GHY边界项：使引力作用良定的必要补充

“边界项被视为完备性的要求，而非简单的修正。”

🎯 核心问题

问题：为什么Einstein-Hilbert作用需要边界项？

简短答案：因为单独的体作用在固定边界度规下通常变分不良定。

本篇目标：

1. 理解为什么需要GHY边界项
2. 完整推导GHY项的形式
3. 验证边界项的抵消机制
4. 推广到分段边界和零类边界

💡 直观图像：积分分部的必然性

比喻：房间的粉刷

想象你要粉刷房间：

只看体积（体作用）：

• 计算需要多少油漆
• 公式：体积 × 厚度
• 但变分时…墙壁会“出血“！

加上墙壁（边界项）：

• 墙壁吸收“出血“
• 边界条件变得自然
• 变分良定

graph TB
    PAINT["粉刷房间"] --> VOL["体积积分<br/>S_EH"]
    PAINT --> WALL["墙壁处理<br/>S_GHY"]

    VOL --> VAR1["变分"]
    VAR1 --> BLEED["✗ 边界'出血'<br/>含 n·∇δg"]

    WALL --> VAR2["补偿"]
    VAR2 --> ABSORB["✓ 吸收出血<br/>抵消 n·∇δg"]

    BLEED -.->|"需要"| ABSORB

    style BLEED fill:#ffe1e1
    style ABSORB fill:#e1ffe1

数学本质：

• Einstein方程是二阶微分方程
• 作用量包含一阶导数的平方（$\Gamma \cdot \Gamma \sim (\partial g{)}^2$）
• 变分时分部积分产生边界项
• 不加边界项，边界有“不可控“的导数项

📜 Einstein-Hilbert作用的变分

原始作用量

$$S_{\mathrm{EH}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}\sqrt{-g}R{\mathrm{d}}^{4}x$$

其中：

• $g=\det (g_{\mu \nu })$
• $R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$：Ricci标量
• $G$：Newton引力常数

变分的三个步骤

步骤1：度规行列式的变分

$$\delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

推导： $$\delta g=g{g}^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }=-g{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

步骤2：Ricci标量的变分

这是关键！Ricci标量包含Christoffel符号：

$$R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }\left({\partial }_{\rho }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\rho }+{\Gamma }_{\rho \sigma }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \nu }^{\sigma }-{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \rho }^{\sigma }\right)$$

变分得到：

$$\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }$$

Palatini恒等式：

$$g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }={\nabla }_{\mu }\left(g^{\alpha \beta }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }-g^{\mu \alpha }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\beta }\right)$$

这是全散度！

步骤3：总变分

$$\delta S_{\mathrm{EH}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}\sqrt{-g}\left[R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }\right]\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x+\boxed{\text{引力作用的可微性}\leftarrow \text{边界项决定}}$$

体域项给出Einstein张量 $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }$，这很好！

问题：边界项是什么？

边界项的显式形式

使用Stokes定理：

$${\int }_{\mathcal{M}}{\nabla }_{\mu }{V}^{\mu }\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^{4}x={\int }_{\partial \mathcal{M}}{V}^{\mu }{n}_{\mu }\sqrt{|h|}{\mathrm{d}}^{3}x$$

其中 $n^{\mu }$ 是单位法向向量，$h$ 是诱导度规的行列式。

边界项变为：

$$\delta S_{\mathrm{EH}}^{\mathrm{boundary}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}{n}^{\mu }{\left(g^{\alpha \beta }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\rho }-g^{\rho \alpha }\delta {\Gamma }_{\alpha \beta }^{\beta }\right)}_{\rho =\mu }{\mathrm{d}}^{3}x$$

graph TB
    EH["Einstein-Hilbert<br/>S_EH = ∫√(-g) R"] --> VAR["变分 δS_EH"]

    VAR --> BULK["体域项<br/>∫√(-g) G_μν δg^μν"]
    VAR --> BOUND["边界项<br/>∫√|h| (...)"]

    BULK --> GOOD["✓ Einstein方程"]
    BOUND --> BAD["✗ 含 n·∇δg"]

    style BULK fill:#e1ffe1
    style BOUND fill:#ffe1e1

🔍 边界项的详细分析

投影到切向和法向

将边界项分解为切向和法向：

$$h_{\mu }{}^{\nu }={\delta }_{\mu }{}^{\nu }-\epsilon n_{\mu }{n}^{\nu },\epsilon =n^{\mu }{n}_{\mu }\in \{\pm 1\}$$

• $\epsilon =-1$：类空边界（初末时间片）
• $\epsilon =+1$：类时边界（空间边界）

经过繁复的指标操作（见附录A），边界项可写为：

$$\delta S_{\mathrm{EH}}^{\mathrm{boundary}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left[{\Pi }^{ab}\delta h_{ab}+n^{\rho }{h}^{\mu \alpha }{h}^{\nu \beta }{\nabla }_{\rho }\delta g_{\alpha \beta }\right]{\mathrm{d}}^{3}x$$

其中：

• ${\Pi }^{ab}=K^{ab}-K{h}^{ab}$（与外挠曲率相关的“动量“）
• 第二项是不可控的法向导数项！

不良定性的本质

问题：固定诱导度规 $h_{ab}$ 时，$\delta h_{ab}=0$，但：

$$n^{\rho }{h}^{\mu \alpha }{h}^{\nu \beta }{\nabla }_{\rho }\delta g_{\alpha \beta }\ne 0$$

这意味着：

1. 需要固定 $n^{\rho }{\nabla }_{\rho }{g}_{\alpha \beta }$（法向导数）
2. 这是非自然的边界条件
3. Hamilton量不可微

graph LR
    FIX["固定边界条件"] --> H["固定 h_ab"]
    FIX --> DERIV["需要固定<br/>n·∇g ?"]

    H --> NAT["✓ 自然"]
    DERIV --> UNNAT["✗ 不自然"]

    style NAT fill:#e1ffe1
    style UNNAT fill:#ffe1e1

⭐ GHY边界项：完美的解决方案

Gibbons-Hawking-York项

定义：

$$\boxed{S_{\mathrm{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}K{\mathrm{d}}^{3}x}$$

其中：

• $K=h^{ab}{K}_{ab}$：外挠曲率的迹
• $K_{ab}=h_a{}^{\mu }{h}_b{}^{\nu }{\nabla }_{\mu }{n}_{\nu }$：外挠曲率
• $\epsilon =n^{\mu }{n}_{\mu }$：取向因子

物理意义：

• $K$ 测量边界如何“弯曲“在体域中
• $K>0$：边界向外凸
• $K<0$：边界向内凹

graph TB
    CURV["外挠曲率 K"] --> EMBED["边界嵌入<br/>体域中"]

    EMBED --> CONV["K > 0<br/>向外凸"]
    EMBED --> CONC["K < 0<br/>向内凹"]
    EMBED --> FLAT["K = 0<br/>平坦"]

    K_AB["K_ab = h^μ_a h^ν_b ∇_μ n_ν"]

    style CURV fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

GHY项的变分

关键计算：

$$\delta (\sqrt{|h|}K)=\sqrt{|h|}\left(\delta K+\frac{1}{2}K{h}^{ab}\delta h_{ab}\right)$$

其中：

$$\delta K=h^{ab}\delta K_{ab}-K^{ab}\delta h_{ab}$$

而：

$$\delta K_{ab}=h_a{}^{\mu }{h}_b{}^{\nu }\left({\nabla }_{\mu }\delta n_{\nu }+\delta {\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }{n}_{\rho }\right)$$

单位法向规范：固定嵌入，仅变度规，则：

$$\boxed{\delta n_{\mu }=\frac{1}{2}\epsilon n_{\mu }{n}^{\alpha }{n}^{\beta }\delta g_{\alpha \beta }}$$

神奇的事情发生了：

将这个代入 $\delta K_{ab}$，其中的 ${\nabla }_{\mu }\delta n_{\nu }$ 项恰好产生：

$$-\epsilon n^{\rho }{h}^{\mu \alpha }{h}^{\nu \beta }{\nabla }_{\rho }\delta g_{\alpha \beta }$$

这正好抵消 $\delta S_{\mathrm{EH}}$ 的不良定项！

✨ 抵消机制的完整证明

命题（GHY抵消机制）

对固定诱导度规 $\delta h_{ab}=0$ 的变分族：

$$\delta (S_{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{GHY}})=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}\sqrt{-g}{G}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^{4}x$$

边界项完全抵消！

证明骨架

步骤1：$\delta S_{\mathrm{EH}}$ 的边界项

$$\delta S_{\mathrm{EH}}^{\mathrm{bdy}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left[{\Pi }^{ab}\delta h_{ab}+n^{\rho }{h}^{\mu \alpha }{h}^{\nu \beta }{\nabla }_{\rho }\delta g_{\alpha \beta }\right]{\mathrm{d}}^{3}x$$

步骤2：$\delta S_{\mathrm{GHY}}$ 的计算

$$\delta S_{\mathrm{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left(\delta K+\frac{1}{2}K{h}^{ab}\delta h_{ab}\right){\mathrm{d}}^{3}x$$

$$=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left(h^{ab}\delta K_{ab}-K^{ab}\delta h_{ab}+\frac{1}{2}K{h}^{ab}\delta h_{ab}\right){\mathrm{d}}^{3}x$$

$$=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left[{\Pi }^{ab}\delta h_{ab}+h^{ab}{\nabla }_a\delta n_b\right]{\mathrm{d}}^{3}x$$

步骤3：代入 $\delta n_{\mu }$

$$h^{ab}{\nabla }_a\delta n_b=\frac{\epsilon }{2}{h}^{ab}{\nabla }_a(n_b{n}^{\alpha }{n}^{\beta }\delta g_{\alpha \beta })$$

利用投影关系和Christoffel符号的变分，这一项给出：

$$-\frac{\epsilon }{2}{n}^{\rho }{h}^{\mu \alpha }{h}^{\nu \beta }{\nabla }_{\rho }\delta g_{\alpha \beta }$$

步骤4：求和

$$\delta S_{\mathrm{EH}}^{\mathrm{bdy}}+\delta S_{\mathrm{GHY}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}2{\Pi }^{ab}\delta h_{ab}{\mathrm{d}}^{3}x$$

当 $\delta h_{ab}=0$ 时，边界项为零！

graph TB
    EH_BDY["δS_EH边界项"] --> TERM1["Π^ab δh_ab"]
    EH_BDY --> TERM2["+ n·∇δg"]

    GHY["δS_GHY"] --> COMP1["Π^ab δh_ab"]
    GHY --> COMP2["- n·∇δg"]

    SUM["求和"] --> TERM1
    SUM --> TERM2
    SUM --> COMP1
    SUM --> COMP2

    SUM --> CANCEL1["✓ n·∇δg<br/>完全抵消"]
    SUM --> REMAIN["2Π^ab δh_ab"]

    REMAIN --> FIXED["固定 h_ab<br/>⇒ δh_ab = 0"]
    FIXED --> ZERO["✓ 边界项 = 0"]

    style CANCEL1 fill:#e1ffe1
    style ZERO fill:#e1ffe1

🔢 具体例子：球面边界

设置

考虑Schwarzschild时空截断在 $r=R$：

$$\mathrm{d}{s}^2=-f(r)\mathrm{d}{t}^2+f(r{)}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\Omega }_2^2$$

其中 $f(r)=1-2M/r$。

边界 $\mathcal{B}$ 在 $r=R$ 的类时超曲面。

法向向量

外向单位法向：

$$n^{\mu }=\left(0,\sqrt{f(R)},0,0\right)$$

$$n_{\mu }=\left(0,\frac{1}{\sqrt{f(R)}},0,0\right)$$

$$\epsilon =n^{\mu }{n}_{\mu }=+1$$

（类时）

诱导度规

$$h_{ab}\mathrm{d}{x}^a\mathrm{d}{x}^b=-f(R)\mathrm{d}{t}^2+R^2\mathrm{d}{\Omega }_2^2$$

$$\sqrt{|h|}=R^2\sqrt{f(R)}\sin \theta$$

外挠曲率

计算 $K_{ab}=h_a{}^{\mu }{h}_b{}^{\nu }{\nabla }_{\mu }{n}_{\nu }$：

时间-时间分量： $$K_{tt}=-f(R){\nabla }_r{n}_t=0$$

（由对称性）

角度分量： $$K_{\theta \theta }=R^2{\nabla }_r{n}_{\theta }=R\sqrt{f(R)}$$

$$K_{\varphi \varphi }=R^2{\sin }^2\theta {\nabla }_r{n}_{\varphi }=R\sqrt{f(R)}{\sin }^2\theta$$

迹： $$K=h^{ab}{K}_{ab}=\frac{2\sqrt{f(R)}}{R}+\frac{f^{\prime }(R)}{2\sqrt{f(R)}}$$

其中我们用了： $${\nabla }_r{n}_r=\frac{1}{2}{\partial }_r\ln f(R)=\frac{f^{\prime }(R)}{2f(R)}$$

GHY项

$$S_{\mathrm{GHY}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{B}}\sqrt{|h|}K{\mathrm{d}}^{3}x$$

$$=\frac{1}{8\pi G}\int \mathrm{d}t\mathrm{d}{\Omega }_2{R}^2\sqrt{f(R)}\left[\frac{2\sqrt{f(R)}}{R}+\frac{f^{\prime }(R)}{2\sqrt{f(R)}}\right]$$

$$=\frac{1}{8\pi G}\cdot 4\pi R^2\cdot T\left[2f(R)+\frac{R{f}^{\prime }(R)}{2}\right]$$

对于大 $R$（$f\to 1$）： $$K\to \frac{2}{R}+O(M/R^2)$$

物理意义：

• $2/R$ 项：球面的固有曲率
• $M/R^2$ 项：引力场的修正

🧩 分段边界：角点项的必要性

问题：边界有“角“

当边界分段时，如初末类空片 + 类时侧边：

$$\partial \mathcal{M}={\mathcal{B}}_{\text{initial}}\cup {\mathcal{B}}_{\text{side}}\cup {\mathcal{B}}_{\text{final}}$$

在交界处（角点/关节）$\mathcal{C}$，GHY项不够！

graph TB
    BOUND["分段边界"] --> INIT["初始<br/>类空片"]
    BOUND --> SIDE["侧边<br/>类时片"]
    BOUND --> FINAL["终末<br/>类空片"]

    INIT --> CORNER1["关节 C₁"]
    SIDE --> CORNER1
    SIDE --> CORNER2["关节 C₂"]
    FINAL --> CORNER2

    CORNER1 -.->|"需要"| TERM["角点项"]
    CORNER2 -.->|"需要"| TERM

    style CORNER1 fill:#ffe1e1
    style CORNER2 fill:#ffe1e1

角点项的形式

对非零类边界的关节 ${\mathcal{C}}_{ij}$：

$$S_{\mathrm{corner}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{C}}\sqrt{\sigma }\eta {\mathrm{d}}^{2}x$$

其中 $\eta$ 是角（angle）：

• 两类空片：$\eta =\mathrm{arccosh}(-n_1\cdot n_2)$
• 两类时片：$\eta =\arccos (n_1\cdot n_2)$
• 混合：$\eta =\mathrm{arcsinh}(n_T\cdot n_S)$

物理意义：

• $\eta$ 测量两个边界片段的“夹角“
• 角点项补偿GHY项在关节处的跳跃

可加性定理

命题：加入角点项后，作用量满足可加性：

$$S[{\mathcal{M}}_1{\cup }_{\Sigma }{\mathcal{M}}_2]=S[{\mathcal{M}}_1]+S[{\mathcal{M}}_2]$$

其中 $\Sigma$ 是公共边界。

证明思路：

• 两个区域在 $\Sigma$ 处粘合
• GHY项在 $\Sigma$ 两侧符号相反，但不完全抵消（因为法向相反）
• 角点项恰好弥补这个差额

🌌 零类边界：$(\theta +\kappa )$ 结构

零类边界的特殊性

当边界是零类面（如视界）时，$n^2=0$，上述公式失效！

新的度规结构：

零类边界由零生成矢量 ${\ell }^{\mu }$ 生成（$\ell \cdot \ell =0$），配合辅助向量 $k^{\mu }$（满足 $\ell \cdot k=-1$）。

横截二维度规： $${\gamma }_{AB}\mathrm{d}{x}^A\mathrm{d}{x}^B$$

零类边界项

Lehner-Myers-Poisson-Sorkin公式：

$$\boxed{S_{\mathcal{N}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{N}}\sqrt{\gamma }(\theta +\kappa )\mathrm{d}\lambda {\mathrm{d}}^{2}x}$$

其中：

• $\theta ={\gamma }^{AB}{W}_{AB}$：膨胀（expansion）
• $W_{AB}={\gamma }_A{}^{\mu }{\gamma }_B{}^{\nu }{\nabla }_{\mu }{\ell }_{\nu }$：形算子
• $\kappa =-k_{\mu }{\ell }^{\nu }{\nabla }_{\nu }{\ell }^{\mu }$：表面引力
• $\lambda$：沿 $\ell$ 的仿射参数

物理意义：

• $\theta$：零测地线束的膨胀率
• $\kappa$：视界的“加速度“

重标度不变性

关键性质：在常数重标度 $\ell \to e^{\alpha }\ell$、$k\to e^{-\alpha }k$ 下：

$$\theta \to e^{\alpha }\theta ,\kappa \to e^{\alpha }\kappa$$

$$\int \sqrt{\gamma }(\theta +\kappa )\mathrm{d}\lambda \to \int \sqrt{\gamma }{e}^{\alpha }(\theta +\kappa )e^{-\alpha }\mathrm{d}{\lambda }^{\prime }=\text{不变}$$

这保证了物理的规范不变性！

📊 三类边界的统一

统一公式：

$$S_{\mathrm{total}}=S_{\mathrm{EH}}+\sum _i{S}_{\mathrm{boundary}}^{(i)}+\sum _{ij}{S}_{\mathrm{corner}}^{(ij)}$$

graph TB
    ACTION["总作用量<br/>S_total"] --> EH["Einstein-Hilbert<br/>∫√(-g) R"]
    ACTION --> BDY["边界项"]
    ACTION --> CORNER["角点项"]

    BDY --> SPACE["类空<br/>-∫√|h| K"]
    BDY --> TIME["类时<br/>+∫√|h| K"]
    BDY --> NULL["零类<br/>∫√γ (θ+κ)dλ"]

    CORNER --> NN["非零-非零<br/>∫√σ η"]
    CORNER --> NL["非零-零类<br/>∫√σ a"]
    CORNER --> LL["零类-零类<br/>∫√σ a"]

    style ACTION fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

🎓 本篇总结

核心结论

GHY边界项被认为是必要的：

$$S_{\mathrm{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}K{\mathrm{d}}^{3}x$$

使得： $$\delta (S_{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{GHY}})=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}\sqrt{-g}{G}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }$$

边界项完全抵消！

三个层次的边界

1. 非零类边界：GHY项 $\propto K$
2. 角点：角项 $\propto \eta$ 或 $a$
3. 零类边界：$(\theta +\kappa )$ 项

物理意义

• 变分良定性：固定自然边界数据（$h_{ab}$）即可
• Hamilton量可微：正则形式良好定义
• 可加性：作用量满足区域可加性

与统一时间的联系

GHY边界项中的外挠曲率 $K$ 直接关联到边界时间：

• Brown-York准局域能量：$T_{\mathrm{BY}}^{ab}\propto (K^{ab}-K{h}^{ab})$
• 边界时间生成元：来自 $K$ 的变分
• 模哈密顿量在边界的局域化

下一步：有了GHY边界项，我们可以定义Brown-York准局域能量，这是边界时间生成元的具体实现！

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