第三章：马尔可夫拼接与信息恢复

源理论：euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md，§3.2-3.4

引言

在上一章中，我们建立了因果菱形链的Null-Modular双覆盖结构。现在面临关键问题：如何将多个相邻的因果菱形“拼接“成更大的复合区域？

这不是简单的几何拼图，而是涉及深刻的信息理论原理。本章将展示：

• 马尔可夫拼接：在特定条件下，相邻区域的模哈密顿量可通过容斥原理无损拼接
• 容斥恒等式：模哈密顿量的加法规则
• 信息恢复：通过Petz映射从部分信息重构完整状态
• 非全序缺口：违反理想条件时的信息损失定量刻画

日常类比： 想象你要拼接三段录音：A→B→C。如果B段包含了A与C之间的所有关联信息，那么你可以无损拼接A-B-C。但如果A和C之间存在B段丢失的“隐藏关联“，拼接就会产生信息缺口。

1. 容斥恒等式：模哈密顿量的加减法

1.1 单调半空间的容斥

考虑同一零测度超平面（如$E^{+}$）上的多个半空间区域$\{R_{V_i}{\}}_{i=1}^N$，其中$V_i(x_{\perp })$为横向依赖的阈值函数。

定理 B（容斥恒等式）： $$K_{{\cup }_i{R}_{V_i}}=\sum _{k=1}^N(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le N}{K}_{R_{V_{i_1}}\cap \cdots \cap R_{V_{i_k}}}$$

证明核心：逐点几何恒等式 $$(v-\underset{i}{\min }{V}_i{)}_{+}=\sum _{k\ge 1}(-1{)}^{k-1}\sum _{|I|=k}(v-\underset{i\in I}{\max }{V}_i{)}_{+}$$

乘以二阶响应核$2\pi T_{vv}$并积分即得二次型容斥。

Mermaid图解：容斥原理

graph TD
    A["区域并集<br/>${\cup }_i{R}_{V_i}$"] --> B["单区域贡献<br/>$+K_{V_1}+K_{V_2}+K_{V_3}$"]
    B --> C["二重交叉修正<br/>$-K_{V_1\cap V_2}-K_{V_1\cap V_3}-K_{V_2\cap V_3}$"]
    C --> D["三重交叉修正<br/>$+K_{V_1\cap V_2\cap V_3}$"]
    D --> E["完整模哈密顿量<br/>$K_{{\cup }_i{R}_{V_i}}$"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#ffe1f5
    style D fill:#f5e1ff
    style E fill:#e1ffe1

日常类比： 三个圆的面积：$S_{总}=S_1+S_2+S_3-S_{12}-S_{13}-S_{23}+S_{123}$。 模哈密顿量的容斥遵循完全相同的逻辑！

1.2 分布式正则化与闭性

技术要点：指示函数$1_{[a,\infty )}$不光滑，需平滑化：

$$1_{[a,\infty )}^{\eta }:={\rho }_{\eta }\ast 1_{[a,\infty )}$$

其中${\rho }_{\eta }$为标准平滑核。定义正部函数的平滑版本：

$$(x{)}_{+}^{\eta }:={\int }_{-\infty }^x{1}_{[0,\infty )}^{\eta }(t)dt$$

容斥恒等式的严格形式：

1. 平滑化：对每个$V_i$构造$V_i^{\eta }$
2. 容斥：证明平滑版本的容斥恒等式
3. 极限：令$\eta \to 0^{+}$，用主控收敛定理交换极限与积分

命题 B（闭性）： 设$\mathfrak{k}:={\mathfrak{k}}_{{\cup }_i{R}_{V_i}}$为容器域的闭二次型，下半界为$a\in \mathbb{R}$。取任意$c>-a$，定义移位图范数：

$$|\psi {|}_{\mathfrak{k},c}^2:=|\psi {|}^2+(\mathfrak{k}[\psi ]+c|\psi {|}^2)$$

若${\psi }_n\to \psi$在移位图范数下收敛，则容斥恒等式两侧的二次型值同时收敛。

日常类比： 移位图范数就像“加权距离“：不仅考虑向量本身的长度，还考虑其“能量“（二次型值）。这保证了极限过程的数学稳定性。

2. 马尔可夫拼接：全序切割的完美拼接

2.1 三段马尔可夫性

考虑三个相邻因果菱形$D_{j-1}$、$D_j$、$D_{j+1}$，在同一零测度超平面上全序切割。

定理 C（马尔可夫拼接）：

真空态满足以下两个等价条件：

(1) 条件互信息为零： $$I(D_{j-1}:D_{j+1}\mid D_j)=0$$

(2) 模哈密顿量恒等式： $$K_{D_{j-1}\cup D_j}+K_{D_j\cup D_{j+1}}-K_{D_j}-K_{D_{j-1}\cup D_j\cup D_{j+1}}=0$$

物理意义：

• 条件互信息为零意味着：给定中间区域$D_j$的信息后，左边$D_{j-1}$与右边$D_{j+1}$之间没有额外关联
• 这就是马尔可夫性：$D_j$“屏蔽“了$D_{j-1}$与$D_{j+1}$之间的关联

Mermaid图解：马尔可夫拼接

graph LR
    A["$D_{j-1}$<br/>左区域"] --> B["$D_j$<br/>中间区域<br/>(信息屏障)"]
    B --> C["$D_{j+1}$<br/>右区域"]

    A -.->|"无直接关联<br/>$I(j-1:j+1\Vert j)=0$"| C

    style A fill:#ffe1e1
    style B fill:#e1f5ff
    style C fill:#e1ffe1

日常类比： 三人传话游戏A→B→C：

• 如果B完整记录了A的原话，C从B处获得的信息与直接从A获得的信息完全相同
• 此时$I(A:C|B)=0$，B起到“完美中介“作用
• 如果B漏掉了一些内容，则$I(A:C|B)>0$，出现信息缺口

2.2 容斥与马尔可夫的联立

推导：由容斥恒等式

$$\begin{array}{rl}{K}_{D_{j-1}\cup D_j\cup D_{j+1}}& =K_{D_{j-1}}+K_{D_j}+K_{D_{j+1}}\\ & -K_{D_{j-1}\cap D_j}-K_{D_j\cap D_{j+1}}-K_{D_{j-1}\cap D_{j+1}}\\ & +K_{D_{j-1}\cap D_j\cap D_{j+1}}\end{array}$$

在全序切割下，相邻区域的交集退化：

• $D_{j-1}\cap D_j$的边界收缩为零测度集
• $D_{j-1}\cap D_{j+1}=\varnothing$（不相邻）

结合强次可加性（split property）：边界项消失。

再利用相对熵恒等式： $$S({\rho }_{ABC}\Vert {\rho }_A\otimes {\rho }_B\otimes {\rho }_C)=S_{AB}+S_{BC}-S_A-S_B-S_C-S_{ABC}$$

与模哈密顿量通过一阶变分联系（$\delta K=2\pi \delta S$），最终得到马尔可夫拼接。

2.3 相对熵的下半连续性

命题 C.2： 相对熵$S(\rho \Vert \sigma )$对弱$\ast$拓扑下半连续，且满足数据处理不等式：

$$S(\rho \Vert \sigma )\ge S(\Phi \rho \Vert \Phi \sigma )$$

对任意CPTP映射$\Phi$。

应用： 设有单调近似$R_{V_{\alpha }}\uparrow R_V$，令${\Phi }_{\alpha }$为对$R_{V_{\alpha }}$的限制通道，则：

$$\underset{\alpha \to \infty }{\mathrm{liminf}}{I}_{\alpha }(A:C\mid B)\ge I(A:C\mid B)$$

这保证了马尔可夫性可以从离散近似稳定传递到连续极限。

3. 非全序缺口：层状度与信息损失

3.1 层状度定义

当切割不是全序时（例如不同横向点$x_{\perp }$处的切割顺序不同），马尔可夫性失效。

定义（层状度）： 令$V_i^{\pm }(x_{\perp })$分别为$E^{\pm }$两层上的阈值函数，定义：

$$\boxed{\kappa (x_{\perp }):=\#\{(a,b):a<b,(V_a^{+}-V_b^{+})(V_a^{-}-V_b^{-})<0\}}$$

物理意义：

• $\kappa (x_{\perp })$统计在横向坐标$x_{\perp }$处，两层$E^{+}$与$E^{-}$上切割顺序的不一致对数量
• 全序时：$\kappa \equiv 0$（两层顺序完全一致）
• 非全序时：$\kappa >0$（出现“交叉“）

Mermaid图解：层状度

graph TD
    A["全序切割<br/>κ=0"] --> A1["E+层：V1 < V2 < V3<br/>E-层：V1 < V2 < V3"]
    A1 --> A2["两层顺序一致"]

    B["非全序切割<br/>κ > 0"] --> B1["E+层：V1 < V2 < V3<br/>E-层：V2 < V1 < V3"]
    B1 --> B2["(V1,V2)构成不一致对"]

    style A fill:#e1ffe1
    style A1 fill:#f0fff0
    style A2 fill:#e1f5e1
    style B fill:#ffe1e1
    style B1 fill:#fff0f0
    style B2 fill:#ffe1f0

日常类比： 两条平行车道的车流：

• 全序：两车道上车辆顺序完全一致（$\kappa =0$）
• 非全序：两车道上车辆顺序不同（有超车），$\kappa$统计“顺序颠倒“的车对数量

3.2 马尔可夫缺口线密度

定理 C’（非全序的马尔可夫缺口）：

定义马尔可夫缺口线密度$\iota (v,x_{\perp })\ge 0$，满足：

$$I(D_{j-1}:D_{j+1}\mid D_j)=\iint \iota (v,x_{\perp })dv{d}^{d-2}{x}_{\perp }$$

且$\iota$对$\kappa$单调非降。

物理意义：

• $\iota (v,x_{\perp })$刻画在时空点$(v,x_{\perp })$处的局域信息泄漏率
• 积分得到总的条件互信息$I(D_{j-1}:D_{j+1}\mid D_j)$
• 全序时$\kappa =0$，则$\iota =0$，$I=0$（完美马尔可夫）
• 非全序时$\kappa >0$，则$\iota >0$，$I>0$（出现缺口）

引理 C.1（层状度—缺口比较）：

设$V_i^{\pm }$分段$C^1$且交叉次数有限，则存在常数$c_{\ast }>0$使：

$$\iota (v,x_{\perp })\ge c_{\ast }\kappa (x_{\perp })1_{\{v\in [v_{-}(x_{\perp }),v_{+}(x_{\perp })]\}}$$

其中$v_{-}(x_{\perp }):={\min }_i{V}_i^{+}(x_{\perp })$，$v_{+}(x_{\perp }):={\max }_i{V}_i^{+}(x_{\perp })$。

定量下界： 结合Fawzi-Renner不等式：

$$I(A:C\mid B)\ge -2\ln F({\rho }_{ABC},{\rho }_A\otimes {\rho }_{BC})$$

可得缺口的显式下界估计。

日常类比： 高速公路的交叉路段（非全序切割）：

• 车流交错点越多（$\kappa$越大）
• 交通管理难度越大（$\iota$越高）
• 总的交通延误（$I$）正比于交错复杂度

4. Petz恢复映射：信息的重构

4.1 问题设定

量子恢复问题：

• 初始态：${\rho }_{ABC}$（三区域复合态）
• 操作：忘却$C$子系统，得到${\rho }_{AB}={\mathrm{Tr}}_C[{\rho }_{ABC}]$
• 问题：能否从${\rho }_{AB}$恢复原始的${\rho }_{ABC}$？

定理 D（Petz恢复映射）：

记$A=D_{j-1}$，$B=D_j$，$C=D_{j+1}$。定义忘却通道：

$${\Phi }_{BC\to B}(X_{BC})={\mathrm{Tr}}_C[X_{BC}]$$

其伴随： $${\Phi }^{\ast }(Y_B)=Y_B\otimes {\mathbb{I}}_C$$

取参考态${\sigma }_{BC}={\rho }_{BC}$（自参照），Petz恢复映射定义为：

$$\boxed{{\mathcal{R}}_{B\to BC}(X_B)={\sigma }_{BC}^{1/2}({\sigma }_B^{-1/2}{X}_B{\sigma }_B^{-1/2}\otimes {\mathbb{I}}_C){\sigma }_{BC}^{1/2}}$$

其中逆在$\mathrm{supp}({\sigma }_B)$上取伪逆。

完美恢复条件：

$$({\mathrm{id}}_A\otimes {\mathcal{R}}_{B\to BC})({\rho }_{AB})={\rho }_{ABC}$$

当且仅当 $$I(A:C\mid B)=0$$

Mermaid图解：Petz恢复

graph LR
    A["初始态<br/>${\rho }_{ABC}$"] -->|"忘却$C$"| B["部分态<br/>${\rho }_{AB}$"]
    B -->|"Petz恢复<br/>${\mathcal{R}}_{B\to BC}$"| C["恢复态<br/>${\tilde{\rho }}_{ABC}$"]

    A -.->|"完美恢复<br/>$I(A:C\Vert B)=0$"| C

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#fff4e1
    style C fill:#e1ffe1

日常类比：

• 初始：你有完整的视频文件（${\rho }_{ABC}$）
• 丢失：删除了音频轨道（忘却$C$），只剩画面（${\rho }_{AB}$）
• 恢复：Petz映射试图从画面重构音频
  • 如果画面包含字幕且$I(A:C|B)=0$，可以完美恢复对白
  • 如果画面缺少关键信息（$I(A:C|B)>0$），恢复不完美

4.2 旋转平均与稳定性

技术要点：未旋转的Petz映射可能不满足保真度不等式，需要旋转平均。

旋转平均Petz映射${\mathcal{R}}_{B\to BC}^{\mathrm{rot}}$满足：

$$I(A:C\mid B)\ge -2\ln F\left({\rho }_{ABC},({\mathrm{id}}_A\otimes {\mathcal{R}}_{B\to BC}^{\mathrm{rot}})({\rho }_{AB})\right)$$

等价地，保真度下界：

$$F\ge e^{-I(A:C\mid B)/2}$$

物理意义：

• 条件互信息$I(A:C\mid B)$越小，恢复保真度$F$越高
• 当$I=0$时，$F=1$（完美恢复）
• 当$I>0$时，$F<1$（有损恢复）

约定（保真度定义）： 本文采用Uhlmann保真度（未平方）：

$$F(\rho ,\sigma ):=|\sqrt{\rho }\sqrt{\sigma }{|}_1\in [0,1]$$

Fawzi-Renner不等式：

$$I(A:C\mid B)\ge -2\ln F$$

提供了条件互信息的可操作下界。

4.3 恢复误差的几何图像

直观理解：

设态空间为高维希尔伯特空间，则：

• 马尔可夫态流形：满足$I(A:C\mid B)=0$的态构成低维子流形
• 非马尔可夫态：偏离该流形，偏离程度由$I(A:C\mid B)$度量
• Petz恢复：将${\rho }_{AB}$“投影“回马尔可夫流形
• 保真度$F$：度量投影前后的距离

日常类比： GPS定位误差：

• 理想GPS信号（马尔可夫态）：三颗卫星信号$A,B,C$满足$I(A:C|B)=0$
• 实际信号（有误差）：信号间有噪声关联，$I(A:C|B)>0$
• 定位算法（Petz恢复）：尝试从$A,B$恢复$C$的信息
• 定位精度（保真度$F$）：取决于信号噪声水平$I(A:C|B)$

5. 半侧模包含：代数推进的骨架

5.1 HSMI的定义

半侧模包含（Half-Sided Modular Inclusion，HSMI）是代数量子场论中的核心概念。

定义： 设$\mathcal{A}(D_j)\subset \mathcal{A}(D_{j+1})$为两个冯·诺依曼代数的包含关系，真空态$\Omega$为循环分离矢量。称该包含为右HSMI，如果存在正能量一参数半群$\{U(s){\}}_{s\ge 0}$满足：

1. 协变性： $$U(s)\mathcal{A}(D_j)U(s{)}^{-1}\subset \mathcal{A}(D_j),\forall s\ge 0$$

2. 模流关系： $${\Delta }_{\mathcal{A}(D_{j+1})}^{\mathrm{i}t}=U(t){\Delta }_{\mathcal{A}(D_j)}^{\mathrm{i}t}U(-t)$$

其中$\Delta$为Tomita-Takesaki模算子。

定理 E（HSMI推进）：

若$(\mathcal{A}(D_j)\subset \mathcal{A}(D_{j+1}),\Omega )$为右HSMI，则存在正能量一参数半群与${\Delta }_{\mathcal{A}(D_{j+1})}^{\mathrm{i}t}$协变，并把$\mathcal{A}(D_j)$内禀推进至$\mathcal{A}(D_{j+1})$。

物理意义：

• HSMI提供了因果菱形链的代数递进结构
• 模流${\Delta }^{\mathrm{i}t}$沿链几何化为Lorentz推变（Bisognano-Wichmann性质）
• 正能量条件保证了量子场论的因果结构

Mermaid图解：HSMI推进

graph LR
    A["$\mathcal{A}(D_j)$<br/>小代数"] -->|"包含"| B["$\mathcal{A}(D_{j+1})$<br/>大代数"]

    A1["模流<br/>${\Delta }_j^{it}$"] -.->|"协变"| A
    B1["模流<br/>${\Delta }_{j+1}^{it}$"] -.->|"协变"| B

    A1 -->|"推进半群<br/>$U(s)$"| B1

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#e1ffe1
    style A1 fill:#fff4e1
    style B1 fill:#f5e1ff

日常类比： 量子信息的“递推计算“：

• $\mathcal{A}(D_j)$：当前已知的观测量集合
• $\mathcal{A}(D_{j+1})$：扩展后的观测量集合
• HSMI：保证扩展过程保持代数结构
• 模流${\Delta }^{\mathrm{i}t}$：观测量的“时间演化“规则
• 推进半群$U(s)$：从小集合到大集合的“演化算子“

5.2 Wiesbrock-Borchers结构定理

Wiesbrock-Borchers定理： HSMI等价于存在一参数酉群$\{U(s)\}$满足：

1. Borchers交换关系： $$[U(s),{\Delta }_{\mathcal{A}(D_{j+1})}^{\mathrm{i}t}]=0,\forall s,t$$

2. 正能量条件： $$⟨\Omega ,U(s)\Omega ⟩=e^{-Es},E\ge 0$$

3. 推进性质： $$U(s)\mathcal{A}(D_j)U(s{)}^{-1}\subseteq \mathcal{A}(D_j)$$

应用： 在因果菱形链中，HSMI保证了链式推进的代数一致性：

• 容斥恒等式（几何层面）
• 模哈密顿量拼接（物理层面）
• 代数包含关系（算子层面）

三者完全兼容。

6. 应用：QNEC链式加强与纠缠楔拼接

6.1 QNEC链式加强

量子零能条件（Quantum Null Energy Condition，QNEC）：

$$⟨T_{vv}⟩\ge \frac{1}{2\pi }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial v^2}$$

在真空态附近，QNEC饱和： $$⟨T_{vv}{⟩}_{\mathrm{vac}}=\frac{1}{2\pi }\frac{{\partial }^2{S}_{\mathrm{vac}}}{\partial v^2}$$

链式加强： 结合容斥恒等式与QNEC，得到联合区域能量-熵变分的容斥下界：

$$⟨T_{vv}{⟩}_{{\cup }_i{R}_{V_i}}\ge \frac{1}{2\pi }\frac{{\partial }^2{S}_{{\cup }_i{R}_{V_i}}}{\partial V_1\partial V_2\cdots \partial V_N}$$

全序时该下界取等，等价于马尔可夫饱和。

6.2 纠缠楔拼接与角点荷

全息对偶（AdS/CFT）： 边界容斥/马尔可夫在体区对应：

• 极值面的法向模流拼接
• 角点荷的可加性

JLMS等式（Jafferis-Lewkowycz-Maldacena-Suh）：

$$S_{\mathrm{boundary}}(R)=S_{\mathrm{bulk}}(EW[R])+\frac{A(\partial EW[R])}{4G_N}$$

其中$EW[R]$为纠缠楔（Entanglement Wedge）。

拼接一致性： 在弱回馈与光滑角点条件下，边界的容斥-马尔可夫提升为体区的模流拼接，账本一致性维持。

日常类比： 地图与地形的对应：

• 边界容斥：地图上区域的拼接
• 体区模流：地形的“演化规则“
• JLMS等式：地图面积$\leftrightarrow$地形熵
• 拼接一致性：地图拼接规则与地形演化规则兼容

7. 数值验证与实验方案

7.1 容斥验证

二维CFT三块链： 取三个因果菱形$D_1,D_2,D_3$，数值评估：

$${\epsilon }_{\mathrm{excl}}:=|K_{12}+K_{23}-K_2-K_{123}|$$

预期结果：

• 全序切割：${\epsilon }_{\mathrm{excl}}\approx 0$（数值误差内）
• 非全序切割：${\epsilon }_{\mathrm{excl}}>0$，且正比于$\kappa$

代码框架（概念）：

输入：三个区域的边界参数 V1, V2, V3
输出：容斥误差 ε_excl

1. 计算单区域模哈密顿量：K1, K2, K3
2. 计算并集模哈密顿量：K12, K23, K123
3. 计算容斥误差：ε_excl = |K12 + K23 - K2 - K123|
4. 绘制误差条

7.2 马尔可夫拼接验证

条件互信息测量：

$$I(1:3|2)=S_{12}+S_{23}-S_2-S_{123}$$

预期结果：

• 全序：$I(1:3|2)\approx 0$
• 非全序：$I(1:3|2)>0$，且满足$I\ge c_{\ast }\int \kappa d{x}_{\perp }$

与容斥的一致性： 通过一阶变分关系$\delta K=2\pi \delta S$，验证：

$${\epsilon }_{\mathrm{excl}}\approx 2\pi I(1:3|2)$$

7.3 Petz恢复保真度

操作步骤：

1. 准备初始态${\rho }_{123}$（三区域真空）
2. 忘却$D_3$，得到${\rho }_{12}$
3. 应用Petz恢复${\mathcal{R}}_{2\to 23}$，得到${\tilde{\rho }}_{123}$
4. 计算保真度$F({\rho }_{123},{\tilde{\rho }}_{123})$

预期结果：

• 全序（$I(1:3|2)=0$）：$F\approx 1$
• 非全序（$I(1:3|2)>0$）：$F\approx e^{-I(1:3|2)/2}$

8. 本章总结

本章建立了因果菱形链的马尔可夫拼接理论，核心结果包括：

8.1 核心公式

容斥恒等式： $$K_{{\cup }_i{R}_{V_i}}=\sum _{k=1}^N(-1{)}^{k-1}\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le N}{K}_{R_{V_{i_1}}\cap \cdots \cap R_{V_{i_k}}}$$

马尔可夫拼接： $$I(D_{j-1}:D_{j+1}\mid D_j)=0\iff K_{12}+K_{23}-K_2-K_{123}=0$$

非全序缺口： $$I(D_{j-1}:D_{j+1}\mid D_j)=\iint \iota (v,x_{\perp })dv{d}^{d-2}{x}_{\perp }\ge c_{\ast }\int \kappa (x_{\perp })d^{d-2}{x}_{\perp }$$

Petz恢复保真度： $$F\ge e^{-I(A:C\mid B)/2}$$

8.2 物理图像

Mermaid总结图

graph TD
    A["容斥恒等式<br/>几何分解"] --> B["全序切割<br/>κ=0"]
    B --> C["马尔可夫拼接<br/>I(j-1:j+1|j)=0"]
    C --> D["完美恢复<br/>Petz映射F=1"]

    A --> E["非全序切割<br/>κ > 0"]
    E --> F["马尔可夫缺口<br/>I > 0"]
    F --> G["有损恢复<br/>F < 1"]

    C --> H["HSMI推进<br/>代数结构"]
    H --> I["链式递推<br/>模流拼接"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#e1ffe1
    style C fill:#ffe1e1
    style D fill:#f5e1ff
    style E fill:#fff4e1
    style F fill:#ffcccc
    style G fill:#ffaaaa
    style H fill:#e1e1ff
    style I fill:#f5f5ff

8.3 关键洞察

1. 容斥原理的普适性：

   • 从集合论的容斥公式出发
   • 推广到二次型、模哈密顿量、相对熵
   • 统一的数学框架

2. 马尔可夫性的几何根源：

   • 全序切割$\iff$层状度$\kappa =0$
   • 零测度边界的拓扑性质
   • 模流的几何实现

3. 信息恢复的量子极限：

   • Petz映射达到最优恢复
   • 保真度由条件互信息决定
   • Fawzi-Renner不等式给出可操作下界

4. 代数与几何的双重结构：

   • HSMI：代数推进
   • 模流：几何推进
   • 两者通过Bisognano-Wichmann性质统一

8.4 下一章预告

下一章将讨论散射刻度与窗化读数：

• 如何通过散射相位$\arg \det S$测量模哈密顿量？
• Birman-Krein公式与Wigner-Smith群延迟
• 窗化技术与奇偶阈值稳定性

本章结束

源理论：euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md，§3.2-3.4