04. 动力学参数详解：物理定律的源代码

引言：从静态结构到动态演化

在第03篇中，我们建立了宇宙的“空间骨架“——格点集合 $\Lambda$ 和元胞Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$。但这只是静态的“舞台“。

关键问题：宇宙如何演化？时间如何推进？物理定律如何运作？

答案在动力学参数 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 中。

通俗比喻：从建筑图纸到施工规则

继续我们的建筑类比：

第03篇（结构参数）：

• 建筑图纸：有多少层？每层多大？
• 这是静态信息——描述“房子长什么样“

第04篇（动力学参数）：

• 施工规则：砖如何砌？混凝土如何浇？
• 这是动态信息——描述“房子如何建造“

宇宙的情况：

• ${\Theta }_{\text{str}}$：“宇宙长什么样”（空间结构）
• ${\Theta }_{\text{dyn}}$：“宇宙如何运行”（时间演化）

本篇将详细解释如何从有限比特串 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 编码整个宇宙的时间演化。

第一部分：QCA自同构与时间演化

什么是时间演化？

经典力学：

• 初态：$(x_0,p_0)$
• 哈密顿量：$H(x,p)$
• 时间演化：$\dot{x}=\partial H/\partial p$，$\dot{p}=-\partial H/\partial x$
• 结果：轨迹 $(x(t),p(t))$

量子力学：

• 初态：$|{\psi }_0⟩$
• 哈密顿量：$\hat{H}$
• 时间演化：$|\psi (t)⟩=e^{-i\hat{H}t/\hslash }|{\psi }_0⟩$
• 结果：量子态随时间的幺正演化

量子元胞自动机（QCA）：

• 初态：${\omega }_0$ （态泛函）
• 演化算符：$U$ （幺正算符）
• 时间演化：${\omega }_n(A)={\omega }_0(U^{†n}A{U}^n)$
• 结果：离散时间步的幺正自同构

QCA自同构的定义

定义4.1（QCA时间演化）：

给定全局Hilbert空间 ${\mathcal{H}}_{\Lambda }={⨂}_{x\in \Lambda }{\mathcal{H}}_x$ 和准局域代数 $\mathcal{A}(\Lambda )$，QCA的一个时间步由幺正算符 $U:{\mathcal{H}}_{\Lambda }\to {\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 实现：

$$\alpha (A)=U^{†}AU,A\in \mathcal{A}(\Lambda )$$

性质：

1. 幺正性：$U^{†}U=U{U}^{†}=1$（可逆）
2. 局域性：$U$ 可表示为有限深度局域门的乘积
3. 因果性：信息传播速度有限（Lieb-Robinson界）

物理意义：

• $\alpha$：将时刻 $t$ 的可观测量映射到时刻 $t+1$ 的可观测量
• 类比：相机快门每次拍摄，世界“跳跃“到下一帧

通俗比喻：

• 连续时间（经典/量子力学）= 电影胶片（无限帧率）
• 离散时间（QCA）= 定格动画（有限帧率）
• $U$：从一帧到下一帧的“变换规则“

${\Theta }_{\text{dyn}}$ 的任务

动力学参数 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 需要完整指定幺正算符 $U$。

挑战：

• ${\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 的维数：$d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}\sim 10^{6\times 10^{90}}$（天文数字）
• 幺正算符 $U$ 的自由度：$\sim (d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}{)}^2$（双重指数）
• 直接编码：需要 $\sim 10^{180}$ 比特（远超 $I_{\max }$！）

解决方案：利用局域性！

• $U$ 不是任意幺正算符
• $U$ 由有限深度局域门线路组成
• 局域门作用在少数邻居上（如2-4个格点）
• 总自由度被指数压缩

第二部分：有限门集 $\mathcal{G}$

门集：QCA的“编程语言“

在经典计算中，所有逻辑运算可由基本门（如NAND）组合而成。在量子计算中，也有类似的“通用门集“。

定义4.2（有限门集）：

固定一个有限的局域幺正算符集合：

$$\boxed{\mathcal{G}=\{G_1,G_2,\dots ,G_K\}}$$

其中每个 $G_k$ 满足：

1. 有限维：作用在有限个格点上（半径 $r_0$ 邻域内）
2. 幺正性：$G_k^{†}{G}_k=1$
3. 参数化：矩阵元由有限精度角参数决定

例子1（单格点门）： 作用在单个元胞 ${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^2$ 上：

• Pauli门：$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$Y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$，$Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$
• Hadamard门：$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$
• 旋转门：$R_y(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y/2)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -\sin (\theta /2)\\ \sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right)$

例子2（两格点门）： 作用在相邻两个元胞 ${\mathcal{H}}_x\otimes {\mathcal{H}}_{x+1}\cong {\mathbb{C}}^2\otimes {\mathbb{C}}^2$：

• CNOT门：$\text{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$
• SWAP门：$\text{SWAP}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
• 受控旋转：$C{R}_y(\theta )=|\uparrow ⟩⟨\uparrow |\otimes 1+|\downarrow ⟩⟨\downarrow |\otimes R_y(\theta )$

例子3（Dirac-QCA的门集）：

• Coin门：$C(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y)$ 作用在自旋自由度
• Shift门：$S={\sum }_{x,s}|x+s,s⟩⟨x,s|$ （自旋依赖平移）
• 参数：角度 $\theta \in [0,2\pi )$（需要离散化）

门集大小与通用性

定理4.3（通用量子门集）：

存在有限门集 $\mathcal{G}$，使得任意幺正算符可以被任意精度近似为 $\mathcal{G}$ 中门的有限深度组合。

经典结果（Solovay-Kitaev定理）：

• 门集 $\{H,T,\text{CNOT}\}$ 在 ${\mathbb{C}}^2$ 上是通用的
• $H=\text{Hadamard}$，$T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi /4}\end{array}\right)$
• 逼近精度 $ϵ$，需要深度 $D\sim {\log }^c(1/ϵ)$（多对数增长）

物理意义：

• 不需要无限多种门
• 有限门集 $\mathcal{G}$（如 $K=10$）足够表达所有物理
• 类比：10个基本音符可以组合出所有交响乐

编码开销：

• 门集可以预先约定（如选定“标准模型QCA门集“）
• 或在 ${\Theta }_{\text{str}}$ 中编码（额外 $\sim 50$ 比特）
• 通常：约定固定门集，节省编码

门集的比特编码

若门集有 $K$ 个门，选择某个门需要：

$${\log }_{2}K\text{ 比特}$$

例子：

• $K=16$：需要 4 比特
• $K=256$：需要 8 比特

第三部分：量子线路的构造

有限深度线路

定义4.4（量子线路）：

全局幺正算符 $U$ 由 $D$ 层局域门组成：

$$\boxed{U=U_D{U}_{D-1}\cdots U_2{U}_1}$$

其中每层 $U_{\ell }$ 是若干个局域门 $G_k$ 并行施加：

$$U_{\ell }=\prod _j{G}_{k_{\ell ,j}}^{(R_{\ell ,j})}$$

• $k_{\ell ,j}$：第 $\ell$ 层第 $j$ 个门的类型（从 $\mathcal{G}$ 中选）
• $R_{\ell ,j}\subset \Lambda$：该门的作用区域

关键约束：

• 有限深度：$D<\infty$（通常 $D\sim 10$-$10^3$）
• 局域性：同一层的门作用在不相交区域（可并行）
• 有限半径：每个门作用在半径 $r_0$ 邻域内

通俗比喻： 想象一个工厂流水线：

• 每层 $U_{\ell }$：流水线的一个工位
• 每个门 $G_k$：工位上的一个操作（如“拧螺丝“、“焊接”）
• 深度 $D$：流水线有多少个工位
• 产品经过 $D$ 个工位后完成组装 = 宇宙经过一个时间步

线路深度的编码

编码内容：

1. 深度 $D$：

   • 用 $\lceil {\log }_2{D}_{\max }\rceil$ 比特
   • 若 $D\le 1024$，需要 10 比特

2. 每层的门配置（对 $\ell =1,\dots ,D$）：

   • 门类型 $k_{\ell ,j}$：${\log }_{2}K$ 比特/门
   • 作用区域 $R_{\ell ,j}$：取决于对称性

平移不变情况（极大简化）：

若每层的门配置是平移不变的（所有奇数/偶数格点施加相同门）：

• 只需指定：门类型 + 奇偶性
• 每层编码：${\log }_{2}K+1$ 比特

一般情况（非平移不变）：

需要指定每个门的位置：

• 格点坐标：$\sim d{\log }_{2}L$ 比特/门
• $n_{\text{gates}}$ 个门：$\sim n_{\text{gates}}\times d{\log }_{2}L$ 比特

对称性压缩的威力：

结论：平移对称性是必需的，否则参数爆炸！

第四部分：离散角参数

连续参数的问题

许多物理门包含连续参数：

$$R_y(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y)$$

其中 $\theta \in [0,2\pi )$ 是实数。

问题：

• 实数 $\theta$ 需要无限比特精确编码（如 $\pi =3.14159\dots$）
• 与有限信息公理矛盾！

解决：离散化角参数。

离散化方案

定义4.5（离散角）：

将角度限制为有理数：

$$\boxed{\theta =\frac{2\pi n}{2^m}}$$

其中：

• $n\in \{0,1,\dots ,2^m-1\}$：离散标签
• $m\in \mathbb{N}$：精度比特数

例子（$m=3$）：

• 可用角度：$\frac{2\pi \times 0}{8},\frac{2\pi \times 1}{8},\dots ,\frac{2\pi \times 7}{8}$
• 即：$0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4},\pi ,\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2},\frac{7\pi }{4}$
• 共8个离散值

编码：

• 只需存储整数 $n$（需要 $m$ 比特）
• 例：$n=5$ （二进制：101）代表 $\theta =5\pi /4$

精度分析：

角度分辨率： $$\Delta \theta =\frac{2\pi }{2^m}$$

物理可区分性：

当前最精密的原子钟角频率测量精度 $\sim 10^{-18}$，因此：

• $m=64$：精度远超当前实验（过剩）
• $m=32$：足够所有可预见的实验
• $m=16$：对许多应用足够

离散角对物理常数的影响

在Dirac-QCA中，电子质量与coin角的关系（来自源理论定理3.4）：

$$m_{\text{eff}}{c}^2\approx \frac{\theta }{\Delta t}$$

离散化影响：

$$\Delta m_e\sim m_e\frac{\Delta \theta }{\theta }=m_e\frac{2\pi /2^m}{\theta }$$

数值例子：

• 假设 $\theta \sim \pi /4$（典型值）
• $m=16$：$\Delta m_e/m_e\sim 2\pi /(2^{16}\times \pi /4)=8/2^{16}\sim 10^{-4}$
• $m=32$：$\Delta m_e/m_e\sim 10^{-9}$（与当前测量精度相当）

结论：

• $m=32$ 足以匹配所有已知物理常数的测量精度
• $m=64$ 对可预见的未来过剩
• 保守选择：$m=50$（中间值）

第五部分：Lieb-Robinson界与因果性

信息传播速度

QCA的局域性保证信息传播有限速度。

定理4.6（Lieb-Robinson界）：

给定有限深度 $D$ 的局域幺正线路 $U$，定义演化 $\alpha (A)=U^{†}AU$。若算符 $A$ 支撑在区域 $X$（$A\in {\mathcal{A}}_X$），则对任意区域 $Y$ 与距离 $d(X,Y)>v_{\text{LR}}D$：

$$\boxed{\Vert [\alpha (A),B]\Vert \le C{e}^{-c(d(X,Y)-v_{\text{LR}}D)}}$$

其中 $B\in {\mathcal{A}}_Y$，$v_{\text{LR}}$ 为Lieb-Robinson速度，$C,c$ 为常数。

物理意义：

• $v_{\text{LR}}$：信息传播的“有效光速“
• 时间 $D$ 步后，信息最多传播距离 $\sim v_{\text{LR}}D$
• 超出此距离，算符对易子指数衰减（几乎无相互作用）

例子（最近邻门）：

• 每层门只作用最近邻 → $v_{\text{LR}}=1$ 格点/步
• 深度 $D=10$ → 信息传播 $\sim 10$ 格点
• 距离 $>10$ 的区域几乎不受影响

通俗比喻：

• 想象在池塘扔一颗石子
• 波纹向外传播（信息传递）
• 波速有限（$v_{\text{LR}}$）
• 时间 $t$ 后，波纹半径 $\sim v_{\text{LR}}t$
• 远处的青蛙还没感觉到（对易子小）

光锥结构

定义4.7（QCA光锥）：

对格点 $x\in \Lambda$ 和时间 $n$，定义：

$${\mathcal{C}}_n(x)=\{y\in \Lambda :d(x,y)\le v_{\text{LR}}n\}$$

为 $x$ 在 $n$ 步后的因果锥（或光锥）。

因果性原理：

• 时刻 0 的格点 $x$ 上的信息，在时刻 $n$ 只能影响 ${\mathcal{C}}_n(x)$ 内的格点
• 外部格点 $y\notin {\mathcal{C}}_n(x)$ 几乎不受影响

与相对论的类比：

数值例子（宇宙QCA）：

• 格距 $a={\ell }_p\sim 10^{-35}\text{m}$（普朗克长度）
• 时间步 $\Delta t\sim t_p\sim 10^{-43}\text{s}$（普朗克时间）
• Lieb-Robinson速度：$v_{\text{LR}}=a/\Delta t\sim c$（光速！）

这不是巧合——QCA在连续极限下自动恢复相对论因果律！

第六部分：动力学参数的比特计数

综合以上各部分：

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{dyn}}|=I_{\text{depth}}+D\times (I_{\text{gate}}+I_{\text{region}}+I_{\text{angles}})}$$

各项分解

(1) 线路深度： $$I_{\text{depth}}=\lceil {\log }_2{D}_{\max }\rceil$$

例子：$D_{\max }=1024$ → 10 比特

(2) 每层门类型（对每层 $\ell$）： $$I_{\text{gate}}={\log }_{2}K$$

例子：$K=16$ → 4 比特/层

(3) 作用区域（对每层）：

平移不变： $$I_{\text{region}}=1\text{ 比特}$$ （指定奇数/偶数格点）

一般情况： $$I_{\text{region}}=n_{\text{gates}}\times d{\log }_{2}L$$ （每个门的坐标）

(4) 角参数（对每层）：

若每层有 $n_{\text{angles}}$ 个需要角参数的门，每个精度 $m$ 比特： $$I_{\text{angles}}=n_{\text{angles}}\times m$$

例子：$n_{\text{angles}}=2$，$m=50$ → 100 比特/层

总计（平移不变Dirac-QCA）

参数设置：

• $D=10$（深度）
• $K=16$（门集大小）
• 平移不变（$I_{\text{region}}=1$）
• 每层2个角参数，$m=50$

计算：

• $I_{\text{depth}}=10$ 比特
• 每层：$I_{\text{gate}}+I_{\text{region}}+I_{\text{angles}}=4+1+100=105$ 比特
• 总计：$10+10\times 105=1060$ 比特

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{dyn}}|\sim 1000\text{ 比特}}$$

关键观察： $$|{\Theta }_{\text{dyn}}|\sim 10^3\ll I_{\max }\sim 10^{123}$$

动力学参数信息量微不足道！

第七部分：从离散到连续——连续极限预览

QCA如何导出场方程？

核心思想：在格距 $a\to 0$、时间步 $\Delta t\to 0$ 的极限下，离散QCA收敛到连续场论。

Dirac-QCA例子（来自源理论定理3.4）：

离散QCA：

• 更新算符：$U=S\cdot C(\theta )$
• $C(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y)$（coin门）
• $S$：自旋依赖平移

缩放极限：

• $a,\Delta t,\theta \to 0$
• $c_{\text{eff}}=a/\Delta t$ 固定（有效光速）
• $m_{\text{eff}}=\theta /(\Delta t{c}_{\text{eff}}^2)$ 固定（有效质量）

连续极限：

$$\boxed{i{\partial }_t\psi =\left(-i{c}_{\text{eff}}{\sigma }_z{\partial }_x+m_{\text{eff}}{c}_{\text{eff}}^2{\sigma }_y\right)\psi }$$

这正是一维Dirac方程！

关键关系（从源理论）：

$$\boxed{m_{\text{eff}}\approx \frac{\theta }{\Delta t}}$$

物理意义：

• 离散角参数 $\theta$ → 连续场论的质量 $m_{\text{eff}}$
• 通过调节 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 中的角参数，可以解析导出物理常数！

例子（电子质量）：

• 实验值：$m_e{c}^2\approx 0.511\text{MeV}$
• 若 $\Delta t=t_p\sim 10^{-43}\text{s}$
• 则 $\theta =m_e\Delta t/\hslash \sim 10^{-22}$（极小角）

这将在第07篇详细展开。

规范场与引力常数

类似地，规范耦合常数和引力常数也可以从 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 导出。

定理预览（源理论定理3.5）：

在带规范寄存器的QCA中，规范耦合 $g(\Theta )$ 与 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 中的离散角组合相关：

$$g(\Theta )=f_g({\theta }_1,{\theta }_2,\dots )$$

引力常数：

$$G(\Theta )={\ell }_{\text{cell}}^{d-2}/m_{\text{Planck}}^{d-2}(\Theta )$$

哲学意涵：

• 物理常数不是“上帝任意选择的数字“
• 而是有限参数 $\Theta$ 的数学后果
• 类比：$\pi$ 不是任意数，而是圆的几何后果

第八部分：与宇宙演化的联系

一个时间步 = 一次QCA更新

宇宙演化图景：

graph LR
    A["t=0<br/>初态 ω₀"] --> B["t=1<br/>α(ω₀)"]
    B --> C["t=2<br/>α²(ω₀)"]
    C --> D["t=3<br/>α³(ω₀)"]
    D --> E["...<br/>"]
    E --> F["t=n<br/>αⁿ(ω₀)"]

    style A fill:#ffe6e6
    style F fill:#e6f3ff

每一步：

• 施加幺正算符 $U_{{\Theta }_{\text{dyn}}}$
• 态变化：${\omega }_n\to {\omega }_{n+1}$
• 算符变化：$A\to \alpha (A)=U^{†}AU$

时间的本质：

• 离散时间步：$n=0,1,2,\dots$
• 物理时间：$t=n\Delta t$
• 连续极限：$\Delta t\to 0$ → 恢复连续时间

通俗比喻：

• 宇宙像一个巨大的“时钟“
• 每一“滴答“（时间步）施加一次 $U$
• ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 就是时钟的“齿轮设计图“
• 137亿年 = $\sim 10^{60}$ 次“滴答“（以普朗克时间计）

宇宙的“程序“

计算宇宙视角：

$$\text{宇宙}=\text{初态}+\text{演化规则}+\text{时间}$$

$$\mathfrak{U}(t)={\alpha }_{{\Theta }_{\text{dyn}}}^{t/\Delta t}({\omega }_0^{{\Theta }_{\text{ini}}})$$

类比：

• 初态 ${\omega }_0$：程序的“输入“
• 演化 $\alpha$：程序的“算法“（由 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 编码）
• 时间 $t$：程序的“循环次数“
• 最终态 $\mathfrak{U}(t)$：程序的“输出“

宇宙是一个量子程序：

• 程序长度：$|\Theta |\sim 2000$ 比特（极短！）
• 运行时间：$10^{60}$ 步
• 状态空间：$\dim \mathcal{H}\sim 10^{10^{91}}$（巨大）
• 输出：我们观测到的物理宇宙

本篇核心要点总结

动力学参数的五大组成

$${\Theta }_{\text{dyn}}=(\mathcal{G},D,\{k_{\ell }\},\{R_{\ell }\},\{{\theta }_{\ell ,j}\})$$

QCA自同构

$$\alpha (A)=U^{†}AU,U=U_D\cdots U_1$$

性质：

• 幺正性（可逆）
• 局域性（有限深度）
• 因果性（Lieb-Robinson界）

离散角参数

$$\theta =\frac{2\pi n}{2^m},n\in \{0,\dots ,2^m-1\}$$

精度：

• $m=16$：$\sim 10^{-4}$
• $m=32$：$\sim 10^{-9}$
• $m=50$：$\sim 10^{-15}$

Lieb-Robinson界

$$\Vert [\alpha (A),B]\Vert \le C{e}^{-c(d-v_{\text{LR}}D)}$$

物理意义：信息传播速度 $v_{\text{LR}}$，类似光速。

连续极限预览

$$\underset{a,\Delta t\to 0}{\lim }\text{QCA}\Rightarrow i{\partial }_t\psi =(-ic{\sigma }_z{\partial }_x+m{\sigma }_y)\psi$$

质量-角参数关系： $$m_{\text{eff}}\approx \theta /\Delta t$$

核心洞察

1. 局域性压缩信息：$|{\Theta }_{\text{dyn}}|\sim 10^3\ll I_{\max }$
2. 对称性必然：平移不变→信息量从 $10^{90}$ 降到 $10^3$
3. 离散化必然：有限信息→角参数必须离散
4. 因果性自然：Lieb-Robinson界→相对论因果律
5. 物理常数可导出：$m,g,G$ 都是 $\Theta$ 的函数

关键术语

• QCA自同构（QCA automorphism）：$\alpha (A)=U^{†}AU$
• 有限门集（finite gate set）：$\mathcal{G}=\{G_1,\dots ,G_K\}$
• 有限深度线路（finite-depth circuit）：$U=U_D\cdots U_1$
• 离散角（discrete angle）：$\theta =2\pi n/2^m$
• Lieb-Robinson界（Lieb-Robinson bound）：信息传播速度上界
• Lieb-Robinson速度（Lieb-Robinson velocity）：$v_{\text{LR}}$

下一篇预告：05. 初始态参数详解：宇宙的出厂设置

• 初始态 ${\omega }_0^{\Theta }$ 的构造
• 态制备线路 $V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$
• Hartle-Hawking无边界态的QCA版本
• 初始纠缠结构与Lieb-Robinson界
• 对称性对初态的约束
• 初始熵与宇宙“年龄“