第四章：散射刻度与窗化读数

源理论：euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md，§3.5-3.7

引言

前面章节讨论的模哈密顿量$K_D$是几何-信息论侧的物理量。但在实际测量中，我们需要通过散射实验来间接探测这些量。

本章建立散射理论与模理论的桥梁：

• Birman-Krein公式：散射相位$\leftrightarrow$谱移函数
• Wigner-Smith公式：群延迟$\leftrightarrow$态密度变化
• 窗化技术：有限能量分辨率下的测量策略
• 奇偶阈值：${\mathbb{Z}}_2$标签的稳定性判据

日常类比：

• 几何侧：建筑物的内部结构（模哈密顿量）
• 散射侧：用声波探测建筑（散射矩阵）
• 窗化：声波接收器的频率响应函数
• 奇偶阈值：判断探测信号的“指纹“是否稳定

1. 分布论Birman-Krein-Friedel-Lloyd刻度

1.1 散射相位与谱移函数

散射矩阵$S(E)$（能量依赖的幺正矩阵）描述粒子散射过程。定义：

$$Q(E):=-\mathrm{i}{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E)$$

这是群延迟矩阵（Wigner-Smith时延），半相位定义为：

$$\phi (E):=\frac{1}{2}\arg \det S(E)$$

相对态密度（与自由系统比较）：

$${\rho }_{\mathrm{rel}}(E):=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(E)$$

定理 F（分布论刻度同一）：

对测试函数$h\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$（或$h\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$），有

$$\int {\partial }_E\arg \det S(E)h(E)dE=\int \mathrm{tr}Q(E)h(E)dE=-2\pi \int {\xi }^{\prime }(E)h(E)dE$$

其中$\xi (E)$为谱移函数（Spectral Shift Function）。

Birman-Krein约定： $$\det S(E)=e^{-2\pi \mathrm{i}\xi (E)}$$

Mermaid图解：三重等价

graph TD
    A["散射相位导数<br/>dE arg det S"] --> D["统一时间刻度<br/>kappa(E)"]
    B["群延迟迹<br/>tr Q"] --> D
    C["谱移函数导数<br/>-2pi xi'(E)"] --> D

    D --> E["相对态密度<br/>rho_rel(E)"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#e1ffe1
    style E fill:#fff4e1

物理意义：

• $\arg \det S(E)$：散射过程中相位累积
• $\mathrm{tr}Q(E)$：粒子在散射区停留的平均时间（群延迟）
• ${\xi }^{\prime }(E)$：扰动系统与自由系统的态密度差

三者通过分布论意义下严格相等！

日常类比： 三种测量车速的等价方法：

• 相位累积：计时通过固定距离所需时间
• 群延迟：测量车辆在检查站停留时长
• 密度变化：统计道路上车辆密度的增减

1.2 支路约定与连续化

技术要点：$\arg \det S$是多值函数（差$2\pi \mathbb{Z}$），需选择连续分支。

支路约定： 在能带内除去可数离散集后，取$\arg \det S$的连续分支。其分布导数${\partial }_E\arg \det S$不依赖支路选择的$2\pi$跳跃，因为：

1. 测试函数$h\in C_c^{\infty }$将跳跃“消光“
2. 通过Helffer-Sjöstrand表示与$\mathrm{tr}Q$匹配

处理阈值奇点：

• 能带阈值（band edge）
• 嵌入本征态（embedded eigenstate）

通过选择$\mathrm{supp}h$避开，或经可去奇点处理。

1.3 相对口径与修正行列式

命题 F’（相对/修正口径）：

若$S_0(E)$为参考散射（在能带内同片解析、无零/极点），且

$$U(E):=S(E)S_0(E{)}^{-1},U(E)-\mathbb{I}\in {\mathfrak{S}}_2$$

则Carleman行列式满足：

$$\int {\partial }_E\arg \underset{2}{\det }U(E)h(E)dE=\int \mathrm{tr}(Q(E)-Q_0(E))h(E)dE$$

其中${\det }_2$为二阶行列式（适用于$\mathbb{I}$加迹类算子）。

应用场景：

• $S$幺正但$S-\mathbb{I}$非迹类
• 相对散射$U=S{S}_0^{-1}$为“小扰动“，$U-\mathbb{I}\in {\mathfrak{S}}_2$
• 给出“非迹类但相对二阶可迹“的窗口下相位-群延迟一致性

日常类比： 测量建筑物变形：

• 直接测量绝对坐标（迹类条件）：要求极高精度
• 测量相对于参考点的位移（相对迹类）：精度要求降低

2. 窗化技术：有限分辨率测量

2.1 窗函数与尺度

实际测量无法在单一能量点进行，需在能量窗口内平均。引入窗函数$h(E)$：

$$h_{\ell }(E)={\ell }^{-1}h(E/\ell )$$

其中$\ell >0$为窗尺度（能量分辨率），满足：

• ${\int }_{\mathbb{R}}h=1$（归一化）
• $h\ge 0$（非负）
• $h\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$或$h\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$（高斯）

常用窗函数：

1. 高斯窗： $$h(E)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-E^2/2}$$

2. Kaiser-Bessel窗（$\beta \ge 6$）： $$h(E)=\frac{I_0(\beta \sqrt{1-(E/W{)}^2})}{I_0(\beta )}\cdot 1_{|E|\le W}$$

其中$I_0$为零阶修正Bessel函数。

窗化相位累积：

$${\Theta }_h(\gamma ):=\frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}\mathrm{tr}Q(E)h_{\ell }(E-E_0)dE$$

其中$\mathcal{I}(\gamma )=[E_1,E_2]$为能区，$E_0$为窗中心。

Mermaid图解：窗化过程

graph LR
    A["原始信号<br/>tr Q(E)"] -->|"卷积"| B["窗化信号<br/>Q * h_ell"]
    B --> C["积分<br/>Theta_h"]

    W["窗函数<br/>h_ell(E)"] -.->|"尺度ell"| B

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style W fill:#fff4e1
    style C fill:#e1ffe1

日常类比： 照相机的光圈与快门：

• 原始信号：瞬时光强$I(t)$
• 窗函数：快门时间响应$h(t)$
• 窗化测量：曝光积分$\int I(t)h(t)dt$
• 尺度$\ell$：曝光时间（时间分辨率）

2.2 无窗极限与几何相位

几何相位（无窗极限）：

$${\Theta }_{\mathrm{geom}}(\gamma ):=\frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}\mathrm{tr}Q(E)dE={\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}{\phi }^{\prime }(E)dE=\phi (E_2)-\phi (E_1)$$

这是散射相位在能区$\mathcal{I}(\gamma )$上的总累积。

间隙定义：

$${\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma ):=\mathrm{dist}({\Theta }_{\mathrm{geom}}(\gamma ),\pi \mathbb{Z})$$

这是${\Theta }_{\mathrm{geom}}$到最近$\pi$整数倍的距离。

物理意义：

• ${\delta }_{\mathrm{gap}}$大：${\Theta }_{\mathrm{geom}}$远离$\pi$整数倍，奇偶标签稳定
• ${\delta }_{\mathrm{gap}}$小：${\Theta }_{\mathrm{geom}}$接近$\pi$整数倍，奇偶标签敏感

日常类比： 判断体重是否“明显超重“：

• 几何相位${\Theta }_{\mathrm{geom}}$：你的实际体重
• 标准线$\pi \mathbb{Z}$：标准体重的整数倍（如50kg, 100kg）
• 间隙${\delta }_{\mathrm{gap}}$：你与最近标准线的距离
• 距离大→判断稳定；距离小→判断敏感（接近临界点）

3. 误差分解：EM-Poisson-Toeplitz三角不等式

3.1 总误差预算

窗化测量${\Theta }_h$与几何极限${\Theta }_{\mathrm{geom}}$之间存在误差：

$$\boxed{{\mathcal{E}}_h(\gamma ):=\underset{\text{EM 端点}}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{EM}}|dE}}+\underset{\text{Poisson 混叠}}{\underbrace{{\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{P}}|dE}}+\underset{\text{Toeplitz 交换子}}{\underbrace{C_{\mathrm{T}}{\ell }^{-1/2}{\int }_{\mathcal{I}}|{\partial }_{E}S{|}_{2}dE}}+\underset{\text{区间外尾部}}{\underbrace{R_{\mathrm{tail}}(\ell ,\mathcal{I},E_0)}}}$$

其中：

$$R_{\mathrm{tail}}(\ell ,\mathcal{I},E_0):={\int }_{\mathbb{R}\setminus \mathcal{I}(\gamma )}|h_{\ell }(E-E_0)|dE\in [0,1]$$

若$h\ge 0$且${\int }_{\mathbb{R}}h=1$，则$R_{\mathrm{tail}}=1-{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}{h}_{\ell }(E-E_0)dE$。

Mermaid误差来源图

graph TD
    A["窗化误差<br/>E_h(gamma)"] --> B["Euler-Maclaurin端点<br/>R_EM"]
    A --> C["Poisson混叠<br/>R_P"]
    A --> D["Toeplitz交换子<br/>R_T"]
    A --> E["区间外尾部<br/>R_tail"]

    B --> B1["O(ell^-(m-1))衰减"]
    C --> C1["O(exp(-c(2pi ell/Delta)^2))<br/>（高斯窗）"]
    D --> D1["O(ell^-1/2)衰减"]
    E --> E1["支撑外积分"]

    style A fill:#ffe1e1
    style B fill:#e1f5ff
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1

日常类比： 照片的四种失真：

• EM端点：边缘模糊（离散采样截断）
• Poisson混叠：摩尔纹（频率混叠）
• Toeplitz交换子：运动模糊（时序不对易性）
• 尾部泄漏：画框外物体的光线干扰

3.2 Euler-Maclaurin端点余项

引理 P（Euler-Maclaurin）：

若$h\in C_c^{2m+1}$且端点$\le 2m$阶喷气为零，则：

$${\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{EM}}|dE\le C_m{\ell }^{-(m-1)}$$

物理意义：

• 窗函数越光滑（$m$越大），端点余项越小
• 窗尺度$\ell$越大，余项越小（能量分辨率越低，离散化误差越小）

Kaiser-Bessel窗的角点估计： Kaiser窗属于紧支撑的分段$C^{2m}$窗，端点为角点。其EM余项按角点版计入：

$${\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{EM}}|dE\le C_{\mathrm{KB}}{\ell }^{-1}$$

衰减阶从$O({\ell }^{-(m-1)})$降至$O({\ell }^{-1})$。

3.3 Poisson混叠项

引理 P（Poisson求和）：

定义能量采样步长$\Delta >0$（晶格间距），则：

$${\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{P}}|dE\le C_h\sum _{|q|\ge 1}\left|\hat{h}\left(\frac{2\pi q\ell }{\Delta }\right)\right|$$

其中$\hat{h}$为$h$的Fourier变换。

高斯窗的指数衰减： 若$h(E)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-E^2/2}$，则$\hat{h}(\omega )=e^{-{\omega }^2/2}$。上式和呈指数平方衰减：

$$\sum _{|q|\ge 1}{e}^{-c(2\pi q\ell /\Delta {)}^2}\sim e^{-c(2\pi \ell /\Delta {)}^2}$$

当$2\pi \ell /\Delta \gg 1$时快速趋零。

Kaiser窗的超多项式衰减： Kaiser窗已知Fourier尾界给出指数或超多项式衰减（具体阶依赖于$\beta$参数）。

日常类比： 采样定理与混叠：

• Poisson求和：离散采样引起的频率混叠
• $\Delta$：采样间隔
• $2\pi \ell /\Delta$：无量纲参数（窗尺度/采样间隔）
• 高斯窗：频域快速衰减，混叠几乎为零

3.4 Toeplitz交换子项

引理 T（Toeplitz/Berezin压缩误差）：

令${\mathsf{T}}_{\ell }$为能量轴上的窗化压缩算子（核为$h_{\ell }(E-E^{\prime })$的卷积），设${\partial }_{E}S\in {\mathfrak{S}}_2$且${\int }_{\mathcal{I}}|{\partial }_{E}S{|}_{2}dE<\infty$。则存在常数$C_T>0$使：

$$\left|\mathrm{tr}\right(Q\ast h_{\ell })-\int Q(E)h_{\ell }(E-E_0)dE|\le C_T{\ell }^{-1/2}{\int }_{\mathcal{I}}|{\partial }_{E}S{|}_{2}dE$$

证明要点：

• 压缩误差写成交换子$[{\mathsf{T}}_{\ell },\cdot ]$
• 对能量导数做平均值估计
• 用Hilbert-Schmidt Hölder与窗扩展尺度$\int (E-E_0{)}^2{h}_{\ell }\sim {\ell }^{-1}$得到${\ell }^{-1/2}$衰减

物理意义：

• 群延迟$Q(E)$与窗函数$h_{\ell }$不对易
• 交换子项$[{\mathsf{T}}_{\ell },Q]$产生$O({\ell }^{-1/2})$误差
• 窗尺度$\ell$越大，误差越小

日常类比： 相机的快门与被摄物体运动：

• 静态场景：快门时间（窗函数）与物体位置（信号）对易，无误差
• 运动场景：不对易，产生运动模糊（Toeplitz误差）
• 快门越长（$\ell$越大），相对模糊越小

3.5 区间外尾部泄漏

$$R_{\mathrm{tail}}(\ell ,\mathcal{I},E_0):={\int }_{\mathbb{R}\setminus \mathcal{I}(\gamma )}|h_{\ell }(E-E_0)|dE$$

物理意义：

• 窗函数支撑超出感兴趣能区$\mathcal{I}(\gamma )$
• 能区外信号“泄漏“到测量中

紧支撑窗的优势： 若窗函数紧支撑（如Kaiser），且$\mathrm{supp}{h}_{\ell }\subset \mathcal{I}(\gamma )$，则$R_{\mathrm{tail}}=0$。

高斯窗的尾部： 高斯窗无紧支撑，但尾部指数衰减。若$E_0$位于$\mathcal{I}(\gamma )$中心，$\ell$适当小，则$R_{\mathrm{tail}}\ll 1$。

4. 奇偶阈值定理：${\mathbb{Z}}_2$标签的稳定性

4.1 定理陈述

定理 G（窗化奇偶阈值）：

定义窗化相位累积：

$${\Theta }_h(\gamma ):=\frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}\mathrm{tr}Q(E)h_{\ell }(E-E_0)dE$$

链式${\mathbb{Z}}_2$标签：

$${\nu }_{\mathrm{chain}}(\gamma ):=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_h(\gamma )/\pi \rfloor }$$

定义门槛参数：

$${\delta }_{\ast }(\gamma ):=\min \{\frac{\pi }{2},{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )\}-\epsilon$$

其中$\epsilon \in (0,{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma ))$为安全裕度。

定理：若存在$\ell >0,\Delta >0,m\in \mathbb{N}$使：

$${\mathcal{E}}_h(\gamma )\le {\delta }_{\ast }(\gamma )$$

则对任一满足窗质量条件的窗中心$E_0$，有：

$${\nu }_{\mathrm{chain}}(\gamma )=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_h(\gamma )/\pi \rfloor }=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_{\mathrm{geom}}(\gamma )/\pi \rfloor }$$

即窗化测量的奇偶标签与几何极限一致。

Mermaid逻辑图

graph TD
    A["几何相位<br/>Theta_geom"] --> B["计算间隙<br/>delta_gap = dist(Theta_geom, pi Z)"]
    B --> C["设定门槛<br/>delta_* = min(pi/2, delta_gap) - epsilon"]

    D["窗化测量<br/>Theta_h"] --> E["估计误差<br/>E_h"]
    E --> F{"E_h <= delta_* ?"}

    F -->|"是"| G["奇偶稳定<br/>nu_chain = (-1)^floor(Theta_h/pi)"]
    F -->|"否"| H["奇偶不稳定<br/>需改进参数"]

    C -.->|"门槛"| F

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffe1f5
    style F fill:#ffcccc
    style G fill:#e1ffe1
    style H fill:#ffaaaa

物理意义：

• $\pi /2$缓冲：${\Theta }_h$在$\pm \pi /2$范围内波动不改变$\lfloor {\Theta }_h/\pi \rfloor$的奇偶
• 间隙门槛：若${\delta }_{\mathrm{gap}}<\pi /2$，则进一步收紧要求到${\delta }_{\mathrm{gap}}-\epsilon$
• 误差控制：通过调节$\ell ,\Delta ,m$使总误差${\mathcal{E}}_h$满足门槛

日常类比： 体重秤的读数稳定性：

• 真实体重${\Theta }_{\mathrm{geom}}$：70.3 kg
• 标准线$\pi \mathbb{Z}$：50 kg, 100 kg
• 间隙${\delta }_{\mathrm{gap}}$：20.3 kg（离50kg）或29.7 kg（离100kg），取小者29.7
• 门槛${\delta }_{\ast }$：$\min \{25,29.7\}-0.5=24.5$ kg
• 测量误差${\mathcal{E}}_h$：体重秤精度$\pm 0.2$ kg
• 若${\mathcal{E}}_h=0.2<24.5$，则判断“不超重“（奇偶标签稳定）

4.2 π/2缓冲的来源

注（π/2缓冲）：

在奇偶判定中，$(-1{)}^{\lfloor \Theta /\pi \rfloor }$仅当$\Theta$穿越**奇数个$\pi$**时翻转。

• 若$\Theta$在某个$k\pi$附近波动$<\pi /2$，则：

  • $\lfloor (\Theta -\pi /2)/\pi \rfloor =k-1$或$k$
  • $\lfloor (\Theta +\pi /2)/\pi \rfloor =k$或$k+1$
  • 奇偶性保持不变

• 将扰动总量收敛至$<\pi /2$保证不会跨越最近的整数倍$\pi$

取${\delta }_{\ast }(\gamma )=\min \{\pi /2,{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )\}-\epsilon$即为该缓冲的显式化。

几何直观：

  ───────────┼─────────────┼─────────────┼─────────────
            0            π           2π           3π
             └──┬──┘        └──┬──┘        └──┬──┘
              π/2缓冲      π/2缓冲      π/2缓冲

若$\Theta$在某个$k\pi$附近$\pm \pi /2$范围内，$\lfloor \Theta /\pi \rfloor$保持为$k$或$k-1$，奇偶不变。

4.3 非平滑窗的过渡

技术扩展： 若窗$h\in C_c^0$且支撑内分段$C^{2m}$（端点允许角点），可通过平滑化过渡：

1. 取标准平滑核${\rho }_{\delta }$
2. 定义$h_{\ell ,\delta }:=h_{\ell }\ast {\rho }_{\delta }$
3. 对固定$\ell >0$，有$\Vert h_{\ell ,\delta }-h_{\ell }{\Vert }_{L^1}=O(\delta )$
4. 将平滑化误差$R_{\mathrm{smooth}}(\delta ):={\int }_{\mathcal{I}}|h_{\ell ,\delta }-h_{\ell }|dE$并入总误差预算

选取$\delta =\delta (\ell ,m)$使$R_{\mathrm{smooth}}(\delta )\le \frac{1}{2}{\delta }_{\ast }(\gamma )$，保留同一奇偶阈值结论。

5. 弱非幺正扰动的鲁棒性

5.1 非幺正偏差

实际散射过程可能有耗散（能量损失），散射矩阵$S(E)$不再严格幺正。定义非幺正偏差：

$${\Delta }_{\mathrm{nonU}}(E):=|S^{†}(E)S(E)-\mathbb{I}{|}_1$$

这是$S$偏离幺正的迹范数度量。

推论 G（弱非幺正稳定）：

若：

$${\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}{\Delta }_{\mathrm{nonU}}(E)dE\le \epsilon$$

且：

$${\mathcal{E}}_h(\gamma )\le {\delta }_{\ast }(\gamma ):=\min \{\frac{\pi }{2},{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )\}-\epsilon$$

则${\nu }_{\mathrm{chain}}(\gamma )=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_h(\gamma )/\pi \rfloor }$不变，且与无窗极限一致。

物理意义：

• 只要非幺正偏差的能量积分$\le \epsilon$
• 且总误差预算满足门槛${\delta }_{\ast }-\epsilon$
• 奇偶标签依然稳定

引理 N（弱非幺正相位差界）：

写$S=U(\mathbb{I}-A)$的极分解，$U$幺正、$A\ge 0$。若${\int }_{\mathcal{I}}|S^{†}S-\mathbb{I}{|}_{1}dE\le \epsilon$，则：

$$|{\int }_{\mathcal{I}}\mathrm{tr}Q(S)h_{\ell }-{\int }_{\mathcal{I}}\mathrm{tr}Q(U)h_{\ell }|\le C_N\epsilon$$

证明要点：

• $Q(S)=\mathrm{Im}\mathrm{tr}(S^{-1}{\partial }_{E}S)$
• 近幺正时$\Vert S^{-1}\Vert \le (1-\Vert A\Vert {)}^{-1}$
• 用$\Vert {\partial }_{E}S{\Vert }_1\le \Vert {\partial }_{E}U{\Vert }_1+\Vert {\partial }_{E}A{\Vert }_1$与$\Vert A{\Vert }_1\lesssim \Vert S^{†}S-\mathbb{I}{\Vert }_1$控制差值

日常类比： 轮胎漏气对车速测量的影响：

• 理想轮胎：幺正散射$S^{†}S=\mathbb{I}$
• 漏气轮胎：非幺正${\Delta }_{\mathrm{nonU}}>0$
• 只要漏气量不太大（$\int {\Delta }_{\mathrm{nonU}}\le \epsilon$）
• 车速测量依然可靠（奇偶标签稳定）

6. 推荐参数与工程门槛

6.1 参数表（满足定理G门槛）

窗族：

• 高斯窗：$h(E)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-E^2/2}$
• Kaiser窗：$\beta \ge 6$

平滑阶/EM端点余项：

• 若$h\in C_c^{\infty }$或$h\in \mathcal{S}$：取$m\ge 6$，用${\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{EM}}|\le C_m{\ell }^{-(m-1)}$
• 若用Kaiser窗：按角点估计${\int }_{\mathcal{I}}|R_{\mathrm{EM}}|\le C_{\mathrm{KB}}{\ell }^{-1}$

步长与带宽：

• 取$\Delta \le \ell /4$，并使$2\pi \ell /\Delta \ge 5$
• Poisson混叠：$R_{\mathrm{P}}\le C_h{\sum }_{|q|\ge 1}\left|\hat{h}\left(2\pi q\ell /\Delta \right)\right|$
  • 高斯窗：指数平方衰减$\sim e^{-c(2\pi \ell /\Delta {)}^2}$
  • Kaiser窗：指数或超多项式衰减（具体依赖于$\beta$）

Toeplitz交换子项： 控制量${\ell }^{-1/2}{\int }_{\mathcal{I}}|{\partial }_{E}S{|}_2$

非幺正容限： $${\int }_{\mathcal{I}}{\Delta }_{\mathrm{nonU}}\le \epsilon$$

Gap预检： 计算${\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )=\mathrm{dist}({\Theta }_{\mathrm{geom}}(\gamma ),\pi \mathbb{Z})$

误差预算总式：

$$\boxed{\int |R_{\mathrm{EM}}|+\int |R_{\mathrm{P}}|+C_{\mathrm{T}}{\ell }^{-1/2}\int |{\partial }_{E}S{|}_2+R_{\mathrm{tail}}\le {\delta }_{\ast }(\gamma )}$$

其中${\delta }_{\ast }(\gamma )=\min \{\frac{\pi }{2},{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )\}-\epsilon$。

Mermaid参数调节流程

graph TD
    A["输入能区I"] --> B["计算Theta_geom"]
    B --> C["计算delta_gap"]
    C --> D["设定delta_*"]

    D --> E["选择窗函数<br/>（高斯/Kaiser）"]
    E --> F["初始参数<br/>ell, Delta, m"]

    F --> G["估计四项误差<br/>R_EM, R_P, R_T, R_tail"]
    G --> H{"E_h <= delta_* ?"}

    H -->|"否"| I["调整参数<br/>增大ell或Delta"]
    I --> G

    H -->|"是"| J["参数合格<br/>执行测量"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5
    style G fill:#f5e1ff
    style H fill:#ffcccc
    style I fill:#ffaaaa
    style J fill:#aaffaa

6.2 数值算例

单道共振：

$$\delta (E)=\arctan \frac{\Gamma }{E-E_0}$$

其中$\Gamma$为共振宽度。计算：

$${\Theta }_{\mathrm{geom}}=\delta (E_2)-\delta (E_1)$$

估计${\Theta }_h$与实际$\int (2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q$的差，并标注跨越$\pi$的翻转点。

多道近幺正：

$$S(E)=U\mathrm{diag}(e^{2i{\delta }_1(E)},e^{-2i{\delta }_1(E)})U^{†}$$

考察${ϵ}_i$翻转与链式符号响应。

预期结果：

• 当$\ell ,\Delta$满足门槛不等式时，窗化测量的奇偶标签与几何极限一致
• 当参数不满足时，出现“假翻转“（spurious flip）

7. 与统一时间刻度的联系

7.1 统一时间刻度回顾

在前面章节（20-experimental-tests/01-unified-time-measurement.md）中，我们建立了统一时间刻度：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$$

三重等价：

• ${\phi }^{\prime }(\omega )/\pi$：散射相位导数
• ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )$：相对谱密度
• $(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q(\omega )$：Wigner-Smith群延迟

本章定理F正是该统一刻度的分布论版本！

7.2 与模哈密顿量的联系

一阶变分关系：

$$\delta K_D=2\pi \delta S_D$$

其中$S_D$为纠缠熵。结合QNEC真空饱和：

$$⟨T_{vv}⟩=\frac{1}{2\pi }\frac{{\partial }^{2}S}{\partial v^2}$$

可得模哈密顿量与散射相位的间接联系：

$$K_D\sim \int {\phi }^{\prime }(\omega )d\omega =\pi \int \kappa (\omega )d\omega$$

日常类比：

• 几何侧：建筑物内部应力分布（模哈密顿量$K_D$）
• 散射侧：声波反射相位（$\phi (\omega )$）
• 统一刻度：通过声学探测推断应力（$\kappa (\omega )$）

7.3 窗化技术在实验中的应用

20-experimental-tests章节的实验方案依赖于本章的窗化技术：

1. PSWF/DPSS光谱窗化（02-spectral-windowing-technique.md）

   • 窗函数选择与本章推荐一致
   • Shannon数$N_0=2TW$对应能量-时间窗口参数$\ell ,\Delta$

2. FRB观测应用（05-frb-observation-application.md）

   • FRB脉冲作为天然“窗函数“
   • 星际散射引入非幺正效应，需用推论G评估

3. 拓扑指纹光学实现（03-topological-fingerprint-optics.md）

   • ${\mathbb{Z}}_2$奇偶标签的测量依赖定理G的稳定性判据
   • 实验参数设计需满足误差预算${\mathcal{E}}_h\le {\delta }_{\ast }$

8. 本章总结

8.1 核心公式

Birman-Krein-Friedel-Lloyd-Wigner-Smith刻度同一： $${\partial }_E\arg \det S=\mathrm{tr}Q=-2\pi {\xi }^{\prime }$$

窗化相位累积： $${\Theta }_h(\gamma )=\frac{1}{2}{\int }_{\mathcal{I}(\gamma )}\mathrm{tr}Q(E)h_{\ell }(E-E_0)dE$$

奇偶阈值定理： 若${\mathcal{E}}_h(\gamma )\le {\delta }_{\ast }(\gamma )$，则 $${\nu }_{\mathrm{chain}}(\gamma )=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_h(\gamma )/\pi \rfloor }=(-1{)}^{\lfloor {\Theta }_{\mathrm{geom}}(\gamma )/\pi \rfloor }$$

总误差预算： $${\mathcal{E}}_h=\int |R_{\mathrm{EM}}|+\int |R_{\mathrm{P}}|+C_{\mathrm{T}}{\ell }^{-1/2}\int |{\partial }_{E}S{|}_2+R_{\mathrm{tail}}$$

门槛参数： $${\delta }_{\ast }(\gamma )=\min \{\frac{\pi }{2},{\delta }_{\mathrm{gap}}(\gamma )\}-\epsilon$$

8.2 物理图景

Mermaid总结图

graph TD
    A["散射矩阵<br/>S(E)"] --> B["群延迟矩阵<br/>Q(E)"]
    B --> C["分布论刻度<br/>tr Q = dE arg det S"]

    C --> D["窗化测量<br/>Theta_h(gamma)"]
    D --> E["误差分解<br/>E_h"]

    E --> F["EM端点<br/>O(ell^-(m-1))"]
    E --> G["Poisson混叠<br/>O(exp(-c(2pi ell/Delta)^2))"]
    E --> H["Toeplitz交换子<br/>O(ell^-1/2)"]
    E --> I["尾部泄漏<br/>R_tail"]

    D --> J["奇偶标签<br/>nu_chain"]
    E --> K{"E_h <= delta_* ?"}
    K -->|"是"| L["标签稳定"]
    K -->|"否"| M["标签不稳定"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffe1f5
    style J fill:#e1ffe1
    style K fill:#ffcccc
    style L fill:#aaffaa
    style M fill:#ffaaaa

8.3 关键洞察

1. 三重统一刻度：

   • 散射相位$\leftrightarrow$群延迟$\leftrightarrow$谱移函数
   • 分布论意义下严格等价
   • 提供实验测量的多种路径

2. 窗化技术的必要性：

   • 实际测量有限能量分辨率
   • 窗函数引入系统误差
   • 误差可通过参数调节控制

3. 奇偶阈值的鲁棒性：

   • $\pi /2$缓冲机制
   • 间隙${\delta }_{\mathrm{gap}}$决定稳定性
   • 弱非幺正扰动可容忍

4. 工程参数设计：

   • 高斯窗：指数衰减，Poisson混叠极小
   • Kaiser窗：紧支撑，尾部泄漏为零
   • 参数选择需平衡四项误差源

8.4 下一章预告

下一章（05-causal-diamond-summary.md）将：

• 综合全章内容
• 与实验方案对接
• 讨论开放问题与未来方向

本章结束

源理论：euler-gls-extend/null-modular-double-cover-causal-diamond-chain.md，§3.5-3.7