03. 结构参数详解：时空的离散图纸

引言：搭积木的第一步——图纸

在第02篇中，我们建立了参数向量的三重分解 $\Theta =({\Theta }_{\text{str}},{\Theta }_{\text{dyn}},{\Theta }_{\text{ini}})$。现在深入第一类参数：结构参数 ${\Theta }_{\text{str}}$。

通俗比喻：建筑图纸决定房子的骨架

想象你要用乐高积木搭建一座城堡。开始之前，你需要一张建筑图纸回答以下问题：

基础问题：

1. 有多少块积木？（格点数 $N_{\text{cell}}$）
2. 每块积木是什么类型？（元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$）
3. 积木如何连接？（图结构、邻居关系）
4. 是搭在平面上还是圆形底座上？（拓扑与边界条件）

进阶问题： 5. 积木有特殊对称性吗？（如镜像对称、旋转不变） 6. 有些位置不能放积木吗？（缺陷、非均匀结构）

宇宙的情况完全类似：

结构参数 ${\Theta }_{\text{str}}$ 就是宇宙的“乐高图纸“，它回答：

• 有多少个“时空格点“？→ 格点集合 $\Lambda$
• 每个格点有什么“内部结构“？→ 元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_x$
• 格点如何“连接“？→ 图结构 $(\Lambda ,E)$
• 宇宙是“开放“还是“封闭“？→ 边界条件
• 有什么对称性？→ 对称群 $G$

本篇将详细解释这些内容。

第一部分：格点集合 $\Lambda$ 的构造

最简单情况：规则矩形格

定义3.1（$d$维矩形格）：

$$\Lambda =\prod _{i=1}^d\{0,1,\dots ,L_i-1\}={\mathbb{Z}}_{L_1}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{L_d}$$

参数：

• 维度 $d\in \{1,2,3,4,\dots \}$
• 各方向格长 $L_1,\dots ,L_d\in \mathbb{N}$

总格点数： $$N_{\text{cell}}=\prod _{i=1}^d{L}_i$$

例子1（一维链）： $$\Lambda =\{0,1,\dots ,99\}={\mathbb{Z}}_{100}$$

• $d=1$，$L_1=100$
• 总格点数：$N_{\text{cell}}=100$

例子2（二维方格）： $$\Lambda =\{0,\dots ,999\}\times \{0,\dots ,999\}$$

• $d=2$，$L_1=L_2=1000$
• 总格点数：$N_{\text{cell}}=10^6$

例子3（三维立方体）： $$\Lambda =\{0,\dots ,L-1{\}}^3$$

• $d=3$，$L_1=L_2=L_3=L$
• 总格点数：$N_{\text{cell}}=L^3$

宇宙学尺度（以普朗克长度 ${\ell }_p\sim 10^{-35}\text{m}$ 为单位）：

• 可观测宇宙半径：$R_{\text{uni}}\sim 10^{26}\text{m}=10^{61}{\ell }_p$
• 若三维立方格：$L\sim 10^{61}$
• 总格点数：$N_{\text{cell}}\sim (10^{61}{)}^3=10^{183}$

（但这超过 $I_{\max }\sim 10^{123}$！后面会讨论如何调和）

编码格点集合

编码内容（${\Theta }_{\text{str}}$ 的一部分）：

1. 维度 $d$：

   • 用 $\lceil {\log }_2{d}_{\max }\rceil$ 比特
   • 若限制 $d\le 16$（足够物理），需要 4 比特

2. 各方向格长 $L_1,\dots ,L_d$：

   • 若每个 $L_i\le 2^{64}$，每个需要 64 比特
   • 总共：$64d$ 比特

比特计数： $$I_{\Lambda }=4+64d$$

例子（$d=3$）： $$I_{\Lambda }=4+64\times 3=196\text{ bits}$$

图结构与邻居关系

格点集合 $\Lambda$ 本身只是点的集合。要定义“哪些格点相邻“，需要图结构。

定义3.2（格点图）：

$${\mathcal{G}}_{\Lambda }=(\Lambda ,E)$$

其中 $E\subset \Lambda \times \Lambda$ 是边集合，$(x,y)\in E$ 表示 $x,y$ 相邻。

标准选择（矩形格）：

(1) 最近邻图（nearest-neighbor）：

$$(x,y)\in E\iff \sum _{i=1}^d|x_i-y_i|=1$$

（曼哈顿距离为1）

例子（二维方格）：

• 点 $(5,7)$ 的最近邻：$(4,7),(6,7),(5,6),(5,8)$（4个邻居）

(2) 次近邻图（next-nearest-neighbor）：

$$(x,y)\in E\iff 1\le \sum _{i=1}^d|x_i-y_i|\le 2$$

例子（二维方格）：

• 点 $(5,7)$ 的次近邻：除了4个最近邻，还有对角线方向的4个（共8个）

(3) 切比雪夫图（Chebyshev）：

$$(x,y)\in E\iff \underset{i=1}{\overset{d}{\max }}|x_i-y_i|=1$$

度数（degree）：

每个格点的邻居数（度数 $\mathrm{deg}(x)$）：

• 一维最近邻：$\mathrm{deg}=2$（内部点），$\mathrm{deg}=1$（边界点）
• 二维方格最近邻：$\mathrm{deg}=4$（内部），$\mathrm{deg}\in \{2,3\}$（边界）
• 三维立方最近邻：$\mathrm{deg}=6$（内部）

编码图结构：

对标准规则格，图结构由邻居类型唯一确定：

• “最近邻” → 1 比特编码选项
• “次近邻” → 另1 比特
• 总共：2-3 比特

对非规则图，需要编码邻接矩阵（开销大，通常避免）。

物理含义：格点 = 时空事件的“像素“

经典连续时空：

• 事件：$(t,x,y,z)\in {\mathbb{R}}^4$（连续）
• 不可数无穷多点

离散QCA时空：

• 事件：$x\in \Lambda \subset {\mathbb{Z}}^d$（离散）
• 有限格点数 $N_{\text{cell}}$

格距 $a$（lattice spacing）：

$$a=\frac{L_{\text{physical}}}{L_{\text{lattice}}}$$

例子：

• 物理长度：$L_{\text{physical}}=1\text{m}$
• 格点数：$L_{\text{lattice}}=10^{35}$（以普朗克长度为单位）
• 格距：$a=10^{-35}\text{m}={\ell }_p$

通俗比喻：

• 连续时空 = 无限分辨率的照片
• QCA格点 = 数字照片的像素
• 格距 $a$ = 每个像素代表的物理尺寸

第二部分：元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$

单元胞的内部自由度

每个格点 $x\in \Lambda$ 携带一个有限维Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_x$。

定义3.3（元胞Hilbert空间）：

$${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^{d_{\text{cell}}}$$

其中 $d_{\text{cell}}\in \mathbb{N}$ 是元胞维数。

物理意义：

• $d_{\text{cell}}$：每个格点有多少个“内部量子态“
• 类比：每个像素有多少个颜色通道（RGB = 3通道）

元胞维数的物理来源

在真实物理中，${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$ 通常分解为多个子系统的张量积：

$$\boxed{{\mathcal{H}}_{\text{cell}}={\mathcal{H}}_{\text{fermion}}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{gauge}}\otimes {\mathcal{H}}_{\text{aux}}}$$

(1) 费米子自由度 ${\mathcal{H}}_{\text{fermion}}$

最简单（Dirac-QCA）： $${\mathcal{H}}_{\text{fermion}}={\mathbb{C}}^2$$

• 基矢：$\{|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩\}$（自旋上/下）
• 维数：$\dim {\mathcal{H}}_{\text{fermion}}=2$

标准模型（3代轻子+夸克）：

• 轻子：电子、缪子、陶子（各有中微子）→ 6种
• 夸克：上、下、奇、粲、底、顶 → 6种
• 自旋：上/下 → 2种
• 粒子/反粒子 → 2种
• 总计：$(6+6)\times 2\times 2=48$

但考虑色荷（夸克有3色）： $$\dim {\mathcal{H}}_{\text{fermion}}\sim 3\times 6\times 2\times 2=72$$

（实际需要更精细的Fock空间构造）

(2) 规范场自由度 ${\mathcal{H}}_{\text{gauge}}$

电磁场（U(1)）：

• 光子：2个偏振态
• 维数：$\dim {\mathcal{H}}_{\text{gauge}}^{\text{EM}}=2$

非阿贝尔规范场（SU(N)）：

• 胶子（SU(3)色规范）：8个胶子 × 2偏振 = 16态
• 弱规范玻色子（SU(2)）：3个玻色子（W⁺, W⁻, Z） × 2偏振 = 6态

联合（标准模型 SU(3)×SU(2)×U(1)）： $$\dim {\mathcal{H}}_{\text{gauge}}\sim 16+6+2=24$$

(3) 辅助比特 ${\mathcal{H}}_{\text{aux}}$

为何需要：保证QCA演化的可逆性。

原理（Bennett垃圾比特）： 经典可逆计算需要“垃圾寄存器“存储中间结果，量子QCA类似。

维数估计： 若主要自由度有 $d_{\text{main}}$ 个态，辅助比特通常需要 $d_{\text{aux}}\sim {\log }_2{d}_{\text{main}}$。

标准模型QCA：

• 主要自由度：$d_{\text{main}}\sim 72\times 24\sim 1700$
• 辅助比特：$d_{\text{aux}}\sim {\log }_{2}1700\sim 11$ → $2^{11}=2048$

总元胞维数： $$d_{\text{cell}}=d_{\text{fermion}}\times d_{\text{gauge}}\times d_{\text{aux}}\sim 72\times 24\times 2048\sim 3.5\times 10^6$$

（这是单个格点的Hilbert空间维数！）

编码元胞Hilbert空间

方法1（直接编码维数）：

• 存储 $d_{\text{cell}}$
• 需要 $\lceil {\log }_2{d}_{\text{cell}}\rceil$ 比特
• 例：$d_{\text{cell}}=3.5\times 10^6$ → ${\log }_2(3.5\times 10^6)\approx 22$ 比特

方法2（分解编码）：

• 分别存储 $d_{\text{fermion}},d_{\text{gauge}},d_{\text{aux}}$
• 总比特数：${\log }_2{d}_{\text{fermion}}+{\log }_2{d}_{\text{gauge}}+{\log }_2{d}_{\text{aux}}$
• 例：${\log }_{2}72+{\log }_{2}24+{\log }_{2}2048=7+5+11=23$ 比特

方法3（指定物理模型）：

• 编码“标准模型“（字符串）
• 维数隐含在模型中
• 需要：$\sim 50$ 比特（编码模型名称+参数）

通常选择：方法3（物理模型编码）

比特计数： $$I_{\mathcal{H}}\sim 50\text{ bits}$$

全局Hilbert空间的张量积

定义3.4（全局Hilbert空间）：

$$\boxed{{\mathcal{H}}_{\Lambda }=\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x}$$

维数： $$\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=\prod _{x\in \Lambda }{d}_{\text{cell}}(x)=d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}$$

（假设各格点元胞维数相同）

数值例子（宇宙学尺度）：

• $d_{\text{cell}}=10^6$
• $N_{\text{cell}}=10^{90}$（以普朗克单位的可观测宇宙）
• $\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=(10^6{)}^{10^{90}}=10^{6\times 10^{90}}$

这是一个双重指数大的数！

最大熵（信息容量）： $$S_{\max }={\log }_2\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}$$

例子：

• $N_{\text{cell}}=10^{90}$，$d_{\text{cell}}=10^6$
• $S_{\max }=10^{90}\times {\log }_2(10^6)=10^{90}\times 20=2\times 10^{91}$ 比特

（远超 $I_{\max }\sim 10^{123}$，这意味着宇宙不能“填满“整个Hilbert空间！）

第三部分：边界条件与拓扑

为什么需要边界条件？

格点集合 $\Lambda$ 是有限的，必然有“边界“。边界的处理方式影响物理性质。

经典类比：

• 开放系统：能量可以流入/流出（开边界）
• 封闭系统：能量守恒（周期边界）

开边界条件（Open Boundary）

定义3.5（开边界）：

边界格点只有部分邻居（内部格点的邻居数正常）。

一维例子： $$\Lambda =\{0,1,2,\dots ,L-1\}$$

• 边界：$x=0,x=L-1$
• 内部：$x\in \{1,\dots ,L-2\}$

邻居结构：

• $x=0$：只有右邻居 $x=1$
• $x=L-1$：只有左邻居 $x=L-2$
• $x\in \{1,\dots ,L-2\}$：左右邻居都有

物理意义：

• 边界是“真实的“（如容器壁）
• 量子态可以在边界反射或吸收
• 边界效应显著（当 $L$ 不够大时）

编码：

• 对每个方向指定“open“ → 1比特/方向
• 总共：$d$ 比特

周期边界条件（Periodic Boundary）

定义3.6（周期边界）：

边界格点通过“环绕“与对侧连接。

一维例子： $$\Lambda ={\mathbb{Z}}_L=\{0,1,\dots ,L-1\}$$

邻居结构（最近邻）：

• $x=0$：左邻居是 $x=L-1$，右邻居是 $x=1$
• $x=L-1$：左邻居是 $x=L-2$，右邻居是 $x=0$
• （形成一个“环“）

拓扑：

• 一维周期：圆 $S^1$
• 二维周期：环面 ${\mathbb{T}}^2=S^1\times S^1$
• 三维周期：三维环面 ${\mathbb{T}}^3$

物理意义：

• 消除边界效应
• 平移对称性保持
• 模拟“无限大“系统（当 $L$ 足够大时）

编码：

• 对每个方向指定“periodic“ → 1比特/方向
• 总共：$d$ 比特

通俗比喻：

• 开边界：在平面地图上行走，走到边缘就停止
• 周期边界：在游戏《贪吃蛇》中，蛇从屏幕右边出去，从左边重新进来

扭曲边界条件（Twisted Boundary）

定义3.7（扭曲边界）：

环绕时施加一个相位或对称变换。

一维例子（反周期）： $$\psi (L)=-\psi (0)$$

（波函数在环绕时改变符号）

物理意义：

• 费米子：通常用反周期边界（泡利不相容原理）
• 玻色子：用周期边界
• 拓扑相：需要扭曲边界检测拓扑不变量

编码：

• 指定扭曲类型（无、反周期、U(1)相位）→ 2比特/方向
• 总共：$2d$ 比特

非平凡拓扑

例子1（三维球面 $S^3$）：

• 闭合、无边界
• 需要特殊格点粘合

例子2（RP³、流形）：

• 复杂拓扑不变量
• 需要额外编码粘合映射

编码开销：

• 简单拓扑（${\mathbb{R}}^d$、${\mathbb{T}}^d$、$S^d$）：$\sim 10$ 比特
• 复杂拓扑（任意流形）：$\sim 100$ 比特（Morse理论、CW复形）

宇宙学应用：

• 可观测宇宙拓扑未知（可能是 ${\mathbb{R}}^3$、${\mathbb{T}}^3$、双曲空间……）
• ${\Theta }_{\text{str}}$ 需要编码拓扑类型

边界条件的比特计数

$$I_{\text{boundary}}\sim 2d\text{ bits}$$

（假设标准或扭曲周期边界）

例子（$d=3$）： $$I_{\text{boundary}}=6\text{ bits}$$

第四部分：对称性与守恒律

为什么对称性重要？

物理定律通常具有对称性：

• 时间平移对称 → 能量守恒
• 空间平移对称 → 动量守恒
• 转动对称 → 角动量守恒
• 规范对称 → 荷守恒

在QCA框架，对称性编码在 ${\Theta }_{\text{str}}$ 中，影响 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$ 的表示论结构。

全局对称群 $G_{\text{global}}$

定义3.8（全局对称）：

一个幺正表示 $\rho :G\to U({\mathcal{H}}_{\text{cell}})$ 使得动力学保持不变。

例子1（U(1)对称）：

• 粒子数守恒
• 群：$G=U(1)=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi )\}$
• 表示：$\rho (e^{i\theta })=e^{i\theta \hat{N}}$（$\hat{N}$ 为粒子数算符）

例子2（SU(2)自旋对称）：

• 转动不变性
• 群：$G=SU(2)$
• 表示：自旋-1/2、自旋-1等表示

例子3（Z₂对称）：

• 宇称对称（$x\to -x$）
• 群：$G={\mathbb{Z}}_2=\{+1,-1\}$
• 表示：$\rho (-1)=P$（宇称算符）

局域规范对称 $G_{\text{local}}$

定义3.9（规范对称）：

在每个格点独立地作用的对称变换，物理态在规范变换下等价。

标准模型： $$G_{\text{local}}=SU(3{)}_{\text{color}}\times SU(2{)}_{\text{weak}}\times U(1{)}_Y$$

• SU(3)：色规范对称（强相互作用）
• SU(2)：弱同位旋对称
• U(1)：超荷对称

物理Hilbert空间： 需要满足Gauss定律（规范约束）的态。

例子（格规范理论）：

• 在每条边上放置规范场变量 $U_e\in SU(N)$
• 物理态满足：${\prod }_{e\text{ 出于 }x}{U}_e=1$（每个格点）

对称性的编码

编码内容：

1. 对称群类型：

   • “U(1)”、“SU(2)”、“SU(3)”、……
   • 用字符串或枚举类型 → $\sim 20$ 比特

2. 表示选择：

   • 基本表示、伴随表示、自旋-$j$ 表示……
   • 每个表示 $\sim 10$ 比特

3. 如何作用在 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$ 上：

   • 指定生成元在基矢上的矩阵表示
   • 对标准群（U(1)、SU(2)、SU(3)），可以预设
   • 额外编码 $\sim 10$ 比特

总比特数： $$I_{\text{symmetry}}\sim 20+10+10=40\text{ bits}$$

（对单个对称群）

标准模型（SU(3)×SU(2)×U(1)）： $$I_{\text{symmetry}}\sim 3\times 40=120\text{ bits}$$

对称性与信息压缩

关键洞察：对称性可以极大压缩参数信息！

例子（平移不变性）：

无对称性：

• 每个格点的哈密顿量参数独立 → $N_{\text{cell}}$ 组参数
• 信息量：$\sim N_{\text{cell}}\times I_{\text{local}}$

有平移对称性：

• 所有格点哈密顿量相同 → 只需1组参数
• 信息量：$\sim I_{\text{local}}$

压缩比：$N_{\text{cell}}$（天文数字！）

物理必然性： 若宇宙没有对称性，需要的参数信息将超过 $I_{\max }$ → 矛盾

因此：对称性不是巧合，而是有限信息公理的必然后果！

第五部分：缺陷与非均匀结构

拓扑缺陷

定义3.10（拓扑缺陷）：

空间中某些位置，场配置或几何具有奇异性，不能通过连续变形消除。

例子1（宇宙弦）：

• 一维缺陷（三维空间中的“弦“）
• 场配置在绕弦一周时获得非平凡相位
• 产生圆锥几何（亏损角）

例子2（磁单极）：

• 零维缺陷（“点”）
• 规范场在远处类似磁单极场
• Dirac量子化条件

例子3（畴壁）：

• 二维缺陷（三维空间中的“壁“）
• 两侧真空态不同（自发对称性破缺）

QCA中的缺陷编码

方法1（位置列表）：

• 缺陷位置：$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),\dots$
• 每个坐标 $\sim 3\times {\log }_{2}L$ 比特
• $k$ 个缺陷：$\sim k\times 3{\log }_{2}L$ 比特

方法2（场配置编码）：

• 在缺陷附近，场配置特殊
• 编码缺陷类型（字符串、单极、畴壁）+ 取向
• 每个缺陷 $\sim 50$ 比特

宇宙学（暴涨后遗迹）：

• 暴涨理论预言：宇宙中可能有 $\sim 0$ 个大尺度缺陷（暴涨稀释）
• 或 $\sim 10$ 个缺陷（相变时形成）

编码开销： $$I_{\text{defect}}\sim k_{\text{defect}}\times 50\text{ bits}$$

例子（$k_{\text{defect}}=0$）： $$I_{\text{defect}}=0\text{ bits}$$

（均匀宇宙，无缺陷）

非均匀格长（Refinement）

动机：某些区域需要更高分辨率。

例子（天文学）：

• 星系团附近：高分辨率（$a\sim 10^{-10}{\ell }_p$）
• 星际空间：低分辨率（$a\sim 10^{-5}{\ell }_p$）

实现（自适应网格）：

• 将某些粗格点“细分“为 $2^d$ 个子格点
• 递归细分

编码：

• 细分树结构（类似四叉树/八叉树）
• 每个细分决策 $\sim 1$ 比特
• 若细分 $k_{\text{refine}}$ 次：$\sim k_{\text{refine}}$ 比特

宇宙学应用：

• 观测表明宇宙大尺度均匀（CMB涨落 $\sim 10^{-5}$）
• 非均匀结构主要在小尺度（星系、恒星）
• 若用粗粒化（coarse-graining），小尺度涌现
• ${\Theta }_{\text{str}}$ 可以只编码大尺度均匀格

典型值： $$I_{\text{refine}}\sim 0\text{ bits}$$

（均匀格足够）

第六部分：结构参数的总比特计数

综合以上各部分：

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{str}}|=I_{\Lambda }+I_{\mathcal{H}}+I_{\text{boundary}}+I_{\text{symmetry}}+I_{\text{defect}}+I_{\text{refine}}}$$

数值表（标准宇宙QCA）：

关键观察： $$|{\Theta }_{\text{str}}|\sim 400\text{ bits}\ll I_{\max }\sim 10^{123}\text{ bits}$$

结构参数信息量极小！

第七部分：准局域 $C^{\ast }$ 代数的构造

从格点到代数

有了格点集合 $\Lambda$ 和元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_x$，可以构造准局域算子代数。

定义3.11（局域代数）：

对有限子集 $F\subset \Lambda$，定义：

$${\mathcal{H}}_F=\underset{x\in F}{⨂}{\mathcal{H}}_x$$

$${\mathcal{A}}_F=\mathcal{B}({\mathcal{H}}_F)$$

（${\mathcal{H}}_F$ 上所有有界算子）

嵌入：

若 $F\subset F^{\prime }$，则 ${\mathcal{A}}_F\subset {\mathcal{A}}_{F^{\prime }}$ 通过：

$${\iota }_{F\subset F^{\prime }}(A_F)=A_F\otimes 1_{F^{\prime }\setminus F}$$

（在 $F$ 外作用为恒等）

定义3.12（准局域 $C^{\ast }$ 代数）：

$$\boxed{\mathcal{A}(\Lambda )={\overline{\bigcup _{F⋐\Lambda }{\mathcal{A}}_F}}^{\Vert \cdot \Vert }}$$

（所有局域算子的闭包，以算符范数计）

物理意义：

• $\mathcal{A}(\Lambda )$：所有“局域可观测量“
• 可观测量作用在有限区域，但可以任意大

态空间

定义3.13（态）：

态是 $\mathcal{A}(\Lambda )$ 上的正、归一线性泛函：

$$\omega :\mathcal{A}(\Lambda )\to \mathbb{C}$$

满足：

• 正性：$\omega (A^{†}A)\ge 0$
• 归一性：$\omega (1)=1$

纯态与混态：

• 纯态：$\omega (A)=⟨\psi |A|\psi ⟩$（某个矢量态）
• 混态：$\omega (A)=\text{tr}(\rho A)$（密度矩阵）

态空间维数： $$\dim (\text{纯态流形})=2\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }-2=2d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}-2$$

（复射影空间 ${\mathbb{CP}}^{d-1}$ 的实维数）

这是双重指数大！

$C^{\ast }$ 代数与有限信息的关系

关键定理：

在有限维 ${\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 上，$\mathcal{A}(\Lambda )=\mathcal{B}({\mathcal{H}}_{\Lambda })$ 也是有限维的：

$${\dim }_{\mathbb{C}}\mathcal{A}(\Lambda )=(\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }{)}^2=d_{\text{cell}}^{2N_{\text{cell}}}$$

信息量： $${\log }_2\dim \mathcal{A}(\Lambda )=2N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}=2S_{\max }$$

但物理可观测算子数量远小于 $\dim \mathcal{A}$，因为：

• 对称性约束（规范不变、平移不变）
• 局域性（实验只能测量局域算符）

有效信息： $$I_{\text{eff}}^{\text{obs}}\ll 2S_{\max }$$

（通常 $\sim S_{\max }$ 或更少）

本篇核心要点总结

结构参数的五大组成

$${\Theta }_{\text{str}}=(\Lambda ,{\mathcal{H}}_{\text{cell}},\text{boundary},G_{\text{symm}},\text{defects})$$

全局Hilbert空间

$${\mathcal{H}}_{\Lambda }=\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x,\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}$$

最大熵： $$S_{\max }=N_{\text{cell}}{\log }_2{d}_{\text{cell}}$$

数值例子（宇宙学）：

• $N_{\text{cell}}\sim 10^{90}$，$d_{\text{cell}}\sim 10^6$
• $S_{\max }\sim 2\times 10^{91}$ bits

准局域 $C^{\ast }$ 代数

$$\mathcal{A}(\Lambda )={\overline{\bigcup _{F⋐\Lambda }\mathcal{B}({\mathcal{H}}_F)}}^{\Vert \cdot \Vert }$$

物理意义：所有局域可观测量的集合。

核心洞察

1. 结构参数微小：$|{\Theta }_{\text{str}}|\sim 400\ll I_{\max }\sim 10^{123}$
2. 状态空间巨大：$S_{\max }\sim 10^{91}$ 主导信息容量
3. 对称性必然：无对称性 → 参数爆炸 → 超过 $I_{\max }$
4. 有限信息强制离散：连续时空需要无限信息 → 必须离散化
5. 格距 $a$ 与物理尺度：$a\sim {\ell }_p$（普朗克长度）是自然单位

与连续场论的关系

连续极限（第07篇详述）： $$a,\Delta t\to 0\Rightarrow \text{QCA}\to \text{场论}$$

下一篇预告：04. 动力学参数详解：物理定律的源代码

• QCA自同构 ${\alpha }_{\Theta }$ 的构造
• 有限深度局域幺正线路
• 门集 $\mathcal{G}$ 与通用性
• 离散角参数 $\theta \to 2\pi n/2^m$
• Lieb-Robinson界与光锥
• 从离散门到连续哈密顿量