02. 参数向量的三重分解：结构、动力学与初始态

引言：建筑的三层图纸

在上一篇中,我们建立了有限信息宇宙公理：宇宙可以被编码为一个有限比特串 $\Theta \in \{0,1{\}}^{\le I_{\max }}$。

但这引出新问题：这个参数向量 $\Theta$ 应该如何组织？

通俗比喻：建造一栋房子需要三类信息

想象你要建造一栋房子，需要以下三类独立的信息：

第一类：建筑图纸（结构信息）

• 有几层？每层多大？
• 房间如何布局？
• 墙体、柱子的位置
• 建筑材料类型（木头、砖、钢筋混凝土）
• 这决定了“房子的骨架“

第二类：施工规则（动力学信息）

• 如何浇筑混凝土？
• 砖如何砌？（砌法、灰浆配比）
• 电路如何布线？
• 水管如何连接？
• 这决定了“房子如何搭建“

第三类：地基状态（初始条件）

• 地基是否平整？
• 土壤承重如何？
• 地下水位多高？
• 已有的旧建筑如何处理？
• 这决定了“起点状态“

关键洞察：这三类信息逻辑独立！

• 可以用相同图纸建不同地基上的房子
• 可以用不同施工规则实现相同图纸
• 但三类信息缺一不可

宇宙的情况完全类似：

$$\boxed{\Theta =({\Theta }_{\text{str}},{\Theta }_{\text{dyn}},{\Theta }_{\text{ini}})}$$

本篇将详细解释：

1. 为什么需要三重分解？（逻辑独立性）
2. 每类参数编码什么信息？（数学定义）
3. 如何定义总信息量 $I_{\text{param}}(\Theta )$？（比特计数）
4. 编码冗余与本质自由度（唯一性问题）

第一部分：为什么需要三重分解？

物理问题的三个层次

考虑经典力学中的一个简单系统：弹簧振子。

要完整确定系统演化，需要三类信息：

1. 系统构成（结构）：

   • 是单个振子？还是耦合振子链？
   • 质量 $m$ 是多少？弹簧劲度系数 $k$ 是多少？
   • → 对应 ${\Theta }_{\text{str}}$（系统的“硬件规格“）

2. 运动方程（动力学）：

   • 牛顿第二定律：$m\ddot{x}=-kx$
   • 或哈密顿方程：$\dot{p}=-\partial H/\partial x$
   • → 对应 ${\Theta }_{\text{dyn}}$（系统的“运行规则“）

3. 初始条件（初态）：

   • $t=0$ 时刻：位置 $x_0$，速度 $v_0$
   • → 对应 ${\Theta }_{\text{ini}}$（系统的“起点“）

关键观察：

• 改变初始条件 $(x_0,v_0)$，不改变运动方程
• 改变质量 $m$，不改变初始位置 $x_0$
• 但三者共同决定轨迹 $x(t)$

这种分离在量子场论中同样存在：

数学独立性定理

定理2.1（参数空间的直积分解）：

在QCA框架下，宇宙参数空间可以分解为三个子空间的直积：

$${\mathcal{M}}_{\Theta }={\mathcal{M}}_{\text{str}}\times {\mathcal{M}}_{\text{dyn}}\times {\mathcal{M}}_{\text{ini}}$$

使得：

1. 结构参数 ${\Theta }_{\text{str}}\in {\mathcal{M}}_{\text{str}}$ 唯一确定：

   • 格点集合 $\Lambda$
   • 元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$
   • 准局域代数 $\mathcal{A}(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\text{cell}})$

2. 动力学参数 ${\Theta }_{\text{dyn}}\in {\mathcal{M}}_{\text{dyn}}$ 唯一确定：

   • QCA自同构 $\alpha :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$
   • （给定 $\mathcal{A}$ 之后）

3. 初始态参数 ${\Theta }_{\text{ini}}\in {\mathcal{M}}_{\text{ini}}$ 唯一确定：

   • 初始态 ${\omega }_0:\mathcal{A}\to \mathbb{C}$
   • （给定 $\mathcal{A}$ 之后）

4. 三个子空间在逻辑上独立： $${\Theta }_{\text{dyn}}\text{ 的选择不依赖于 }{\Theta }_{\text{ini}}$$ $${\Theta }_{\text{ini}}\text{ 的选择不依赖于 }{\Theta }_{\text{dyn}}$$ （但两者都依赖于 ${\Theta }_{\text{str}}$ 确定的代数 $\mathcal{A}$）

证明思路：

• ${\Theta }_{\text{str}}$ 确定“舞台“（代数 $\mathcal{A}$）
• ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 从自同构群 $\text{Aut}(\mathcal{A})$ 中选择一个自同构
• ${\Theta }_{\text{ini}}$ 从态空间 $\mathcal{S}(\mathcal{A})$ 中选择一个态
• 自同构群与态空间是 $\mathcal{A}$ 上的独立结构

为什么不能合并？

错误尝试1：将 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 并入 ${\Theta }_{\text{str}}$？

• 反例：同一个格点结构 $\Lambda$，可以定义无穷多种不同的QCA演化规则
• 例如：一维 ${\mathbb{Z}}_L$ 格，可以是Dirac-QCA、Ising-QCA、Toffoli-QCA……
• 结论：动力学不由结构唯一确定

错误尝试2：将 ${\Theta }_{\text{ini}}$ 并入 ${\Theta }_{\text{dyn}}$？

• 反例：同一个哈密顿量 $H$，可以有不同的初态
• 例如：简谐振子 $H=p^2/2m+k{x}^2/2$，可以初始在基态 $|0⟩$，也可以在相干态 $|\alpha ⟩$
• 结论：初态不由动力学唯一确定

错误尝试3：将 ${\Theta }_{\text{str}}$ 并入 ${\Theta }_{\text{dyn}}$？

• 反例：不同格点数的QCA是拓扑不等价的
• 例如：${\mathbb{Z}}_{100}$ 与 ${\mathbb{Z}}_{101}$ 的QCA，无论演化规则如何都不同构
• 结论：结构是动力学的前提

因此：三重分解是最小且必要的。

第二部分：结构参数 ${\Theta }_{\text{str}}$ 的定义

编码内容：时空的“图纸“

结构参数 ${\Theta }_{\text{str}}$ 需要指定以下信息：

(1) 空间维度 $d$

$$d\in \{1,2,3,4,\dots \}$$

编码方式：

• 用 $\lceil {\log }_2{d}_{\max }\rceil$ 比特编码维度
• 若限制 $d\le 10$（合理的物理假设），需要 $\lceil {\log }_{2}10\rceil =4$ 比特

物理意义：

• $d=1$：玩具模型（Dirac链）
• $d=3$：我们的空间
• $d=4$：时空合一（闵可夫斯基格）
• $d>4$：额外维度（弦论）

(2) 各方向格长 $L_1,\dots ,L_d$

$$\Lambda =\prod _{i=1}^d\{0,1,\dots ,L_i-1\}$$

编码方式：

• 若每个 $L_i\le 2^{64}$（宇宙学尺度足够），每个方向需要 64 比特
• 总共：$64d$ 比特

例子：

• $d=3$，$L_1=L_2=L_3=10^{30}$（以普朗克长度为单位的可观测宇宙）
• 总元胞数：$N_{\text{cell}}=(10^{30}{)}^3=10^{90}$

(3) 边界条件与拓扑

选项：

• 开边界（open boundary）
• 周期边界（periodic boundary，拓扑为 ${\mathbb{T}}^d$）
• 扭曲边界（twisted boundary）
• 其他拓扑（$S^d$、流形粘合）

编码方式：

• 简单情况：用 $d\times 2$ 比特（每个方向两个边界各1比特）
• 复杂拓扑：需要额外编码粘合规则（拓扑不变量）

(4) 元胞内部Hilbert空间维数 $d_{\text{cell}}$

$${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^{d_{\text{cell}}}$$

物理结构（通常分解为多个子系统）：

$${\mathcal{H}}_{\text{cell}}={\mathcal{H}}_{\text{fermion}}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{gauge}}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{aux}}$$

• ${\mathcal{H}}_{\text{fermion}}$：费米子自由度（如 Dirac-QCA 的 ${\mathbb{C}}^2$ 自旋）
• ${\mathcal{H}}_{\text{gauge}}$：规范场寄存器（如 ${\mathbb{C}}^{|G|}$，$G$ 为规范群）
• ${\mathcal{H}}_{\text{aux}}$：辅助比特（用于保持幺正性）

编码方式：

• 指定各子系统维数（如 $\dim {\mathcal{H}}_{\text{fermion}}=4$，$\dim {\mathcal{H}}_{\text{gauge}}=8$）
• 总维数：$d_{\text{cell}}={\prod }_i\dim {\mathcal{H}}_i$
• 需要 $\sim {\log }_2{d}_{\text{cell}}$ 比特编码

例子（标准模型 QCA）：

• 费米子：3代 × 2自旋 × 3色 × 2（粒子/反粒子）= 36
• 规范场：SU(3) × SU(2) × U(1) → 约16个生成元
• 辅助：若干比特确保可逆性
• 总维数：$d_{\text{cell}}\sim 2^{10}=1024$

(5) 对称性与守恒律

编码内容：

• 全局对称群 $G_{\text{global}}$（如 $U(1)$、$SU(2)$、洛伦兹群）
• 局域对称群 $G_{\text{local}}$（规范对称）
• 守恒量标签（如电荷扇区、自旋扇区）

编码方式：

• 指定群的类型（如“SU(3)“）→ 有限字符集编码
• 表示的选择（如“基本表示“、“伴随表示”）
• 对称性如何作用在 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$ 上

(6) 缺陷与非平凡构型

可选项：

• 拓扑缺陷（如宇宙弦、磁单极）
• 畴壁（domain walls）
• 非均匀格长（refinement）

编码方式：

• 缺陷位置：坐标列表
• 缺陷类型：有限分类编码
• （通常在 ${\Theta }_{\text{str}}$ 中可选，不是所有宇宙都有）

结构参数的比特计数

综合以上，${\Theta }_{\text{str}}$ 的信息量：

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{str}}|=\underset{\text{维度}}{\underbrace{4}}+\underset{\text{格长}}{\underbrace{64d}}+\underset{\text{边界}}{\underbrace{2d}}+\underset{\text{元胞维数}}{\underbrace{{\log }_2{d}_{\text{cell}}}}+\underset{\text{对称性}}{\underbrace{I_{\text{symm}}}}+\underset{\text{缺陷}}{\underbrace{I_{\text{defect}}}}}$$

典型数值（$d=3$，标准模型）：

• 维度：4 bits
• 格长：$3\times 64=192$ bits
• 边界：$3\times 2=6$ bits
• 元胞维数：${\log }_2(1024)=10$ bits
• 对称性：$\sim 50$ bits（编码“SU(3)×SU(2)×U(1)“及其表示）
• 缺陷：0 bits（假设均匀宇宙）

总计： $$|{\Theta }_{\text{str}}|\sim 262\text{ bits}$$

（相对于 $I_{\max }\sim 10^{123}$ bits，这是微不足道的！）

第三部分：动力学参数 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 的定义

编码内容：物理定律的“源代码“

动力学参数 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 指定 QCA 的时间演化规则，即自同构 $\alpha :\mathcal{A}\to \mathcal{A}$。

(1) 有限门集 $\mathcal{G}=\{G_1,\dots ,G_K\}$

物理假设：存在一个固定的有限门集，所有局域幺正演化都由这些门组合而成。

类比：

• 经典计算：NAND门是通用的（任何布尔函数都可由NAND组合）
• 量子计算：$\{H,T,\text{CNOT}\}$ 是通用的（可近似任何幺正门）

QCA门集要求：

• 每个门作用于半径 $r_0$ 邻域（如最近邻、次近邻）
• 矩阵元为代数数或有限精度角参数
• 保持局域性与可逆性

编码方式：

• 门集 $\mathcal{G}$ 可以预先约定（类似选定编程语言）
• 或将门集本身编码在 ${\Theta }_{\text{str}}$ 中（更通用）

例子（Dirac-QCA 的门集）：

• Coin 门：$C(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y)$
• Shift 门：$S={\sum }_{x,s}|x+s,s⟩⟨x,s|$
• 参数 $\theta$ 为离散角（见下）

(2) 线路深度 $D$

$$U_{{\Theta }_{\text{dyn}}}=U_D\cdots U_2{U}_1$$

物理意义：

• $D$：一个时间步需要施加多少层门
• 类比：程序的“循环深度“

编码方式：

• 用 $\lceil {\log }_2{D}_{\max }\rceil$ 比特
• 若 $D\le 10^3$（足够复杂），需要 $\lceil {\log }_{2}10^3\rceil =10$ 比特

(3) 每层的门类型与作用区域

对第 $\ell$ 层（$\ell =1,\dots ,D$），需要指定：

门类型索引 $k_{\ell }\in \{1,\dots ,K\}$：

• 从门集中选哪个门
• 编码：${\log }_{2}K$ 比特

作用区域 $R_{\ell }\subset \Lambda$：

• 门作用在哪些元胞上
• 编码：坐标列表 + 平移对称性压缩

例子（平移不变QCA）：

• 每层：所有奇数格点施加门 $G_{k_{\ell }}$
• 编码：只需指定 $k_{\ell }$ 和“奇数/偶数“（1比特）
• 利用对称性，极大压缩

(4) 连续角参数的离散化

许多门包含连续参数（如旋转角 $\theta$）。有限信息要求这些参数离散化。

离散化方案：

$${\theta }_{\ell ,j}=\frac{2\pi n_{\ell ,j}}{2^{m_{\ell ,j}}}$$

其中：

• $n_{\ell ,j}\in \{0,1,\dots ,2^{m_{\ell ,j}}-1\}$：离散标签
• $m_{\ell ,j}$：精度比特数（如 $m=10$ 对应 $2^{10}=1024$ 个角度）

编码方式：

• 对每个需要角参数的门，编码 $n_{\ell ,j}$
• 需要 $m_{\ell ,j}$ 比特
• 若统一精度 $m$，每个角需要 $m$ 比特

物理后果：

• 角度精度 $\Delta \theta \sim 2\pi /2^m$
• 传播到物理常数：$\Delta m_e/m_e\sim \Delta \theta$
• $m=10$：精度 $\sim 0.1\%$（粗糙）
• $m=50$：精度 $\sim 10^{-15}$（接近实验精度）

通俗比喻： 想象你在用数字音乐软件调音高：

• 模拟旋钮：连续调节（无限精度）→ 需要无限信息
• 数字滑块：离散档位（如1024档）→ 只需10比特
• 人耳分辨不出相邻档位 → 有限精度足够！

物理测量也类似：物理可区分 ≠ 数学可区分。

(5) 有效耦合常数的导出

从离散角参数，可以解析导出有效场论的耦合常数：

$$m_e({\Theta }_{\text{dyn}})=f_m({\theta }_1,{\theta }_2,\dots )$$ $$\alpha ({\Theta }_{\text{dyn}})=g^2({\theta }_1^{\prime },{\theta }_2^{\prime },\dots )/4\pi$$

关键定理（第07篇将详述）： 在连续极限 $a,\Delta t\to 0$ 下，Dirac质量与coin角的关系：

$$m_{\text{eff}}{c}^2\approx \frac{\theta }{\Delta t}$$

因此： $$\Delta m_e/m_e\sim \Delta \theta /\theta \sim 2\pi /2^m\theta$$

若 $\theta \sim \pi /4$，$m=50$： $$\Delta m_e/m_e\sim 2\pi /(2^{50}\times \pi /4)=8/2^{50}\sim 10^{-14}$$

（接近当前电子质量测量精度 $\sim 10^{-9}$！）

动力学参数的比特计数

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{dyn}}|=\underset{\text{深度 }D}{\underbrace{10}}+D\times \left(\underset{\text{门类型}}{\underbrace{{\log }_{2}K}}+\underset{\text{作用区域}}{\underbrace{I_{\text{region}}}}+\underset{\text{角参数}}{\underbrace{m\times n_{\text{angles}}}}\right)}$$

典型数值（平移不变Dirac-QCA）：

• 深度：$D\sim 10$ → 10 bits
• 门类型：$K=5$ → ${\log }_{2}5\approx 3$ bits/层
• 作用区域：平移对称 → 1 bit/层
• 角参数：每层2个角，精度$m=50$ → $2\times 50=100$ bits/层

每层：$3+1+100=104$ bits 总计： $$|{\Theta }_{\text{dyn}}|\sim 10+10\times 104=1050\text{ bits}$$

（仍远小于 $I_{\max }$！）

第四部分：初始态参数 ${\Theta }_{\text{ini}}$ 的定义

编码内容：宇宙的“出厂设置“

初始态参数 ${\Theta }_{\text{ini}}$ 指定大爆炸时刻（$t=0$）的量子态 ${\omega }_0$。

(1) 初始态的物理选择

经典宇宙学：

• 初始条件：物质密度 ${\rho }_0$、哈勃常数 $H_0$、曲率 $k$……
• 需要无限精度实数（热大爆炸理论的困境）

量子宇宙学：

• Hartle-Hawking 无边界方案：$|{\Psi }_0⟩$ 由路径积分自动选择
• “宇宙波函数“的概念

QCA框架：

• 初态必须是 ${\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 中的某个态
• 但 $\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}\sim e^{S_{\max }}$（天文数字）
• 不能枚举所有态！需要生成算法

(2) 有限深度态制备线路

核心思想：用有限深度量子线路从简单参考态生成初态。

参考积态（trivial product state）：

$$|0_{\Lambda }⟩=\underset{x\in \Lambda }{⨂}|0_{\text{cell}}{⟩}_x$$

（每个元胞都在某个固定的“真空态“ $|0_{\text{cell}}⟩$）

态制备线路：

$$|{\Psi }_0^{\Theta }⟩=V_{{\Theta }_{\text{ini}}}|0_{\Lambda }⟩$$

其中 $V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$ 是由门集 $\mathcal{G}$ 构造的有限深度幺正算子。

编码内容（类似 ${\Theta }_{\text{dyn}}$）：

• 线路深度 $D_{\text{ini}}$
• 每层的门类型、作用区域、角参数

(3) 初始纠缠结构

有限深度线路只能产生短程纠缠态（Lieb-Robinson 界限制）。

定理2.2（Lieb-Robinson界对纠缠的约束）：

若态制备线路深度为 $D_{\text{ini}}$，Lieb-Robinson速度为 $v_{\text{LR}}$，则距离 $r>v_{\text{LR}}{D}_{\text{ini}}$ 的两个区域 $A,B$ 的互信息满足：

$$I(A:B)\lesssim \exp (-c(r-v_{\text{LR}}{D}_{\text{ini}}))$$

（指数衰减）

物理含义：

• 有限深度线路 → 长程纠缠受限
• 若要产生宇宙尺度的纠缠 → 需要深度 $D\sim N_{\text{cell}}$ → 参数爆炸
• 折衷：初态是“局域准备的，全局弱纠缠的“

宇宙学应用：

• 宇宙微波背景的相关长度 $\sim 10^5$ 光年
• 可观测宇宙尺度 $\sim 10^{10}$ 光年
• 比值 $\sim 10^{-5}$ → 需要线路深度 $D_{\text{ini}}\sim \log N_{\text{cell}}$

(4) 初态的对称性

利用对称性压缩编码：

例1（平移不变初态）： $$|{\Psi }_0⟩={\left(V_{\text{local}}\right)}^{\otimes N_{\text{cell}}}|0_{\Lambda }⟩$$

• 每个元胞施加相同的局域幺正 $V_{\text{local}}$
• 编码：只需 $V_{\text{local}}$ 的参数（与 $N_{\text{cell}}$ 无关！）

例2（基态或热态）：

• 基态：$|{\Psi }_0⟩=|GS(H_{\text{eff}})⟩$（某个有效哈密顿量的基态）
• 编码：只需编码 $H_{\text{eff}}$（通常由 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 决定）
• 热态：${\rho }_0=\exp (-\beta H_{\text{eff}})/Z$
• 编码：只需温度 $\beta$

通俗比喻： 想象工厂生产1000个相同零件：

• 笨方法：给每个零件单独画图纸 → 1000份图纸
• 聪明方法：画一份标准图纸 + “复制1000次“指令 → 1份图纸
• 对称性就是“复制指令“，极大压缩信息！

初始态参数的比特计数

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 10+D_{\text{ini}}\times (3+I_{\text{region}}+m\times n_{\text{angles}})}$$

典型数值（平移不变 + 短程纠缠）：

• 深度：$D_{\text{ini}}\sim 5$（短程纠缠足够）
• 每层：$\sim 104$ bits（同 ${\Theta }_{\text{dyn}}$）

总计： $$|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 10+5\times 104=530\text{ bits}$$

（仍远小于 $I_{\max }$！）

第五部分：总信息量与有限信息不等式

参数信息量的定义

定义2.3（参数信息量）：

$$\boxed{I_{\text{param}}(\Theta ):=|{\Theta }_{\text{str}}|+|{\Theta }_{\text{dyn}}|+|{\Theta }_{\text{ini}}|}$$

（以比特为单位）

数值估计（综合前面三部分）：

关键观察： $$I_{\text{param}}\sim 10^3\text{ bits}\ll I_{\max }\sim 10^{123}\text{ bits}$$

参数信息量微不足道！

状态空间最大熵

定义2.4（状态空间最大熵）：

$$\boxed{S_{\max }(\Theta ):={\log }_2\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}}$$

数值估计：

• $N_{\text{cell}}\sim 10^{90}$（以普朗克长度为单位的可观测宇宙）
• $d_{\text{cell}}\sim 10^3$（标准模型自由度）
• $S_{\max }\sim 10^{90}\times 10=10^{91}$ bits

（这才是大头！）

有限信息不等式的再表述

定理2.5（有限信息不等式）：

$$\boxed{I_{\text{param}}(\Theta )+S_{\max }(\Theta )\le I_{\max }}$$

推论2.6（元胞数上界）：

由于 $I_{\text{param}}\ll I_{\max }$（可忽略），有：

$$N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}\lesssim I_{\max }$$

因此：

$$\boxed{N_{\text{cell}}\lesssim \frac{I_{\max }}{{\log }_2{d}_{\text{cell}}}}$$

数值：

• 若 $d_{\text{cell}}=10^3$，${\log }_2{d}_{\text{cell}}=10$
• 则 $N_{\text{cell}}\lesssim 10^{122}$ 个元胞

物理解释： 宇宙的空间分辨率（格点数）与内部复杂度（元胞维数）存在折衷：

• 想要更多格点 → 必须降低元胞维数
• 想要更复杂元胞 → 必须减少格点数
• 两者乘积（对数）受 $I_{\max }$ 约束

图示：

graph TD
    A["总信息预算<br/>I_max ~ 10^123"] --> B["参数编码<br/>I_param ~ 10^3"]
    A --> C["状态空间<br/>S_max ~ N × log d"]

    B -.-> D["几乎可忽略"]
    C --> E["主要约束"]

    E --> F["元胞数 N"]
    E --> G["元胞维数 d"]

    F -.-> H["N ↑ → 空间分辨率高"]
    G -.-> I["d ↑ → 内部自由度多"]

    H --> J["折衷关系<br/>N × log d ≤ I_max"]
    I --> J

    style A fill:#ffe6e6
    style C fill:#e6f3ff
    style J fill:#e6ffe6

第六部分：编码冗余与唯一性

编码不唯一性的来源

问题：给定一个宇宙 QCA $\mathfrak{U}$，参数 $\Theta$ 是否唯一？

答案：不唯一！存在多种编码同一个宇宙的方式。

来源1：规范等价

例子（格点重标记）：

• 将格点 $\Lambda =\{0,1,\dots ,L-1\}$ 重新编号
• 物理上完全相同，但坐标表示不同
• ${\Theta }_{\text{str}}$ 的编码可能改变（如果编码了坐标）

处理：在等价类意义下视为同一参数

来源2：线路等价

例子（量子线路优化）： 两个线路 $U_1,U_2$ 可能实现相同的自同构： $$U_1^{†}A{U}_1=U_2^{†}A{U}_2,\forall A\in \mathcal{A}$$

但 $U_1\ne U_2$（如差一个全局相位）

处理：两种线路编码为同一 ${\Theta }_{\text{dyn}}$

来源3：精度冗余

例子（角参数舍入）： $\theta =0.5000$ 与 $\theta =0.5001$ 可能物理上不可区分（测量精度有限）

处理：定义等价关系 ${\theta }_1\sim {\theta }_2$ 当 $|{\theta }_1-{\theta }_2|<{ϵ}_{\text{meas}}$

编码唯一性定理

定义2.7（参数等价）：

两个参数向量 $\Theta ,{\Theta }^{\prime }$ 称为等价，记作 $\Theta \sim {\Theta }^{\prime }$，当且仅当存在准局域 $C^{\ast }$ 代数同构 $\Phi :\mathcal{A}(\Theta )\to \mathcal{A}({\Theta }^{\prime })$ 与时间双射 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，使得：

$$\Phi \circ {\alpha }_{\Theta }^n={\alpha }_{{\Theta }^{\prime }}^{f(n)}\circ \Phi ,\forall n\in \mathbb{Z}$$

且初态满足： $${\omega }_0^{{\Theta }^{\prime }}={\omega }_0^{\Theta }\circ {\Phi }^{-1}$$

定理2.8（参数编码的本质唯一性）：

在固定门集 $\mathcal{G}$ 与编码约定下，对每个物理可区分的宇宙 QCA 类，存在唯一的等价类代表 $\Theta \in {\mathcal{M}}_{\Theta }/\sim$。

证明思路：

1. 规范固定：选择标准格点标记、标准线路简化规则
2. 精度截断:四舍五入到测量精度 ${ϵ}_{\text{meas}}$
3. 商掉等价关系：${\mathcal{M}}_{\Theta }/\sim$ 中每个等价类选一个代表

物理意义： 虽然编码有冗余，但“本质自由度“是有限且唯一的。

有效参数维数

定义2.9（有效参数维数）：

$$d_{\text{eff}}:={\log }_2|{\mathcal{M}}_{\Theta }/\sim |$$

估计： $$d_{\text{eff}}\approx I_{\text{param}}-I_{\text{redundancy}}$$

其中 $I_{\text{redundancy}}$ 为编码冗余（规范对称性的维数）

数值：

• $I_{\text{param}}\sim 10^3$ bits
• $I_{\text{redundancy}}\sim 10^2$ bits（规范自由度、坐标选择等）
• $d_{\text{eff}}\sim 10^3-10^2\sim 900$ bits

结论：宇宙的“本质自由参数“只有约 900 比特！

（相当于一个 112 字节的文件！）

本篇核心要点总结

三重分解的逻辑

$$\boxed{\Theta =({\Theta }_{\text{str}},{\Theta }_{\text{dyn}},{\Theta }_{\text{ini}})}$$

参数信息量定义

$$\boxed{I_{\text{param}}(\Theta )=|{\Theta }_{\text{str}}|+|{\Theta }_{\text{dyn}}|+|{\Theta }_{\text{ini}}|}$$

有限信息不等式

$$\boxed{I_{\text{param}}(\Theta )+S_{\max }(\Theta )\le I_{\max }}$$

其中：

• $S_{\max }(\Theta )=N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}$（状态空间最大熵）
• $I_{\max }\sim 10^{123}$ bits（宇宙信息容量）

折衷关系

$$\boxed{N_{\text{cell}}\times {\log }_2{d}_{\text{cell}}\lesssim I_{\max }}$$

物理图景：

• 空间分辨率 $N_{\text{cell}}$ 与内部复杂度 $d_{\text{cell}}$ 存在折衷
• 参数信息 $I_{\text{param}}$ 相对可忽略（$\sim 10^3$ vs $10^{123}$）
• 主要约束来自状态空间大小

关键洞察

1. 三类参数逻辑独立：结构→动力学→初态，依次确定，但逻辑分离
2. 参数信息极小：$I_{\text{param}}\sim 10^3\ll I_{\max }\sim 10^{123}$
3. 对称性压缩：利用平移/规范对称性，大幅降低编码成本
4. 离散化必然：有限信息 → 连续参数必须离散化（有限精度角）
5. 本质自由度有限：除去冗余，约 900 比特本质参数

下一篇预告：03. 结构参数详解：时空的离散图纸

• 格点集合 $\Lambda$ 的构造方式
• 元胞Hilbert空间的张量积分解
• 拓扑类型与边界条件
• 对称性群的表示论
• 格距 $a$ 与连续极限的预备