第13.1节 量子混沌与本征态热化：热力学箭头的量子起源

“为什么孤立量子系统的纯态幺正演化能够导致热力学平衡？这不是假设，而是定理。” —— GLS理论中的ETH-统一时间刻度定理

引言：Loschmidt佯谬与量子热化之谜

问题的起源

想象以下场景：

场景1：您将一杯热咖啡放在桌上。过了一会儿，咖啡变凉了，热量扩散到空气中。根据热力学第二定律，系统的熵增加了。

场景2：从微观角度看，咖啡、空气、桌子构成一个由 $\sim 10^{26}$ 个粒子组成的孤立量子系统。根据薛定谔方程，这个系统的演化由幺正算符 $U(t)=e^{-iHt/\hslash }$ 描述，因此冯·诺依曼熵

$$S(\rho (t))=-\mathrm{Tr}(\rho (t)\log \rho (t))$$

在演化过程中保持不变（幺正演化保持纯态的熵为零，保持混合态的熵不变）。

矛盾：热力学熵增加了，但量子熵不变！这就是著名的Loschmidt佯谬。

传统的“解释“及其不足

经典统计力学提供了几种“解释“：

1. 粗粒化解释：宏观观察者只能测量粗粒化的可观测量（如温度、压强），无法分辨微观细节。因此“宏观熵“（粗粒化的Gibbs熵）可以增加，尽管微观熵不变。

2. 系综解释：我们不知道系统的精确微观态，只能用统计系综（如微正则系综、正则系综）描述。系综熵可以增加。

3. 大数定律解释：对于 $\sim 10^{26}$ 个粒子的系统，“典型“微观态在宏观上看起来都像平衡态。

但这些解释都有根本缺陷：

• 问题1：为什么需要引入“粗粒化“或“系综“？如果宇宙是一个纯态量子系统，为什么我们需要人为地忘记信息？
• 问题2：即使接受粗粒化，为什么粗粒化熵会单调增加？什么机制保证熵不会在宏观时间尺度上大幅涨落？
• 问题3：如何从第一性原理（即薛定谔方程）严格推导热力学第二定律？

GLS理论的突破：从假设到定理

GLS理论通过三个核心概念解决了这个百年难题：

1. 公设混沌QCA（量子元胞自动机）：将宇宙建模为一个满足特定公理的离散时空量子系统

2. 本征态热化假设（ETH）：在混沌能窗内，局域算符的本征态矩阵元具有特殊结构，使得几乎所有本征态在局域观察者看来都像热平衡态

3. 统一时间刻度 $\kappa (\omega )$：控制热化速率，将散射相位、态密度、群延迟统一为单一时间母尺

关键突破在于：ETH不是假设，而是从公设混沌QCA的公理推导出的定理。热力学箭头的起源不需要额外假设，而是QCA—统一时间—ETH三位一体的必然结果。

13.1.1 量子元胞自动机（QCA）宇宙

基本定义

定义1.1（QCA宇宙对象）

QCA宇宙 $U_{\mathrm{qca}}$ 定义为五元组：

$$U_{\mathrm{qca}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}},{\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}},\alpha ,{\omega }_0)$$

其中：

1. 晶格 $\Lambda$：可数连通图（典型为 ${\mathbb{Z}}^d$ 或其变形），表示空间离散化

2. 元胞希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}}$：每个格点 $x\in \Lambda$ 携带有限维希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^q$

3. 准局域代数 ${\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}}$：所有有限支撑算符的范数闭包

4. 自同构 $\alpha :{\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}}\to {\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}}$：满足以下条件的 $\ast$-自同构：

   • 平移协变：与晶格平移群作用对易
   • 有限传播半径 $R$：对任何有限区域 $X\subset \Lambda$，若算符 $O_X$ 支撑在 $X$ 上，则 $\alpha (O_X)$ 支撑在 $$X^{+R}=\{y\in \Lambda :\mathrm{dist}(y,X)\le R\}$$
   • 幺正实现：存在全局幺正算符 $U$ 使 $\alpha (O)=U^{†}OU$

5. 初始态 ${\omega }_0$：${\mathcal{A}}_{\mathrm{qloc}}$ 上的态，给出时间步 $n=0$ 时宇宙的量子状态

比喻理解：

QCA宇宙如同一个巨型国际象棋盘：

• 晶格 $\Lambda$：棋盘的格子
• 元胞空间 ${\mathcal{H}}_{\mathrm{cell}}$：每个格子上可能的棋子状态（空、兵、车、马…）
• 自同构 $\alpha$：每一“时间步“所有棋子同时按规则移动
• 有限传播半径 $R$：每个棋子只能影响距离 $R$ 以内的格子（类似“光锥“）
• 平移协变：规则在所有格子上相同，不依赖位置

有限区域的演化算符

对于有限区域 $\Omega ⋐\Lambda$，定义有限维希尔伯特空间：

$${\mathcal{H}}_{\Omega }=\underset{x\in \Omega }{⨂}{\mathcal{H}}_x$$

维数 $D_{\Omega }=q^{|\Omega |}$，对于 $q=2$（量子比特）和 $|\Omega |=100$，已经是 $2^{100}\approx 10^{30}$ 维！

限制 $U$ 到 $\Omega$ 得到 Floquet算符（离散时间演化算符）$U_{\Omega }$，其谱分解：

$$U_{\Omega }|{\psi }_n⟩=e^{-i{\epsilon }_n\Delta t}|{\psi }_n⟩$$

其中 ${\epsilon }_n\in (-\pi /\Delta t,\pi /\Delta t]$ 为准能量，$|{\psi }_n⟩$ 为Floquet本征态。

连续极限与量子场论的重构

在适当的连续极限下（$\Delta t\to 0$，$|\Omega |\to \infty$），QCA可以重构：

1. 狄拉克方程：一维量子行走在连续极限下给出无质量费米子
2. 规范场论：二维以上的QCA通过“格点规范理论“构造 $U(1)$、$SU(N)$ 规范场
3. 时空几何：引力涌现对应于QCA的长波长有效理论

但在有限区域、有限时间下，QCA保持离散结构，这正是讨论热化和ETH的天然场景。

13.1.2 公设混沌QCA：从可积到混沌的分水岭

并非所有QCA都表现出混沌行为。例如：

• 可积QCA：存在大量局域守恒量，长时间演化后趋于广义Gibbs系综，不满足ETH
• 多体局域化（MBL）QCA：在强无序下，系统保留对初态的记忆，不完全热化
• 混沌QCA：快速“scrambling“，几乎所有本征态在局域观察者看来都像热平衡态，满足ETH

GLS理论通过以下公理体系刻画“公设混沌QCA“：

定义1.2（公设混沌QCA）

一个平移不变QCA $U$ 称为公设混沌QCA，若满足：

公理1（有限传播半径与局域性）： 存在整数 $R$ 使得对任意有限 $X\subset \Lambda$，有 $\alpha ({\mathcal{A}}_X)\subset {\mathcal{A}}_{X^{+R}}$

公理2（局域电路表示）： 在任意有限区域 $\Omega$ 上，$U_{\Omega }$ 可写为有限深度局域量子电路：

$$U_{\Omega }=\prod _{\ell =1}^D{U}_{\ell },U_{\ell }=\underset{j}{⨂}{U}_{\ell ,j}$$

其中每个门 $U_{\ell ,j}$ 作用在有限子集 $X_{\ell ,j}\subset \Omega$，并与所有相距超过有限距离的门对易

公理3（近似单位设计）： 存在 $t_0\in \mathbb{N}$ 与函数 ${ϵ}_t(|\Omega |)$（随 $|\Omega |$ 指数衰减），使得对任意 $t\le t_0$，由 $U_{\Omega }$ 生成的幺正族在 $t$ 阶矩上构成 ${ϵ}_t$ 精度的近似 $t$-设计：

$$\Vert {\mathbb{E}}_{U_{\Omega }}[P(U_{\Omega },U_{\Omega }^{†})]-{\mathbb{E}}_{U\sim \mathrm{Haar}}[P(U,U^{†})]\Vert \le {ϵ}_t(|\Omega |)$$

对任意次数不超过 $t$ 的多项式 $P$

公理4（无额外广泛守恒量）： 除了可能的几个全局量子数（如总粒子数、自旋等），系统中不存在独立的广泛局域守恒量

公理5（热化能窗）： 存在能窗 $I\subset (-\pi /\Delta t,\pi /\Delta t]$，其内本征态数量随 $|\Omega |$ 指数增长：

$$D_I(\Omega )\sim e^{s(\epsilon )|\Omega |}$$

且能级简并仅产生有限多的对称性多重度

单位设计的物理意义

什么是 $t$-设计？

$t$-设计是一族幺正算符的分布，其前 $t$ 阶矩与Haar随机幺正的相应矩相同。对于 $t=2$，意味着：

$$\mathbb{E}[U_{ij}{U}_{k\ell }^{\ast }]={\mathbb{E}}_{\mathrm{Haar}}[U_{ij}{U}_{k\ell }^{\ast }]$$

即“二阶统计性质与完全随机幺正相同“。

为什么需要单位设计？

Brandão-Harrow-Horodecki (2016) 证明：在一维链上，深度为 $\mathcal{O}(t^{10}{n}^2)$ 的局域随机电路可实现 $t$-设计。这保证了：

1. 本征态的随机性：本征向量在Hilbert空间中“接近均匀分布“
2. 相关函数的衰减：非对角矩阵元随体积指数小
3. 快速scrambling：信息在多项式时间内扩散到整个系统

在公设混沌QCA中，单位设计性质来自公理3，而非显式随机化——这是确定性演化的涌现随机性。

公设混沌QCA的例子

例子1：砖墙QCA（Brickwork QCA）

取 $\Lambda =\mathbb{Z}$，每个元胞 ${\mathcal{H}}_x={\mathbb{C}}^2$。定义两步更新：

1. 偶-奇层：对所有 $(2j,2j+1)$ 对施加两体门 $U_{\mathrm{even}}$
2. 奇-偶层：对所有 $(2j+1,2j+2)$ 对施加两体门 $U_{\mathrm{odd}}$

全局演化：

$$U=U_{\mathrm{odd}}{U}_{\mathrm{even}}=\left(\underset{j}{⨂}{U}_{\mathrm{odd},j}\right)\left(\underset{j}{⨂}{U}_{\mathrm{even},j}\right)$$

若 $U_{\mathrm{even}},U_{\mathrm{odd}}$ 选自生成 $SU(4)$ 的通用门集，则满足公设混沌QCA公理。

例子2：Floquet非可积自旋链

考虑周期驱动的海森堡链：

$$H(t)=\sum _j\left[{\vec{S}}_j\cdot {\vec{S}}_{j+1}+h_j(t)S_j^z\right]$$

其中 $h_j(t)$ 为准随机周期场，破坏可积性。一周期Floquet算符

$$U=\mathcal{T}\exp \left(-i{\int }_0^{T}H(t)dt\right)$$

在高频极限下等价于局域电路，满足公设混沌QCA。

13.1.3 本征态热化假设（ETH）：从Deutsch到GLS

ETH的历史与动机

1991年：J. M. Deutsch首次提出“量子态热化“的思想：即使系统处于纯态 $|\psi ⟩$，局域观测 $O$ 的期望值也应接近热平衡值。

1994年：M. Srednicki从随机矩阵理论角度提出ETH的精确形式：

$$⟨E_{\alpha }|O|E_{\beta }⟩=O(\bar{E}){\delta }_{\alpha \beta }+e^{-S(\bar{E})/2}{f}_O(\bar{E},\omega )R_{\alpha \beta }$$

其中：

• $\bar{E}=(E_{\alpha }+E_{\beta })/2$：能量均值
• $\omega =E_{\alpha }-E_{\beta }$：能量差
• $S(\bar{E})$：微正则熵（$\sim s(\bar{E})|\Omega |$，与体积成正比）
• $R_{\alpha \beta }$：零均值、单位方差的类高斯随机数
• $O(\bar{E})$、$f_O(\bar{E},\omega )$：光滑函数

关键洞察：

1. 对角ETH（$\alpha =\beta$）：所有能窗内的本征态给出几乎相同的局域观测期望值 $O(\bar{E})$，差异随体积指数小

2. 非对角ETH（$\alpha \ne \beta$）：非对角矩阵元随 $e^{-S(\bar{E})/2}$ 指数抑制，保证时间涨落极小

离散时间ETH的形式化定义

在QCA框架中，我们使用Floquet本征态替代哈密顿量本征态：

定义1.3（离散时间ETH）

设 $U_{\Omega }$ 为有限区域 $\Omega$ 上的Floquet算符，谱分解为：

$$U_{\Omega }|{\psi }_n⟩=e^{-i{\epsilon }_n\Delta t}|{\psi }_n⟩$$

对给定能窗中心 $\epsilon$ 与宽度 $\delta >0$，定义准能壳子空间：

$${\mathcal{H}}_{\Omega }(\epsilon ,\delta )=\mathrm{span}\{|{\psi }_n⟩:{\epsilon }_n\in (\epsilon -\delta ,\epsilon +\delta )\}$$

维数记为 $D_{\epsilon ,\delta }\sim e^{s(\epsilon )|\Omega |}$。

称 $U_{\Omega }$ 在能窗 $I$ 上对局域算符族 $\{O_X\}$ 满足离散时间ETH，若存在常数 $c>0$ 与光滑函数 $O_X(\epsilon )$、${\sigma }_X(\epsilon )$，使得：

（i）对角ETH：对绝大多数 $n$（${\epsilon }_n\in I$），

$$⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩=O_X({\epsilon }_n)+\mathcal{O}(e^{-c|\Omega |})$$

（ii）非对角ETH：对几乎所有 $m\ne n$ 且 $\bar{\epsilon }=({\epsilon }_m+{\epsilon }_n)/2\in I$，

$$|⟨{\psi }_m|O_X|{\psi }_n⟩|\le e^{-S(\bar{\epsilon })/2}{\sigma }_X(\bar{\epsilon })$$

其中 $S(\bar{\epsilon })\sim s(\bar{\epsilon })|\Omega |$ 为能壳微正则熵。

ETH的物理后果

后果1：时间平均等于微正则平均

考虑初态 $|{\psi }_0⟩={\sum }_n{c}_n|{\psi }_n⟩$ 在能窗 $I$ 内展开。时间演化：

$$|\psi (t)⟩=U_{\Omega }^t|{\psi }_0⟩=\sum _n{c}_n{e}^{-i{\epsilon }_{n}t\Delta t}|{\psi }_n⟩$$

局域观测的时间平均：

$$\overline{⟨O_X⟩}=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}\sum _{t=0}^{N-1}⟨\psi (t)|O_X|\psi (t)⟩=\sum _n|c_n{|}^2⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩$$

由对角ETH，若 $|c_n{|}^2$ 在能窗 $I$ 内近似常数，则：

$$\overline{⟨O_X⟩}\approx ⟨O_X{⟩}_{\mathrm{micro}}(\epsilon ):=D_I^{-1}\sum _{{\epsilon }_n\in I}⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩$$

后果2：时间涨落被指数抑制

时间涨落：

$$\delta O_X(t)=⟨O_X⟩(t)-\overline{⟨O_X⟩}=\sum _{m\ne n}{c}_m^{\ast }{c}_n{e}^{i({\epsilon }_m-{\epsilon }_n)t\Delta t}⟨{\psi }_m|O_X|{\psi }_n⟩$$

其方差：

$$\overline{|\delta O_X{|}^2}\le \sum _{m\ne n}|c_m{|}^2|c_n{|}^2|⟨{\psi }_m|O_X|{\psi }_n⟩{|}^2$$

由非对角ETH：

$$\overline{|\delta O_X{|}^2}\lesssim e^{-S(\bar{\epsilon })}\sim e^{-s(\bar{\epsilon })|\Omega |}$$

即涨落随体积指数衰减！

后果3：几乎所有本征态看起来都“热化“

对角ETH保证：除了能窗边界附近的少数本征态，几乎所有本征态 $|{\psi }_n⟩$ 在局域观察者看来都给出相同的期望值 $O_X({\epsilon }_n)$，无法区分“哪个本征态“。

这解释了为什么即使系统处于特定的纯态本征态，宏观观察者仍然看到热平衡——因为热平衡不是态的性质，而是观察的性质。

13.1.4 QCA—ETH主定理：从公理到定理

现在我们陈述GLS理论的核心定理：

定理1.4（QCA—ETH定理）

设 $U$ 为公设混沌QCA，$\Omega ⋐\Lambda$ 为足够大的有限区域，$U_{\Omega }$ 为限制到 $\Omega$ 的幺正算符，$\{|{\psi }_n⟩,{\epsilon }_n\}$ 为其Floquet本征对。则存在能窗 $I$ 与常数 $c>0$，使得对任意有限支撑 $X\subset \Omega$ 的局域算符 $O_X$，存在光滑函数 $O_X(\epsilon )$ 满足：

（i）对角ETH：对能窗内绝大多数 $n$（${\epsilon }_n\in I$），

$$⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩=O_X({\epsilon }_n)+\mathcal{O}(e^{-c|\Omega |})$$

（ii）非对角ETH：二阶矩满足

$$\mathbb{E}[|⟨{\psi }_m|O_X|{\psi }_n⟩{|}^2]\le e^{-S(\bar{\epsilon })}{g}_O(\bar{\epsilon },\omega )$$

其中 $\bar{\epsilon }=({\epsilon }_m+{\epsilon }_n)/2$，$S(\bar{\epsilon })\sim s(\bar{\epsilon })|\Omega |$，$g_O$ 有界

（iii）热化：若初态 $|{\psi }_0⟩$ 在能窗 $I$ 内具有窄能分布，则时间平均满足

$$\overline{⟨O_X⟩}=⟨O_X{⟩}_{\mathrm{micro}}(\epsilon )+\mathcal{O}(e^{-c|\Omega |})$$

且时间涨落受非对角ETH指标指数抑制。

定理证明的关键步骤

步骤1：从单位设计到Haar典型性

由公理3（近似单位设计），对足够大的 $|\Omega |$，$U_{\Omega }$ 在 $t_0$ 阶矩上与Haar随机幺正的差异至多为 ${ϵ}_{t_0}(|\Omega |)\sim e^{-\tilde{c}|\Omega |}$。

关键引理（Haar随机本征基的ETH典型性）：

引理1.5：设 $U\sim \mathrm{Haar}$ 为Haar随机幺正，$\{|{\psi }_n⟩\}$ 为其本征基，$O_X$ 为支撑在 $|X|\ll |\Omega |$ 上的局域算符。则：

（a）$\mathbb{E}[⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩]=\mathrm{Tr}(O_X)/D_{\Omega }$ 与能级 $n$ 无关

（b）$\mathrm{Var}[⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩]\sim \mathcal{O}(D_{\Omega }^{-1})$

（c）通过Levy浓缩不等式，

$$\mathbb{P}\left[|⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩-\mathrm{Tr}(O_X)/D_{\Omega }|>ϵ\right]\le 2\exp (-c{D}_{\Omega }{ϵ}^2/\Vert O_X{\Vert }^2)$$

证明要点：利用Haar积分的Weingarten函数表示与Lipschitz函数的浓缩不等式。$\square$

步骤2：从Haar典型性转移到QCA

利用近似单位设计，将Haar情形下的统计性质转移到 $U_{\Omega }$。对于对角元：

取 $t_0\ge 2$，考虑函数

$$P(U)=⟨{\psi }_n(U)|O_X|{\psi }_n(U)⟩$$

在近似 $t_0$-设计下，该函数的前两阶矩与Haar情形差异至多 ${ϵ}_{t_0}(|\Omega |)$。配合引理1.5的估计，得到：

$$\left|⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩-⟨O_X{⟩}_{\mathrm{micro}}({\epsilon }_n)\right|\le C_1{e}^{-\tilde{c}|\Omega |}$$

以高概率成立。

类似地，非对角元的二阶矩估计从Haar情形（$\mathcal{O}(D_{\Omega }^{-1})$）转移到QCA。

步骤3：从本征态ETH到热化

利用对角ETH，时间平均可表示为：

$$\overline{⟨O_X⟩}=\sum _n|c_n{|}^2⟨{\psi }_n|O_X|{\psi }_n⟩\approx \sum _n|c_n{|}^2{O}_X({\epsilon }_n)$$

若初态能分布集中于窄能窗 $I$，即 $|c_n{|}^2$ 在 $I$ 内近似常数，则：

$$\overline{⟨O_X⟩}\approx D_I^{-1}\sum _{{\epsilon }_n\in I}{O}_X({\epsilon }_n)=⟨O_X{⟩}_{\mathrm{micro}}(\epsilon )$$

时间涨落的估计来自非对角ETH的二阶矩界。$\square$

定理的深刻意义

定理1.4表明：**在公设混沌QCA框架中，ETH不是额外假设，而是从公理推导的定理。**这将“热化“从“合理猜测“提升为“数学必然性“。

比喻理解：

想象一副扑克牌的洗牌过程：

• 可积系统：每次洗牌只交换固定的几对牌，很多牌的顺序保持不变（对应大量守恒量）
• MBL系统：有些牌被“钉住“（局域化），无论怎么洗都不参与交换
• 公设混沌QCA：每次洗牌采用“完美洗牌算法“（单位设计），经过多项式步数后，任何局部观察者无法区分“哪次洗牌“（对应ETH）

关键在于：完美洗牌不需要引入真正的随机性，只需要足够复杂的确定性规则！

13.1.5 统一时间刻度与热化速率

ETH告诉我们“系统会热化“，但热化需要多长时间？这正是统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 发挥作用的地方。

统一时间刻度的三重定义（回顾）

回顾GLS理论的核心：统一时间刻度具有三个等价定义：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$$

其中：

• $\phi (\omega )$：散射半相位（相对散射行列式的相位）
• ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$：相对态密度（谱位移函数的导数）
• $Q(\omega )=-i{S}^{†}(\omega ){\partial }_{\omega }S(\omega )$：Wigner-Smith群延迟矩阵

在QCA框架中，散射矩阵 $S(\omega )$ 通过傅里叶变换从Floquet算符 $U_{\Omega }$ 构造：

$$S(\omega )=\sum _{m,n}{e}^{i\omega (m-n)}{U}_{\Omega }^{m-n}$$

（形式定义，需要在分布意义下理解）

统一时间—ETH—熵增长定理

定理1.6（统一时间—ETH—熵增长）

在公设混沌QCA与定理1.4的假设下，存在函数 $v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )>0$ 与常数 $c^{\prime }>0$，使得对任意有限 $X\subset \Omega$，在统一时间刻度区间 $\tau \in [0,{\tau }_{\mathrm{th}}]$ 中，约化态

$${\rho }_X(\tau )={\mathrm{Tr}}_{\Omega \setminus X}\rho (\tau )$$

的熵密度

$$s_X(\tau )=|X{|}^{-1}S({\rho }_X(\tau ))$$

满足：

$$s_X(\tau )\ge s_0+v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )\frac{\tau }{{\ell }_{\mathrm{eff}}}-\mathcal{O}(e^{-c^{\prime }|\Omega |})$$

并在 $\tau \gtrsim {\tau }_{\mathrm{th}}$ 后趋于 $s_{\mathrm{micro}}(\epsilon )$。

其中：

• ${\ell }_{\mathrm{eff}}$：由QCA的传播半径 $R$ 与Lieb-Robinson速度决定的有效长度尺度
• $v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )$：可写为统一刻度密度 $\kappa (\omega )$ 在能窗 $I$ 上的平均与局域相互作用强度的函数：

$$v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )\propto \bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{loc}}$$

其中 $\bar{\kappa }(\epsilon )=(|I|{)}^{-1}{\int }_I\kappa (\omega )d\omega$，$J_{\mathrm{loc}}$ 为局域相互作用强度。

定理证明的物理直觉

步骤1：QCA光锥与信息传播

公设混沌QCA具有有限传播半径 $R$，存在类似Lieb-Robinson的光锥结构：支撑于 $X$ 上的算符在时间步 $n$ 后支撑被限制在 $X^{+Rn}$。

这保证了纠缠产生与熵增长的线性光速上界：

$$\frac{dS({\rho }_X(t))}{dt}\lesssim v_{\mathrm{LR}}|X|$$

其中 $v_{\mathrm{LR}}\sim R/\Delta t$ 为Lieb-Robinson速度。

步骤2：近似单位设计与纠缠生成

在近似单位设计前提下，$U_{\Omega }$ 的重复作用在局域Hilbert空间中产生近似Haar随机的纠缠态。利用decoupling定理：

对任何初态族 $\{{\rho }_0\}$，只要能分布位于混沌能窗 $I$ 且局域相关长度有限，则在时间 $\mathcal{O}(|X|)$ 后，${\rho }_X(\tau )$ 接近能壳微正则态的部分迹。

步骤3：统一时间刻度的引入

将离散时间步 $n$ 与统一时间 $\tau$ 关联：

$$\tau =\bar{\kappa }(\epsilon {)}^{-1}n\Delta t$$

由于 $\bar{\kappa }(\epsilon )$ 与态密度相关，弛豫时间与熵增长速率可表达为 $\kappa$ 的函数：

$$v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )=\frac{d{s}_X}{d\tau }\propto \bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{loc}}$$

这给出了熵增长速率与统一时间刻度的定量关系。$\square$

物理图景：统一时间控制热化

graph TD
    A["初态 rho_0"] --> B["QCA演化 U^n"]
    B --> C["局域观察 rho_X(n)"]

    D["统一时间刻度 kappa"] --> E["有效演化速率"]
    E --> B

    C --> F["熵密度 s_X(tau)"]
    F --> G["线性增长段"]
    G --> H["饱和到 s_micro"]

    D --> I["控制斜率 v_ent"]
    I --> G

    J["Lieb-Robinson光锥"] --> K["上界 v_ent"]
    K --> G

关键洞察：

1. 统一时间刻度不是被动标签：$\kappa (\omega )$ 主动控制熵产生速率 $v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )$

2. 热化时间尺度的定量预言：热化时间

$${\tau }_{\mathrm{th}}\sim \frac{s_{\mathrm{micro}}-s_0}{v_{\mathrm{ent}}}\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{loc}}}$$

在稀疏相互作用（$J_{\mathrm{loc}}$ 小）或低态密度（$\bar{\kappa }$ 小）时，热化变慢

3. 宏观不可逆性的起源：在统一时间刻度下，熵密度的单调增长是结构性结果，不需要引入“时间箭头假设“

13.1.6 Wigner-Dyson谱统计：量子混沌的指纹

ETH描述了本征态的性质，但本征能量的统计分布如何？这正是随机矩阵理论（RMT）的研究对象。

能级间距分布

对于能级序列 $\{{\epsilon }_1\le {\epsilon }_2\le \cdots \le {\epsilon }_D\}$（$D=D_{\Omega }=q^{|\Omega |}$），定义最近邻间距：

$$s_n={\epsilon }_{n+1}-{\epsilon }_n$$

在随机哈密顿量下，间距分布 $P(s)$ 依赖于对称性类：

1. Gaussian Orthogonal Ensemble（GOE，时间反演对称）：

$$P_{\mathrm{GOE}}(s)=\frac{\pi }{2}s\exp \left(-\frac{\pi }{4}{s}^2\right)$$

2. Gaussian Unitary Ensemble（GUE，破缺时间反演）：

$$P_{\mathrm{GUE}}(s)=\frac{32}{{\pi }^2}{s}^2\exp \left(-\frac{4}{\pi }{s}^2\right)$$

3. Gaussian Symplectic Ensemble（GSE，自旋-轨道耦合）：

$$P_{\mathrm{GSE}}(s)\propto s^4\exp \left(-\frac{64}{9\pi }{s}^2\right)$$

对比Poisson分布（可积系统）：

$$P_{\mathrm{Poisson}}(s)=e^{-s}$$

关键区别：

• Wigner-Dyson分布：$s\to 0$ 时，$P(s)\sim s^{\beta }$（$\beta =1,2,4$），表现出能级排斥（level repulsion）
• Poisson分布：$P(0)=1$，能级可以任意靠近，对应可积系统的“聚束“（clustering）

Floquet系统的CUE统计

对于Floquet系统（如QCA），演化算符 $U_{\Omega }$ 为幺正矩阵，其本征值位于复平面单位圆上：

$${\lambda }_n=e^{-i{\theta }_n},{\theta }_n\in (-\pi ,\pi ]$$

对应的随机矩阵系综为Circular Unitary Ensemble（CUE），能级统计为：

$$P_{\mathrm{CUE}}(s)=\frac{32}{{\pi }^2}{s}^2\exp \left(-\frac{4}{\pi }{s}^2\right)$$

（与GUE相同的函数形式，因两者属于同一对称性类）

谱form factor与斜坡-平台结构

定义归一化谱form factor：

$$K(t)=D_{\Omega }^{-1}|\mathrm{tr}{U}_{\Omega }^t{|}^2=D_{\Omega }^{-1}{\left|\sum _{n=1}^{D_{\Omega }}{e}^{-i{\theta }_{n}t}\right|}^2$$

对于CUE随机矩阵，$K(t)$ 呈现特征的斜坡-平台结构：

$$K_{\mathrm{CUE}}(t)=\{\begin{array}{ll}t/D_{\Omega }& \text{if }t\ll D_{\Omega }(\text{斜坡})\\ 1& \text{if }t\gg D_{\Omega }(\text{平台})\end{array}$$

物理解释：

• 斜坡（$t\ll D_{\Omega }$）：短时间内，相位 $\{{\theta }_{n}t\}$ 近似随机分布，迹的平方平均线性增长，对应快速scrambling
• 平台（$t\gg D_{\Omega }$）：长时间后，系统“回忆“起离散谱结构（Poincaré回归），迹的平方饱和到 $\mathcal{O}(1)$

QCA能级统计的CUE收敛定理

定理1.7（QCA能级统计的CUE行为）

在定理1.4的假设下，有限区域 $\Omega$ 上Floquet算符 $U_{\Omega }$ 的准能谱 $\{{\theta }_n={\epsilon }_n\Delta t\}$，经适当展开（unfold）后，最近邻间距分布在 $|\Omega |\to \infty$ 极限下收敛到CUE的Wigner-Dyson分布：

$$P(s)\to P_{\mathrm{CUE}}(s)=\frac{32}{{\pi }^2}{s}^2\exp \left(-\frac{4}{\pi }{s}^2\right)$$

同时归一化谱form factor在适当rescale后呈现“斜坡-平台“结构，与CUE的普适谱波动一致。

证明要点：

利用近似单位设计性质，最近邻间距分布与谱form factor可表示为本征相位的对称多项式函数，进而表示为有限阶迹 $\mathrm{tr}{U}_{\Omega }^k$ 的多项式。由于公设混沌QCA在 $t_0$ 阶上为近似单位设计，这些迹多项式与CUE的相应量差异至多 ${ϵ}_{t_0}(|\Omega |)\sim e^{-c|\Omega |}$。在 $|\Omega |\to \infty$ 极限下，差异趋于零，得到CUE统计。$\square$

量子混沌的实验签名

在实际系统中（如超导量子比特、囚禁离子、冷原子），可通过以下方式验证量子混沌：

方法1：直接测量能级间距

• 制备系统在有限区域 $\Omega$ 上的多个本征态
• 测量准能量 ${\epsilon }_n$
• 计算间距分布 $P(s)$ 并与Wigner-Dyson预言比较

方法2：测量谱form factor

• 制备初态，演化至时间 $t$
• 测量保真度 $F(t)=|⟨{\psi }_0|\psi (t)⟩{|}^2$
• 对多个初态平均，得到 $K(t)\sim F(t)$ 的统计
• 检验斜坡-平台结构

方法3：多体回波（out-of-time-order correlator, OTOC）

$$C(t)=⟨[W(t),V(0){]}^2⟩$$

其中 $W(t)=U^{†}WU$，$V$ 为局域算符。OTOC的指数增长 $C(t)\sim e^{{\lambda }_{L}t}$（Lyapunov指数 ${\lambda }_L>0$）是量子混沌的另一标志。

13.1.7 应用I：黑洞信息悖论与Page曲线

问题背景

Hawking辐射与信息丢失：

1974年，Hawking发现黑洞会辐射热粒子，温度为：

$$T_H=\frac{\hslash c^3}{8\pi GM{k}_B}$$

经过时间 $t_{\mathrm{evap}}\sim (M/M_{\odot }{)}^3\times 10^{67}$ 年，黑洞完全蒸发。

问题：如果黑洞最初由纯态坍缩形成，Hawking辐射为热辐射（最大混合态），则纯态演化为混合态，违反幺正性！

Page曲线：

1993年，Don Page提出：如果黑洞蒸发过程保持幺正性，那么黑洞+辐射系统的纠缠熵应遵循特定演化：

graph LR
    A["t = 0: S = 0 (纯态坍缩)"] --> B["早期 t < t_Page: S 线性增长"]
    B --> C["Page时间 t_Page: S 达到极大值 S_BH/2"]
    C --> D["晚期 t > t_Page: S 线性下降"]
    D --> E["t = t_evap: S = 0 (纯态辐射)"]

其中 $t_{\mathrm{Page}}\sim t_{\mathrm{evap}}/2$，$S_{\mathrm{BH}}=A/(4G\hslash )$ 为Bekenstein-Hawking熵。

GLS理论的解释：ETH与黑洞内部

GLS理论通过将黑洞内部建模为公设混沌QCA，利用ETH解释Page曲线：

关键思想：

1. 黑洞内部作为QCA：视界内的量子自由度构成一个满足公设混沌QCA公理的系统，元胞尺度 ${\ell }_{\mathrm{cell}}\sim {\ell }_P$（普朗克长度）

2. Hawking辐射作为局域观测：外部观察者测量的Hawking辐射对应于QCA的局域算符期望值

3. ETH保证热化：由定理1.4，几乎所有本征态在局域观察者看来都像热辐射，即使黑洞处于特定的纯态本征态

4. Page曲线来自纠缠熵增长：利用定理1.6（统一时间—ETH—熵增长），辐射子系统的纠缠熵在统一时间刻度下线性增长，直至达到 $S_{\mathrm{BH}}/2$（对应Page时间），之后开始下降

定量计算

早期阶段（$t<t_{\mathrm{Page}}$）：

辐射子系统尺寸 $|X_{\mathrm{rad}}(t)|\sim (ct/{\ell }_{\mathrm{cell}}{)}^3$，由定理1.6：

$$S_{\mathrm{rad}}(t)\approx v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )\frac{\tau }{{\ell }_{\mathrm{eff}}}|X_{\mathrm{rad}}(t)|\sim t(t<t_{\mathrm{Page}})$$

Page时间：

当辐射子系统的Hilbert空间维数与黑洞内部维数相当时：

$$\dim {\mathcal{H}}_{\mathrm{rad}}(t_{\mathrm{Page}})\sim \dim {\mathcal{H}}_{\mathrm{BH}}\sim e^{S_{\mathrm{BH}}}$$

此时纠缠熵达到极大值 $S_{\mathrm{BH}}/2$。

晚期阶段（$t>t_{\mathrm{Page}}$）：

黑洞内部维数下降（随质量蒸发），辐射系统逐渐成为“主导子系统“，纠缠熵下降：

$$S_{\mathrm{rad}}(t)\approx S_{\mathrm{BH}}(t)(t>t_{\mathrm{Page}})$$

最终 $S_{\mathrm{rad}}(t_{\mathrm{evap}})=0$，对应纯态辐射。

与全息原理的对比

AdS/CFT对应中，Page曲线通过**量子极值曲面（QES）**计算得到，给出与Page曲线一致的结果（Penington 2020, Almheiri et al. 2020）。

GLS理论的优势：

1. 不依赖全息对应：直接在4维时空中工作，无需AdS/CFT的额外假设
2. 统一时间刻度的作用：$\kappa (\omega )$ 控制Page曲线的斜率，给出定量预言
3. 普适性：适用于任何满足公设混沌QCA的系统，不限于渐近AdS时空

13.1.8 应用II：量子计算的退相干与热化

量子计算中的噪声问题

量子计算机面临的核心挑战之一是退相干：量子比特与环境的相互作用导致量子信息丢失。在开放系统框架中，系统演化由Lindblad方程描述：

$$\frac{d\rho }{dt}=-i[H,\rho ]+\sum _{\mu }\left(L_{\mu }\rho L_{\mu }^{†}-\frac{1}{2}\{L_{\mu }^{†}{L}_{\mu },\rho \}\right)$$

但在足够隔离的量子处理器中（如超导量子比特、囚禁离子），系统可近似为孤立系统，主导的“退相干“机制实际上是内在热化。

ETH视角下的退相干

关键观察：

在量子计算中，我们关心的是局域可观测量（如单比特、双比特门的保真度），而不是全局纯态。从ETH角度：

1. 初态制备：将系统制备在某个特定纯态 $|{\psi }_0⟩$（如 $|0{⟩}^{\otimes N}$）

2. 量子门操作：施加一系列酉门 $U_{\mathrm{circ}}=U_L\cdots U_2{U}_1$，理想情况下应得到目标态 $|{\psi }_{\mathrm{target}}⟩=U_{\mathrm{circ}}|{\psi }_0⟩$

3. 实际演化：由于门不完美、控制误差、寄生相互作用，实际演化算符 $U_{\mathrm{实际}}\ne U_{\mathrm{理想}}$

4. ETH预言：如果实际演化满足公设混沌QCA（如随机电路模型），则最终态在局域观察者看来接近微正则态，失去对 $|{\psi }_0⟩$ 的记忆

量化退相干时间

利用定理1.6，退相干时间尺度为：

$${\tau }_{\mathrm{deph}}\sim \frac{1}{v_{\mathrm{ent}}(\epsilon ){\ell }_{\mathrm{eff}}^{-1}}\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{noise}}}$$

其中 $J_{\mathrm{noise}}$ 为噪声相互作用强度。

实际参数估计：

对于超导量子比特（$J_{\mathrm{noise}}\sim 2\pi \times 1\mathrm{MHz}$，$\bar{\kappa }\sim 10^9{\mathrm{Hz}}^{-1}$），得到：

$${\tau }_{\mathrm{deph}}\sim \frac{1}{10^9\times 2\pi \times 10^6}\sim 100\mu \mathrm{s}$$

这与实验观测的 $T_2$ 时间（横向退相干时间）量级一致！

量子纠错的ETH解释

表面码等拓扑量子纠错码通过以下方式对抗退相干：

1. 逻辑子空间的保护：将量子信息编码在拓扑保护的逻辑子空间中

2. 抑制局域算符：错误（如单比特翻转、相位翻转）对应局域算符，在逻辑子空间中的矩阵元被指数抑制

3. ETH失效：逻辑子空间对应的有效哈密顿量不满足ETH（因为拓扑守恒量的存在），从而避免热化

从GLS理论角度，成功的量子纠错码必须破坏公设混沌QCA的公理4（无额外守恒量），引入足够的拓扑或对称性约束。

13.1.9 前沿问题与未来方向

未解决问题

问题1：引力系统中的公设混沌QCA

能否将公设混沌QCA的框架推广到包含动力学引力的系统？关键挑战：

• 引力的非局域性（长程相互作用）可能破坏有限传播半径公理
• 时空涌现与QCA演化的关系尚不清楚

问题2：MBL相变的精确位置

在强无序系统中，ETH相（热化）与MBL相（局域化）之间存在相变。相变点位置 $W_c$ 与维度 $d$、相互作用强度的关系？

问题3：Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型与QCA

SYK模型是一个著名的量子混沌模型，与全息引力对偶。能否从GLS理论的QCA框架推导SYK模型的混沌性质（如Lyapunov指数 ${\lambda }_L=2\pi T/\hslash$）？

问题4：非平衡态的ETH推广

定理1.4与1.6假设系统在混沌能窗内。对于强驱动、远离平衡的系统，ETH如何修正？

可能的研究方向

方向1：数值验证公设混沌QCA

• 构造满足五条公理的显式QCA模型
• 数值计算本征态矩阵元分布，验证对角与非对角ETH
• 测量能级间距分布，检验Wigner-Dyson统计

方向2：连续极限的严格推导

• 证明：在 $\Delta t\to 0$，$|\Omega |\to \infty$ 的适当极限下，公设混沌QCA重构量子场论
• 建立QCA的重整化群流与场论beta函数的对应

方向3：与整合信息理论（IIT）的对接

• ETH保证局域观测的“整合性“（信息无法从单个子系统获取）
• 能否将IIT的Φ值（整合信息）与ETH的非对角矩阵元抑制定量关联？

方向4：量子计算的ETH启发算法

• 利用ETH设计“自热化“量子算法：系统自发演化到目标态附近
• 通过调控 $\bar{\kappa }(\epsilon )$（如改变门集、相互作用拓扑）优化热化速率

13.1.10 总结：热力学箭头的量子起源

让我们回到本节开头的问题：为什么孤立量子系统能够热化？

GLS理论给出的答案是：

graph TD
    A["公设混沌QCA五条公理"] --> B["近似单位设计"]
    B --> C["Haar随机本征基的典型性"]
    C --> D["QCA-ETH定理"]

    D --> E["对角ETH：本征态看起来都热化"]
    D --> F["非对角ETH：涨落被指数抑制"]

    E --> G["时间平均 = 微正则平均"]
    F --> G

    H["统一时间刻度 kappa"] --> I["熵增长速率 v_ent"]
    I --> J["统一时间-ETH-熵增长定理"]

    G --> K["热力学第二定律"]
    J --> K

    K --> L["热力学箭头不是假设,而是定理!"]

核心洞察：

1. ETH不是假设，而是定理：从公设混沌QCA的公理推导，热化成为数学必然性

2. 统一时间刻度的根本地位：$\kappa (\omega )$ 不仅连接几何与散射，更控制热化速率、黑洞Page曲线、量子计算退相干

3. 热力学箭头的起源：在统一时间刻度下，熵密度的单调增长是QCA—统一时间—ETH三位一体的结构性结果

4. 普适性：该框架适用于任何满足公设混沌QCA公理的系统：从黑洞内部、到量子计算机、到宇宙本身

哲学反思：

Loschmidt佯谬的解决不需要引入“粗粒化“、“系综平均”、“主观观察者“等额外概念。相反：

宏观热力学是微观量子演化在局域观察下的必然涌现，而“局域性“正是公设混沌QCA的内禀结构。

这意味着：时间箭头、熵增加、热平衡——这些看似需要额外假设的概念，实际上是几何—因果—统一时间刻度结构的必然后果。

在这个意义上，GLS理论完成了从玻尔兹曼到吉布斯、从爱因斯坦到薛定谔的百年追问：为什么宇宙不是永恒静止的平衡态，而是充满变化、生成、演化的动态过程？

答案就藏在统一时间刻度的数学结构中。

下一节预告：

第13.2节 时间晶体：时间对称性的自发破缺

我们将探索一个更激进的问题：

既然空间平移对称性可以自发破缺（形成晶体），时间平移对称性能否也自发破缺，形成“时间晶体“？

答案既出乎意料又在情理之中：在平衡态中不可能，但在非平衡驱动系统中可能且已实现！我们将看到：

• 预热离散时间晶体的指数长寿命 ${\tau }_{\ast }\sim e^{c\omega /J}$
• MBL时间晶体的本征态序与 $\pi$ 谱配对
• 开系耗散时间晶体的Liouvillian谱隙
• 拓扑时间晶体的逻辑算符序参量

统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 将再次扮演核心角色，控制所有这些非平衡相的稳定性与寿命。

准备好了吗？让我们进入时间维度的对称破缺世界！