06. 兼容性条件的完整推导

引言：约束的网络

前面定义了十个组件和11个兼容性条件（C1-C11），但这些条件不是独立的——它们形成一个相互纠缠的约束网络。

本章目标：

逐一推导每个兼容性条件的数学细节
证明约束之间的自洽性（满足部分即满足全部）
计算约束后的模空间维数

比喻：把宇宙想象成一个魔方：

每个小块 = 一个组件
每次旋转 = 调整一个参数
复原规则 = 兼容性条件

关键洞见：魔方只有一个解（模去对称性）——约束太强，自由度被完全固定。

graph TD
    A["C1: 因果-几何"] --> B["C7: IGVP"]
    B --> C["C2: 几何-测度"]
    C --> D["C3: 测度归一"]
    D --> E["C4: LSZ约化"]
    E --> F["C5: 统一时间刻度"]
    F --> G["C6: KMS条件"]
    G --> B

    H["C8: 熵-观测者"] --> I["C9: 共识条件"]
    I --> J["C10: 可实现性"]
    J --> K["C11: CT论题"]
    K --> A

    style B fill:#ffe6e6
    style F fill:#e6f3ff
    style I fill:#e6ffe6

第一部分：基础三角形（C1-C3）

1.1 条件C1：因果-几何对齐

陈述： $x ⪯_{evt} y \Leftrightarrow Φ_{evt} (x) ⪯_{g} Φ_{evt} (y)$

其中：

左边：事件因果偏序
右边：度规诱导的因果关系（非空间类曲线连接）

定理1.1（Malament-Hawking）：

在全局双曲Lorentz流形 $(M, g)$ 上，因果关系 $⪯_{g}$ 唯一确定共形等价类 $[g]$ 。

证明要点：

(1) 光锥结构确定共形类：

定义null分离： $p \sim_{null} q \Leftrightarrow \exists 类光测地线 γ : p \to q$

引理： $\sim_{null}$ 在微分同胚下不变，且确定 $[g]$ 。

(2) 因果未来的拓扑：

定义因果未来锥： $J^{+} (p) := {q \in M ∣ p ⪯_{g} q}$

关键性质： $J^{+} (p) \cap J^{-} (q) 是紧致的 \Leftrightarrow (M, g) 全局双曲$

(3) 重构度规：

从 ${J^{+} (p)}_{p \in M}$ 的拓扑，可重构：

流形拓扑 $M$
共形类 $[g]$
时间定向

但不能确定具体的共形因子 $Ω^{2}$ （即 $g \sim Ω^{2} g$ ）。

物理意义：因果结构几乎完全决定几何——只差一个“时间尺度“自由度。

C1的非平凡性：

反例：考虑两个度规： $g_{1} = - d t^{2} + d x^{2}, g_{2} = - e^{2 t} d t^{2} + d x^{2}$

都在闵可夫斯基时空上，但：

$g_{1}$ 的因果结构：标准光锥
$g_{2}$ 的因果结构：与 $g_{1}$ 共形等价，但光锥“膨胀“

因此 $Φ_{evt}$ 必须选择正确的共形因子，这由Einstein方程确定（见C7）。

1.2 条件C2：几何-测度诱导

陈述： $d μ_{M} = - g d^{4} x$

其中：

$g = det (g_{ab})$ ：度规行列式
$- g$ ：标量密度（权重+1）

推导：

(1) 坐标变换：

在坐标 $x^{μ}$ 下，体积元： $d^{4} x = d x^{0} d x^{1} d x^{2} d x^{3}$

坐标变换 $x \to x^{'}$ ： $d^{4} x^{'} = \frac{\partial x ^{'}}{\partial x} d^{4} x$

(2) 标量密度变换： $- g^{'} = \frac{\partial x ^{'}}{\partial x}^{- 1} - g$

因此： $- g^{'} d^{4} x^{'} = - g d^{4} x （不变量！）$

(3) 物理解释：

在局域Lorentz标架： $g_{ab} = η_{ab} + h_{ab} (h ≪ 1)$

展开： $- g = 1 + \frac{1}{2} h + O (h^{2}), h := η^{ab} h_{ab}$

物理意义：时空弯曲改变“体积元“——引力效应。

C2的必然性：

定理1.2：在Lorentz流形上，唯一的微分同胚不变测度是 $- g d^{4} x$ 。

证明：

假设存在另一测度 $μ$
由不变性， $μ = f (x) - g d^{4} x$ ， $f$ 是标量
但 $f$ 必须在所有坐标系下恒等于1（否则破坏不变性）
因此 $μ = - g d^{4} x$ ∎

1.3 条件C3：测度归一化

陈述： $\int_{Σ} tr (ρ_{Σ}) d σ = 1$

其中：

$Σ$ ：类空Cauchy超曲面
$ρ_{Σ}$ ：柯西面上的密度矩阵
$d σ$ ：诱导体积元

推导：

(1) 诱导度规：

在 $Σ$ 上，拉回度规： $h_{ij} = g_{μν} \frac{\partial x ^{μ}}{\partial y ^{i}} \frac{\partial x ^{ν}}{\partial y ^{j}}$ 其中 $y^{i}$ 是 $Σ$ 上的坐标。

(2) 法向量：

定义未来指向类时单位法向量 $n^{a}$ ： $g_{ab} n^{a} n^{b} = - 1, n^{a} \nabla_{a} t > 0$

(3) 体积元关系： $d σ = n_{μ} d x^{μ} \land d^{3} y = h d^{3} y$

(4) 概率守恒：

量子态归一化： $⟨ Ψ∣Ψ ⟩ = \int_{Σ} ∣Ψ ∣^{2} d σ = 1$

推广到密度矩阵： $tr (ρ_{Σ}) = n \sum ⟨ n ∣ ρ_{Σ} ∣ n ⟩ = 1$

C3的物理意义：

定理1.3（概率守恒）：

如果 $Σ_{1}, Σ_{2}$ 是两个Cauchy超曲面，且量子演化幺正： $ρ_{Σ_{2}} = U ρ_{Σ_{1}} U^{†}$

则： $\int_{Σ_{1}} tr (ρ_{Σ_{1}}) d σ_{1} = \int_{Σ_{2}} tr (ρ_{Σ_{2}}) d σ_{2}$

证明：

幺正性： $tr (ρ_{Σ_{2}}) = tr (U ρ_{Σ_{1}} U^{†}) = tr (ρ_{Σ_{1}})$
流守恒： $\nabla_{μ} j^{μ} = 0$ ， $j^{μ} = n^{μ} tr (ρ)$
由Gauss定理，两个Cauchy面的积分相等∎

第二部分：动力学闭环（C4-C7）

2.1 条件C4：LSZ约化公式

陈述： $S_{f i} = t_{in} \to - \infty, t_{out} \to + \infty lim ⟨ f, out ∣ i, in ⟩$

其中：

$∣ i, in ⟩$ ： $t \to - \infty$ 的渐近自由态
$∣ f, out ⟩$ ： $t \to + \infty$ 的渐近自由态
$S_{f i}$ ：散射矩阵元

LSZ公式（单粒子情形）： $⟨ p^{'} ∣ S ∣ p ⟩ = i \int d^{4} x e^{- i p^{'} \cdot x} (□ + m^{2}) \int d^{4} y e^{i p \cdot y} (□ + m^{2}) ⟨ 0∣ T {ϕ (x) ϕ (y)} ∣0 ⟩$

推导要点：

(1) 渐近条件：

在 $t \to \pm \infty$ ，场算符趋向自由场： $ϕ (x) t \to \pm \infty ϕ_{in/out} (x)$

满足自由Klein-Gordon方程： $(□ + m^{2}) ϕ_{in/out} = 0$

(2) 约化公式：

$a_{p}^{in} = i \int d^{3} x e^{- i p \cdot x} \partial_{0} ϕ_{in} (x)$

关键步骤：用 $ϕ_{in}$ 表达 $ϕ$ ，然后提取散射振幅。

(3) 多粒子推广：

$⟨ p_{1}^{'} \dots p_{n}^{'} ∣ S ∣ p_{1} \dots p_{m} ⟩ = i = 1 \prod n (i) (□_{i} + m^{2}) j = 1 \prod m (i) (□_{j} + m^{2}) ⟨ 0∣ T {ϕ (x_{1}^{'}) \dots ϕ (y_{m})} ∣0 ⟩$

C4的物理意义：

定理2.1（散射等价性）：

全部动力学信息编码在 $S$ 矩阵中： $U (+ \infty \to - \infty) \leftrightarrow S (ω)$

证明：

知道所有 $⟨ f ∣ S ∣ i ⟩$ $\Rightarrow$ 知道算符 $\hat{S}$
$\hat{S}$ 通过Haag-Ruelle理论重构 $U (t)$ ∎

2.2 条件C5：统一时间刻度

陈述： $κ (ω) = \frac{φ ^{'} ( ω )}{π} = ρ_{rel} (ω) = \frac{1}{2 π} tr Q (ω)$

逐项推导：

(1) 散射相移与态密度：

定义累积态密度： $N (ω) := \int_{0}^{ω} ρ (ω^{'}) d ω^{'}$

Krein谱移位公式： $N (ω) - N_{0} (ω) = \frac{1}{π} φ (ω)$

其中 $N_{0}$ 是无扰动情况。

微分： $ρ_{rel} (ω) = ρ (ω) - ρ_{0} (ω) = \frac{1}{π} \frac{d φ}{d ω}$

(2) Wigner延迟与相移：

定义： $Q (ω) = - i ℏ S^{†} (ω) \frac{d S ( ω )}{d ω}$

对单通道： $S (ω) = e^{2 i δ (ω)}$ ，

$Q = - i ℏ e^{- 2 i δ} \frac{d}{d ω} (e^{2 i δ}) = 2ℏ \frac{d δ}{d ω}$

因此： $\frac{1}{2 π} tr Q = \frac{ℏ}{π} \frac{d δ}{d ω}$

(3) 模流时间尺度：

从KMS条件（见C6），逆温度： $β (ω) = \frac{2 π ℏ}{tr Q ( ω )}$

定义模流速率： $κ (ω) := \frac{1}{β ( ω )} = \frac{tr Q ( ω )}{2 π ℏ}$

综合：三者一致！

C5的深层意义：

定理2.2（时间的唯一性）：

宇宙只有一个内禀时间刻度（模去仿射变换）： $[τ] = {T_{cau}, τ_{geo}, t_{scat}, t_{mod}}_{仿射等价}$

证明：

从C5，所有时间定义通过 $κ (ω)$ 联系
$κ$ 是物理不变量（观测量）
因此所有时间定义相差仅一个线性变换∎

2.3 条件C6：KMS条件

陈述：

态 $ω$ 在逆温度 $β$ 处于热平衡 $\Leftrightarrow$ 对任意算符 $A, B$ ，存在解析函数 $F_{A B} (z)$ 满足： $F_{A B} (t) = ω (A σ_{t} (B)), F_{A B} (t + i β) = ω (σ_{t} (B) A)$

等价表述（Fourier变换）： $ω (A B_{ω}) = \int d ω e^{- β ω} ρ (ω) ⟨ A ⟩_{ω} ⟨ B ⟩_{ω}$

推导：

(1) 模算符：

从Tomita-Takesaki理论，定义： $Δ := S^{*} S, S Ω = A^{*} Ω$

其中 $Ω$ 是循环分离向量。

(2) 模哈密顿： $K := - lo g Δ$

模流： $σ_{t} (A) = Δ^{i t} A Δ^{- i t} = e^{i t K} A e^{- i t K}$

(3) 热态的KMS：

对Gibbs态： $ρ_{β} = \frac{e ^{- β \hat{H}}}{Z ( β )}$

直接验证： $tr (ρ_{β} A e^{i t \hat{H}} B e^{- i t \hat{H}}) = tr (ρ_{β} e^{i (t + i β) \hat{H}} B e^{- i (t + i β) \hat{H}} A)$

利用循环性： $tr (e^{- β \hat{H}} e^{i t \hat{H}} B e^{- i t \hat{H}} A) = tr (e^{- β \hat{H}} A e^{i t \hat{H}} B e^{- i t \hat{H}})$

成立！∎

C6与C5的联系：

定理2.3（KMS $\Rightarrow$ 统一时间刻度）：

如果 $ω$ 满足KMS条件，则： $β = \frac{2 π ℏ}{tr Q ( ω )}$

证明思路：

从KMS，相移满足 $φ^{'} (ω) = β ⟨ n (ω)⟩$
从光学定理， $tr Q = 2 π ℏ φ^{'}$
结合得 $β = 2 π ℏ/ tr Q$ ∎

2.4 条件C7：IGVP

陈述： $δ S_{gen} = 0 \Leftrightarrow G_{ab} + Λ g_{ab} = 8 π G ⟨ T_{ab} ⟩$

详细推导（已在第04章给出，此处补充细节）：

(1) 广义熵变分： $δ S_{gen} = δ (\frac{A}{4 G ℏ}) + δ S_{out}$

(2) 几何熵项： $δ (\frac{A}{4 G ℏ}) = \frac{1}{4 G ℏ} \int_{\partial Σ} \frac{1}{2} h h^{ij} δ h_{ij}$

通过Gauss-Codazzi方程： $= \frac{1}{8 G ℏ} \int_{Σ} - g (R^{ab} - \frac{1}{2} R g^{ab}) δ g_{ab}$

(3) 物质熵项：

从第一定律： $δ S_{out} = β δ E = β \int_{Σ} - g ⟨ T_{ab} ⟩ δ g^{ab}$

(4) 总变分为零： $\frac{1}{8 G ℏ} (R^{ab} - \frac{1}{2} R g^{ab}) + β ⟨ T^{ab} ⟩ = 0$

选择 $β = \frac{1}{8 π G ℏ}$ （单位约定），得： $R^{ab} - \frac{1}{2} R g^{ab} = 8 π G ⟨ T^{ab} ⟩$

即Einstein方程！∎

C7的必然性：

定理2.4（IGVP的唯一性）：

在合理的物理假设下，唯一导致引力的变分原理是IGVP。

证明思路：

要求变分原理微分同胚不变
要求导出二阶微分方程（Einstein方程）
可能的作用量：Einstein-Hilbert + 高阶修正
IGVP等价于Einstein-Hilbert（在经典极限）∎

第三部分：信息-观测者-范畴（C8-C11）

3.1 条件C8：熵的可加性

陈述： $S_{gen} = S_{geom} + α \in A \sum S (ρ_{α})$

推导：

(1) 熵的分解：

总系统 $Σ$ 分为观测者区域 ${C_{α}}$ ： $Σ = α \in A ⋃ C_{α}$

(2) 纠缠熵的可加性：

对不相交区域 $C_{α} \cap C_{β} = \emptyset$ ： $S (ρ_{C_{α} \cup C_{β}}) = S (ρ_{C_{α}}) + S (ρ_{C_{β}})$

(3) 几何熵的贡献：

边界面积： $A (\partial Σ) = α \sum A (\partial C_{α}) - 重复计数$

定义Wald熵： $S_{geom} = \frac{A _{net}}{4 G ℏ}$

C8的物理意义：

定理3.1（熵的强可加性）：

如果观测者网络覆盖全时空（ $⋃ C_{α} = Σ$ ），则： $S_{gen} (Σ) = {ρ_{α}} max [S_{geom} + α \sum S (ρ_{α})]$

证明：

最大化对应最小信息约束
由量子Darwinism，经典自由度复制到所有观测者
因此熵可加∎

3.2 条件C9：观测者共识

陈述： $ρ_{global} = Φ_{cons} ({ρ_{α}})$ 满足： $tr_{\overset{ˉ}{C}_{α}} (ρ_{global}) = ρ_{α}, \forall α$

推导：

(1) 最大熵重构：

$ρ_{global} = ar g ρ max S (ρ) s.t. tr_{\overset{ˉ}{C}_{α}} (ρ) = ρ_{α}$

拉格朗日乘数法： $L = - tr (ρ lo g ρ) - α \sum λ_{α} [tr_{\overset{ˉ}{C}_{α}} (ρ) - ρ_{α}]$

变分： $δ L = 0 \Rightarrow ρ_{global} = exp (- α \sum λ_{α} P_{α})$

其中 $P_{α}$ 是投影到 $C_{α}$ 的算符。

(2) 一致性条件：

为确保 ${ρ_{α}}$ 兼容，必须： $tr_{\overset{ˉ}{C}_{α β}} (ρ_{α}) = tr_{\overset{ˉ}{C}_{α β}} (ρ_{β}), C_{α β} := C_{α} \cap C_{β}$

物理意义：重叠区域的边缘化必须一致——“拼图边缘吻合”。

C9与终对象的关系：

定理3.2（共识 $\Leftrightarrow$ 终对象）：

观测者共识条件成立 $\Leftrightarrow$ $U$ 是范畴 $Univ$ 的终对象。

证明：

$(\Rightarrow)$ ：如果共识成立，所有观测者态collapse到唯一 $ρ_{global}$ ，对应唯一宇宙 $U$
$(\Leftarrow)$ ：如果 $U$ 是终对象，任意“候选宇宙“ $V$ 有唯一态射 $ϕ : V \to U$ ，诱导唯一共识映射∎

3.3 条件C10：可实现性约束

陈述： $Mor (U) = {ϕ ∣ Real (ϕ) = 1}$

推导：

(1) 可实现性定义：

态射 $ϕ : V \to W$ 是可实现的 $\Leftrightarrow$ 存在物理过程实现 $ϕ$ 。

约束：

能量守恒： $⟨ \hat{H} ⟩_{V} = ⟨ \hat{H} ⟩_{W}$
熵不减： $S (W) \geq S (V)$
幺正性（量子）： $ϕ^{†} ϕ = 1$

(2) 不可实现的例子：

超光速信号： $ϕ_{FTL} : C_{α} (t) \to C_{β} (t), C_{α} \cap J^{-} (C_{β}) = \emptyset$ 违反因果性， $Real (ϕ_{FTL}) = 0$ 。

无限能量： $ϕ_{\infty} : ∣0 ⟩ \to n = 0 \sum \infty ∣ n ⟩$ 违反能量有界，不可实现。

C10的必然性：

定理3.3（可实现性的闭包）：

可实现态射集合在复合下封闭： $Real (ϕ_{1}) = 1, Real (ϕ_{2}) = 1 \Rightarrow Real (ϕ_{2} \circ ϕ_{1}) = 1$

证明：

如果 $ϕ_{1}, ϕ_{2}$ 都物理可实现
则先执行 $ϕ_{1}$ 再执行 $ϕ_{2}$ 也可实现
因此 $ϕ_{2} \circ ϕ_{1}$ 可实现∎

3.4 条件C11：物理Church-Turing论题

陈述： $C_{phys} \subseteq C_{Turing}$

论证：

(1) 物理过程可编码：

任意物理系统状态可用有限精度的比特串描述： $∣ ψ ⟩ \approx i = 1 \sum N c_{i} ∣ i ⟩, c_{i} \in C \cap Q [i]$

(2) 演化可离散化：

时间演化： $∣ ψ (t)⟩ = e^{- i H t} ∣ ψ (0)⟩ \approx (e^{- i Hδ t})^{t / δ t} ∣ ψ (0)⟩$

可用Trotter分解近似： $e^{- i Hδ t} \approx k \prod e^{- i H_{k} δ t} （ Suzuki 公式）$

每步可用图灵机模拟。

(3) 量子引力的修正：

猜想：在普朗克尺度，可能： $C_{phys} ⊊ C_{Turing}$

原因：

时空泡沫导致连续性破缺
拓扑相变不可计算
奇点对应停机问题

C11的开放性：

问题：是否存在“超图灵“物理过程？

候选：

CTC（闭类时曲线）：可解停机问题？
黑洞内部：信息不可提取 = 不可计算？
量子引力：时空涌现 = 新计算模型？

目前无定论。

第四部分：约束代数与Dirac分析

4.1 约束的对易关系

定义约束算符： $\hat{C}_{1} = 因果 - 几何对齐, \hat{C}_{2} = IGVP, \dots$

泊松括号： ${f, g} = \frac{\partial f}{\partial q ^{i}} \frac{\partial g}{\partial p _{i}} - \frac{\partial f}{\partial p _{i}} \frac{\partial g}{\partial q ^{i}}$