04 - 因果菱形的量子模拟

引言

想象一下你站在一个十字路口，你能影响的未来事件构成一个“光锥“——信息以光速传播，形成一个锥形区域。现在反过来想：过去所有能影响你的事件也形成一个向后的光锥。这两个光锥的交集，就是一个因果菱形（Causal Diamond）。

graph TB
    A["过去光锥<br/>Past Light Cone"] --> C["你的<br/>时空点"]
    B["未来光锥<br/>Future Light Cone"] --> C
    C --> D["因果菱形<br/>Diamond = Past ∩ Future"]

    style C fill:#fff4e1
    style D fill:#e8f5e8

在统一时间刻度理论中，因果菱形不仅是时空几何的基本单元，更是信息处理和量子纠缠的自然舞台。本章将展示如何在实验室中量子模拟因果菱形，验证其中的拓扑结构和零模双覆盖。

来源理论：

• euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md
• euler-gls-info/14-causal-diamond-chain-null-modular-double-cover.md

因果菱形的基本概念

几何定义

在闵可夫斯基时空$(t,x)$中（为简化讨论，取1+1维），一个因果菱形$D$由四条零测度边界（null boundary）围成：

$$D=\{(t,x):|t-t_0|+|x-x_0|\le R\}$$

其中$(t_0,x_0)$是中心点，$R$是“半径“。

比喻：

就像一颗钻石（菱形），有四个顶点：

• 顶点（未来）：$(t_0+R,x_0)$
• 底点（过去）：$(t_0-R,x_0)$
• 左右点：$(t_0,x_0\pm R)$

四条边是光线（45度线），信息沿这些边以光速传播。

零测度边界的双层结构

每条边界可以分解为两层（double cover）：

$$\tilde{E}=E^{+}\bigsqcup E^{-}$$

• $E^{+}$：右行光线（$v$坐标，$v=t+x$）
• $E^{-}$：左行光线（$u$坐标，$u=t-x$）

物理意义：

这不是简单的几何分解，而是反映了模理论（modular theory）的深层结构：

• 模对合$J$：交换$E^{+}\leftrightarrow E^{-}$并反转方向
• 模群${\Delta }^{it}$：沿光线方向的“推进“

公式：

模哈密顿量（modular Hamiltonian）$K_D$可以写成两层的积分：

$$K_D=2\pi \sum _{\sigma =\pm }{\int }_{E^{\sigma }}{g}_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })T_{\sigma \sigma }(\lambda ,x_{\perp })\mathrm{d}\lambda {\mathrm{d}}^{d-2}{x}_{\perp }$$

其中：

• $\lambda$：仿射参数（沿光线的“距离“）
• $T_{\sigma \sigma }$：能动张量的零分量（$T_{++}=T_{vv}$，$T_{--}=T_{uu}$）
• $g_{\sigma }$：几何权重函数

CFT球形菱形中，$g_{\sigma }(\lambda )=\lambda (1-\lambda )$（精确公式！）

为什么需要量子模拟？

实验室无法制造真正的因果菱形

理由很简单：

1. 时空几何固定：我们生活在平直的闵可夫斯基时空（或弱引力场），无法任意“雕刻“时空形状
2. 光速限制：信息传播速度$c$是固定的，无法调节
3. 尺度问题：宇宙学尺度的因果菱形（如宇宙视界）无法在实验室实现

量子模拟的思路

核心思想：用可控的量子系统模拟因果菱形的代数结构和纠缠性质，而非直接复制时空几何。

类比：

就像用电路模拟水流：

• 电压$\leftrightarrow$水压
• 电流$\leftrightarrow$水流量
• 电阻$\leftrightarrow$管道摩擦

虽然物理实现完全不同，但数学关系相同！

模拟的目标

验证以下理论预言：

1. 双层纠缠结构：$E^{+}$和$E^{-}$层的纠缠熵满足特定关系
2. 马尔可夫性：菱形链的条件独立性$I(D_{j-1}:D_{j+1}|D_j)=0$
3. ${\mathbb{Z}}_2$奇偶不变量：拓扑指标在参数变化下保持稳定
4. 零模寿命：边界零模的指数衰减$\sim e^{-L/\xi }$

量子模拟平台

平台一：冷原子光晶格

系统：超冷原子（如${}^{87}$Rb）囚禁在光学晶格中

如何模拟因果菱形？

graph LR
    A["1D光晶格<br/>L个格点"] --> B["时间演化<br/>Hamiltonian H"]
    B --> C["测量<br/>局域密度ρ_i"]
    C --> D["重构<br/>纠缠熵S"]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#e8f5e8

映射关系：

Hamiltonian：

Bose-Hubbard模型：

$$H=-J\sum _{⟨i,j⟩}(a_i^{†}{a}_j+\text{h.c.})+\frac{U}{2}\sum _i{n}_i(n_i-1)-\mu \sum _i{n}_i$$

参数：

• $J$：跃迁强度（模拟“光速“）
• $U$：在位相互作用
• $\mu$：化学势

协议：

1. 制备初态：Mott绝缘体态（每格点1个原子）
2. 淬火演化：突然改变$J/U$比值，释放粒子
3. 时间切片：在不同时刻$t_j$冻结系统
4. 测量：局域密度$⟨n_i⟩$、关联函数$⟨n_i{n}_j⟩$
5. 重构：计算约化密度矩阵${\rho }_A$，提取纠缠熵$S(A)=-\text{Tr}({\rho }_A\log {\rho }_A)$

平台二：离子阱量子计算机

系统：俘获离子（如${}^{171}$Yb${}^{+}$）线性阵列

优势：

• 高保真度门操作（$>99.9\%$）
• 长相干时间（$\sim$ 分钟）
• 任意长程相互作用（通过共振激光）

如何实现？

graph TB
    A["离子链<br/>N ~ 10-50"] --> B["激光操控<br/>单/双离子门"]
    B --> C["时间演化<br/>数字化Trotter分解"]
    C --> D["投影测量<br/>荧光探测"]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#e8f5e8

数字化Hamiltonian：

将连续演化$e^{-iHt}$分解为离散门序列：

$$e^{-iHt}\approx \prod _{k=1}^M{e}^{-i{H}_k\delta t}$$

每个$H_k$用1-2个离子门实现（如MS门、单离子旋转）。

因果菱形编码：

用离子链的空间分布编码菱形结构：

• 中心离子$i_0$：菱形中心
• 左右邻居$i_0\pm 1,i_0\pm 2,\dots$：菱形内部
• 演化时间$t$：对应菱形“扩张“

纠缠测量：

量子态层析（quantum state tomography）重构$\rho$，计算：

$$S(A)=-\text{Tr}({\rho }_A\log {\rho }_A)$$

或用SWAP测试直接估算纠缠负性（entanglement negativity）。

平台三：超导量子比特

系统：约瑟夫森结超导电路（如transmon比特）

架构：

2D网格或1D链，最近邻耦合或可编程全连接。

模拟策略：

类似离子阱，但：

• 门速度更快（$\sim$ ns）
• 相干时间较短（$\sim \mu$s）
• 读出通过微波腔

特殊优势：

可实现时间反演（time-reversal）操作，验证模群${\Delta }^{it}$和模对合$J$的性质。

Loschmidt回声：

$$L(t)=|⟨{\psi }_0|e^{+iHt}{e}^{-iHt}|{\psi }_0⟩{|}^2$$

理想情况$L=1$，退相干导致$L<1$。可用于测试马尔可夫性。

验证双层纠缠结构

理论预言

因果菱形边界$E=E^{+}\cup E^{-}$，纠缠熵满足：

$$S(E)=S(E^{+})+S(E^{-})-I(E^{+}:E^{-})$$

其中$I(E^{+}:E^{-})$是互信息：

$$I(E^{+}:E^{-})=S(E^{+})+S(E^{-})-S(E^{+}\cup E^{-})$$

双层性质：

若模对合$J$完美对称，则$S(E^{+})=S(E^{-})$，且：

$$I(E^{+}:E^{-})=2S(E^{+})-S(E)$$

实验测量

冷原子方案：

1. 定义子系统：

   • $A^{+}=\{i:i\in E^{+}\}$（右传播模式占据的格点）
   • $A^{-}=\{i:i\in E^{-}\}$（左传播模式占据的格点）

2. 测量纠缠熵：

   • 用副本技巧（replica trick）或张量网络方法
   • 对于1D系统，可用矩阵乘积态（MPS）高效计算

3. 提取互信息：

   • 分别测$S(A^{+})$、$S(A^{-})$、$S(A^{+}\cup A^{-})$
   • 计算$I=S(A^{+})+S(A^{-})-S(A^{+}\cup A^{-})$

预期结果（CFT）：

在临界点附近，纠缠熵标度为：

$$S(A)=\frac{c}{3}\log \left(\frac{L}{ϵ}\right)+s_0$$

其中：

• $c$：中心荷（central charge）
• $L$：子系统大小
• $ϵ$：短距离截断（晶格常数）
• $s_0$：非普适常数

验证双层对称性：

检验$|S(E^{+})-S(E^{-})|<{\delta }_{\text{tol}}$（典型$\sim 5\%$）

马尔可夫链的条件独立性

理论：菱形链的马尔可夫性

考虑三个相邻的因果菱形$D_{j-1},D_j,D_{j+1}$：

graph LR
    A["D_j-1"] --> B["D_j"]
    B --> C["D_j+1"]

    style B fill:#fff4e1

马尔可夫性：

$$I(D_{j-1}:D_{j+1}|D_j)=0$$

即：给定“中间“菱形$D_j$，“过去”$D_{j-1}$和“未来“$D_{j+1}$条件独立。

模哈密顿量恒等式：

$$K_{D_{j-1}\cup D_j}+K_{D_j\cup D_{j+1}}-K_{D_j}-K_{D_{j-1}\cup D_j\cup D_{j+1}}=0$$

这是条件独立性的算子形式。

实验验证

协议：

1. 构造菱形链：

   在冷原子或离子阱系统中，用时间演化自然生成链结构：

   • $t=0$：制备初态于格点$i_0$
   • $t=\tau$：演化形成菱形$D_1$（半径$\sim J\tau$）
   • $t=2\tau$：扩张为$D_2$
   • $t=3\tau$：形成$D_3$

2. 测量三体条件互信息：

$$I(A:C|B)=S(AB)+S(BC)-S(B)-S(ABC)$$

需要测量4个纠缠熵！

3. 简化方案：Petz恢复映射

   理论保证：马尔可夫性$\iff$完美恢复

   $$({\text{id}}_A\otimes {\mathcal{R}}_{B\to BC})({\rho }_{AB})={\rho }_{ABC}$$

   可通过保真度$F$间接验证：

   $$F({\rho }_{ABC},{\rho }_{ABC}^{\text{rec}})>1-\epsilon$$

   其中${\rho }_{ABC}^{\text{rec}}$是恢复后的态。

数值模拟预期：

对于自由费米子系统（精确可解），马尔可夫性严格成立。

对于相互作用系统，存在小偏差$I(A:C|B)\sim e^{-L/\xi }$（$\xi$：关联长度）。

${\mathbb{Z}}_2$奇偶不变量的测量

理论：奇偶拓扑指标

对菱形链，定义${\mathbb{Z}}_2$指标：

$$\nu (\gamma )=\lfloor \frac{\Theta (\gamma )}{\pi }\rfloor \mathrm{mod}2\in \{0,1\}$$

其中$\Theta (\gamma )$是链的相位累积：

$$\Theta (\gamma )=\frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}\text{tr }Q(E)h_{\ell }(E-E_0)\mathrm{d}E$$

• $Q(E)=-i{S}^{†}{\partial }_{E}S$：Wigner-Smith矩阵
• $h_{\ell }$：窗函数（如高斯）
• $\mathcal{I}(\gamma )$：能量窗口

奇偶性质：

当系统参数连续变化时，$\nu$可能翻转$0\leftrightarrow 1$，但只在临界点发生（类似拓扑相变）。

${\mathbb{Z}}_2$鲁棒性：

对小扰动$\delta \Theta <\pi /2$，$\nu$保持不变！

实验方案

离子阱实现：

1. 制备菱形链：

   用可编程Hamiltonian：

   $$H(\gamma )=\sum _i({\sigma }_i^x{\sigma }_{i+1}^x+\gamma {\sigma }_i^z)$$

   参数$\gamma$可调（如通过磁场）。

2. 测量散射矩阵：

   将链两端连接到“导线“（连续自由度），测量透射/反射。

   在离子阱中，用边界离子作为探测器。

3. 提取相位：

   $$\phi (\gamma )=\arg \det S(\gamma )$$

   利用干涉测量或量子态层析。

4. 扫描$\gamma$：

   从${\gamma }_0$到${\gamma }_1$，记录$\phi (\gamma )$的变化：

   $$\Delta \phi =\phi ({\gamma }_1)-\phi ({\gamma }_0)$$

5. 判定奇偶：

   $$\nu ({\gamma }_1)-\nu ({\gamma }_0)=\lfloor \frac{\Delta \phi }{\pi }\rfloor \mathrm{mod}2$$

   若$\Delta \phi \approx \pi$（奇数倍），则$\nu$翻转！

预期观测：

在拓扑相变点${\gamma }_c$，$\Delta \phi$跳变$\pm \pi$，$\nu$翻转。

实例：

Kitaev链（拓扑超导体）：

• $\gamma <{\gamma }_c$：平庸相，$\nu =0$
• $\gamma >{\gamma }_c$：拓扑相，$\nu =1$

边界上出现Majorana零模！

零模寿命的测量

理论：双覆盖的零模

因果菱形的边界支持零模（zero modes）——能量为零的局域态。

双覆盖结构：

每个零模在$E^{+}$和$E^{-}$层各有一份“复制“，形成纠缠对。

寿命公式：

零模的空间分布：

$$|\psi (x){|}^2\sim e^{-|x-x_0|/\xi }$$

其中$\xi$是局域长度（localization length）。

对有限尺寸系统$L$，零模的能量分裂：

$$\Delta E\sim e^{-L/\xi }$$

冷原子测量

系统：1D Bose气，边界处施加势垒

协议：

1. 制备边界态：

   用局域激光在晶格边缘创建势阱：

   $$V(x)=V_0{e}^{-x^2/{\sigma }^2}$$

2. 演化测量：

   监测边界原子数$N_{\text{edge}}(t)$的振荡：

   $$N_{\text{edge}}(t)\approx N_0+A\cos (\Delta E\cdot t/\hslash )$$

3. 提取分裂：

   傅里叶变换$N_{\text{edge}}(t)$，峰值频率${\omega }_0=\Delta E/\hslash$。

4. 拟合局域长度：

   改变系统尺寸$L$，重复测量$\Delta E(L)$。

   拟合：

   $$\log \Delta E=-\frac{L}{\xi }+\text{const}$$

   斜率给出$\xi$！

预期结果：

对于拓扑边界态（如SSH模型），$\xi$发散$\Rightarrow$零模完美局域。

对于非拓扑态，$\xi$有限，零模“泄漏“到体内。

技术挑战与解决方案

挑战1：退相干

问题：

环境噪声（热涨落、激光抖动）破坏纠缠，时间尺度${\tau }_{\text{dec}}\sim 10-100\mu$s（冷原子）。

解决：

• 动力学去耦：周期性脉冲抵消噪声
• 量子纠错码：编码保护（如表面码）
• 低温环境：$<1\mu$K（光晶格），$<10$ mK（离子阱）

挑战2：有限尺寸效应

问题：

菱形链长度$L_{\text{chain}}$受限（冷原子$\sim 100$格点，离子阱$\sim 50$），远小于理论无穷链。

解决：

• 有限尺寸标度：测量多个$L$，外推到$L\to \infty$
• 周期边界条件：消除边界效应（牺牲开放系统性质）
• 矩阵乘积态：数值模拟指导实验参数选择

挑战3：测量破坏

问题：

投影测量塌缩波函数，无法重复测同一态。

解决：

• 弱测量：降低测量强度，减少扰动
• 量子非破坏测量（QND）：仅测守恒量（如粒子数）
• 集成成像：单次成像获取空间分布，重复制备测统计

挑战4：校准与系统学

问题：

Hamiltonian参数（$J,U,\mu$）漂移，导致演化偏差。

解决：

• 原位校准：用已知能谱（如Mott态）标定参数
• 实时反馈：监测特征信号（如干涉条纹），调节激光
• 盲分析：隐藏参数真值，避免确认偏差

小结

本章展示了如何在量子平台上模拟因果菱形及其拓扑性质：

关键概念

1. 因果菱形：时空中过去/未来光锥的交集
2. 双层边界：$E=E^{+}\cup E^{-}$，承载模理论结构
3. 马尔可夫链：相邻菱形的条件独立性
4. ${\mathbb{Z}}_2$指标：拓扑不变量，对扰动鲁棒

实验平台

• 冷原子光晶格：大系统，长演化时间
• 离子阱：高保真度，任意连接
• 超导比特：快速门，易于集成

测量目标

预期精度

• 纠缠熵：相对误差$\sim 10\%$
• 条件互信息：绝对误差$\sim 0.1$ bits
• ${\mathbb{Z}}_2$指标：完全鲁棒（整数量）
• 局域长度：$\Delta \xi /\xi \sim 20\%$

下一章将转向宇宙学尺度，探讨快速射电暴（FRB）观测如何验证统一时间刻度的真空极化效应。

参考文献

[1] Casini, H., Huerta, M., “Entanglement entropy in free quantum field theory,” J. Phys. A 42, 504007 (2009).

[2] Blanco, D. D., et al., “Relative entropy and holography,” JHEP 08, 060 (2013).

[3] Jafferis, D., et al., “Relative entropy equals bulk relative entropy,” JHEP 06, 004 (2016).

[4] Schollwöck, U., “The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states,” Ann. Phys. 326, 96 (2011).

[5] Bloch, I., et al., “Many-body physics with ultracold gases,” Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008).

[6] euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md [7] euler-gls-info/14-causal-diamond-chain-null-modular-double-cover.md