Brown-York准局域能量：边界时间的生成元

“在弯曲时空，能量被认为不在点，而在边界。”

🎯 核心问题

问题1：在弯曲时空中如何定义“能量“？

传统困难：

• 没有全局时间平移对称（Killing矢量）
• 能量密度 $T_{00}$ 坐标依赖
• 无法积分得到“总能量“

Brown-York解决方案：在边界上定义准局域能量！

问题2：这个“准局域能量“与什么相关？

答案：它被认为是边界时间演化的生成元。

💡 直观图像：区域的“重量“

比喻：称一个房间的重量

传统方法（失败）：

• 在房间内每个点放一个秤
• 但秤的读数依赖于“如何放置“
• 无法简单相加

Brown-York方法（成功）：

• 只称房间的墙壁！
• 墙壁的“张力“告诉你房间的总能量
• 这是自然的、良定的

graph LR
    ROOM["房间（时空区域）"] --> TRAD["传统方法"]
    ROOM --> BY["Brown-York方法"]

    TRAD --> FAIL["✗ 内部能量密度<br/>坐标依赖"]
    BY --> SUCCESS["✓ 边界张力<br/>良定义"]

    style FAIL fill:#ffe1e1
    style SUCCESS fill:#e1ffe1

关键洞察：

• 能量被视为不是“体积内的东西“
• 而是“边界的性质“
• 边界告诉你内部有多少能量

📜 从GHY到Brown-York

GHY边界项的回顾

上一篇我们得到：

$$S_{\mathrm{total}}=S_{\mathrm{EH}}+S_{\mathrm{GHY}}$$

$$S_{\mathrm{GHY}}=\frac{\epsilon }{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}K{\mathrm{d}}^{3}x$$

变分给出：

$$\delta S_{\mathrm{total}}=\frac{1}{16\pi G}{\int }_{\mathcal{M}}\sqrt{-g}{G}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}{\Pi }^{ab}\delta h_{ab}$$

其中：

$$\boxed{{\Pi }^{ab}=\frac{1}{8\pi G}(K^{ab}-K{h}^{ab})}$$

这就是正则动量！

Hamilton形式

在$(3+1)$分解中，类空超曲面$\Sigma$的诱导度规为$h_{ij}$，其共轭动量正是：

$${\pi }^{ij}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot{h}}_{ij}}=\frac{\sqrt{|h|}}{16\pi G}(K^{ij}-K{h}^{ij})$$

正则对：$(h_{ij},{\pi }^{ij})$

Hamilton量：

$$H[\xi ]={\int }_{\Sigma }\left[N\mathcal{H}+N^i{\mathcal{H}}_i\right]{\mathrm{d}}^{3}x+{\oint }_{\partial \Sigma }\left(\text{边界项}\right){\mathrm{d}}^{2}x$$

其中 $\mathcal{H},{\mathcal{H}}_i$ 是约束（在壳上为零）。

边界项正是Brown-York能量的来源！

⭐ Brown-York表面应力张量

定义

Brown-York表面应力张量：

$$\boxed{T_{\mathrm{BY}}^{ab}=\frac{2}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S_{\mathrm{GHY}}}{\delta h_{ab}}=\frac{1}{8\pi G}(K^{ab}-K{h}^{ab})}$$

物理意义：

• $T_{\mathrm{BY}}^{ab}$ 是边界上的“应力“
• 对称张量：$T_{\mathrm{BY}}^{ab}=T_{\mathrm{BY}}^{ba}$
• 依赖于外挠曲率 $K^{ab}$

graph TB
    GHY["GHY边界项<br/>S_GHY = ∫√|h| K"] --> VAR["变分<br/>δS_GHY/δh_ab"]
    VAR --> TBY["Brown-York应力<br/>T^ab_BY"]

    TBY --> SYMM["对称性<br/>T^ab = T^ba"]
    TBY --> CURV["依赖K^ab<br/>外挠曲率"]

    style TBY fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

分量分解

在边界 $\partial \Sigma$ 上，选择：

• 时间样单位向量：$u^a$（沿边界时间方向）
• 空间样法向量：$n^a$（垂直于 $\partial \Sigma$ 在 $\Sigma$ 中）

二维诱导度规： $${\sigma }_{ab}=h_{ab}+u_a{u}_b$$

能量密度： $$\epsilon :=u_a{u}_b{T}_{\mathrm{BY}}^{ab}$$

动量密度： $$j_a:=-{\sigma }_a{}^b{u}_c{T}_{\mathrm{BY}}^{bc}$$

应力张量： $${\tau }_{ab}:={\sigma }_a{}^c{\sigma }_b{}^d{T}_{\mathrm{BY}}^{cd}$$

🌟 Brown-York准局域能量

定义

对边界 $\partial \Sigma$ 的二维截面 $\mathcal{S}$：

$$\boxed{E_{\mathrm{BY}}={\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }\epsilon {\mathrm{d}}^{2}x={\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }{u}_a{u}_b{T}_{\mathrm{BY}}^{ab}{\mathrm{d}}^{2}x}$$

展开：

$$E_{\mathrm{BY}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }{u}_a{u}_b\left(K^{ab}-K{h}^{ab}\right){\mathrm{d}}^{2}x$$

物理意义：

• $E_{\mathrm{BY}}$：区域在边界观察者看来的能量
• 依赖于边界的选择（准局域性）
• 依赖于时间方向的选择（$u^a$）

graph TB
    REGION["时空区域<br/>M"] --> BOUND["边界<br/>∂Σ"]
    BOUND --> SLICE["二维截面<br/>S"]

    SLICE --> ENERGY["准局域能量<br/>E_BY = ∫√σ ε"]

    ENERGY --> DEP1["依赖边界"]
    ENERGY --> DEP2["依赖时间向量 u^a"]

    style ENERGY fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:3px

参考减除

问题：直接计算的 $E_{\mathrm{BY}}$ 通常发散（大$R$时）！

解决：减去参考背景的贡献

$$\boxed{E_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}=E_{\mathrm{BY}}-E_{\mathrm{ref}}}$$

通常选择：

• 渐近平坦：参考为Minkowski空间
• 渐近AdS：参考为纯AdS空间

重整化能量：

$$E_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }{u}_a{u}_b\left[(K^{ab}-K{h}^{ab})-(K_0^{ab}-K_0{h}_{ab})\right]{\mathrm{d}}^{2}x$$

其中 $K_0^{ab}$ 是参考背景的外挠曲率。

🔢 实例：Schwarzschild时空

设置

Schwarzschild度规：

$$\mathrm{d}{s}^2=-f(r)\mathrm{d}{t}^2+f(r{)}^{-1}\mathrm{d}{r}^2+r^2\mathrm{d}{\Omega }_2^2$$

其中 $f(r)=1-2M/r$。

取边界为 $r=R$ 的球面，时间向量：

$$u^a=\frac{1}{\sqrt{f(R)}}({\partial }_t{)}^a$$

外挠曲率

从上一篇，我们知道：

$$K=\frac{2\sqrt{f(R)}}{R}+\frac{f^{\prime }(R)}{2\sqrt{f(R)}}$$

对于球对称，$K^{ab}$ 对角，关键分量：

$$K_{tt}=0,K_{\theta \theta }=R^2\sqrt{f(R)},K_{\varphi \varphi }=R^2{\sin }^2\theta \sqrt{f(R)}$$

Brown-York应力

$$T_{\mathrm{BY}}^{ab}=\frac{1}{8\pi G}\left(K^{ab}-K{h}^{ab}\right)$$

能量密度：

$$\epsilon =u_a{u}_b{T}_{\mathrm{BY}}^{ab}=\frac{1}{8\pi G}f(R{)}^{-1}\left(K_{tt}-K{h}_{tt}\right)$$

$$=\frac{1}{8\pi G}f(R{)}^{-1}\left(0+Kf(R)\right)=\frac{K}{8\pi G}$$

准局域能量

$$E_{\mathrm{BY}}={\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }\epsilon {\mathrm{d}}^{2}x=\frac{1}{8\pi G}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi {\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta R^2\sin \theta \cdot K$$

$$=\frac{1}{8\pi G}\cdot 4\pi R^2\cdot K=\frac{R^{2}K}{2G}$$

代入 $K$：

$$E_{\mathrm{BY}}(R)=\frac{R^2}{2G}\left[\frac{2\sqrt{f(R)}}{R}+\frac{f^{\prime }(R)}{2\sqrt{f(R)}}\right]$$

$$=\frac{R}{G}\sqrt{f(R)}+\frac{R^2{f}^{\prime }(R)}{4G\sqrt{f(R)}}$$

对于 $f=1-2M/r$：

$$f^{\prime }(r)=\frac{2M}{r^2}$$

$$E_{\mathrm{BY}}(R)=\frac{R}{G}\sqrt{1-\frac{2M}{R}}+\frac{R^2}{4G\sqrt{1-2M/R}}\cdot \frac{2M}{R^2}$$

$$=\frac{R}{G}\sqrt{1-\frac{2M}{R}}+\frac{M}{2G\sqrt{1-2M/R}}$$

渐近行为

当 $R\to \infty$：

$$\sqrt{1-\frac{2M}{R}}=1-\frac{M}{R}+O(R^{-2})$$

$$E_{\mathrm{BY}}(R)=\frac{R}{G}\left(1-\frac{M}{R}\right)+\frac{M}{2G}\left(1+\frac{M}{R}\right)+O(R^{-1})$$

$$=\frac{R}{G}-M+\frac{M}{2G}+O(R^{-1})=\frac{R}{G}-\frac{M}{2G}+O(R^{-1})$$

发散！ 需要减除参考。

参考减除

Minkowski空间：$f_0=1$，$K_0=2/R$

$$E_0=\frac{R^2}{2G}\cdot \frac{2}{R}=\frac{R}{G}$$

重整化能量：

$$\boxed{E_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}(R)=E_{\mathrm{BY}}(R)-E_0(R)=M}$$

完美！ 收敛到ADM质量 $M$！

graph TB
    SCHW["Schwarzschild<br/>r=R边界"] --> RAW["原始E_BY(R)<br/>~ R/G + ..."]
    REF["参考E_0(R)<br/>~ R/G"] --> SUB["减除"]

    RAW --> SUB
    SUB --> REN["重整化<br/>E_BY,ren = M"]

    REN --> ADM["✓ 收敛到<br/>ADM质量"]

    style RAW fill:#ffe1e1
    style REN fill:#e1ffe1
    style ADM fill:#e1ffe1

📊 三种质量的比较

关系：

在渐近平坦时空，适当重整化后：

$$\underset{R\to \infty }{\lim }{E}_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}(R)=M_{\mathrm{ADM}}$$

graph LR
    BY["Brown-York<br/>准局域"] --> ADM["ADM<br/>空间无穷远"]
    BY --> BONDI["Bondi<br/>零无穷远"]

    ADM -.->|"渐近极限"| BY
    BONDI -.->|"零平面极限"| BY

    style BY fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px

🔗 与边界时间生成元的联系

Hamilton量的边界部分

在正则形式中，Hamilton量为：

$$H_{\xi }={\int }_{\Sigma }(N\mathcal{H}+N^i{\mathcal{H}}_i){\mathrm{d}}^{3}x+H_{\partial \Sigma }[\xi ]$$

其中边界部分：

$$H_{\partial \Sigma }[\xi ]={\int }_{\partial \Sigma }\sqrt{\sigma }{\xi }^a{j}_a{\mathrm{d}}^{2}x$$

$j_a$ 是Brown-York应力的分量！

当 $\xi ={\partial }_t$（时间平移Killing向量）：

$$H_{\partial \Sigma }[{\partial }_t]=E_{\mathrm{BY}}$$

物理意义： $$\boxed{\text{Brown-York能量}\cong \text{边界时间平移的生成元}}$$

与统一时间刻度的联系

回忆统一时间篇的时间刻度同一式：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$$

现在我们看到：这个统一刻度在引力端被认为由Brown-York能量实现。

边界三位一体：

graph TB
    UNITY["统一时间刻度<br/>κ(ω)"] --> SCATTER["散射端<br/>tr Q/(2π)"]
    UNITY --> MOD["代数端<br/>模哈密顿 K_ω"]
    UNITY --> GRAV["引力端<br/>Brown-York E_BY"]

    SCATTER -.->|"同一对象"| MOD
    MOD -.->|"同一对象"| GRAV
    GRAV -.->|"同一对象"| SCATTER

    style UNITY fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:4px

🌌 推广：非渐近平坦情况

AdS时空

对渐近AdS时空，需要：

1. 反项（counterterms）：

$$S_{\mathrm{ct}}=\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial \mathcal{M}}\sqrt{|h|}\left(\frac{2}{L}+\frac{L}{2}\hat{\mathcal{R}}\right){\mathrm{d}}^{3}x$$

其中 $L$ 是AdS曲率半径，$\hat{\mathcal{R}}$ 是边界内禀Ricci标量。

2. 重整化应力张量：

$$T_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}^{ab}=T_{\mathrm{BY}}^{ab}+T_{\mathrm{ct}}^{ab}-T_{\mathrm{ref}}^{ab}$$

$$T_{\mathrm{ct}}^{ab}=\frac{2}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S_{\mathrm{ct}}}{\delta h_{ab}}$$

de Sitter宇宙

对de Sitter时空，视界是零类面，需要使用零类Brown-York能量：

$$T^A{}_B{|}_{\mathcal{N}}=-\frac{1}{8\pi G}\left(W^A{}_B-\theta {\delta }^A{}_B\right)$$

其中 $W^A{}_B$ 是形算子，$\theta$ 是膨胀。

🎓 守恒律与第一定律

能量守恒

在时间独立（存在Killing向量 ${\xi }^a=({\partial }_t{)}^a$）的情况下：

$$\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{BY}}}{\mathrm{d}t}=0$$

证明思路：

• Hamilton演化：$\frac{\mathrm{d}{h}_{ab}}{\mathrm{d}t}=\{\dots ,H\}$
• 在壳上（Einstein方程满足时）：体域约束 $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_i=0$
• 边界项不变（因为 $\xi$ 是Killing向量）

黑洞第一定律

对静态黑洞，定义：

• $M$：ADM质量（$=E_{\mathrm{BY},\mathrm{ren}}$ 在无穷远）
• $J$：角动量
• ${\mathcal{A}}_{\mathcal{H}}$：视界面积
• ${\kappa }_{\mathcal{H}}$：表面引力

第一定律：

$$\delta M=\frac{{\kappa }_{\mathcal{H}}}{8\pi G}\delta {\mathcal{A}}_{\mathcal{H}}+{\Omega }_{\mathcal{H}}\delta J$$

其中 ${\Omega }_{\mathcal{H}}$ 是视界角速度。

热力学类比：

$$\mathrm{d}E=T\mathrm{d}S+\text{功}$$

识别：

• $T={\kappa }_{\mathcal{H}}/(2\pi )$：Hawking温度
• $S={\mathcal{A}}_{\mathcal{H}}/(4G)$：Bekenstein-Hawking熵

graph LR
    FIRST["第一定律<br/>δM = ..."] --> THERMO["热力学<br/>dE = T dS"]

    TEMP["温度<br/>T = κ/(2π)"] -.-> FIRST
    ENT["熵<br/>S = A/(4G)"] -.-> FIRST

    TEMP -.-> THERMO
    ENT -.-> THERMO

    style FIRST fill:#fff4e1,stroke:#ff6b6b,stroke-width:2px
    style THERMO fill:#e1ffe1

💎 物理意义的深层理解

为什么叫“准局域“？

局域（local）：

• 定义在时空某一点
• 例子：能量密度 $T_{00}(x)$

全局（global）：

• 需要整个时空
• 例子：ADM质量（空间无穷远）

准局域（quasilocal）：

• 定义在有限边界
• 可以“移动“边界得到不同值
• Brown-York能量正是此类

为什么依赖边界？

答案：因为能量本质上被认为是边界的性质。

深层原因：

1. 广义协变性：没有优先坐标系，无法定义“同一时刻“
2. 等效原理：局部总可以消去引力场，能量密度坐标依赖
3. 边界观察：实验总在某个边界进行，准局域能量是自然的可观测量

为什么收敛到ADM质量？

物理图像：

• 边界越大，越远离引力源
• 远处时空趋于平坦
• 外挠曲率 $K\to K_0+M/R^2$（只差来自质量）
• 积分后收敛到总质量

🤔 练习题

1. 概念理解

问题：为什么在Minkowski空间中，Brown-York能量为零（减除参考后）？

提示：Minkowski空间自己就是参考，$K=K_0$。

2. 计算练习

问题：计算Reissner-Nordström黑洞（带电）的Brown-York能量。

提示： $$f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$$

3. 物理应用

问题：Hawking辐射如何改变Brown-York能量？

提示：Bondi质量沿零无穷远单调减少，联系到Brown-York能量的时间依赖。

4. 哲学思考

问题：Brown-York能量是“主观的“（依赖边界选择）还是“客观的“（物理实在）？

提示：就像速度依赖参考系但仍是物理量，准局域能量依赖边界但仍有物理意义。

📝 本篇总结

核心定义

Brown-York表面应力张量：

$$T_{\mathrm{BY}}^{ab}=\frac{1}{8\pi G}(K^{ab}-K{h}^{ab})$$

准局域能量：

$$E_{\mathrm{BY}}={\int }_{\mathcal{S}}\sqrt{\sigma }{u}_a{u}_b{T}_{\mathrm{BY}}^{ab}{\mathrm{d}}^{2}x$$

核心性质

1. 良定义：任意边界都可计算
2. 准局域：依赖边界选择
3. 收敛性：渐近极限给出ADM/Bondi质量
4. 生成元：是边界时间平移的Hamilton量
5. 守恒律：Killing情况下守恒

与统一框架的联系

边界三位一体：

$$\text{散射时间延迟}⟺\text{模流参数}⟺\text{Brown-York能量}$$

都是统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 的不同实现！

物理意义

• 能量在弯曲时空是边界的性质
• 准局域能量是自然的可观测量
• 边界时间演化的生成元
• 黑洞热力学的基础

下一步：我们已经看到边界数据、GHY项、Brown-York能量，现在该统一边界观察者的视角！

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