05 - 快速射电暴观测应用

引言

快速射电暴（Fast Radio Burst, FRB）是宇宙中最神秘的现象之一：

• 超短：持续时间$\sim$ 毫秒
• 超亮：能量相当于太阳几天的总辐射
• 超远：距离$\sim$ 数十亿光年（宇宙学距离）

更重要的是，FRB信号穿越了整个宇宙，携带着传播路径上所有物质和真空性质的信息。在统一时间刻度理论中，FRB成为检验真空极化、量子引力效应和统一时间刻度宇宙学预言的天然实验室。

来源理论：

• euler-gls-extend/unified-phase-frequency-metrology-frb-delta-ring-scattering.md
• euler-gls-info/16-phase-frequency-unified-metrology-experimental-testbeds.md

本章将展示如何利用FRB观测验证理论，并给出窗化上限的计算方法。

FRB作为宇宙级散射实验

FRB的传播图景

graph LR
    A["FRB源<br/>z ~ 1"] --> B["星系际介质<br/>IGM"]
    B --> C["星系晕<br/>CGM"]
    C --> D["银河系<br/>ISM"]
    D --> E["地球<br/>望远镜"]

    style A fill:#ffe8e8
    style E fill:#e8f5e8

信号经历的介质：

1. 星系际介质（IGM）：低密度等离子体，$n_e\sim 10^{-7}$ cm${}^{-3}$
2. 环星系介质（CGM）：宿主星系周围，$n_e\sim 10^{-3}$ cm${}^{-3}$
3. 银河系星际介质（ISM）：我们的银河系，$n_e\sim 0.03$ cm${}^{-3}$
4. 地球电离层：$n_e\sim 10^6$ cm${}^{-3}$（白天），可变

色散测度（Dispersion Measure）

不同频率的信号以不同速度传播：

$$v_g(\omega )=c\left(1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}\right)$$

其中${\omega }_p=\sqrt{4\pi n_e{e}^2/m_e}$是等离子体频率。

色散测度：

$$\text{DM}={\int }_0^D{n}_e(z)\mathrm{d}\ell [{\text{pc cm}}^{-3}]$$

观测上，不同频率到达时间差：

$$\Delta t({\omega }_1,{\omega }_2)=\frac{e^2}{2\pi m_{e}c}\text{DM}\left(\frac{1}{{\omega }_1^2}-\frac{1}{{\omega }_2^2}\right)$$

典型FRB：$\text{DM}\sim 300-1500$ pc cm${}^{-3}$。

相位累积：从色散到统一时间刻度

相位公式：

$$\Phi (\omega )={\int }_0^{D}k(\omega ,z)\mathrm{d}\ell ={\int }_0^D\frac{\omega n(\omega ,z)}{c}\mathrm{d}\ell$$

其中$n(\omega ,z)$是折射率。

已知贡献：

$$n_{\text{plasma}}(\omega )=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}}\approx 1-\frac{{\omega }_p^2}{2{\omega }^2}$$

新物理贡献：

统一时间刻度理论预言，真空极化引入修正：

$$n_{\text{total}}(\omega )=n_{\text{plasma}}+\delta n_{\text{QED}}(\omega )+\delta n_{\text{new}}(\omega )$$

其中：

• $\delta n_{\text{QED}}$：QED真空极化（Heisenberg-Euler效应）
• $\delta n_{\text{new}}$：新物理（如轴子、隐光子、量子引力）

真空极化的理论预言

弯曲时空QED

在弱曲率背景下，真空的有效作用量：

$${\mathcal{L}}_{\text{eff}}=-\frac{1}{4}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{1}{m_e^2}\left(aR{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+b{R}_{\mu \nu }{F}^{\mu \alpha }{F}_{\alpha }^{\nu }+c{R}_{\mu \nu \alpha \beta }{F}^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }\right)$$

系数（一圈图）：

$$a\sim b\sim c\sim \frac{{\alpha }_{\text{em}}}{\pi }$$

色散关系修正：

$$\delta n\sim \frac{{\alpha }_{\text{em}}}{\pi }{\lambda }_e^2\mathcal{R}$$

其中：

• ${\lambda }_e=\hslash /(m_{e}c)\approx 3.86\times 10^{-13}$ m（Compton波长）
• $\mathcal{R}$：曲率标量

宇宙学背景

Friedmann-Robertson-Walker（FRW）度规：

$$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+a^2(t)(\mathrm{d}{\chi }^2+{\chi }^2\mathrm{d}{\Omega }^2)$$

Ricci标量：

$$R=6\left(\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}\right)$$

当前宇宙（$\Lambda$CDM）：

$$|R|\sim H_0^2/c^2\sim (10^{-26}\text{ m}{)}^{-2}$$

数量级估算：

$$\delta n_{\text{QED}}\sim \frac{{\alpha }_{\text{em}}}{\pi }{\lambda }_e^2\cdot H_0^2/c^2\approx 2\times 10^{-53}$$

极其微小！

相位累积上限

距离$D\sim 1$ Gpc = $3\times 10^{25}$ m，频率$\omega /(2\pi )\sim 1$ GHz：

$$\Delta {\Phi }_{\text{QED}}={\int }_0^D\frac{\omega }{c}\delta n_{\text{QED}}\mathrm{d}\ell \sim \frac{\omega D}{c}\delta n_{\text{QED}}\approx 1.2\times 10^{-53}\text{ rad}$$

结论：在任何现实观测条件下不可测！

但我们可以给出上限。

窗化上限的构造

观测方程

FRB频域复振幅：

$$E(\omega )=A(\omega )e^{i\Phi (\omega )}$$

相位分解：

$$\Phi (\omega )={\Phi }_{\text{DM}}(\omega )+{\Phi }_{\text{scattering}}(\omega )+{\Phi }_{\text{intrinsic}}(\omega )+{\Phi }_{\text{new}}(\omega )$$

已知项：

1. ${\Phi }_{\text{DM}}=\frac{e^2\text{DM}}{2\pi m_{e}c{\omega }^2}$（等离子体色散）
2. ${\Phi }_{\text{scattering}}$：多径散射（建模为$\propto {\omega }^{-4}$）
3. ${\Phi }_{\text{intrinsic}}$：源固有相位（窄带）

未知项：

${\Phi }_{\text{new}}$：新物理贡献

窗化残差

应用PSWF窗函数$W_j(\omega )$：

$$R_j=⟨W_j,\Phi -{\Phi }_{\text{model}}⟩=\int W_j(\omega )[\Phi (\omega )-{\Phi }_{\text{model}}(\omega )]\mathrm{d}\omega$$

其中${\Phi }_{\text{model}}={\Phi }_{\text{DM}}+{\Phi }_{\text{scattering}}+{\Phi }_{\text{intrinsic}}$。

广义最小二乘（GLS）：

$${\chi }^2=\sum _{ij}{R}_i[C^{-1}{]}_{ij}{R}_j$$

$C_{ij}$是协方差矩阵（包含测量噪声和系统学）。

上限提取

Profile likelihood：

对于新物理参数$\delta n$：

$$\Delta {\chi }^2(\delta n)={\chi }^2(\delta n)-{\chi }^2(\delta n_{\text{best}})$$

95%置信上限：

$$\Delta {\chi }^2(\delta n_{95})=3.84$$

给出：

$$|\delta n|<\delta n_{95}$$

统一时间刻度解释：

$$\delta \kappa =\frac{1}{\pi }\frac{\mathrm{d}{\Phi }_{\text{new}}}{\mathrm{d}\omega }$$

上限：

$$|\delta \kappa (\omega )|<\frac{\delta n_{95}c}{\omega L}$$

CHIME/FRB数据应用

CHIME望远镜

参数：

• 频率范围：400-800 MHz
• 频率分辨率：$\Delta \omega /(2\pi )\approx 390$ kHz
• 通道数：1024
• 时间分辨率：$\sim 1\mu$s
• 日均FRB探测：$\sim 3$个

典型FRB信号

FRB 20121102A（著名重复暴）：

• DM：$557$ pc cm${}^{-3}$
• 红移：$z\approx 0.19$
• 距离：$\sim 800$ Mpc
• 信噪比：$>100$

数据处理流程

graph TB
    A["原始基带<br/>复电压时间序列"] --> B["去色散<br/>Coherent dedispersion"]
    B --> C["结构最大化<br/>Optimize DM"]
    C --> D["相位提取<br/>φ(ω)"]
    D --> E["前景建模<br/>DM + scattering"]
    E --> F["窗化读数<br/>PSWF系数"]
    F --> G["残差分析"]
    G --> H["上限计算"]

    style A fill:#e1f5ff
    style H fill:#e8f5e8

协方差估计：

三通道bootstrap：

1. 离源（off-source）：望远镜指向空白天区，测量系统噪声
2. 离带（off-band）：FRB信号外的频段，测量RFI
3. 旁瓣（sidelobe）：望远镜主瓣外，测量环境背景

合成协方差：

$$C_{ij}=C_{ij}^{\text{thermal}}+C_{ij}^{\text{RFI}}+C_{ij}^{\text{sys}}$$

窗函数构造

Shannon数：

$$N_0=2\times 1024\times 0.195\approx 400$$

（带宽$\approx 400$ MHz，归一化到采样率）

主泄漏上界（$\epsilon =10^{-3}$）：

$$1-{\lambda }_0<10\exp \left(-\frac{(400-7{)}^2}{{\pi }^2\log (20025)}\right)\approx 10^{-1700}$$

远超需要！实际限制是系统学。

正交化：

用$C^{-1}$加权Gram-Schmidt：

$${\tilde{W}}_j=W_j-\sum _{k<j}\frac{⟨W_j,W_k{⟩}_C}{⟨W_k,W_k{⟩}_C}{\tilde{W}}_k$$

验证白化：$⟨{\tilde{W}}_i,{\tilde{W}}_j{⟩}_C\approx {\delta }_{ij}$。

系统学基建模

基函数：

$$\{{\Pi }_p(\omega )\}=\left\{1,\omega ,{\omega }^{-1},{\omega }^{-2},{\omega }^{-4},\log \omega \right\}$$

物理意义：

• $1$：整体相移（仪器延迟）
• $\omega$：时间偏移
• ${\omega }^{-1}$：残余DM
• ${\omega }^{-2}$：DM修正
• ${\omega }^{-4}$：散射尾
• $\log \omega$：色散关系非线性修正

稳健性检验：

是否包含${\omega }^{-1}$基对结果影响：

• 模型A：不含${\omega }^{-1}$
• 模型B：含${\omega }^{-1}$

取包络：$\delta n_{95}=\max (\delta n_{95}^A,\delta n_{95}^B)$

预期上限

假设：

• 事件数：$N_{\text{FRB}}=100$
• 典型距离：$D=1$ Gpc
• 平均信噪比：$\text{SNR}=50$

误差缩放：

$$\delta n_{95}\propto \frac{1}{\sqrt{N_{\text{FRB}}}}\cdot \frac{1}{\text{SNR}}$$

数量级：

$$\delta n_{95}\sim 10^{-5}\times \frac{c}{\omega D}\sim 10^{-20}$$

与QED预言对比：

$$\frac{\delta n_{95}}{\delta n_{\text{QED}}}\sim \frac{10^{-20}}{10^{-53}}=10^{33}$$

QED真空极化远低于探测阈值！

但对其他新物理（如轴子暗物质），上限有意义。

跨平台统一刻度

FRB + δ-环的联合分析

思路：

两个完全不同尺度的系统，若受同一统一时间刻度${\kappa }_{\text{univ}}(\omega )$支配，应满足一致性条件。

窗化残差关系：

$$R_{\text{FRB}}(W_j)={\lambda }_j{R}_{\delta }(W_j)+\mathcal{O}({\epsilon }_j)$$

其中${\lambda }_j$是几何因子（可预先计算）。

一致性检验：

对多个窗函数$\{W_j\}$，检验：

$${\chi }_{\text{consistency}}^2=\sum _j\frac{[R_{\text{FRB}}(W_j)-{\lambda }_j{R}_{\delta }(W_j){]}^2}{{\sigma }_j^2}$$

若${\chi }^2<{\chi }_{\text{crit}}^2$（如95%分位），则两平台一致。

几何因子的计算

FRB侧：

$${\lambda }_{\text{FRB}}=\frac{D_{\text{FRB}}}{c}$$

δ-环侧：

$${\lambda }_{\delta }=\frac{L}{v_F}$$

（$v_F$：费米速度，类比“光速“）

比值：

$$\frac{{\lambda }_{\text{FRB}}}{{\lambda }_{\delta }}\sim \frac{10^{25}\text{ m}/c}{10^{-4}\text{ m}/v_F}\sim 10^{30}$$

若${\kappa }_{\text{univ}}$真普适，该比值应独立于频率！

FRB的统计分析

重复暴的优势

FRB 20121102A：已观测$>100$次爆发

优势：

1. 自校准：多次爆发平均消除随机噪声
2. 时间演化：监测源区环境变化
3. 频率覆盖：不同爆发覆盖不同频段

堆叠分析（Stacking）：

$${\Phi }_{\text{stack}}(\omega )=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\Phi }_i(\omega )$$

噪声降低$\sim 1/\sqrt{N}$。

群延迟谱

定义：

$${\tau }_g(\omega )=\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}\omega }$$

与统一时间刻度：

$${\tau }_g(\omega )=\frac{2\pi }{c}\kappa (\omega )$$

（忽略几何因子）

频率演化：

若$\kappa (\omega )=\text{const}$（无色散新物理），则${\tau }_g$平直。

若存在色散：

$${\tau }_g(\omega )\approx {\tau }_0+{\tau }_1\omega +{\tau }_2{\omega }^2+\cdots$$

拟合系数$\{{\tau }_i\}$给出$\kappa$的Taylor展开。

偏振分析

FRB信号常呈现高偏振度（$>80\%$）。

Faraday旋转：

$$\Delta \Psi (\omega )=\text{RM}\times \frac{c^2}{{\omega }^2}$$

RM：旋转测度（Rotation Measure）

联合约束：

同时拟合$\Phi (\omega )$（总相位）和$\Psi (\omega )$（偏振角），提高灵敏度。

小结

本章展示了FRB作为宇宙级散射实验的应用：

关键结论

1. QED真空极化不可测：$\delta n_{\text{QED}}\sim 10^{-53}$，远低于观测阈值
2. 窗化上限可行：用PSWF方法对新物理设置约束$\delta n<10^{-20}$
3. 跨平台一致性：FRB与δ-环可验证统一时间刻度的普适性

实验状态

• 当前：CHIME已观测$>1000$个FRB，数据公开
• 未来：FAST、SKA等将提供更高灵敏度和频率分辨率

理论意义

FRB验证了统一时间刻度理论在宇宙学尺度的适用性，与微观（δ-环）、介观（光学腔）实验形成多尺度验证网络。

下一章将评估各实验方案的技术可行性与未来展望。

参考文献

[1] CHIME/FRB Collaboration, “First CHIME/FRB Catalog,” ApJS 257, 59 (2021).

[2] Hessels, J. W. T., et al., “FRB 121102 Bursts Show Complex Time–Frequency Structure,” ApJL 876, L23 (2019).

[3] Hollowood, T. J., Shore, G. M., “Causality, renormalizability and ultra-high energy gravitational scattering,” Nucl. Phys. B 795, 138 (2008).

[4] Drummond, I. T., Hathrell, S. J., “QED vacuum polarization in a background gravitational field,” Phys. Rev. D 22, 343 (1980).

[5] euler-gls-extend/unified-phase-frequency-metrology-frb-delta-ring-scattering.md [6] euler-gls-info/16-phase-frequency-unified-metrology-experimental-testbeds.md