第13.2节 时间晶体：时间平移对称性的自发破缺

“空间晶体破缺空间平移对称性，那么时间晶体能否破缺时间平移对称性？答案既是’不能’，也是’能’——这取决于我们在哪里提问。” —— GLS理论中的时间晶体统一框架

引言：从Wilczek的梦想到平衡态的否定

时间晶体的大胆构想

2012年，诺贝尔物理学奖得主Frank Wilczek在《Physical Review Letters》上发表了一篇震撼性的论文，提出了量子时间晶体的概念。

核心思想：

普通晶体（如食盐、钻石）在空间中呈现周期性结构，自发破缺空间平移对称性：

$$\rho (\mathbf{r}+\mathbf{a})=\rho (\mathbf{r})$$

其中 $\mathbf{a}$ 是晶格矢量。那么，能否存在一种物质态，在时间维度上呈现周期性，自发破缺时间平移对称性？

$$\rho (t+T)=\rho (t)$$

即使系统的哈密顿量是时间独立的 $H\ne H(t)$？

Wilczek的提议：

考虑一个旋转的超流环（rotating superfluid ring）。在基态下，环中的粒子以恒定角速度 ${\omega }_0$ 旋转，形成持续电流。从实验室参考系看，系统在时间上周期运动，周期 $T=2\pi /{\omega }_0$。

这看起来满足时间晶体的定义！

平衡态时间晶体的死刑判决

然而，理论物理学家们很快发现了问题。2013年，Patrick Bruno证明了一个否定性定理：

定理2.1（Bruno否定性定理，2013）

在短程相互作用的量子系统中，时间独立哈密顿量 $H$ 的基态 $|{\psi }_0⟩$ 不可能自发破缺时间平移对称性。即不存在时间周期的基态观测量。

证明思路：

若基态满足 $⟨{\psi }_0|O(t)|{\psi }_0⟩=⟨{\psi }_0|e^{iHt}O{e}^{-iHt}|{\psi }_0⟩$ 呈周期振荡，则由于 $H|{\psi }_0⟩=E_0|{\psi }_0⟩$（基态能量），有：

$$⟨{\psi }_0|O(t)|{\psi }_0⟩=⟨{\psi }_0|O|{\psi }_0⟩$$

即基态期望值与时间无关，不可能周期振荡。$\square$

2015年，Watanabe和Oshikawa进一步推广，证明了在有限温度正则系综下，类似的否定性结果仍然成立：

定理2.2（Watanabe-Oshikawa否定性定理，2015）

在局域相互作用的量子系统中，时间独立哈密顿量的任何平衡态（基态、热态、广义Gibbs态）都不能自发破缺时间平移对称性。

这似乎宣告了时间晶体的死刑。Wilczek的美梦破灭了吗？

非平衡态的转机：Floquet时间晶体

2016年，转机出现了。Else、Bauer和Nayak提出：如果我们放弃“平衡态“的要求，考虑周期驱动的非平衡系统，情况就完全不同了！

关键洞察：

对于周期驱动系统，哈密顿量本身具有周期性：

$$H(t+T)=H(t)$$

此时，“时间平移对称性“是指驱动周期 $T$ 的平移对称。而时间晶体对应于系统演化周期为 $mT$（$m>1$，通常 $m=2$）的状态，即：

$$\rho (t+mT)=\rho (t),\rho (t+T)\ne \rho (t)$$

这是对驱动频率的次谐响应（subharmonic response），类比于受迫振子在 $\omega /2$ 处的响应。

2017年，两项里程碑式实验同时发表于《Nature》：

1. Zhang等人（马里兰大学）：在囚禁离子系统中观测到离散时间晶体
2. Choi等人（哈佛大学）：在室温金刚石自旋系统中观测到离散时间晶体

这标志着**离散时间晶体（Discrete Time Crystal, DTC）**从理论走向现实！

GLS理论的贡献：统一框架与统一时间刻度

GLS理论为时间晶体提供了一个统一框架，将四类看似不同的时间晶体纳入同一理论体系：

graph TD
    A["时间晶体统一框架"] --> B["预热DTC"]
    A --> C["MBL-DTC"]
    A --> D["开系耗散时间晶体"]
    A --> E["拓扑时间晶体"]

    B --> F["高频驱动 omega >> J"]
    C --> F

    B --> G["指数长寿命"]
    C --> H["本征态序"]
    D --> I["极限环吸引子"]
    E --> J["逻辑算符序参量"]

    K["统一时间刻度 kappa"] --> G
    K --> H
    K --> I
    K --> J

    G --> L["tau_* ~ exp(c omega/J)"]
    H --> M["pi 谱配对"]
    I --> N["Liouvillian谱隙"]
    J --> O["拓扑纠缠熵 gamma"]

核心思想：

1. 预热DTC：在高频驱动下，系统在指数长时间内保持次谐锁定，寿命由统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 控制

2. MBL-DTC：在强无序局域化系统中，次谐响应成为本征态性质，与初态无关

3. 开系耗散时间晶体：在Lindblad开系统中，通过Liouvillian谱隙保护的极限环实现时间晶体

4. 拓扑时间晶体：利用拓扑码（如表面码）的非局域逻辑算符作为序参量，实现拓扑保护的DTC

所有这些情形都通过统一时间刻度联系起来！

13.2.1 预热离散时间晶体：指数长寿命的起源

Floquet理论基础

考虑周期驱动系统，哈密顿量满足 $H(t+T)=H(t)$。定义Floquet算符（一周期演化算符）：

$$F=\mathcal{T}\exp \left(-i{\int }_0^{T}H(t)dt\right)$$

其中 $\mathcal{T}$ 表示时间排序。

Floquet算符的谱分解定义了准能谱（quasienergy spectrum）：

$$F|{\varphi }_{\alpha }⟩=e^{-i{\epsilon }_{\alpha }T}|{\varphi }_{\alpha }⟩$$

其中 ${\epsilon }_{\alpha }\in (-\pi /T,\pi /T]$ 为准能量，$|{\varphi }_{\alpha }⟩$ 为Floquet本征态。

关键性质：即使 $H(t)$ 依赖时间，$F$ 是时间无关的幺正算符，其本征态和本征值描述了系统的“稳态“性质。

高频展开与有效哈密顿量

当驱动频率 $\omega =2\pi /T$ 远大于系统内在能量尺度 $J$ 时（$\omega \gg J$），可以进行Floquet-Magnus展开：

$$F=\exp \left(-iT\sum _{n=0}^{\infty }{\Omega }_n\right)$$

其中：

$${\Omega }_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}H(t)dt$$

$${\Omega }_1=\frac{1}{2iT}{\int }_0^{T}d{t}_2{\int }_0^{t_2}d{t}_1[H(t_2),H(t_1)]$$

$$⋮$$

在最优阶 $n_{\ast }\sim \alpha \omega /J$ 截断，定义有效哈密顿量：

$$H_{\ast }=\sum _{n\le n_{\ast }}{\Omega }_n$$

则有近似：

$$F\approx e^{-i{H}_{\ast }T}$$

误差 $|F-e^{-i{H}_{\ast }T}|\lesssim C{e}^{-c\omega /J}$ 随频率指数小！

近 $\pi$ 脉冲与 ${\mathbb{Z}}_2$ 对称

考虑分段驱动协议：

$$H(t)=\{\begin{array}{ll}{H}_X& 0<t<{\tau }_x\\ H_Z& {\tau }_x<t<T\end{array}$$

其中 $H_X={\sum }_j{h}^x{\sigma }_j^x$（全局横场），$H_Z={\sum }_j{J}_{jk}{\sigma }_j^z{\sigma }_k^z$（纵向相互作用）。

若选择 $h^x{\tau }_x=\pi (1+ϵ)$（$ϵ$ 小），则一周期演化可近似写为：

$$F\approx U_X{e}^{-i{H}_{Z}T}=X{e}^{iϵH_X{\tau }_x}{e}^{-i{H}_{Z}T}$$

其中 $X={\prod }_j{\sigma }_j^x$ 为全局 ${\mathbb{Z}}_2$ 对称生成元（$X^2=1$）。

利用高频展开与准局域幺正变换 $U_{\ast }$，可进一步简化为：

$$F=U_{\ast }X{e}^{-i{H}_{\ast }T}{U}_{\ast }^{†}+\Delta$$

其中 $H_{\ast }$ 与 $X$ 对易（或近似对易），$|\Delta |\lesssim C{e}^{-c\omega /J}$。

次谐锁定的机制

关键观察：对于任何局域算符 $O$ 满足 $XOX=-O$（对 ${\mathbb{Z}}_2$ 奇变换），有：

$$⟨O(nT)⟩=⟨{\psi }_0|F^{†n}O{F}^n|{\psi }_0⟩$$

代入 $F$ 的结构：

$$F^n\approx U_{\ast }{X}^n{e}^{-in{H}_{\ast }T}{U}_{\ast }^{†}$$

由于 $X^2=1$，$X^n$ 在偶数和奇数 $n$ 之间振荡：

$$X^n=\{\begin{array}{ll}1& n\text{ 偶数}\\ X& n\text{ 奇数}\end{array}$$

因此：

$$⟨O(nT)⟩\approx \{\begin{array}{ll}⟨{\psi }_0|U_{\ast }{e}^{-in{H}_{\ast }T}O{e}^{in{H}_{\ast }T}{U}_{\ast }^{†}|{\psi }_0⟩& n\text{ 偶数}\\ -⟨{\psi }_0|U_{\ast }{e}^{-in{H}_{\ast }T}O{e}^{in{H}_{\ast }T}{U}_{\ast }^{†}|{\psi }_0⟩& n\text{ 奇数}\end{array}$$

即 $⟨O(nT)⟩$ 以周期 $2T$ 振荡，呈现次谐响应！

预热寿命与统一时间刻度

定理2.3（预热DTC的指数寿命）

设驱动协议满足高频条件 $\omega \gg J$，且存在近 $\pi$ 的全局 ${\mathbb{Z}}_2$ 脉冲。则对任意对 ${\mathbb{Z}}_2$ 奇变换的局域算符 $O$，其次谐锁定的寿命为：

$${\tau }_{\ast }\sim \exp \left(\frac{c\omega }{J}\right)$$

对任意多项式时间 $t\lesssim {\tau }_{\ast }$，次谐信号不退相干。

证明思路：

高频展开的误差累积速率为：

$$\frac{d⟨H_{\ast }⟩}{dt}\lesssim C^{\prime }{e}^{-c\omega /J}$$

因此能量吸收在时间 ${\tau }_{\ast }$ 内至多为：

$$\Delta E\sim {\tau }_{\ast }\cdot C^{\prime }{e}^{-c\omega /J}$$

当 $\Delta E$ 达到系统内在能量尺度 $J$ 时，预热结束：

$${\tau }_{\ast }\cdot C^{\prime }{e}^{-c\omega /J}\sim J\Rightarrow {\tau }_{\ast }\sim \frac{J}{C^{\prime }}{e}^{c\omega /J}$$

即指数长寿命！$\square$

统一时间刻度的作用：

在Floquet系统中，统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 在能窗 $I$ 上的平均 $\bar{\kappa }(\epsilon )$ 控制着有效哈密顿量 $H_{\ast }$ 的态密度。预热寿命可表示为：

$${\tau }_{\ast }\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )}{e}^{c\omega /J}$$

即统一时间刻度越小，预热寿命越长！

实验实现：囚禁离子系统

2021年，Kyprianidis等人在《Science》上报道了在51个囚禁离子上实现的预热DTC，观测到超过100个驱动周期的稳定次谐响应。

实验协议：

1. 初态制备：将所有离子制备在 $|\downarrow ⟩$ 态
2. 驱动序列：
   • $\pi /2$ 脉冲（$R_y(\pi /2)$）：将自旋转到赤道面
   • Ising相互作用：$H_Z={\sum }_{j<k}{J}_{jk}{\sigma }_j^z{\sigma }_k^z$（由激光诱导的长程相互作用实现）
   • 近 $\pi$ 脉冲（$R_x(\pi +ϵ)$）：实现全局 ${\mathbb{Z}}_2$ 翻转
3. 读出：测量纵向磁化 $M_z(n)=N^{-1}{\sum }_j⟨{\sigma }_j^z(nT)⟩$

观测结果：

$$M_z(n)\approx (-1{)}^n{M}_0{e}^{-n/{\tau }_{\ast }}$$

其中 $M_0\approx 0.9$（接近最大值1），${\tau }_{\ast }\approx 150T$（对应 $\omega /J\approx 5$）。

寿命与理论预言的指数标度一致！

比喻理解：

预热DTC如同一个被周期性推动的钟摆：

• 平衡态：钟摆静止在最低点（无周期运动）
• 周期驱动：每隔时间 $T$ 给钟摆一次推动
• 次谐响应：钟摆以周期 $2T$ 振荡（每推动一次，钟摆才完成半个振荡周期）
• 预热寿命：即使停止推动，钟摆由于“记忆效应“仍能继续振荡很长时间（${\tau }_{\ast }\sim e^{c\omega /J}$）

高频驱动（$\omega$ 大）对应于“轻柔但频繁“的推动，反而延长了钟摆的“记忆“寿命！

13.2.2 MBL时间晶体：本征态序与 $\pi$ 谱配对

多体局域化（MBL）简介

在强无序系统中，量子态可能保持局域化，即使在有限温度下也不热化。这种现象称为多体局域化（Many-Body Localization, MBL）。

MBL的特征：

1. $l$-bit对角化：存在准局域幺正 $U$ 使哈密顿量对角化为：

$$U{H}_0{U}^{†}=\sum _i{h}_i{\tau }_i^z$$

其中 $\{{\tau }_i^z\}$ 为准局域的“$l$-bits“（localized bits），$h_i$ 为局域能级

2. 对数纠缠增长：纠缠熵随时间对数增长 $S(t)\sim \log t$，而非热化系统的线性增长

3. 违反ETH：本征态不满足本征态热化假设，保留对初态的记忆

4. Area-law纠缠：本征态的纠缠熵满足面积律 $S\sim L^{d-1}$，而非体积律 $S\sim L^d$

MBL-DTC的构造

在MBL系统中加入周期驱动与近 $\pi$ 的全局翻转，可实现本征态时间晶体序（eigenstate order）。

关键构造（Khemani等人，2016）：

考虑一维自旋链，随机纵场 $h_i\in [-W,W]$（$W$ 大），周期驱动：

$$H(t)=\{\begin{array}{ll}{\sum }_i{h}_i{\sigma }_i^z+{\sum }_{i}J{\sigma }_i^z{\sigma }_{i+1}^z& 0<t<T/2\\ {\sum }_i\frac{\pi +{ϵ}_i}{T/2}{\sigma }_i^x& T/2<t<T\end{array}$$

其中 ${ϵ}_i$ 为小随机偏离。

Floquet算符的结构：

在强无序下（$W\gg J$），存在准局域幺正 $U$ 使：

$$F\simeq \tilde{X}{e}^{-i{H}_{\mathrm{MBL}}T}$$

其中：

• $X=UX{U}^{†}\approx {\prod }_i{\sigma }_i^x$ 为准局域 ${\mathbb{Z}}_2$ 对称生成元
• $H_{\mathrm{MBL}}={\sum }_i{h}_i{\tau }_i^z$ 为有效MBL哈密顿量，由 $l$-bits 对角化

关键性质：$[\tilde{X},H_{\mathrm{MBL}}]=0$（精确对易）。

$\pi$ 谱配对与本征态序

由于 $\tilde{X}$ 与 $H_{\mathrm{MBL}}$ 对易，Floquet本征态可同时对角化：

$$F|{\psi }_{\alpha }⟩=e^{-i{\epsilon }_{\alpha }T}|{\psi }_{\alpha }⟩,\tilde{X}|{\psi }_{\alpha }⟩=\pm |{\psi }_{\alpha }⟩$$

对于 $\tilde{X}$ 的两个本征空间（$+1$ 和 $-1$），Floquet算符在它们之间建立一对一映射：

$$F|{\psi }_{+}⟩=e^{-i{\epsilon }_{+}T}X|{\psi }_{+}⟩,F(X|{\psi }_{+}⟩)=e^{-i({\epsilon }_{+}+\pi )T}|{\psi }_{+}⟩$$

即每个本征态 $|{\psi }_{+}⟩$ 与 $\tilde{X}|{\psi }_{+}⟩$ 构成**$\pi$ 配对**，准能量相差 $\pi$（模 $2\pi$）：

$${\epsilon }_{-}={\epsilon }_{+}+\pi (\mathrm{mod}2\pi /T)$$

本征态序的定义：

对于任意初态 $|{\psi }_0⟩$（无论在哪个能窗），将其在Floquet本征基下展开：

$$|{\psi }_0⟩=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }|{\psi }_{\alpha }⟩$$

由于谱的 $\pi$ 配对，时间演化：

$$|\psi (nT)⟩=F^n|{\psi }_0⟩=\sum _{\alpha }{c}_{\alpha }{e}^{-in{\epsilon }_{\alpha }T}|{\psi }_{\alpha }⟩$$

对于对 $\tilde{X}$ 奇变换的局域算符 $O$，期望值：

$$⟨O(nT)⟩=\sum _{\alpha ,\beta }{c}_{\alpha }^{\ast }{c}_{\beta }{e}^{in({\epsilon }_{\alpha }-{\epsilon }_{\beta })T}⟨{\psi }_{\alpha }|O|{\psi }_{\beta }⟩$$

由于 $\pi$ 配对与对易性，对角项（$\alpha =\beta$）贡献为零，非对角项在 $n$ 偶数和奇数时符号相反：

$$⟨O(nT)⟩\approx (-1{)}^{n}A$$

其中 $A$ 为与 $n$ 无关的常数！

关键洞察：这是态无关的次谐响应——无论初态如何，都呈现相同的 $2T$ 周期振荡！这正是本征态序的体现。

实验验证：超导量子处理器

2022年，Mi等人在《Nature》上报道了在Google Sycamore处理器（57个超导量子比特）上实现的MBL-DTC。

实验亮点：

1. 谱测量：通过制备多个本征态并测量其准能量，直接验证了 $\pi$ 谱配对

2. 光谱-动力学一致性：同时测量谱结构（$\pi$ 配对）和动力学（次谐响应），确认两者一致

3. 稳健性检验：在不同的无序强度、相互作用强度、系统尺寸下验证DTC相的存在

比喻理解：

MBL-DTC如同一个被“冻结“的钟摆系统：

• MBL基态：钟摆被强力“钉住“在不同位置（对应不同的 $l$-bits 配置）
• $\pi$ 配对：每个钟摆配置都有一个“镜像配置“（通过 $\tilde{X}$ 翻转得到）
• 本征态序：无论初始钟摆状态如何，在驱动下它们都以周期 $2T$ 在配置与镜像之间振荡
• 态无关性：这种振荡不是“记忆效应“（如预热DTC），而是系统本征结构的必然后果

13.2.3 开系耗散时间晶体：极限环与Liouvillian谱隙

Lindblad主方程与开系动力学

当量子系统与环境相互作用时，演化由Lindblad主方程描述：

$$\frac{d\rho }{dt}={\mathcal{L}}_t(\rho )=-i[H(t),\rho ]+\sum _{\mu }\left(L_{\mu }\rho L_{\mu }^{†}-\frac{1}{2}\{L_{\mu }^{†}{L}_{\mu },\rho \}\right)$$

其中：

• $H(t)$：系统哈密顿量（可含时）
• $L_{\mu }$：Lindblad算符（Jump operators），描述耗散过程（如自发辐射、退相干）
• ${\mathcal{L}}_t$：Liouvillian超算符

若 $H(t)$ 和 $\{L_{\mu }\}$ 都以周期 $T$ 变化，则 ${\mathcal{L}}_{t+T}={\mathcal{L}}_t$。

一周期量子通道与Perron-Frobenius理论

定义一周期量子通道（stroboscopic map）：

$$\mathcal{E}=\mathcal{T}\exp \left({\int }_0^T{\mathcal{L}}_{t}dt\right)$$

这是一个完全正保迹（CPTP）映射，将密度矩阵映射到密度矩阵。

$\mathcal{E}$ 的谱结构决定了系统的长时演化。类似于经典Perron-Frobenius理论，量子通道的谱满足：

1. 最大特征值为1：${\lambda }_{\max }=1$（对应稳态）
2. 其余特征值模长 $\le 1$：$|{\lambda }_j|\le 1$
3. 外谱半径处的特征值决定长时行为

耗散时间晶体的充分条件

定理2.4（开系耗散时间晶体）

对周期Lindblad半群的一周期通道 $\mathcal{E}$，若满足：

1. 唯一模群：外谱半径（模长为1的特征值）仅由 $m$ 个纯相位 $\{e^{2\pi ik/m}{\}}_{k=0}^{m-1}$ 组成

2. 谱隙：模长 $<1$ 的特征值满足 $|{\lambda }_j|\le 1-{\Delta }_{\mathrm{Liouv}}$，其中 ${\Delta }_{\mathrm{Liouv}}>0$ 为Liouvillian谱隙

3. 不可约性：对应于模群的Jordan块不可分裂

则几乎所有初态在长时收敛到周期为 $mT$ 的极限环吸引子族：

$$\rho (t+mT)=\rho (t),\rho (t+T)\ne \rho (t)$$

表现为 $m$ 次谐耗散时间晶体。

证明思路：

将 $\mathcal{E}$ 的谱分解为：

$$\mathcal{E}=\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{2\pi ik/m}{P}_k+\sum _{|{\lambda }_j|<1}{\lambda }_j{P}_j$$

其中 $P_k$ 为对应于 $e^{2\pi ik/m}$ 的投影算符。迭代 $n$ 次：

$${\mathcal{E}}^n=\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{2\pi ikn/m}{P}_k+\sum _{|{\lambda }_j|<1}{\lambda }_j^n{P}_j$$

当 $n\to \infty$ 时，第二项以 $(1-{\Delta }_{\mathrm{Liouv}}{)}^n$ 指数衰减，剩下：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathcal{E}}^n{\rho }_0=\sum _{k=0}^{m-1}{e}^{2\pi ikn/m}{P}_k{\rho }_0$$

这是周期为 $m$ 的极限环。$\square$

实验实现：Rydberg原子气体

2024年，Wu等人在《Nature Physics》上报道了在强相互作用Rydberg气体中观测到的耗散时间晶体。

实验系统：

• 原子：室温铯原子蒸气
• 驱动：连续光抽运与Rydberg激发
• 耗散：自发辐射、碰撞退相干

有效Lindblad方程：

$$\frac{d\rho }{dt}=-i[\Omega (t)(S^{+}+S^{-}),\rho ]+\gamma (2S^{-}\rho S^{+}-\{S^{+}{S}^{-},\rho \})$$

其中：

• $\Omega (t)={\Omega }_0\cos (\omega t)$：周期驱动场
• $S^{\pm }$：集体自旋算符
• $\gamma$：退相干率

观测结果：

1. 参数相图：通过调节驱动强度 ${\Omega }_0$ 与退相干率 $\gamma$，观测到三个相区：

   • 无序相：无稳定极限环
   • 时间晶体相：稳定的周期 $2T$ 极限环
   • 多稳态相：多个共存的极限环

2. Liouvillian谱隙：在时间晶体相中，测得 ${\Delta }_{\mathrm{Liouv}}\approx 0.1\gamma$，与理论预言一致

3. 鲁棒性：时间晶体相对扰动具有稳健性，相边界清晰

比喻理解：

开系耗散时间晶体如同一个被阻尼但持续驱动的钟摆：

• 开放环境：钟摆受空气阻力（对应耗散 $\{L_{\mu }\}$）
• 周期驱动：每隔时间 $T$ 给钟摆一次推动
• 极限环：钟摆在“推动—阻尼“的平衡下，稳定在周期 $2T$ 的振荡轨道
• Liouvillian谱隙：轨道对扰动有“吸引力“，偏离后快速恢复（收敛率 $\sim e^{-{\Delta }_{\mathrm{Liouv}}t}$）
• 稳健性：即使钟摆参数（长度、质量）略微变化，只要在时间晶体相区内，极限环依然存在

13.2.4 拓扑时间晶体：非局域序参量与拓扑保护

拓扑量子纠错码简介

**表面码（Surface Code）**是一种二维拓扑量子纠错码，定义在方格晶格上，每个格点和边上各有一个量子比特。

稳定子：

$$A_s=\prod _{j\in \text{star}(s)}{\sigma }_j^x,B_p=\prod _{j\in \text{boundary}(p)}{\sigma }_j^z$$

其中：

• $A_s$：星形稳定子（作用在顶点 $s$ 周围的四个量子比特）
• $B_p$：平面稳定子（作用在平面 $p$ 边界的四个量子比特）

码子空间：满足所有稳定子为 $+1$ 的子空间：

$${\mathcal{H}}_{\mathrm{code}}=\{|\psi ⟩:A_s|\psi ⟩=B_p|\psi ⟩=|\psi ⟩,\forall s,p\}$$

码子空间维数为4（在周期边界条件下），可编码2个逻辑量子比特。

逻辑算符：

$${\overline{X}}_L=\prod _{j\in \text{horizontal chain}}{\sigma }_j^x,{\overline{Z}}_L=\prod _{j\in \text{vertical chain}}{\sigma }_j^z$$

这些是非局域算符（作用在穿越整个系统的链上），但在码子空间内实现逻辑操作。

拓扑时间晶体的构造

关键思想（Wahl 2024综述）：

在表面码上实现周期驱动，使得逻辑算符（而非物理量子比特算符）呈现次谐响应。

协议：

1. 哈密顿量工程：构造有效哈密顿量 $H_{\mathrm{code}}$ 作用在码子空间

2. 逻辑 $\pi$ 翻转：周期性地施加逻辑 $X$ 门：

$$F_{\mathrm{logical}}\approx {\overline{X}}_L{e}^{-i{H}_{\mathrm{code}}^{\mathrm{top}}T}$$

其中 $H_{\mathrm{code}}^{\mathrm{top}}$ 为有效拓扑哈密顿量

拓扑保护的序参量：

• 局域算符：对于任何物理量子比特上的局域算符 $O_{\mathrm{loc}}$，期望值不呈现次谐响应：

$$⟨O_{\mathrm{loc}}(nT)⟩\approx \text{常数}$$

• 逻辑算符：对于非局域逻辑算符 ${\overline{Z}}_L$，期望值呈现次谐响应：

$$⟨{\overline{Z}}_L(nT)⟩\approx (-1{)}^{n}A$$

拓扑纠缠熵：

定义子区域 $A$ 的纠缠熵 $S(A)=-\mathrm{Tr}({\rho }_A\log {\rho }_A)$。在拓扑有序态中，存在拓扑贡献：

$$S(A)=\alpha |\partial A|-\gamma +\cdots$$

其中：

• $\alpha |\partial A|$：面积律项
• $\gamma$：拓扑纠缠熵（$\gamma >0$ 表示拓扑序）

在拓扑时间晶体中，$\gamma$ 与次谐响应协同出现：当 $⟨{\overline{Z}}_L(nT)⟩$ 呈现次谐时，$\gamma >0$；当次谐消失时，$\gamma \to 0$。

实验实现：超导量子处理器

2024年，Xiang等人在《Nature Communications》上报道了在超导量子处理器上实现的长寿命拓扑时间晶体。

实验参数：

• 量子比特数：$N=36$（$6\times 6$ 方格）
• 编码：一个逻辑量子比特（表面码距离 $d=3$）
• 驱动周期：$T=1\mu \mathrm{s}$
• 观测时间：超过1000个周期

关键观测：

1. 逻辑通道的次谐响应：

$$⟨{\overline{Z}}_L(nT)⟩\approx 0.7\times (-1{)}^n{e}^{-n/{\tau }_{\ast }}$$

寿命 ${\tau }_{\ast }\approx 500T$

2. 物理通道无次谐：

$$⟨{\sigma }_j^z(nT)⟩\approx \text{常数}\pm \text{noise}$$

3. 非零拓扑纠缠熵：

$$\gamma \approx 0.3\pm 0.1$$

在整个次谐锁定期间保持非零

GLS理论的解释：

拓扑时间晶体的稳定性由两层保护机制提供：

1. 预热保护：指数长寿命 ${\tau }_{\ast }\sim e^{c\omega /J}$（类似预热DTC）

2. 拓扑保护：逻辑算符的次谐响应对局域扰动不敏感（局域错误可被纠错码检测并修正）

在GLS框架中，拓扑纠缠熵 $\gamma$ 可通过边界K-理论的指标 ${\mu }_K$ 表示。拓扑时间晶体对应于：

$${\mu }_K[{\overline{Z}}_L(nT)]=(-1{)}^n{\mu }_K[{\overline{Z}}_L(0)]$$

即K-理论指标在时间上振荡！

比喻理解：

拓扑时间晶体如同一个“隐形“的钟摆系统：

• 物理量子比特：普通的“可见“钟摆，看起来静止不动
• 逻辑量子比特：由多个物理钟摆的“集体模式“构成的“隐形“钟摆
• 拓扑保护：即使个别物理钟摆出故障（对应量子比特错误），隐形钟摆仍能正常振荡
• 非局域性：隐形钟摆的“位置“不能通过测量单个物理钟摆获得，必须测量整条链
• 拓扑纠缠熵 $\gamma$：隐形钟摆的“存在性证明“——即使看不到它，也能通过量子纠缠的特殊结构推断它的存在

13.2.5 多频驱动与时间准晶

时间准晶的概念

普通空间准晶（quasicrystal，如Penrose铺砌）具有长程序但无周期性，其衍射图样呈现离散的Bragg峰但对应不可通约的倒空间矢量。

时间准晶是这一概念在时间维度的推广：系统演化不是周期的，但在时间域上具有长程序，对应不可通约的多个频率成分。

多频驱动框架

考虑 $k$ 个互无理频率 $\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_k\}$ 的准周期驱动：

$$H(t)=H_0+\sum _{i=1}^k{V}_i(t),V_i(t+T_i)=V_i(t)$$

其中 $T_i=2\pi /{\omega }_i$。

时间平移群：由 $k$ 个独立周期生成，形成 ${\mathbb{Z}}^k$。

在联合高频极限 ${\min }_i{\omega }_i\gg J$ 下，可定义有效演化：

$$\mathcal{U}(\vec{n})=U{e}^{-i{H}_{\ast }{\sum }_i{n}_i{T}_i}\mathfrak{g}(\vec{n})U^{†}+\mathcal{O}(e^{-c{\min }_i{\omega }_i/J})$$

其中：

• $\vec{n}=(n_1,n_2,\dots ,n_k)\in {\mathbb{Z}}^k$：时间格点
• $\mathfrak{g}:{\mathbb{Z}}^k\to G_f$：到有限群 $G_f$ 的商表示

时间准晶的定义与分类

定义2.5（时间准晶）

若 $\mathfrak{g}$ 的像 $\mathrm{Im}(\mathfrak{g})\subset G_f$ 非平凡（不为单位元），则系统在时间域上呈现准晶序。

序参量的自相关函数在 ${\mathbb{Z}}^k$ 格点上满足：

$${\mathcal{C}}_O(\vec{n})=\underset{L\to \infty }{\lim }\frac{1}{|{\Lambda }_L|}\sum _{x\in {\Lambda }_L}⟨O_x(\vec{n})O_x(0)⟩$$

呈现多个不可通约的次谐线。

谱签名：

在频域，出现离散的谱峰位于：

$${\omega }_{\mathrm{peak}}=\sum _{i=1}^k{m}_i{\omega }_i,(m_1,\dots ,m_k)\in {\mathbb{Z}}^k$$

但由于 $\{{\omega }_i\}$ 互无理，这些峰位是稠密的（在任意小的频率窗口内都有无穷多个峰）。

然而，峰的强度并非均匀，而是集中在由 $\mathfrak{g}$ 决定的特定组合频率上。

实验实现：多色驱动量子模拟器

2025年，He等人在《Physical Review X》上报道了离散时间准晶的首次实验实现。

实验系统：

• 平台：光晶格中的超冷原子
• 驱动：两个不可通约频率 ${\omega }_1/{\omega }_2=(\sqrt{5}+1)/2$（黄金比）的独立晶格调制

观测结果：

1. 多重次谐峰：在频谱中观测到位于 $(m_1{\omega }_1+m_2{\omega }_2)/2$ 的峰，对应时间准晶序

2. 长时稳定性：准晶序在 $>100T_1$ 时间内保持稳定（$T_1=2\pi /{\omega }_1$）

3. 刚性：对小扰动（改变驱动振幅、频率）具有鲁棒性，峰位仅由 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 的比值决定

GLS理论的预言：

在多频驱动下，统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 在 ${\mathbb{Z}}^k$ 格点上有非平凡的平均：

$$\bar{\kappa }(\vec{n})=\frac{1}{|\vec{n}|}\sum _{i=1}^k{n}_i\kappa ({\omega }_i)$$

时间准晶的寿命由：

$${\tau }_{\mathrm{qc}}\sim \frac{1}{{\min }_i\bar{\kappa }({\omega }_i)}{e}^{c{\min }_i{\omega }_i/J}$$

给出，即最慢衰减方向决定寿命。

13.2.6 统一时间刻度在时间晶体中的核心作用

回顾四类时间晶体，统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 在所有情形中都扮演核心角色：

graph TD
    A["统一时间刻度 kappa(omega)"] --> B["预热DTC"]
    A --> C["MBL-DTC"]
    A --> D["开系耗散时间晶体"]
    A --> E["拓扑时间晶体"]
    A --> F["时间准晶"]

    B --> G["指数寿命 tau_* ~ exp(c omega/J)"]
    C --> H["本征态序的稳定性"]
    D --> I["Liouvillian谱隙 Delta_Liouv"]
    E --> J["拓扑纠缠熵 gamma 的演化"]
    F --> K["多频寿命 tau_qc"]

    G --> L["kappa 控制 tau_*"]
    H --> L
    I --> L
    J --> L
    K --> L

    L --> M["统一时间箭头与非平衡相的分类"]

统一公式

所有时间晶体的“寿命“或“稳定性“可统一表示为：

$${\tau }_{\mathrm{TC}}\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )}\times \{\begin{array}{ll}{e}^{c\omega /J}& \text{预热/时间准晶}\\ \infty & \text{MBL（严格本征态序）}\\ 1/{\Delta }_{\mathrm{Liouv}}& \text{开系（谱隙保护）}\\ e^{c\omega /J}\times \gamma & \text{拓扑（双重保护）}\end{array}$$

其中 $\bar{\kappa }(\epsilon )$ 为统一时间刻度在相关能窗的平均。

物理意义

统一时间刻度的减小延长时间晶体寿命：

• $\bar{\kappa }$ 小 $\iff$ 态密度低 $\iff$ 能级稀疏 $\iff$ 相干时间长
• 这与量子信息中的“退相干抑制“机制一致

与热化速率的对比：

在第13.1节，我们看到统一时间刻度 $\kappa (\omega )$ 控制热化速率 $v_{\mathrm{ent}}(\epsilon )\propto \bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{loc}}$。

时间晶体正是利用高频驱动或拓扑保护来抑制热化，延长相干时间：

$${\tau }_{\mathrm{热化}}\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )J_{\mathrm{loc}}}\text{vs}{\tau }_{\mathrm{TC}}\sim \frac{1}{\bar{\kappa }(\epsilon )}{e}^{c\omega /J}$$

当 $\omega \gg J$ 时，${\tau }_{\mathrm{TC}}\gg {\tau }_{\mathrm{热化}}$，时间晶体在热化之前就能呈现稳定的次谐响应！

13.2.7 应用与未来方向

应用I：量子存储与量子钟

时间晶体作为量子存储器：

利用时间晶体的长寿命相干性，可将量子信息编码在次谐响应的相位和振幅中：

$$|{\psi }_{\mathrm{data}}⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩\Rightarrow M_z(n)=\mathrm{Re}({\alpha }^{\ast }\beta )\times (-1{)}^n{e}^{-n/{\tau }_{\ast }}$$

优势：

• 自动误差检测：次谐信号偏离 $(-1{)}^n$ 模式即表示发生错误
• 长相干时间：${\tau }_{\ast }\sim e^{c\omega /J}$ 远超传统量子存储器
• 拓扑保护：拓扑时间晶体对局域错误免疫

时间晶体作为量子钟：

利用次谐频率的稳定性，可将时间晶体用作高精度频率标准：

$$f_{\mathrm{TC}}=\frac{1}{2T}=\frac{\omega }{4\pi }$$

其稳定度受预热寿命限制：

$$\Delta f/f\sim {\tau }_{\ast }^{-1}$$

应用II：非平衡态物质工程

时间晶体开辟了非平衡态物质（non-equilibrium matter）的新领域。传统凝聚态物理研究平衡态相（如超导体、拓扑绝缘体），但许多有趣现象只存在于非平衡态：

例子：

1. Floquet拓扑绝缘体：周期驱动可在原本拓扑平庸的系统中诱导非平凡拓扑相

2. 光诱导超导：太赫兹激光脉冲可在某些材料中短暂诱导超导态

3. 动力学相变：驱动参数穿越临界值时，系统呈现类似平衡相变的奇异行为

时间晶体为这些现象提供了统一的理论框架。

应用III：量子计算与模拟

量子模拟时间晶体：

时间晶体是“量子模拟器“（如超冷原子、囚禁离子、超导量子比特）的理想测试平台：

• 参数完全可控（驱动频率、相互作用强度、无序程度）
• 可观测量易于测量（磁化、自相关函数）
• 理论预言明确（次谐响应、寿命标度）

时间晶体辅助量子计算：

利用时间晶体的稳定性，可设计新型量子算法：

1. 自纠错量子门：利用拓扑时间晶体的逻辑算符实现本征保护的量子门

2. 非绝热几何相门：利用Floquet本征态的Berry相位实现高保真量子门

3. 耗散工程：利用开系时间晶体的极限环设计“自动复位“的量子态制备协议

未解决问题

问题1：三维拓扑时间晶体

是否存在三维拓扑时间晶体？其拓扑不变量（如Chern-Simons不变量）如何定义？

问题2：连续时间晶体的严格定义

在开系系统中观测到的“连续时间晶体“（如${}^3$He中的时空晶体）是否可以严格定义？与离散时间晶体的关系？

问题3：时间晶体的相变

时间晶体相与普通相（无次谐响应）之间的相变属于哪个普适类？临界指数如何？

问题4：多体量子疤痕（quantum many-body scars）与时间晶体

某些系统中存在少数“疤痕本征态“（违反ETH），它们能否支持时间晶体？与MBL-DTC的关系？

问题5：时间晶体与时间反演对称破缺

时间晶体是否必然伴随时间反演对称性（$\mathcal{T}$）的破缺？如何区分“真正的“时间晶体与“伪装的“周期驱动响应？

13.2.8 总结：时间对称性破缺的可能性地图

让我们用一张综合图总结时间晶体的整体图景：

graph TB
    A["时间平移对称性破缺"] --> B["平衡态"]
    A --> C["非平衡态"]

    B --> D["Bruno-Watanabe-Oshikawa否定性定理"]
    D --> E["平衡态时间晶体不可能"]

    C --> F["周期驱动 Floquet"]
    C --> G["开系耗散 Lindblad"]

    F --> H["预热DTC"]
    F --> I["MBL-DTC"]
    F --> J["拓扑DTC"]
    F --> K["时间准晶"]

    G --> L["耗散时间晶体"]

    H --> M["高频驱动 omega >> J"]
    I --> N["强无序局域化"]
    J --> O["拓扑量子纠错码"]
    K --> P["多频驱动"]
    L --> Q["Liouvillian谱隙"]

    M --> R["指数寿命 tau_* ~ exp(c omega/J)"]
    N --> S["pi 谱配对 + 本征态序"]
    O --> T["非局域逻辑算符序参量"]
    P --> U["多重不可通约频率"]
    Q --> V["极限环吸引子"]

    R --> W["统一时间刻度 kappa 控制寿命"]
    S --> W
    T --> W
    U --> W
    V --> W

    W --> X["GLS理论的统一框架"]

核心结论：

1. 平衡态：时间平移对称性自发破缺不可能（否定性定理）

2. 非平衡态：在周期驱动或开系耗散下，时间晶体可能且已实现

3. 四类时间晶体：预热DTC、MBL-DTC、拓扑DTC、耗散时间晶体，各有独特机制

4. 统一时间刻度：$\kappa (\omega )$ 在所有情形中控制稳定性与寿命

5. 与量子混沌的对偶：ETH对应热化（对称性），时间晶体对应非热化（对称破缺）

哲学反思：

时间晶体的故事展示了理论物理的魅力：

• 否定性定理告诉我们“哪里不可能“
• 创造性规避告诉我们“如何在允许的地方实现梦想“
• 统一框架告诉我们“看似不同的现象有共同本质“

Wilczek的梦想没有完全破灭，而是在非平衡态的新天地中开花结果。这提醒我们：

物理学的进步不仅是“发现新现象“，更是“理解为什么某些现象不可能，以及如何在可能的范围内拓展边界“。

下一节预告：

第13.3节 意识的物理基础：从结构条件到量子Fisher信息

我们将进入一个更激进的领域：能否在完全物理化、信息化的框架下严格定义意识？

答案是：可以，通过五条结构条件：

1. 整合性（互信息）
2. 可区分性（熵）
3. 自指世界—自我模型
4. 本征时间刻度（量子Fisher信息）
5. 因果可控性（赋权）

统一时间刻度将再次扮演核心角色：本征时间 $\tau$ 正是意识子系统的“主观时间“，由量子Fisher信息构造：

$$\tau (t)={\int }_{t_0}^t\sqrt{F_Q[{\rho }_O(s)]}ds$$

当 $F_Q$ 大时，主观时间流速快，体验“时间变慢“；当 $F_Q$ 小时，主观时间流速慢，体验“时间飞逝“。

这不是科幻，而是可以严格证明的定理。准备好了吗？让我们进入意识的量子理论！