07. 因果结构：宇宙的骨架

引言：为何从因果结构开始？

在前面的讨论中，我们一直强调因果结构 $U_{\text{evt}}$ 的基础性。但为什么它如此特殊？

核心洞见：在所有十个组件中，因果结构是最“硬“的约束：

• 几何可以弯曲（Lorentz变换、共形变换）
• 量子态可以叠加（线性组合）
• 观测者可以改变（参考系变换）

但因果关系不可改变——“过去影响未来“是宇宙的铁律。

本章深入探讨：

1. 因果结构的数学严格定义
2. 为何它决定了时空的共形等价类
3. 因果动力学如何涌现时间
4. 因果结构与信息流的深层联系

比喻：把宇宙想象成一座建筑物：

• 钢筋骨架 = 因果结构（不可改变）
• 墙壁装修 = 度规几何（可调整）
• 家具布置 = 量子态（可重新摆放）
• 居住者 = 观测者（可移动）

骨架决定了建筑的基本形态——没有骨架，一切都会坍塌。

graph TD
    A["因果偏序 ≼"] --> B["时间函数 T_cau"]
    B --> C["柯西面族 {Σ_t}"]
    C --> D["全局双曲性"]
    D --> E["共形类 [g]"]
    E --> F["光锥结构"]
    F --> A

    G["因果片段 C"] --> H["观测者视野"]
    H --> I["信息流向"]
    I --> J["熵增方向"]
    J --> A

    style A fill:#ffe6e6
    style D fill:#e6f3ff
    style I fill:#e6ffe6

第一部分：因果偏序的严格定义

1.1 什么是“事件“？

在GLS理论中，事件不是时空中的点，而是不可再分的物理过程：

定义1.1（事件）：

事件 $x\in X$ 满足：

• 局域性：发生在有限时空区域内
• 不可分性：不能分解为更小的事件序列
• 可观测性：原则上可被某个观测者检测

例子：

• ✅ 粒子碰撞（瞬时相互作用）
• ✅ 光子被探测器吸收
• ✅ 量子测量（波函数坍缩）
• ❌ “太阳在天空中运动”（可分解为无数小事件）
• ❌ “宇宙膨胀”（全局过程，非局域）

数学刻画：

在时空流形 $M$ 上，事件集合： $$X\subseteq M,|X\cap K|<\infty \forall \text{ 紧致集 }K$$

物理意义：事件是离散的（或最多可数），不是连续统。

1.2 因果偏序的公理

定义1.2（因果偏序）：

二元关系 $⪯$ 在事件集 $X$ 上称为因果偏序，如果满足：

(P1) 自反性： $$x⪯x,\forall x\in X$$

物理意义：事件可以影响自己（局域性）。

(P2) 传递性： $$x⪯y\wedge y⪯z\Rightarrow x⪯z$$

物理意义：因果影响可以链式传递。

(P3) 反对称性： $$x⪯y\wedge y⪯x\Rightarrow x=y$$

物理意义：无因果闭环（排除时间旅行悖论）。

严格因果关系： $$x\prec y:\iff x⪯y\wedge x\ne y$$

类光因果关系： $$x\sim y:\iff x⪯y\wedge \nexists z:x\prec z\prec y$$

物理意义：$x$ 到 $y$ 只能通过光速路径连接。

1.3 因果结构的拓扑

定义1.3（Alexandrov拓扑）：

在 $(X,⪯)$ 上定义拓扑，开集族为： $${\mathcal{T}}_A:=\{U\subseteq X\mid x\in U\wedge y⪯x\Rightarrow y\in U\}$$

物理意义：开集 = “向下闭“的集合 = 某个事件的因果过去。

基本开集： $$\text{past}(x):=\{y\in X\mid y⪯x\}$$ $$\text{future}(x):=\{y\in X\mid x⪯y\}$$

紧致性：

定理1.1（因果钻石的紧致性）：

对任意 $x,y\in X$，因果钻石： $$◊(x,y):=\{z\in X\mid x⪯z⪯y\}$$ 是紧致集（有限或具有紧拓扑）。

证明思路：

• 假设 $◊(x,y)$ 无限
• 构造因果链 $x=z_0\prec z_1\prec \cdots \prec z_n=y$
• 由物理的“有限信息传递“原理，链长度有界
• 因此 $◊(x,y)$ 有限∎

物理意义：任意两事件之间的“中间事件“有限——信息传递是离散的。

1.4 时间函数的存在性

定理1.2（Hawking-Penrose）：

$(X,⪯)$ 存在全局时间函数 $T:X\to \mathbb{R}$ 满足： $$x\prec y\Rightarrow T(x)<T(y)$$ 当且仅当 $(X,⪯)$ 无闭因果链。

证明（构造性）：

(1) 定义序数时间：

对每个 $x\in X$，定义因果深度： $$d(x):=\sup \{n\mid \exists \text{ 因果链 }{x}_0\prec \cdots \prec x_n=x\}$$

(2) 归一化： $$T(x):=\frac{d(x)}{1+d(x)}\in [0,1)$$

(3) 验证： 如果 $x\prec y$，则 $d(x)<d(y)$，因此 $T(x)<T(y)$∎

推广（连续情形）：

在Lorentz流形 $(M,g)$ 上，时间函数满足： $${\nabla }^{a}T{\nabla }_{a}T<0\text{（类时梯度）}$$

第二部分：因果结构决定共形类

2.1 Malament-Hawking定理

定理2.1（Malament 1977, Hawking-King-McCarthy 1976）：

在强因果Lorentz流形 $(M,g)$ 上，因果关系 ${⪯}_g$ 唯一决定共形等价类 $[g]$。

强因果性：不存在闭或几乎闭的类时曲线。

证明要点：

(1) 光锥结构重构：

定义类光分离： $$x{\sim }_{\text{null}}y:\iff x{⪯}_{g}y\wedge \nexists z:x{\prec }_{g}z{\prec }_{g}y$$

引理：${\sim }_{\text{null}}$ 确定切空间中的光锥 $V^{+}(x)\subset T_{x}M$。

(2) 共形因子不定性：

两个度规 $g,g^{\prime }$ 如果共形等价： $$g^{\prime }={\Omega }^{2}g,\Omega >0$$

则它们有相同的光锥结构： $$g(v,v)=0\iff g^{\prime }(v,v)=0$$

因此： $${⪯}_g={⪯}_{g^{\prime }}\Rightarrow [g]=[g^{\prime }]$$

(3) 共形类唯一确定光锥：

反向：给定光锥结构 $\{V^{+}(x){\}}_{x\in M}$，可重构共形类 $[g]$。

方法：

• 在每个切空间 $T_{x}M$，光锥 $V^{+}(x)$ 确定Lorentz度规的共形类
• 通过光滑性假设，粘合成全局共形类∎

物理意义：

因果关系（“谁能影响谁”）几乎完全决定时空几何——只差一个“时间尺度“（共形因子）。

2.2 共形因子的物理确定

虽然因果结构不能固定共形因子 $\Omega$，但IGVP可以！

定理2.2（IGVP确定度规）：

给定：

1. 因果结构 $(X,⪯)$
2. 物质内容 $⟨T_{ab}⟩$
3. 边界条件

则Einstein方程： $$G_{ab}=8\pi G⟨T_{ab}⟩$$ 唯一确定度规 $g_{ab}$（不仅是共形类）。

证明思路：

(1) 共形变换下的Einstein张量：

$$G_{ab}^{\prime }=G_{ab}-{\nabla }_a{\nabla }_b\log \Omega +g_{ab}\square \log \Omega +(\nabla \log \Omega {)}^2{g}_{ab}$$

(2) 要求 $G_{ab}^{\prime }=8\pi G⟨T_{ab}⟩$：

这给出关于 $\log \Omega$ 的偏微分方程： $$\square \log \Omega +(\nabla \log \Omega {)}^2=f(T_{ab},g_{ab})$$

(3) 椭圆方程的唯一解：

在合理边界条件下（如渐近平坦），上述方程有唯一解 $\Omega$∎

结论：

$$\text{因果结构 }(X,⪯)+\text{Einstein方程}\Rightarrow \text{唯一度规 }{g}_{ab}$$

2.3 因果结构的分类

问题：有哪些可能的因果结构？

定理2.3（因果结构的拓扑分类）：

在四维时空，全局双曲的因果结构由以下数据决定：

1. 空间拓扑 $\Sigma \cong M/\mathbb{R}$（3维流形）
2. 柯西面的嵌入 $\iota :\Sigma \hookrightarrow M$
3. 时间定向 $T^a$（类时向量场）

例子：

(1) 平凡因果结构（闵可夫斯基）： $$M={\mathbb{R}}^4,x⪯y\iff (y-x)\in \overline{V^{+}}$$

(2) 柱面因果结构（Einstein静态宇宙）： $$M=\mathbb{R}\times S^3,\Sigma =S^3$$

(3) 非平凡拓扑（RP³黑洞）： $$M=\mathbb{R}\times {\mathbb{RP}}^3$$

不允许的例子（哥德尔宇宙）： 存在闭类时曲线，违反反对称性。

第三部分：因果动力学与时间涌现

3.1 Sorkin的因果集方案

核心思想：时空的基本对象是离散的因果集，连续时空是涌现的。

定义3.1（因果集）：

$(X,⪯)$ 称为因果集，如果：

1. $⪯$ 是偏序
2. $X$ 是局部有限的：$◊(x,y)$ 总是有限集

计数测度： $$\mu (S):=|S|(S\subseteq X)$$

连续化猜想（Bombelli-Henson-Sorkin）：

对“足够大“的随机因果集（Poisson过程采样），存在连续Lorentz流形 $(M,g)$ 使得： $$(X,⪯)\approx (M,{⪯}_g)$$

概率趋于1（当 $|X|\to \infty$）。

数值证据：

• 2维闵可夫斯基：$n\ge 100$ 时成功率 >95%
• 4维FLRW：$n\ge 10^6$ 时可识别膨胀

3.2 时间的涌现

问题：如果只有因果集 $(X,⪯)$，时间从何而来？

Sorkin的时间定义：

定义离散时间函数： $$T:X\to \mathbb{Z},x\prec y\Rightarrow T(x)<T(y)$$

构造方法（层次分解）：

(1) 最小元： $$X_0:=\{x\in X\mid \text{past}(x)=\{x\}\}$$

(2) 递归定义： $$X_{n+1}:=\{x\in X\setminus \bigcup _{i=0}^n{X}_i\mid \max \{T(y)\mid y\prec x\}=n\}$$

(3) 时间函数： $$T(x)=n\iff x\in X_n$$

物理意义：时间 = 因果深度 = “经历了多少层因果关系”。

3.3 信息流与因果熵

定义3.2（因果熵）：

对因果集 $(X,⪯)$，定义因果熵： $$S_{\text{caus}}(x):=\log |\text{past}(x)|$$

物理意义：$S_{\text{caus}}(x)$ 测量“到事件 $x$ 为止，有多少信息流入“。

热力学类比：

定理3.1（因果熵单调性）：

对任意 $x\prec y$： $$S_{\text{caus}}(x)<S_{\text{caus}}(y)$$

证明： $$\text{past}(x)⊊\text{past}(y)\Rightarrow |\text{past}(x)|<|\text{past}(y)|$$ ∎

物理意义：因果熵沿时间方向严格递增——这是第二定律的因果版本！

与热力学熵的关系：

猜想（Sorkin-Rideout）： $$S_{\text{thermal}}(x)\sim k_B{S}_{\text{caus}}(x)+O(\sqrt{S_{\text{caus}}})$$

论证：

• $|\text{past}(x)|\sim e^{S_{\text{caus}}}$：因果可达事件数
• 每个事件携带 $k_B$ 的熵贡献
• 涨落修正 $\sim \sqrt{S}$（中心极限定理）

第四部分：因果结构与观测者

4.1 因果片段的几何

定义4.1（因果片段）：

观测者 $\mathcal{O}$ 在时刻 $t$ 的因果片段： $$C_{\mathcal{O}}(t):=\{x\in X\mid x⪯\mathcal{O}(t)\}$$

物理意义：观测者 $\mathcal{O}$ 到 $t$ 时刻能知道的所有事件。

性质：

(1) 单调性： $$t_1<t_2\Rightarrow C_{\mathcal{O}}(t_1)\subseteq C_{\mathcal{O}}(t_2)$$

(2) 因果闭： $$x\in C,y⪯x\Rightarrow y\in C$$

(3) 有限生成（物理观测者）： $$C=\bigcup _{x\in F}\text{past}(x),|F|<\infty$$

4.2 观测者的视界

定义4.2（粒子视界）：

观测者 $\mathcal{O}$ 的过去视界： $${\mathcal{H}}_{\text{past}}^{\mathcal{O}}:=\partial \left(\bigcup _{t=-\infty }^{\infty }{C}_{\mathcal{O}}(t)\right)$$

物理意义：$\mathcal{O}$ 能接收信号的最远边界。

例子（FLRW宇宙）：

粒子视界半径： $${\chi }_p(t)={\int }_0^t\frac{cd{t}^{\prime }}{a(t^{\prime })}$$

如果 ${\chi }_p(\infty )<\infty$，存在视界——宇宙有“不可见“区域。

事件视界：

$${\mathcal{H}}_{\text{event}}^{\mathcal{O}}:=\partial \left(\bigcup _{t=-\infty }^{\infty }\text{future}(\mathcal{O}(t))\right)$$

物理意义：$\mathcal{O}$ 能影响到的最远边界。

4.3 多观测者的因果共识

问题：两个观测者 ${\mathcal{O}}_{\alpha },{\mathcal{O}}_{\beta }$ 如何达成共识？

定义4.3（因果共识区域）： $$C_{\alpha \beta }:=C_{\alpha }\cap C_{\beta }$$

共识条件：

对 $C_{\alpha \beta }$ 中的事件 $x$，$\alpha ,\beta$ 必须有一致的描述。

数学表述： $${\rho }_{\alpha }{|}_{C_{\alpha \beta }}={\rho }_{\beta }{|}_{C_{\alpha \beta }}$$

定理4.1（因果共识唯一性）：

如果观测者网络 $\{{\mathcal{O}}_{\alpha }\}$ 满足： $$\bigcup _{\alpha }{C}_{\alpha }=X$$

且所有交集 $C_{\alpha \beta }$ 上共识条件成立，则全局态 ${\rho }_{\text{global}}$ 唯一确定。

证明：

• 用层论的粘合引理（Čech上同调）
• $H^1(\{C_{\alpha }\},\mathcal{H})=0$ 保证唯一性∎

第五部分：因果结构的量子修正

5.1 量子因果不确定性

在某些量子引力模型中，因果顺序可能不确定：

例子（量子开关）：

量子态： $$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|A\prec B⟩+|B\prec A⟩)$$

物理意义：事件 $A,B$ 的顺序处于叠加态！

数学刻画：

将偏序 $⪯$ 提升为算符： $${\hat{P}}_{xy}:=|x\prec y⟩⟨x\prec y|$$

满足： $$[{\hat{P}}_{xy},{\hat{P}}_{yx}]\ne 0\text{（非对易）}$$

5.2 模糊因果集

定义5.1（$ϵ$-因果集）：

$(X,{⪯}_{ϵ})$ 其中 ${⪯}_{ϵ}$ 满足：

• 几乎反对称：$x{⪯}_{ϵ}y\wedge y{⪯}_{ϵ}x\Rightarrow d(x,y)<ϵ$
• 几乎传递：$x{⪯}_{ϵ}y\wedge y{⪯}_{ϵ}z\Rightarrow x{⪯}_{{ϵ}^{\prime }}z$，${ϵ}^{\prime }=f(ϵ)$

物理意义：在普朗克尺度 $ϵ\sim {\ell }_P$，因果关系“模糊化“。

5.3 因果动力学三角剖分

Regge演算：用离散单纯形逼近时空。

CDT（Causal Dynamical Triangulation）：

限制条件：

• 每个单纯形有明确时间定向
• 因果结构严格保持

路径积分： $$Z=\sum _{\text{因果三角剖分}}{e}^{-S_{\text{Regge}}}$$

数值结果：

• 4维de Sitter时空自动涌现（相变）
• 谱维数从2（UV）→4（IR）

总结与展望

核心要点回顾

1. 因果偏序：反对称、传递、自反——宇宙的最硬约束
2. Malament定理：因果决定共形类（+IGVP决定度规）
3. 时间涌现：时间 = 因果深度（Sorkin方案）
4. 因果熵：$S_{\text{caus}}=\log |\text{past}|$，严格递增（第二定律）
5. 观测者视界：粒子/事件视界由因果片段定义
6. 量子修正：因果顺序可能不确定（量子开关）

核心公式： $$(X,⪯)\stackrel{\text{Malament}}{\to }[g]\stackrel{\text{IGVP}}{\to }{g}_{ab}$$

与其他章节的联系

• 01. 十重结构：$U_{\text{evt}}$ 是第一层
• 02. 三要素：因果 + 几何 + 测度的兼容性
• 06. 兼容性条件：C1（因果-几何对齐）的深入
• 08. 无观测者极限：$U_{\text{obs}}\to \varnothing$ 时因果结构保留

哲学寓意

因果即命运，结构即必然：

• 宇宙的“历史“由因果结构决定
• 时间不是外在容器，而是因果深度
• 熵增不是偶然，而是因果结构的几何性质

这或许就是决定论与自由意志的真正答案——我们无法改变因果结构（命运），但可以在其中选择路径（自由）。

下一篇预告：

• 08. 无观测者的宇宙：本体论的极限
  • $U_{\text{obs}}\to \varnothing$ 时的退化
  • 量子态的客观性问题
  • 关系本体论 vs 实体本体论