）。

graph LR
    R0["参考态 ρ₀"] --> D["扰动<br/>ρ = ρ₀ + δρ"]
    D --> S["相对熵<br/>S(ρ||ρ₀)"]

    S --> O["一阶：δS = 0<br/>（极值）"]
    S --> T["二阶：δ²S ≥ 0<br/>（稳定）"]

    style R0 fill:#e1f5ff
    style T fill:#ffe1e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

⚛️ 广义相对熵

IGVP中的相对熵

在IGVP框架中，考虑广义相对熵：

$$S_{\text{rel}}:=S_{\text{gen}}(\text{扰动态})-S_{\text{gen}}(\text{参考态})$$

展开：

$$S_{\text{rel}}=\left[\frac{A^{\prime }}{4G\hslash }+S_{\text{out}}^{\prime }({\rho }^{\prime })\right]-\left[\frac{A}{4G\hslash }+S_{\text{out}}(\rho )\right]$$

二阶展开

对小扰动 $\delta g_{ab}$ 和 $\delta \rho$：

$$S_{\text{rel}}=\underset{=0\text{ （一阶极值）}}{\underbrace{\delta S_{\text{gen}}}}+\frac{1}{2}{\delta }^2{S}_{\text{rel}}+O({\delta }^3)$$

稳定性要求：

$$\boxed{{\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0}$$

物理意义：扰动不能降低广义熵，这为极值是稳定的极小值提供了理论保障。

🔧 Hollands-Wald规范能量

定义

Hollands和Wald（2013）在研究线性化引力稳定性时，定义了规范能量（canonical energy）：

$${\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]:={\int }_{\Sigma }{\mathcal{E}}^{\mu \nu }{h}_{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{d}x$$

其中：

• $h_{\mu \nu }$：度规扰动
• $\Sigma$：Cauchy超曲面
• ${\mathcal{E}}^{\mu \nu }$：规范能量密度（由引力哈密顿量变分给出）

性质：

1. 非负性：在适当边界条件下，${\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]\ge 0$
2. 守恒性：沿演化不变（在场方程成立时）
3. 规范不变性：对纯规范模 $h={\mathcal{L}}_{\xi }g$，${\mathcal{E}}_{\text{can}}=0$

物理意义

${\mathcal{E}}_{\text{can}}$ 测量引力扰动的能量。

$${\mathcal{E}}_{\text{can}}\ge 0\iff \text{引力波携带正能量}$$

稳定性判据：如果对所有允许的扰动都有 ${\mathcal{E}}_{\text{can}}\ge 0$，则背景解通常被认为是线性稳定的。

graph TB
    B["背景解<br/>g_ab"] --> P["扰动<br/>g_ab + h_ab"]

    P --> L["线性化Einstein方程<br/>δG_ab = 8πGδT_ab"]

    L --> E["规范能量<br/>𝓔_can[h,h]"]

    E --> S["非负性<br/>𝓔_can ≥ 0"]

    S --> ST["稳定！"]

    style B fill:#e1f5ff
    style E fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style ST fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

🔗 JLMS等价性

JLMS关系

Jafferis, Lewkowycz, Maldacena, Suh（2016）提出了一个深刻的等价关系：

在适当条件下（球形区域，真空态附近，固定边界条件）：

$$\boxed{{\delta }^2{S}_{\text{rel}}={\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]}$$

意义：相对熵的二阶变分在特定条件下等同于Hollands-Wald规范能量。

证明思路

步骤1：模哈密顿量变分

$${\delta }^2{S}_{\text{out}}=\frac{{\delta }^2⟨K_{\chi }⟩}{T}$$

其中 $K_{\chi }$ 是模哈密顿量。

步骤2：$K_{\chi }$ 与哈密顿量的关系

在小因果菱形上，$K_{\chi }$ 可以表示为边界哈密顿量的积分。

步骤3：边界-体域对偶

利用AdS/CFT或全息原理，边界模哈密顿量对应于体域的规范能量。

步骤4：识别

$${\mathcal{F}}_Q:=\frac{{\delta }^2⟨K_{\chi }⟩}{T}={\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]$$

条件

JLMS等价成立需要：

1. Code subspace：扰动满足 $\delta M=\delta J=\delta P=0$（守恒荷不变）
2. 边界条件：Dirichlet类边界条件，固定诱导度规
3. 无外流：辛流无外泄 ${\int }_{\partial \Sigma }{\iota }_n\omega =0$
4. 规范固定：采用Killing或协变谐规范

在这些条件下：

$${\delta }^2{S}_{\text{rel}}={\mathcal{F}}_Q={\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]\ge 0$$

graph TB
    S["相对熵二阶变分<br/>δ²S_rel"] --> M["模哈密顿变分<br/>δ²⟨K_χ⟩"]

    M --> F["量子Fisher信息<br/>𝓕_Q"]

    F --> J["JLMS识别<br/>𝓕_Q = 𝓔_can"]

    J --> E["规范能量<br/>𝓔_can[h,h]"]

    E --> N["非负性<br/>𝓔_can ≥ 0"]

    style S fill:#e1f5ff
    style J fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px
    style N fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

🌊 QNEC：备选判据

量子零能量条件

如果不使用JLMS等价（例如，在不满足其条件的情形），可以用量子零能量条件（Quantum Null Energy Condition, QNEC）作为备选。

QNEC（Bousso等，2016）：

$$⟨T_{kk}(x){⟩}_{\psi }\ge \frac{\hslash }{2\pi }\frac{d^2{S}_{\text{out}}}{d{\lambda }^2}(x)$$

其中：

• $T_{kk}:=T_{ab}{k}^a{k}^b$：应力张量沿零方向
• $\lambda$：零测地线的仿射参数
• $S_{\text{out}}$：边界外侧的纠缠熵

二阶形状导数

QNEC的二阶形状导数给出非负二次型：

$$\boxed{{\mathcal{Q}}_{\text{QNEC}}[h,h]:={\int }_{\mathcal{H}}\frac{\hslash }{2\pi }\frac{{\partial }^2}{\partial {\lambda }^2}\left(\frac{{\delta }^2{S}_{\text{out}}}{A_{\perp }}\right)dA\ge 0}$$

优点：

• 不依赖JLMS识别
• 在更广泛的情形下成立（CFT中已严格证明）
• 与一阶链兼容

缺点：

• 形状导数的计算技术要求高
• 与 ${\mathcal{E}}_{\text{can}}$ 的一致性需要额外验证

📊 两条独立链

逻辑结构

IGVP推导分为两条逻辑独立的链：

链A（热力学-几何光学）：

广义熵变分 δS_gen = 0
    ↓
族约束 ∫ λ(R_kk - 8πGT_kk) = 0
    ↓
Radon闭包
    ↓
零方向方程 R_kk = 8πGT_kk
    ↓
张量化（零锥刻画 + Bianchi）
    ↓
Einstein方程 G_ab + Λg_ab = 8πGT_ab

链B（纠缠-相对熵）：

相对熵非负 δ²S_rel ≥ 0
    ↓
JLMS识别（或QNEC）
    ↓
规范能量非负 𝓔_can ≥ 0
    ↓
线性稳定性

关键：

• 链A给出场方程（一阶）
• 链B给出稳定性（二阶）
• 两者逻辑独立但物理统一

graph TB
    subgraph "链A：场方程"
        A1["δS_gen = 0"] --> A2["族约束"]
        A2 --> A3["R_kk = 8πGT_kk"]
        A3 --> A4["G_ab + Λg_ab = 8πGT_ab"]
    end

    subgraph "链B：稳定性"
        B1["δ²S_rel ≥ 0"] --> B2["JLMS / QNEC"]
        B2 --> B3["𝓔_can ≥ 0"]
        B3 --> B4["线性稳定"]
    end

    A4 --> U["完整IGVP"]
    B4 --> U

    style A1 fill:#e1f5ff
    style B1 fill:#ffe1e1
    style A4 fill:#fff4e1
    style B4 fill:#e1ffe1
    style U fill:#e1ffe1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

💡 物理意义

极值≠物理

一阶极值 $\delta S_{\text{gen}}=0$ 只是必要条件。

物理实在的解通常被认为是稳定极值：

$$\delta S_{\text{gen}}=0\text{且}{\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0$$

类比：

• 热力学：平衡态是熵的极大值（$\delta S=0$, ${\delta }^{2}S<0$）
• 力学：稳定平衡是势能的极小值（$\delta V=0$, ${\delta }^{2}V>0$）
• IGVP：稳定引力是广义熵的极小值（$\delta S_{\text{gen}}=0$, ${\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0$）

引力波携带正能量

${\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]\ge 0$ 意味着：

引力扰动（引力波）通常携带非负能量

这是物理一致性的基本要求。

量子能量条件

QNEC给出量子修正的能量条件：

$$T_{kk}\ge \frac{\hslash }{2\pi }\frac{d^2{S}_{\text{out}}}{d{\lambda }^2}$$

意义：

• 经典能量条件（$T_{kk}\ge 0$）可以被量子效应违反
• 但违反是有界的，界由纠缠熵的变化给出

📝 关键定理总结

定理5.1（条件版）

假设：

1. 线性化Einstein方程成立（来自链A）
2. Code subspace：$\delta M=\delta J=\delta P=0$
3. Dirichlet边界条件 + 无外流
4. 规范固定

则（在JLMS识别成立的前提下）：

$${\delta }^2{S}_{\text{rel}}={\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]\ge 0$$

结论：Einstein方程的解是线性稳定的。

定理5.2（无对偶版）

假设：

1. 线性化Einstein方程成立
2. 边界无外流

则（使用QNEC）：

$${\mathcal{Q}}_{\text{QNEC}}[h,h]={\int }_{\mathcal{H}}\frac{\hslash }{2\pi }{\partial }_{\lambda }^2\left(\frac{{\delta }^2{S}_{\text{out}}}{A_{\perp }}\right)dA\ge 0$$

结论：提供与一阶链兼容的普适稳定性判据。

🎓 深入阅读

• Hollands-Wald原始论文：S. Hollands, R.M. Wald, “Stability of black holes and black branes” (CMP 321, 629, 2013)
• JLMS关系：D. Jafferis et al., “Relative entropy equals bulk relative entropy” (JHEP 06, 004, 2016)
• QNEC：R. Bousso et al., “Proof of the QNEC” (PRD 93, 024017, 2016)
• GLS完整推导：igvp-einstein-complete.md
• 上一篇：04-first-order-variation.md - 一阶变分
• 下一篇：06-igvp-summary.md - IGVP总结

🤔 练习题

1. 概念理解：

   • 为什么一阶极值不足以保证物理稳定性？
   • 相对熵的非负性（Klein不等式）如何证明？
   • Hollands-Wald规范能量与ADM能量有什么关系？

2. 计算练习：

   • 对Schwarzschild黑洞，计算线性化Einstein方程
   • 验证纯规范模 $h={\mathcal{L}}_{\xi }g$ 满足 ${\mathcal{E}}_{\text{can}}[h,h]=0$
   • 在平直时空中，计算QNEC右侧项

3. 物理应用：

   • QNEC如何在CFT中验证？
   • 黑洞Hawking辐射如何满足 ${\delta }^2{S}_{\text{rel}}\ge 0$？
   • Code subspace条件的物理意义是什么？

4. 进阶思考：

   • 如果 ${\delta }^2{S}_{\text{rel}}<0$，会发生什么？
   • JLMS等价在哪些情形下可能失效？
   • 能否从二阶变分直接推导Einstein方程（不经过一阶）？

下一步：我们已经完成了IGVP的核心推导。让我们在总结中回顾完整图景！