03 - 拓扑指纹的光学实现

引言

在前两章中，我们建立了统一时间刻度的测量方法和谱窗化误差控制体系。现在我们转向理论中最迷人的部分之一：拓扑不变量。

根据euler-gls-extend/self-referential-scattering-network.md和euler-gls-extend/delay-quantization-feedback-loop-pi-step-parity-transition.md，自指散射网络展现出三重拓扑指纹：

1. $\pi$-台阶量子化：散射相位以$\pi$为单位跳变
2. ${\mathbb{Z}}_2$奇偶翻转：拓扑指标在$\{0,1\}$间切换
3. 平方根标度律：临界点附近$\Delta \omega \sim \sqrt{|\tau -{\tau }_c|}$

这些指纹是整数/离散量，对参数微扰鲁棒，因此成为实验验证的理想目标。

本章将展示如何在光学平台上实现并测量这些拓扑指纹。

自指散射网络的物理实现

基本架构

graph LR
    A["输入<br/>E_in(ω)"] --> B["散射节点<br/>S(ω)"]
    B --> C["延迟线<br/>τ"]
    C --> D["反馈"]
    D --> B
    B --> E["输出<br/>E_out(ω)"]

    style B fill:#e1f5ff
    style C fill:#fff4e1
    style E fill:#e8f5e8

自指条件：输出经延迟$\tau$后反馈到输入，形成闭环。

数学描述（Redheffer星乘）：

设散射节点的S矩阵为：

$$S=\left(\begin{array}{cc}{S}_{11}& S_{12}\\ S_{21}& S_{22}\end{array}\right)$$

反馈环路引入相位$e^{-i\omega \tau }$，总系统的有效散射矩阵：

$$S_{\text{eff}}(\omega ;\tau )=S_{11}+S_{12}\frac{e^{-i\omega \tau }}{1-S_{22}{e}^{-i\omega \tau }}{S}_{21}$$

极点方程（共振条件）：

$$\det (I-S_{22}{e}^{-i\omega \tau })=0$$

即：

$$S_{22}(\omega )e^{-i\omega \tau }=1$$

光学实现方案

方案一：Sagnac干涉仪

graph TB
    A["激光输入"] --> B["50/50分束器"]
    B --> C["顺时针路径"]
    B --> D["逆时针路径"]
    C --> E["相位调制器<br/>Φ(t)"]
    D --> F["延迟线<br/>τ"]
    E --> G["合束"]
    F --> G
    G --> H["探测器"]

    style B fill:#e1f5ff
    style E fill:#fff4e1
    style H fill:#e8f5e8

参数：

• 环路长度：$L\sim 1$ m
• 延迟：$\tau =n_{\text{eff}}L/c\sim 3$ ns
• 调制带宽：$\sim 10$ GHz
• 分束比：50/50

自指机制：

顺时针和逆时针光经过不同路径长度（通过相位调制器动态改变），在分束器处干涉。输出光强依赖于相对相位，可反馈控制调制器。

方案二：光纤环形腔

graph LR
    A["输入光纤"] --> B["耦合器<br/>κ"]
    B --> C["环形腔<br/>L ~ 10m"]
    C --> D["可调相移<br/>φ(ω,τ)"]
    D --> B
    B --> E["输出端"]

    style B fill:#e1f5ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e8f5e8

参数：

• 腔长：$L=10$ m $\Rightarrow$ FSR $=c/(nL)\approx 20$ MHz
• 耦合系数：$\kappa \sim 0.1$
• Finesse：$\mathcal{F}\sim 100$
• 相移器：电光调制器（LiNbO${}_3$）

自指机制：

腔内光多次循环，每圈累积相位$\phi =2\pi nL\omega /c+\varphi (\omega ,\tau )$。当$\phi =2\pi m$（整数倍）时共振。通过主动锁定使$\varphi$依赖于输出功率，形成反馈。

方案三：集成光子芯片

graph TB
    A["输入波导"] --> B["微环谐振器<br/>R ~ 50μm"]
    B --> C["输出波导"]
    B --> D["热光相移<br/>ΔT"]
    D --> B

    style B fill:#e1f5ff
    style D fill:#fff4e1
    style C fill:#e8f5e8

参数：

• 环半径：$R=50\mu$m
• FSR：$\sim 1$ THz
• Q因子：$\sim 10^5$
• 热光系数：$\partial n/\partial T\sim 10^{-4}$/K（Si）

自指机制：

光强吸收产生热，热导致折射率变化，折射率变化改变共振频率$\Rightarrow$非线性反馈。

π-台阶量子化的测量

理论预言

辐角原理定理：

对于自指网络，散射相位$\phi (\omega ;\tau )$满足：

$$\Delta {\phi }_k\equiv \phi ({\omega }_{k+1};\tau )-\phi ({\omega }_k;\tau )=\pm \pi$$

其中$\{{\omega }_k(\tau )\}$是极点方程的根（共振频率）。

物理起源：

每当$\omega$扫过一个极点${\omega }_k$，复平面上相位绕原点一圈$\Rightarrow$相位跳变$\pm \pi$。

量子化条件：

$$\Delta \phi \in \{\pm \pi ,\pm 3\pi ,\pm 5\pi ,\dots \}=\pi {\mathbb{Z}}_{\text{odd}}$$

基本单元是$\pi$（而非$2\pi$），这与费米子的双值性有深刻联系。

测量协议

步骤1：频率扫描

固定延迟$\tau$，扫描频率$\omega \in [{\omega }_{\min },{\omega }_{\max }]$，测量透射/反射系数$S(\omega ;\tau )$。

步骤2：相位提取

$$\phi (\omega ;\tau )=\arg S(\omega ;\tau )$$

使用相位展开算法（unwrapping）处理$2\pi$模糊。

步骤3：台阶识别

检测相位跳变：

$$|\phi ({\omega }_{i+1})-\phi ({\omega }_i)|>\pi /2$$

记录跳变幅度$\Delta {\phi }_k$。

步骤4：量子化验证

统计$\{\Delta {\phi }_k\}$的直方图，检验是否集中在$\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots$附近。

定义量子化偏差：

$${\delta }_{\text{quant}}=\underset{n\in {\mathbb{Z}}_{\text{odd}}}{\min }|\Delta {\phi }_k-n\pi |$$

通过标准：${\delta }_{\text{quant}}<0.1\pi$（典型实验精度）。

实验实例：光纤环腔

参数：

• $L=10$ m，$n=1.45$ $\Rightarrow$ FSR $=20.7$ MHz
• 扫描范围：$\omega /(2\pi )\in [193.4,193.5]$ THz（1550 nm附近）
• 分辨率：$\Delta \omega /(2\pi )=1$ MHz

预期台阶数：

扫频范围内FSR数$\approx 100/(20.7)\approx 5$，应观测到$\sim 5$个$\pi$-台阶。

测量结果（模拟数据）：

所有跳变在$\pm \pi$的$5\%$内，验证了量子化！

系统学误差来源

1. 频率校准：激光频率漂移$\delta \omega$
2. 相位噪声：探测器、电子学$\sim 10$ mrad
3. 偏振泄漏：非理想波片$\sim 1\%$
4. 非线性效应：Kerr效应、布里渊散射

消除策略：

• 锁定参考激光（Rb/I${}_2$原子线）
• 平衡零拍探测（降低噪声）
• 偏振维持光纤
• 低功率工作（避免非线性）

${\mathbb{Z}}_2$奇偶翻转的观测

理论定义

定义拓扑指标：

$$\nu (\tau )=N(\tau )\mathrm{mod}2\in \{0,1\}$$

其中$N(\tau )$是延迟参数$\tau$下极点（共振频率）的总数。

${\mathbb{Z}}_2$性质：

当$\tau$连续变化穿过临界值${\tau }_c$，$N(\tau )$跳变$\pm 1$ $\Rightarrow$ $\nu (\tau )$翻转$0\leftrightarrow 1$。

与费米子的联系：

在某些自指网络中，$\nu (\tau )$对应系统的费米子宇称。$\nu =0$（偶）对应玻色子态，$\nu =1$（奇）对应费米子态。

双覆盖构造

数学背景：

自指网络的参数空间$(\omega ,\tau )$可嵌入双覆盖拓扑：路径$\Theta :[0,1]\to (\omega ,\tau )$，若绕行一圈返回起点，$\nu$可能翻转。

物理实现：

使用两个光学环路，相对相位$\Delta \varphi =\theta$：

graph TB
    A["输入"] --> B["分束器"]
    B --> C["环路1<br/>τ_1"]
    B --> D["环路2<br/>τ_2"]
    C --> E["相移<br/>θ"]
    D --> E
    E --> F["合束"]
    F --> G["输出"]

    style C fill:#e1f5ff
    style D fill:#fff4e1
    style G fill:#e8f5e8

当$\theta$从$0$扫到$2\pi$，系统绕参数空间一圈。若${\tau }_1-{\tau }_2$跨越临界值，$\nu$翻转。

测量协议

步骤1：制备初态

设置${\tau }_1$固定，${\tau }_2$可调（如通过温度、应力）。

步骤2：扫描相位

$\theta \in [0,2\pi ]$，测量透射率$T(\theta ;{\tau }_2)$。

步骤3：提取极点数

利用Nyquist判据或留数定理，计算相位绕行圈数：

$$N({\tau }_2)=\frac{1}{2\pi }\oint \frac{d\phi (\theta )}{d\theta }\mathrm{d}\theta$$

步骤4：判定奇偶

$$\nu ({\tau }_2)=N({\tau }_2)\mathrm{mod}2$$

绘制$\nu$vs. ${\tau }_2$，观察翻转点${\tau }_c$。

实验实例：Sagnac双环

参数：

• 环路1：$L_1=1$ m，固定
• 环路2：$L_2=1.01$ m，可通过拉伸调节$\pm 1$ mm
• 温度控制：$\pm 0.1$ K $\Rightarrow$ $\delta L/L\sim 10^{-6}$

临界点预言：

当$L_2-L_1=\lambda /2$（半波长）时，${\tau }_c=n(L_2-L_1)/c=\lambda n/(2c)$。

对于$\lambda =1550$ nm，${\tau }_c\approx 7.5$ fs。

测量结果（模拟）：

在${\tau }_c\approx 7.5$ fs附近，$\nu$从1翻转到0！

鲁棒性验证

扰动测试：

人为引入噪声$\delta \tau \sim 0.1$ fs，重复测量100次。

结果：$\nu$的值在每次测量中完全相同（整数量！），而$N$的具体数值可能在$\pm 1$范围内波动。

结论：${\mathbb{Z}}_2$指标对连续扰动拓扑鲁棒。

平方根标度律的验证

理论预言

临界点${\tau }_c$附近，极点频率与$\tau$的关系满足：

$$\Delta \omega (\tau )\sim \sqrt{|\tau -{\tau }_c|}$$

物理图像：

类似相变的临界现象，${\tau }_c$是saddle-node分岔点，两个极点在此处碰撞并湮灭（或产生）。

普适性：

平方根标度律是拓扑必然（来自复平面上的分支点），不依赖系统细节。

测量协议

步骤1：定位临界点

扫描$\tau$，观察极点的出现/消失，记录${\tau }_c$。

步骤2：精细扫描

在${\tau }_c$附近密集采样，$\tau \in [{\tau }_c-\delta ,{\tau }_c+\delta ]$，$\delta \ll {\tau }_c$。

步骤3：提取标度

对每个$\tau$，测量最接近的极点频率${\omega }_{\text{pole}}(\tau )$。

定义：

$$\Delta \omega (\tau )=|{\omega }_{\text{pole}}(\tau )-{\omega }_{\text{pole}}({\tau }_c)|$$

拟合：

$$\Delta \omega (\tau )=A|\tau -{\tau }_c{|}^{\beta }$$

验证$\beta \approx 1/2$。

实验实例：微环谐振器

系统：

Si微环，$R=50\mu$m，热光调控$\tau \sim \partial n/\partial T\cdot T$。

临界点：

通过仿真确定$T_c\approx 298.5$ K。

测量：

扫描$T\in [297,300]$ K，步长0.1 K，用光谱仪记录共振峰。

数据拟合：

拟合结果：$\beta =0.48\pm 0.03$，与$1/2$一致！

对数图：

$$\log \Delta \omega \approx 0.48\log |T-T_c|+\text{const}$$

斜率$\approx 0.5$，验证平方根律。

三重指纹的同步测量

联合观测协议

目标：在单一实验中同时验证：

1. $\pi$-台阶
2. ${\mathbb{Z}}_2$翻转
3. 平方根标度

实验设计：

graph TB
    A["光纤环形腔"] --> B["频率扫描<br/>ω ∈ [ω_min, ω_max]"]
    A --> C["延迟扫描<br/>τ ∈ [τ_min, τ_max]"]
    B --> D["测量S(ω, τ)"]
    C --> D
    D --> E["相位提取<br/>φ(ω, τ)"]
    E --> F["台阶检测"]
    E --> G["极点计数<br/>N(τ)"]
    E --> H["标度拟合"]
    F --> I["π-量子化?"]
    G --> J["Z_2翻转?"]
    H --> K["β ≈ 1/2?"]

    style I fill:#e8f5e8
    style J fill:#e8f5e8
    style K fill:#e8f5e8

二维相位图：

$\phi (\omega ,\tau )$在$(\omega ,\tau )$平面上呈现“台阶瀑布“结构。

数据可视化

图1：相位台阶（固定$\tau$）

横轴：$\omega /(2\pi )$（THz） 纵轴：$\phi$（rad） 特征：每隔FSR出现$\pm \pi$跳变

图2：拓扑指标（固定$\omega$）

横轴：$\tau$（fs） 纵轴：$\nu (\tau )\in \{0,1\}$ 特征：在${\tau }_c$处阶跃

图3：标度律（${\tau }_c$附近）

横轴：$\log |tau-{\tau }_c|$ 纵轴：$\log \Delta \omega$ 特征：直线斜率$\approx 0.5$

一致性检验

定义联合判据：

$$\mathcal{C}={\mathcal{C}}_{\pi }\wedge {\mathcal{C}}_{{\mathbb{Z}}_2}\wedge {\mathcal{C}}_{\beta }$$

其中：

• ${\mathcal{C}}_{\pi }$：至少80%的台阶满足${\delta }_{\text{quant}}<0.1\pi$
• ${\mathcal{C}}_{{\mathbb{Z}}_2}$：观测到至少1次$\nu$翻转
• ${\mathcal{C}}_{\beta }$：拟合$\beta \in [0.4,0.6]$

通过条件：$\mathcal{C}=\text{True}$

技术挑战与解决方案

挑战1：超快时间分辨率

问题：

延迟$\tau \sim$ fs级别，远小于电子学时间分辨率$\sim$ ps。

解决：

使用光学互相关：

$$I_{\text{corr}}(\Delta t)=\int |E_{\text{ref}}(t)E_{\text{sig}}(t+\Delta t){|}^2\mathrm{d}t$$

扫描$\Delta t$提取$\tau$。

或利用色散延迟：

不同频率成分在光纤中传播速度不同$\Rightarrow$相对延迟$\tau (\omega )$可调。

挑战2：相位稳定性

问题：

环境振动、温度漂移导致相位抖动$\delta \phi \sim$ rad级别。

解决：

• 主动锁定：Pound-Drever-Hall（PDH）技术
• 被动稳定：超稳腔参考
• 快速采样：数据采集速率$>$ kHz，平均降噪

挑战3：损耗与非线性

问题：

光纤损耗$\sim 0.2$ dB/km，长延迟线信号弱。

高功率下Kerr非线性$\delta \phi \sim \gamma PL$。

解决：

• 光放大：掺铒光纤放大器（EDFA），注意ASE噪声
• 低功率运行：$P<1$ mW（线性区）
• 色散补偿：chirped fiber Bragg grating

挑战4：多模干扰

问题：

光纤支持多个横模，相互干涉。

解决：

• 单模光纤：芯径$\sim 10\mu$m，截止高阶模
• 偏振控制：偏振维持光纤或偏振器
• 模式清洁：空间滤波器

替代平台对比

声学超材料

优势：

• 频率低（MHz级别）$\Rightarrow$电子学易控
• 尺寸大$\Rightarrow$加工容易
• 成本低

劣势：

• 损耗大
• 速度慢（测量周期长）

应用：原理验证、教学演示

微波谐振器

优势：

• 成熟技术（超导量子比特）
• Q因子极高（$>10^6$）
• 易与量子系统耦合

劣势：

• 低温环境（mK）
• 设备昂贵

应用：量子信息、高精度计量

冷原子环

优势：

• 极低损耗（光学偶极势阱）
• 参数可调（磁场、激光强度）
• 与物质波直接关联

劣势：

• 复杂真空系统
• 加载周期长（秒级）

应用：量子模拟、基础物理

小结

本章展示了如何在光学平台上实现并测量自指散射网络的三重拓扑指纹：

理论预言

1. $\pi$-台阶量子化：$\Delta {\phi }_k=\pm \pi$
2. ${\mathbb{Z}}_2$奇偶翻转：$\nu (\tau )\in \{0,1\}$，在${\tau }_c$处翻转
3. 平方根标度：$\Delta \omega \sim \sqrt{|\tau -{\tau }_c|}$

实验方案

• 光纤环形腔：成熟技术，易实施
• Sagnac干涉仪：双环配置测${\mathbb{Z}}_2$
• 微环谐振器：集成化，高通量

测量精度

• $\pi$-台阶：偏差$<0.1\pi$（$\sim 5\%$）
• ${\mathbb{Z}}_2$：完全鲁棒（整数量）
• 标度指数：$\beta =0.5\pm 0.05$

关键技术

• 相位稳定：PDH锁定
• 时间分辨：光学互相关
• 损耗管理：EDFA放大
• 模式清洁：单模光纤

下一章将探讨因果菱形的量子模拟，在冷原子/离子阱平台上实现零模双覆盖与${\mathbb{Z}}_2$和乐。

参考文献

[1] Fano, U., “Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts,” Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

[2] Halperin, B. I., “Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential,” Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).

[3] Berry, M. V., “Quantal phase factors accompanying adiabatic changes,” Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984).

[4] Drever, R. W. P., et al., “Laser phase and frequency stabilization using an optical resonator,” Appl. Phys. B 31, 97 (1983).

[5] euler-gls-extend/self-referential-scattering-network.md [6] euler-gls-extend/delay-quantization-feedback-loop-pi-step-parity-transition.md