05. 初始态参数详解：宇宙的出厂设置

引言：大爆炸时刻的量子态

在前面的篇章中，我们建立了：

• 第03篇：宇宙的空间结构 ${\Theta }_{\text{str}}$（舞台）
• 第04篇：宇宙的演化规则 ${\Theta }_{\text{dyn}}$（剧本）

但还缺少一个关键要素：起点。

核心问题：

• 宇宙在 $t=0$（大爆炸时刻）处于什么量子态？
• 如何用有限比特串编码这个初始态？
• 初始态如何影响整个宇宙历史？

答案在初始态参数 ${\Theta }_{\text{ini}}$ 中。

通俗比喻：工厂的出厂设置

继续我们的建筑/工厂类比：

已有：

• ${\Theta }_{\text{str}}$：工厂的图纸（有多少机器，如何布局）
• ${\Theta }_{\text{dyn}}$：生产流程（如何操作机器）

缺少：

• ${\Theta }_{\text{ini}}$：机器的初始状态（开关位置、温度、库存……）

为什么重要？

想象两台完全相同的咖啡机（相同 ${\Theta }_{\text{str}}$ 和 ${\Theta }_{\text{dyn}}$）：

• 机器A：豆仓满、水箱满、预热完成 → 立即出咖啡
• 机器B：豆仓空、水箱空、未预热 → 需要准备

相同的结构和规则，不同的初态 → 不同的演化历史！

宇宙也是如此：

本篇将详细解释如何用约500比特编码整个宇宙的初始量子态。

第一部分：初始态的物理意义

宇宙学的初始条件问题

经典宇宙学（Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker模型）：

初始条件需要指定：

• 初始物质密度 ${\rho }_0$
• 初始哈勃常数 $H_0$
• 初始曲率 $k$
• 初始温度 $T_0$
• 初始涨落谱 $\Delta \rho (\mathbf{k})$
• ……

问题：这些都是实数，需要无限精度 → 无限信息！

量子宇宙学（Hartle-Hawking, Vilenkin等）：

试图从“无边界“或“隧穿“等原理导出初态，但仍需要：

• 波函数 $\Psi [\text{三几何}]$（在超空间上的泛函）
• 连续、无限维 → 仍需无限信息

QCA框架的解决：

初态是有限维Hilbert空间中的一个态：

$$|{\Psi }_0⟩\in {\mathcal{H}}_{\Lambda }=\underset{x\in \Lambda }{⨂}{\mathcal{H}}_x$$

维数： $$\dim {\mathcal{H}}_{\Lambda }=d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}\sim 10^{6\times 10^{90}}$$

虽然维数巨大，但有限！

初态的三种表述

表述1（量子态矢量）：

$$|{\Psi }_0^{\Theta }⟩\in {\mathcal{H}}_{\Lambda }$$

一个归一化的量子态。

表述2（密度矩阵）：

$${\rho }_0^{\Theta }=|{\Psi }_0^{\Theta }⟩⟨{\Psi }_0^{\Theta }|$$

纯态的密度算符。

表述3（态泛函）：

$${\omega }_0^{\Theta }(A)=⟨{\Psi }_0^{\Theta }|A|{\Psi }_0^{\Theta }⟩,A\in \mathcal{A}(\Lambda )$$

准局域代数上的正归一泛函。

三者等价（在纯态情况下）。本篇主要使用表述1和3。

初态决定宇宙历史

给定初态 ${\omega }_0$ 和演化 $\alpha$，整个宇宙历史被唯一确定：

$$\boxed{{\omega }_n={\omega }_0\circ {\alpha }^{-n}}$$

即：

$${\omega }_n(A)={\omega }_0({\alpha }^{-n}(A))=⟨{\Psi }_0|U^{†n}A{U}^n|{\Psi }_0⟩$$

物理意义：

• ${\omega }_0$：“第零帧”（大爆炸时刻）
• $\alpha$：“逐帧演化规则”（来自 ${\Theta }_{\text{dyn}}$）
• ${\omega }_n$：“第n帧”（时间 $t=n\Delta t$）

通俗比喻：

• 初态 = 电影的第一帧
• 演化规则 = 每一帧如何变换到下一帧
• 整部电影 = 从第一帧开始，逐帧生成

哲学意涵： 宇宙历史是确定性的（在幺正演化下）： $$\text{初态}+\text{演化规则}\Rightarrow \text{整个历史}$$

第二部分：参考积态 $|0_{\Lambda }⟩$

最简单的态：真空态

直接编码一个任意量子态 $|{\Psi }_0⟩\in {\mathcal{H}}_{\Lambda }$ 需要多少信息？

朴素计数：

• ${\mathcal{H}}_{\Lambda }\cong {\mathbb{C}}^D$，其中 $D=d_{\text{cell}}^{N_{\text{cell}}}$
• 量子态：$|\Psi ⟩={\sum }_{i=1}^D{c}_i|i⟩$
• 系数 $c_i\in \mathbb{C}$，满足 ${\sum }_i|c_i{|}^2=1$
• 自由度：$2(D-1)$ 个实数（除去归一化和整体相位）

信息量（若每个实数需要 $m$ 比特精度）： $$I\sim 2D\times m\sim 2\times 10^{10^{91}}\times m$$

这是双重指数！远远超过 $I_{\max }\sim 10^{123}$！

解决方案：不直接编码态矢量，而是从简单态生成。

定义参考积态

定义5.1（参考积态）：

选择每个元胞的一个固定“真空态“ $|0_{\text{cell}}⟩\in {\mathcal{H}}_{\text{cell}}$，定义：

$$\boxed{|0_{\Lambda }⟩=\underset{x\in \Lambda }{⨂}|0_{\text{cell}}{⟩}_x}$$

性质：

1. 积态（product state）：无纠缠
2. 平移不变：每个格点相同
3. 简单：完全由 $|0_{\text{cell}}⟩$ 决定

例子1（自旋链）：

若 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}={\mathbb{C}}^2$，基矢 $\{|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩\}$：

$$|0_{\text{cell}}⟩=|\downarrow ⟩$$

则：

$$|0_{\Lambda }⟩=|\downarrow \downarrow \downarrow \cdots \downarrow ⟩$$

（所有自旋向下）

例子2（费米子QCA）：

若 ${\mathcal{H}}_{\text{cell}}$ 包含费米子湮灭/产生算符 $\hat{a},{\hat{a}}^{†}$：

$$|0_{\text{cell}}⟩=|\text{vac}⟩$$

（费米子真空态，无粒子）

编码开销：

参考积态由 $|0_{\text{cell}}⟩$ 完全确定，而 $|0_{\text{cell}}⟩$ 在 ${\Theta }_{\text{str}}$ 中已指定（作为Hilbert空间的一部分）。

因此：无需额外编码！

物理解释

宇宙的“绝对零度“：

$|0_{\Lambda }⟩$ 类似物理的“基态“或“真空态“：

• 无粒子
• 无纠缠
• 无激发
• 熵为零（纯态）

通俗比喻：

• 参考积态 = 全新出厂的白纸
• 初始态 = 白纸上画好的图画
• 态制备线路 = 从白纸到图画的“绘画过程“

第三部分：态制备线路 $V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$

从参考态生成初态

核心思想：用有限深度幺正线路从 $|0_{\Lambda }⟩$ 生成 $|{\Psi }_0⟩$。

定义5.2（态制备线路）：

存在有限深度幺正算符 $V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$，由门集 $\mathcal{G}$ 组成：

$$V_{{\Theta }_{\text{ini}}}=V_{D_{\text{ini}}}{V}_{D_{\text{ini}}-1}\cdots V_2{V}_1$$

使得：

$$\boxed{|{\Psi }_0^{\Theta }⟩=V_{{\Theta }_{\text{ini}}}|0_{\Lambda }⟩}$$

结构（与第04篇动力学线路完全类似）：

• 深度：$D_{\text{ini}}\in \mathbb{N}$
• 每层 $V_{\ell }$：若干个局域门 $G_k\in \mathcal{G}$ 的并行组合
• 门参数：离散角 $\theta =2\pi n/2^m$

区别：

• 动力学线路 $U_{{\Theta }_{\text{dyn}}}$：定义时间演化（反复施加）
• 态制备线路 $V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$：生成初态（只施加一次）

通俗比喻：

• $U$：工厂的生产流程（每天重复）
• $V$：机器的安装调试流程（只做一次）

线路深度与纠缠结构

有限深度的后果（Lieb-Robinson界）：

若线路深度为 $D_{\text{ini}}$，Lieb-Robinson速度为 $v_{\text{LR}}$，则：

定理5.3（纠缠范围限制）：

距离 $d(x,y)>v_{\text{LR}}{D}_{\text{ini}}$ 的两个区域 $A,B$ 的互信息满足：

$$I(A:B)\lesssim e^{-c(d-v_{\text{LR}}{D}_{\text{ini}})}$$

（指数衰减）

物理意义：

• 短深度线路 $\Rightarrow$ 短程纠缠态
• 长程纠缠需要深度 $D\sim N_{\text{cell}}$ $\Rightarrow$ 参数爆炸

宇宙学应用：

观测表明宇宙微波背景（CMB）的相关长度有限：

• 声地平线：$\sim 10^5$ 光年
• 可观测宇宙：$\sim 10^{10}$ 光年
• 比值：$\sim 10^{-5}$

推论：初始纠缠是局域的，深度 $D_{\text{ini}}\sim \log N_{\text{cell}}$ 足够。

态制备线路的例子

例子1（Hadamard层）：

对自旋链，施加Hadamard门：

$$V=\underset{x\in \Lambda }{⨂}{H}_x$$

其中 $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。

初态：

$$|{\Psi }_0⟩=V|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow ⟩=\frac{1}{2^{N_{\text{cell}}/2}}\sum _{\{s_x\}}|s_1{s}_2\cdots s_{N_{\text{cell}}}⟩$$

（所有自旋配置的等权叠加）

性质：

• 最大纠缠（在某种意义下）
• 深度 $D=1$（极浅）
• 熵 $S=N_{\text{cell}}\log 2$（最大熵）

例子2（GHZ态生成）：

对3个格点生成GHZ态：

$$|\text{GHZ}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\downarrow \downarrow \downarrow ⟩+|\uparrow \uparrow \uparrow ⟩)$$

线路（深度3）：

1. 第1格点施加Hadamard：$H_1$
2. CNOT门：1控制2，2控制3
3. 结果：$|\text{GHZ}⟩$

例子3（热态近似）：

通过随机局域幺正构造“热化“态：

$$V=\prod _{\ell =1}^D\prod _x{R}_x^{(\ell )}({\theta }_{\ell ,x})$$

其中 $R(\theta )$ 为随机旋转，角度从分布中采样（离散化）。

深度：$D\sim \log N_{\text{cell}}$ 可达到接近热态。

第四部分：${\Theta }_{\text{ini}}$ 的编码

编码结构

类似 ${\Theta }_{\text{dyn}}$（第04篇），${\Theta }_{\text{ini}}$ 编码态制备线路 $V$：

$${\Theta }_{\text{ini}}=(D_{\text{ini}},\{k_{\ell }\},\{R_{\ell }\},\{{\theta }_{\ell ,j}\})$$

组成：

1. 深度 $D_{\text{ini}}$
2. 每层门类型 $k_{\ell }\in \{1,\dots ,K\}$
3. 作用区域 $R_{\ell }\subset \Lambda$
4. 角参数 ${\theta }_{\ell ,j}=2\pi n_{\ell ,j}/2^m$

比特计数

$$|{\Theta }_{\text{ini}}|=\lceil {\log }_2{D}_{\text{ini}}\rceil +D_{\text{ini}}\times (I_{\text{gate}}+I_{\text{region}}+I_{\text{angles}})$$

平移不变情况（典型）：

• $D_{\text{ini}}=5$（短程纠缠足够）
• 门类型：${\log }_{2}K=4$ 比特/层
• 作用区域：1 比特/层（奇偶性）
• 角参数：$2\times 50=100$ 比特/层（2个角，精度50）

总计： $$|{\Theta }_{\text{ini}}|=\lceil {\log }_{2}5\rceil +5\times (4+1+100)=3+525=528\text{ 比特}$$

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 500\text{ 比特}}$$

关键观察： $$|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 500\ll I_{\max }\sim 10^{123}$$

初始态参数信息量微不足道！

第五部分：对称性对初态的约束

平移不变初态

最简单的对称性：平移不变。

定义5.4（平移不变初态）：

$$V_{{\Theta }_{\text{ini}}}=\left(\underset{x\in \Lambda }{⨂}{V}_{\text{local}}\right)$$

每个格点施加相同的局域幺正 $V_{\text{local}}$。

例子：

$$V_{\text{local}}=R_y(\theta )=\exp (-i\theta {\sigma }_y/2)$$

施加到所有格点：

$$|{\Psi }_0⟩=\underset{x}{⨂}{R}_y(\theta )|\downarrow {⟩}_x$$

编码开销：

• 只需编码 $V_{\text{local}}$（与 $N_{\text{cell}}$ 无关！）
• 例：单个旋转门 + 1个角参数 = 约50比特

信息压缩：

• 无对称性：$\sim N_{\text{cell}}\times I_{\text{local}}$ 比特
• 平移不变：$\sim I_{\text{local}}$ 比特
• 压缩比：$N_{\text{cell}}\sim 10^{90}$（天文数字！）

基态与热态

基态初态：

若初态是某个有效哈密顿量 $H_{\text{eff}}$ 的基态：

$$|{\Psi }_0⟩=|\text{GS}(H_{\text{eff}})⟩$$

编码：

• 只需编码 $H_{\text{eff}}$（通常由 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 隐含）
• 额外信息：$\sim 0$ 比特（如果约定“初态=基态“）

热态初态（密度矩阵）：

$${\rho }_0=\frac{e^{-\beta H_{\text{eff}}}}{Z}$$

编码：

• 哈密顿量 $H_{\text{eff}}$（已在 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 中）
• 温度 $\beta =1/k_{B}T$（需要离散化，约50比特）

总计：$\sim 50$ 比特

对称性破缺与相变

自发对称性破缺：

若理论有对称性，但初态破缺对称性：

例子（铁磁态）：

• 哈密顿量：$H=-J{\sum }_{⟨i,j⟩}{\sigma }_i^z{\sigma }_j^z$（$Z_2$ 对称）
• 基态：两个简并态 $|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow ⟩$ 和 $|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow ⟩$
• 初态：选择其中一个（破缺 $Z_2$ 对称）

编码：

• 哈密顿量（对称）：在 ${\Theta }_{\text{dyn}}$ 中
• 选择哪个基态：1 比特（$\uparrow$ 或 $\downarrow$）

宇宙学应用（暴涨与真空选择）：

• 暴涨后宇宙可能落入不同“真空“
• 每个真空对应不同的物理常数
• ${\Theta }_{\text{ini}}$ 编码“选择了哪个真空“

第六部分：初始熵与信息

初态的von Neumann熵

定义5.5（von Neumann熵）：

对纯态：

$$S({\omega }_0)=-\text{tr}({\rho }_0\log {\rho }_0)=0$$

（纯态熵为零）

对混态：

$$S({\rho }_0)=-\text{tr}({\rho }_0\log {\rho }_0)>0$$

物理意义：

• 纯态：完全确定的量子态，无经典不确定性
• 混态：部分不确定性（热涨落、粗粒化等）

初始熵与宇宙演化

定理5.6（幺正演化保持熵）：

若演化是幺正的（$\alpha$由幺正算符实现），则：

$$S({\omega }_n)=S({\omega }_0),\forall n$$

推论：

• 若 ${\omega }_0$ 是纯态（$S=0$），则 ${\omega }_n$ 永远是纯态（$S=0$）
• 幺正演化不增加熵

问题：宇宙为何有热力学第二定律（熵增）？

解答：

• 全局量子态：纯态，熵=0（守恒）
• 局域子系统：纠缠导致约化态是混态，熵>0
• 纠缠熵增长 = 表观的“热力学熵增“

通俗比喻：

• 两个色子：初始都是确定态（如都是6）
• 操作：把两个色子纠缠起来（量子门）
• 看单个色子：变成混态（似乎是随机的）
• 但两个一起看：仍是纯态（完全确定的纠缠态）

宇宙学应用：

• 初始态：极低熵（接近纯态）
• 演化：产生大量纠缠
• 局域观测者看到的：熵增（但全局仍是纯态）

初态复杂度

定义5.7（态复杂度）：

生成态 $|\Psi ⟩$ 所需的最小线路深度：

$$C(|\Psi ⟩)=\min \{D:\exists V\text{ 深度 }D,V|0⟩=|\Psi ⟩\}$$

性质：

• 简单态（如积态）：$C=O(1)$
• 高度纠缠态（如随机态）：$C=O(N_{\text{cell}})$

有限信息约束：

由于 $|{\Theta }_{\text{ini}}|<I_{\max }$，复杂度不能太高：

$$C(|{\Psi }_0⟩)\lesssim I_{\max }/I_{\text{per-gate}}$$

数值例子：

• $I_{\max }=10^{123}$ 比特
• 每个门编码 $\sim 100$ 比特
• 最大复杂度：$C\lesssim 10^{121}$ 层

（虽然仍是天文数字，但比 $N_{\text{cell}}\sim 10^{90}$ 大得多）

第七部分：Hartle-Hawking无边界态的QCA版本

经典Hartle-Hawking提案

量子宇宙学（Hartle-Hawking, 1983）：

宇宙波函数由路径积分定义：

$$\Psi [h_{ij},\varphi ]={\int }_{\text{compact}}\mathcal{D}[g,\varphi ]e^{iS[g,\varphi ]/\hslash }$$

其中积分在“无边界“紧致四几何上。

物理意义：

• 宇宙“自发涌现“，无需初始奇点
• 时间在极早期变成“虚时间“（欧氏几何）
• 类似：量子隧穿

问题：

• 路径积分在连续几何上发散
• 需要引入截断或正规化
• 波函数定义在无限维超空间上

QCA版本：最小深度原理

在QCA框架，可以类似定义：

QCA无边界原理：

初态 $|{\Psi }_0⟩$ 由以下条件选择：

$$\boxed{|{\Psi }_0⟩=\arg \underset{V}{\min }\left\{D(V):V|0_{\Lambda }⟩\text{ 满足某些对称性约束}\right\}}$$

其中 $D(V)$ 为线路 $V$ 的深度。

物理意义：

• 宇宙选择“最简单“（深度最小）的与对称性兼容的初态
• 类似：最小作用量原理
• “奥卡姆剃刀”：无需额外假设的最简单解释

例子（平移不变 + 低能）：

约束：

1. 平移不变性
2. 能量低于某阈值 $E<E_0$

结果：

• 唯一解（在对称性类中）：基态 $|\text{GS}⟩$
• 深度：$D=0$（如果基态=参考态）或 $D=O(1)$

与IGVP的联系：

在GLS理论中，IGVP（信息几何变分原理）从熵变分导出爱因斯坦方程。类似地：

$$\delta S_{\text{complexity}}=0\Rightarrow \text{选择最小深度初态}$$

推测（未严格证明）：

• 最小复杂度 $\iff$ 最大对称性
• 最大对称性 $\Rightarrow$ 暴涨宇宙的近均匀初态
• 这或许解释了为何宇宙初态如此“特殊“（低熵）

第八部分：初态参数的测量与观测

我们如何知道初态？

问题：我们处在时刻 $n\sim 10^{60}$（宇宙年龄），如何推断 $t=0$ 的初态？

答案：从当前观测反向推演。

宇宙微波背景（CMB）：

• 观测：温度涨落 $\Delta T/T\sim 10^{-5}$（各向异性）
• 功率谱：$C_{\ell }$ 作为 $\ell$ 的函数
• 推断：初始密度涨落谱 $P(k)$

暴涨理论预言：

• 近标度不变谱：$P(k)\propto k^{n_s}$，$n_s\approx 0.96$
• 高斯分布（极小非高斯性）
• 绝热涨落（非等曲率）

QCA语言翻译：

• 近标度不变 $\Rightarrow$ 初态在动量空间近似平移不变
• 高斯 $\Rightarrow$ 纠缠结构简单（接近积态）
• 绝热 $\Rightarrow$ 某种对称性（如超对称在早期）

初态参数的“考古学“

类比：考古学家从遗迹推断古代文明。

当前测量精度：

• CMB温度涨落：$\sim 10^{-6}$ K（Planck卫星）
• 大尺度结构：星系巡天（SDSS, DES, LSST）
• 原初引力波：尚未探测（目标：$r\sim 10^{-3}$）

约束 ${\Theta }_{\text{ini}}$：

• 谱指数 $n_s$：约束某些角参数
• 张标比 $r$：约束暴涨势的形状
• 非高斯性 $f_{\text{NL}}$：约束非线性相互作用

未来展望：

• 21cm氢线观测（“宇宙黎明”）
• 原初黑洞探测
• 量子引力效应（可能在极小尺度）

本篇核心要点总结

初始态参数的定义

$${\Theta }_{\text{ini}}=(D_{\text{ini}},\{k_{\ell }\},\{R_{\ell }\},\{{\theta }_{\ell ,j}\})$$

生成初态： $$|{\Psi }_0^{\Theta }⟩=V_{{\Theta }_{\text{ini}}}|0_{\Lambda }⟩$$

参考积态

$$|0_{\Lambda }⟩=\underset{x\in \Lambda }{⨂}|0_{\text{cell}}{⟩}_x$$

性质：无纠缠、平移不变、简单。

比特计数

$$\boxed{|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 500\text{ 比特}}$$

有限深度的后果

Lieb-Robinson约束： $$I(A:B)\lesssim e^{-c(d-v_{\text{LR}}{D}_{\text{ini}})}$$

物理意义：短程纠缠态，深度 $D\sim \log N_{\text{cell}}$ 足够。

对称性压缩

平移不变：

• 编码开销：$O(1)$（与 $N_{\text{cell}}$ 无关）
• 压缩比：$\sim 10^{90}$

初态与演化

$${\omega }_n={\omega }_0\circ {\alpha }^{-n}$$

完整宇宙历史： $$\Theta =({\Theta }_{\text{str}},{\Theta }_{\text{dyn}},{\Theta }_{\text{ini}})\Rightarrow \text{整个宇宙演化}$$

核心洞察

1. 初态参数微小：$|{\Theta }_{\text{ini}}|\sim 500\ll I_{\max }$
2. 对称性必然：平移不变→信息从 $10^{90}$ 降到 $10^2$
3. 短程纠缠：有限深度→长程纠缠不可能
4. 初态可推断：CMB等观测→约束 ${\Theta }_{\text{ini}}$
5. 无边界原理：最小复杂度→自然选择简单初态

关键术语

• 参考积态（reference product state）：$|0_{\Lambda }⟩$
• 态制备线路（state preparation circuit）：$V_{{\Theta }_{\text{ini}}}$
• 短程纠缠（short-range entanglement）：深度有限导致的纠缠范围限制
• 态复杂度（state complexity）：$C=\min \{D\}$
• Hartle-Hawking无边界态（no-boundary state）：QCA版本的最小深度原理

下一篇预告：06. 信息-熵不等式：宇宙规模的终极约束

• 有限信息不等式 $I_{\text{param}}+S_{\max }\le I_{\max }$ 的详细推导
• 元胞数 $N_{\text{cell}}$ 与局域维数 $d_{\text{cell}}$ 的折衷关系
• 可观测宇宙的信息预算分配
• 为何对称性、局域性、有限精度是必然的
• 信息约束对物理理论的限制