第一章：Floquet量子元胞自动机理论

源理论：euler-gls-info/17-time-crystals-null-modular-z2-holonomy.md，§2-3

引言

在上一篇概览中，我们初步认识了时间晶体——一种在时间维度上“周期翻倍“的奇异量子相。本章将深入探讨时间晶体的微观机制：如何用Floquet量子元胞自动机（Floquet-QCA）严格描述它。

本章核心问题：

1. 什么是量子元胞自动机（QCA）？
2. 如何在QCA中引入周期驱动（Floquet演化）？
3. 时间晶体的数学定义是什么？
4. 周期翻倍的微观机制是什么？

日常类比：

• QCA：棋盘上的量子国际象棋——每个格子有量子态，按规则更新
• Floquet驱动：定时器每秒响一次，每次响就按规则走一步
• 时间晶体：棋局每两步才回到相似构型，而非每步

1. 计算宇宙与QCA基础

1.1 计算宇宙公理

回顾计算宇宙公理系统（源理论§2.1）：

$$U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$$

四元组含义：

可逆性假设： $\mathsf{T}$是可逆的，即存在逆映射${\mathsf{T}}^{-1}$，保证信息不丢失。

Mermaid计算宇宙结构

graph TD
    A["配置空间X"] --> B["状态x_1"]
    A --> C["状态x_2"]
    A --> D["状态x_3"]

    B -->|"T, C(x1,x2)"| C
    C -->|"T, C(x2,x3)"| D
    D -->|"T^-1, C(x3,x2)"| C

    E["信息函数I"] -.->|"质量评估"| B
    E -.->|"质量评估"| C
    E -.->|"质量评估"| D

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1

日常类比：

• $X$：所有可能的“棋局“
• $\mathsf{T}$：合法的“走子规则“
• $\mathsf{C}$：每步棋的“思考时间“
• $\mathsf{I}$：当前棋局的“优势评分“

1.2 量子元胞自动机（QCA）

经典元胞自动机（Cellular Automaton）：

• 格点集合$\Lambda$（如一维链$\mathbb{Z}$、二维网格${\mathbb{Z}}^2$）
• 每个格点$x\in \Lambda$有有限状态集$S_x$
• 全局配置$s\in {\prod }_{x\in \Lambda }{S}_x$
• 局域更新规则$s\to s^{\prime }$

量子版本（QCA）：

• 格点$x\in \Lambda$
• 每个格点有有限维Hilbert空间${\mathcal{H}}_x$（如${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^2$为单个量子比特）
• 全局Hilbert空间$\mathcal{H}={⨂}_{x\in \Lambda }{\mathcal{H}}_x$
• 可逆酉算子$U:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$

局域性条件： $U$可分解为有限深度的局域酉门序列，保证因果性。

QCA与计算宇宙的对应：

• 配置$x\in X$：规范化基矢$|x⟩\in \mathcal{H}$
• 更新关系$(x,y)\in \mathsf{T}$：$⟨y|U|x⟩\ne 0$
• 代价$\mathsf{C}(x,y)$：执行$U$所需的物理时间（由统一时间刻度给出）

Mermaid QCA结构

graph LR
    A["格点集合Lambda"] --> B["格点x_1<br/>H_x1"]
    A --> C["格点x_2<br/>H_x2"]
    A --> D["格点x_3<br/>H_x3"]

    B --> E["全局Hilbert空间<br/>H = H_x1 ⊗ H_x2 ⊗ H_x3"]
    C --> E
    D --> E

    E --> F["酉算子U<br/>局域可逆"]
    F --> G["演化n步<br/>U^n"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5
    style G fill:#f5e1ff

日常类比：

• 经典CA：生命游戏（Conway’s Game of Life）——细胞生死按规则更新
• QCA：量子生命游戏——每个细胞是量子比特，按量子门更新

1.3 统一时间刻度在QCA中的体现

在物理侧，QCA的一步演化对应某个物理时间增量$\Delta t$。在统一时间刻度框架中：

$$\Delta t=\int \kappa (\omega )\mathrm{d}\omega$$

其中$\kappa (\omega )$为统一时间刻度密度（回顾第20章）：

$$\kappa (\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }={\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$$

对QCA，可定义群延迟矩阵（源理论§2.2）：

$$Q(\omega )=-\mathrm{i}U(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }U(\omega )$$

其中$U(\omega )$为频率依赖的演化算子（通过驱动谱与系统响应体现）。

复杂性代价$\mathsf{C}$： 单步QCA演化的复杂性代价可定义为：

$$\mathsf{C}(x,y)={\int }_{\Omega }w(\omega )\kappa (\omega )\mathrm{d}\omega$$

其中$w(\omega )$为权重函数，$\Omega$为相关频段。

2. Floquet系统：周期驱动的量子动力学

2.1 时间依赖哈密顿量

Floquet系统：哈密顿量$H(t)$满足周期性

$$H(t+T)=H(t),\forall t$$

其中$T$为驱动周期。

经典例子：

• 周期性激光脉冲驱动的原子
• 交流电驱动的超导回路
• 周期性调制的光晶格

演化算子： 在一个周期$[0,T]$内，系统演化为：

$$U_F=\mathcal{T}\exp \left(-\mathrm{i}{\int }_0^{T}H(t)\mathrm{d}t\right)$$

其中$\mathcal{T}$为时间排序算符。

Floquet定理： $U_F$的本征态称为Floquet态$|{\psi }_{\alpha }⟩$，对应本征值：

$$U_F|{\psi }_{\alpha }⟩={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}|{\psi }_{\alpha }⟩$$

其中${\epsilon }_{\alpha }\in (-\pi /T,\pi /T]$为准能量（quasienergy）。

Mermaid Floquet演化

graph LR
    A["初态<br/>psi(0)"] --> B["驱动H(t)<br/>t in [0,T]"]
    B --> C["一周期后<br/>psi(T) = U_F psi(0)"]
    C --> D["两周期后<br/>psi(2T) = U_F^2 psi(0)"]
    D --> E["n周期后<br/>psi(nT) = U_F^n psi(0)"]

    F["准能量<br/>epsilon_alpha"] -.->|"本征值"| B

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

日常类比：

• 驱动周期$T$：钟摆的摆动周期
• Floquet算子$U_F$：每个周期的“等效转动“
• 准能量${\epsilon }_{\alpha }$：等效转动角除以周期

2.2 准能量谱与能带结构

准能量${\epsilon }_{\alpha }$模$2\pi /T$是等价的（类似布里渊区）：

$${\epsilon }_{\alpha }\sim {\epsilon }_{\alpha }+\frac{2\pi }{T}$$

因此通常选择第一布里渊区${\epsilon }_{\alpha }\in (-\pi /T,\pi /T]$。

能带结构： 在晶格系统中，准能量随准动量$k$变化形成能带${\epsilon }_{\alpha }(k)$。

能隙： 相邻能带之间的能量差称为Floquet能隙：

$${\Delta }_{\mathrm{F}}=\underset{k}{\min }|{\epsilon }_{\alpha +1}(k)-{\epsilon }_{\alpha }(k)|$$

时间晶体与能带结构的关联： 周期翻倍时间晶体通常出现在能带结构中存在“对称分裂“的情形：两条能带相差$\pi /T$。

Mermaid准能量谱

graph TD
    A["准能量<br/>epsilon_alpha"] --> B["第一布里渊区<br/>(-pi/T, pi/T]"]

    B --> C1["能带1<br/>epsilon_1(k)"]
    B --> C2["能带2<br/>epsilon_2(k)"]
    B --> C3["能带3<br/>epsilon_3(k)"]

    C1 -.->|"能隙Delta_F"| C2
    C2 -.->|"能隙"| C3

    D["时间晶体条件<br/>epsilon_2 ≈ epsilon_1 + pi/T"] -.-> C1
    D -.-> C2

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C1 fill:#f5e1ff
    style C2 fill:#fff4e1
    style C3 fill:#e1ffe1
    style D fill:#ffcccc

2.3 统一时间刻度的Floquet版本

对Floquet演化算子$U_F(\omega )$（频率依赖通过驱动谱体现），定义群延迟矩阵（源理论§2.2）：

$$Q_F(\omega )=-\mathrm{i}{U}_F(\omega {)}^{†}{\partial }_{\omega }{U}_F(\omega )$$

局域统一时间刻度密度增量：

$${\kappa }_F(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}{Q}_F(\omega )$$

单周期时间增量：

$$\Delta {\tau }_F={\int }_{{\Omega }_F}{w}_F(\omega ){\kappa }_F(\omega )\mathrm{d}\omega$$

这将Floquet演化嵌入统一时间刻度框架，使其与散射理论（第20章）、因果菱形（第21章）一致。

3. Floquet-QCA对象：计算宇宙中的时间晶体

3.1 定义Floquet-QCA计算宇宙

定义3.1（源理论§3.1）：

一个Floquet-QCA计算宇宙对象是四元组

$$\boxed{U_{\mathrm{FQCA}}=(X,U_F,{\mathsf{C}}_T,\mathsf{I})}$$

四元组含义：

事件层表示： 一次Floquet演化步骤在事件层$E=X\times \mathbb{Z}$上表示为：

$$(x,n)\mapsto (y,n+1),⟨y|U_F|x⟩\ne 0$$

其中$n$为离散时间标签（第几个周期）。

Mermaid Floquet-QCA对象

graph TD
    A["Floquet-QCA对象<br/>U_FQCA"] --> B["配置空间X"]
    A --> C["Floquet算子U_F"]
    A --> D["复杂性C_T"]
    A --> E["信息函数I"]

    B --> B1["Hilbert空间basis<br/>ket x"]
    C --> C1["周期T<br/>酉演化"]
    D --> D1["时间刻度代价<br/>kappa_F积分"]
    E --> E1["任务质量<br/>观测量期望"]

    F["事件层<br/>E = X × Z"] --> G["(x,n) → (y,n+1)"]
    B --> F
    C --> G

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

日常类比：

• $X$：所有可能的“量子棋局“配置
• $U_F$：每个“回合“的走子规则（包含驱动）
• ${\mathsf{C}}_T$：每回合的“计算时间“
• $\mathsf{I}$：当前棋局的“战略价值“

3.2 离散时间平移对称性

在Floquet-QCA中，时间平移是离散的，生成元为$U_F$：

$$\text{时间平移：}n\mapsto n+1$$

对应演化： $$|{\psi }_n⟩=U_F^n|{\psi }_0⟩$$

时间平移群：$\mathbb{Z}$（整数加法群），作用为$n\mapsto n+1$。

对称性： 若系统哈密顿量（或演化算子）对所有时间平移不变，称具有时间平移对称性。

自发破缺： 系统演化算子$U_F$具有对称性，但某些初态的演化轨迹不具有完整对称性。

Mermaid时间平移对称性

graph LR
    A["时间平移群Z"] --> B["生成元<br/>n → n+1"]
    B --> C["演化算子<br/>U_F"]

    C --> D1["对称态<br/>U_F psi = psi"]
    C --> D2["对称破缺态<br/>U_F^m psi = psi<br/>(m > 1)"]

    D1 --> E1["周期T<br/>普通Floquet"]
    D2 --> E2["周期mT<br/>时间晶体"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D1 fill:#e1ffe1
    style D2 fill:#ffcccc
    style E1 fill:#f0f0f0
    style E2 fill:#ffe1f5

3.3 时间晶体的严格定义

定义3.2（源理论§3.2）：

在Floquet-QCA计算宇宙$U_{\mathrm{FQCA}}$中，若存在：

1. 局域可观测量$O$（例如局域算符$O_x$只作用于有限区域）
2. 整数$m\ge 2$
3. 初态族${\mathcal{R}}_0$（满足有限密度与有限相关长度条件）

使得：

(条件1) 长期周期性： 对几乎所有${\rho }_0\in {\mathcal{R}}_0$，存在足够大的$n_0$使得对所有$n\ge n_0$有

$$\boxed{⟨O{⟩}_{n+m}=⟨O{⟩}_n}$$

其中 $$⟨O{⟩}_n=\mathrm{tr}({\rho }_0{U}_F^{†n}O{U}_F^n)$$

(条件2) 极小周期性： 不存在$1\le m^{\prime }<m$使得同样条件成立。

则称$U_{\mathrm{FQCA}}$处于周期$mT$的时间晶体相。

特别情形：$m=2$称为周期翻倍时间晶体。

Mermaid时间晶体定义

graph TD
    A["Floquet-QCA<br/>U_FQCA"] --> B["局域可观测量O"]
    A --> C["初态族R_0"]

    B --> D["演化序列<br/>O_n = tr(rho_0 U_F^n O U_F^-n)"]
    C --> D

    D --> E{" 存在周期m? "}

    E -->|"O_n+m = O_n<br/>m=1"| F["普通Floquet<br/>无对称性破缺"]
    E -->|"O_n+m = O_n<br/>m≥2"| G["时间晶体<br/>对称性破缺"]

    G --> G1["m=2<br/>周期翻倍"]
    G --> G2["m=3,4,...<br/>高阶周期"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffcccc
    style F fill:#f0f0f0
    style G fill:#ffe1f5
    style G1 fill:#ffaaaa

日常类比：

• $O$：某个局部区域的“测量仪“（如测量某个自旋）
• $⟨O{⟩}_n$：第$n$个回合测量仪的读数
• 周期$m=2$：读数每两个回合重复一次（而非每回合）

4. 周期翻倍机制：准能量带的对称分裂

4.1 两子空间模型

考虑最简单的周期翻倍时间晶体模型：Hilbert空间分解为两个子空间

$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_A\oplus {\mathcal{H}}_B$$

Floquet算子的作用：

$$U_F:\{\begin{array}{l}{\mathcal{H}}_A\to {\mathcal{H}}_B\\ {\mathcal{H}}_B\to {\mathcal{H}}_A\end{array}$$

因此：

• 一个周期：$U_F$将${\mathcal{H}}_A$映射到${\mathcal{H}}_B$
• 两个周期：$U_F^2$将${\mathcal{H}}_A$映射回${\mathcal{H}}_A$

局域可观测量： 选择$O$使得$⟨O{⟩}_{{\mathcal{H}}_A}\ne ⟨O{⟩}_{{\mathcal{H}}_B}$。

结果： $$⟨O{⟩}_n=\{\begin{array}{ll}⟨O{⟩}_A,& n\text{偶数}\\ ⟨O{⟩}_B,& n\text{奇数}\end{array}$$

周期为$2$！

Mermaid两子空间交替

graph LR
    A["子空间H_A"] -->|"U_F"| B["子空间H_B"]
    B -->|"U_F"| A

    A1["可观测量<br/>O_A"] -.->|"期望值"| A
    B1["可观测量<br/>O_B"] -.->|"期望值"| B

    C["周期n=0,2,4,...<br/>O_n = O_A"] -.-> A
    D["周期n=1,3,5,...<br/>O_n = O_B"] -.-> B

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#e1ffe1
    style D fill:#ffe1f5

4.2 准能量带的π/T分裂

在更一般的模型中，两子空间对应准能量带的分裂。

关键条件（源理论§3.3）： 存在两条准能量带${\epsilon }_{\alpha }(k)$和${\epsilon }_{\beta }(k)$满足

$${\epsilon }_{\beta }(k)\approx {\epsilon }_{\alpha }(k)+\frac{\pi }{T}$$

物理意义：

• 准能量差$\pi /T$对应相位差$\pi$（在周期$T$内）
• 两个周期后，相位差累积为$2\pi$（回到原位）

准能量谱与时间晶体：

$$U_F=\sum _{\alpha }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}|{\psi }_{\alpha }⟩⟨{\psi }_{\alpha }|$$

若${\epsilon }_{\beta }={\epsilon }_{\alpha }+\pi /T$，则：

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\beta }T}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}({\epsilon }_{\alpha }+\pi /T)T}=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}$$

一个周期后相位反号！

Mermaid准能量分裂

graph TD
    A["准能量谱"] --> B["能带alpha<br/>epsilon_alpha"]
    A --> C["能带beta<br/>epsilon_beta = epsilon_alpha + pi/T"]

    B --> D["相位<br/>exp(-i epsilon_alpha T)"]
    C --> E["相位<br/>exp(-i epsilon_beta T) = -exp(-i epsilon_alpha T)"]

    D --> F["一周期<br/>相位不变"]
    E --> G["一周期<br/>相位反号"]

    F -.->|"普通Floquet"| H["周期T"]
    G -.->|"时间晶体"| I["周期2T"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style H fill:#f0f0f0
    style I fill:#ffe1f5

日常类比：

• 准能量：摆钟的“等效频率“
• $\pi /T$分裂：两个摆钟频率相差半拍
• 相位反号：每驱动一次，两钟相位关系翻转
• 周期翻倍：需要两次驱动才让两钟同步回原位

4.3 自发对称性破缺的微观图像

对称性算符： 离散时间平移${\mathcal{T}}_1:n\mapsto n+1$。

对称态： $$U_F|{\psi }_{\mathrm{sym}}⟩=|{\psi }_{\mathrm{sym}}⟩$$ （准能量$\epsilon =0$）

对称性破缺态： $$U_F|{\psi }_{\mathrm{SSB}}⟩=-|{\psi }_{\mathrm{SSB}}⟩$$ （准能量$\epsilon =\pi /T$）

两周期后： $$U_F^2|{\psi }_{\mathrm{SSB}}⟩=|{\psi }_{\mathrm{SSB}}⟩$$

基态简并： 在理想情况下，两个对称性破缺态$|{\psi }_{+}⟩$和$|{\psi }_{-}⟩$能量相同（或准能量相差$\pi /T$），形成简并。

初态制备： 若初态为$|{\psi }_{+}⟩$或$|{\psi }_{-}⟩$的某个叠加，演化将呈现周期$2T$振荡。

5. 自旋链Floquet-QCA模型实例

5.1 模型定义

考虑一维自旋链（源理论附录A.1）：

格点：$\Lambda =\mathbb{Z}$（一维链）

局域Hilbert空间：${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^2$（每个格点一个自旋-1/2）

全局Hilbert空间：$\mathcal{H}={⨂}_{x\in \mathbb{Z}}{\mathbb{C}}^2$

两步Floquet演化： $$U_F=U_2{U}_1$$

其中：

第一步$U_1$：偶-奇格之间作用的成对自旋翻转门 $$U_1=\prod _{x\text{偶}}\exp \left(-\mathrm{i}J{\sigma }_x^z{\sigma }_{x+1}^z\right)$$

第二步$U_2$：奇-偶格之间作用的类似门 $$U_2=\prod _{x\text{奇}}\exp \left(-\mathrm{i}{J}^{\prime }{\sigma }_x^z{\sigma }_{x+1}^z\right)$$

参数：$J,J^{\prime }$为耦合强度。

Mermaid自旋链Floquet演化

graph LR
    A["自旋链<br/>...x-1, x, x+1, x+2..."] --> B["第一步U_1<br/>偶-奇对"]
    B --> C["第二步U_2<br/>奇-偶对"]
    C --> D["一个周期U_F=U_2 U_1"]

    B --> B1["格点对<br/>(0,1), (2,3), ..."]
    C --> C1["格点对<br/>(1,2), (3,4), ..."]

    E["自旋算符<br/>sigma_x^z"] -.->|"耦合"| B
    E -.->|"耦合"| C

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1

5.2 时间晶体相的存在性

定理A.1（源理论附录A.2）：

在上述自旋链Floquet-QCA模型中，存在参数区域$(J,J^{\prime })$与初态族${\mathcal{R}}_0$（例如自发对称破缺的反铁磁态混合），使得存在局域可观测量$O={\sigma }_0^z$满足时间晶体条件，周期为$2T$。

直观理解：

1. 初态：反铁磁序$|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \cdots ⟩$
2. 第一步$U_1$：翻转部分自旋对，形成$|\downarrow \uparrow \downarrow \uparrow \cdots ⟩$
3. 第二步$U_2$：再次翻转，回到$|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \cdots ⟩$
4. 可观测量：$⟨{\sigma }_0^z⟩$在奇偶周期交替取值

稳定性： 该时间晶体相在参数调节、局域噪声下是鲁棒的，只要满足：

• Floquet能隙${\Delta }_{\mathrm{F}}>0$
• 噪声相关长度有限

5.3 数值验证方案

步骤1：制备初态 $${\rho }_0=|\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \cdots ⟩⟨\uparrow \downarrow \uparrow \downarrow \cdots |$$

步骤2：Floquet演化 $${\rho }_n=U_F^n{\rho }_0{U}_F^{†n}$$

步骤3：测量可观测量 $$⟨{\sigma }_0^z{⟩}_n=\mathrm{tr}({\rho }_n{\sigma }_0^z)$$

步骤4：检验周期性 判断$⟨{\sigma }_0^z{⟩}_n$是否满足： $$⟨{\sigma }_0^z{⟩}_{n+2}=⟨{\sigma }_0^z{⟩}_n$$

预期结果：

• 对$n=0,2,4,\dots$：$⟨{\sigma }_0^z{⟩}_n=+1$
• 对$n=1,3,5,\dots$：$⟨{\sigma }_0^z{⟩}_n=-1$

Mermaid数值验证流程

graph TD
    A["制备初态<br/>rho_0"] --> B["Floquet演化<br/>U_F^n"]
    B --> C["测量可观测量<br/>sigma_z"]
    C --> D["记录序列<br/>O_n, n=0,1,2,..."]

    D --> E{" 检验周期? "}

    E -->|"O_n+2 = O_n"| F["时间晶体相<br/>周期2T"]
    E -->|"O_n+1 = O_n"| G["普通Floquet<br/>周期T"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffcccc
    style F fill:#aaffaa
    style G fill:#f0f0f0

6. 计算宇宙视角的独特洞察

6.1 事件层的离散时间结构

在计算宇宙框架中，时间不是连续参数，而是事件层$E=X\times \mathbb{Z}$上的离散标签$n$。

Floquet演化： $$(x,n)\to (y,n+1),⟨y|U_F|x⟩\ne 0$$

时间晶体： 事件层上的“超周期“结构——相隔$m$步的事件等价。

Mermaid事件层结构

graph TD
    A["事件层<br/>E = X × Z"] --> B["时间切片<br/>n=0"]
    A --> C["时间切片<br/>n=1"]
    A --> D["时间切片<br/>n=2"]
    A --> E["时间切片<br/>n=3"]

    B --> B1["配置x_0"]
    C --> C1["配置x_1"]
    D --> D1["配置x_2"]
    E --> E1["配置x_3"]

    B1 -->|"U_F"| C1
    C1 -->|"U_F"| D1
    D1 -->|"U_F"| E1

    F["时间晶体<br/>x_0 ≈ x_2 ≈ x_4..."] -.-> B1
    F -.-> D1

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

6.2 复杂性几何中的时间晶体

复杂性代价${\mathsf{C}}_T$由统一时间刻度积分给出：

$${\mathsf{C}}_T={\int }_{{\Omega }_F}{w}_F(\omega ){\kappa }_F(\omega )\mathrm{d}\omega$$

时间晶体的复杂性特征：

• 单周期代价${\mathsf{C}}_T$固定
• 但“有效周期“为$m{\mathsf{C}}_T$（$m=2$时为$2{\mathsf{C}}_T$）

复杂性几何解释： 时间晶体对应控制流形$(\mathcal{M},G)$上的特殊闭合回路，其复杂性增量与时间增量解耦。

6.3 与因果菱形链的联系

每个Floquet周期$\leftrightarrow$一颗因果菱形${◊}_{F,k}$

钻石链： $$\{{◊}_{F,k}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$$

时间晶体： 钻石链上的“马尔可夫非全序“结构——每隔$m$颗钻石形成一个完整周期。

这将在下一章（02-Z₂和乐）中详细展开。

7. 本章总结

7.1 核心概念回顾

Floquet-QCA对象： $$U_{\mathrm{FQCA}}=(X,U_F,{\mathsf{C}}_T,\mathsf{I})$$

时间晶体定义： $$⟨O{⟩}_{n+m}=⟨O{⟩}_n,m\ge 2$$

准能量谱条件： $${\epsilon }_{\beta }\approx {\epsilon }_{\alpha }+\frac{\pi }{T}$$

自旋链模型： $$U_F=U_2{U}_1,U_1=\prod _{x\text{偶}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}J{\sigma }_x^z{\sigma }_{x+1}^z}$$

7.2 关键洞察

1. 离散时间平移对称性破缺： 时间晶体是$\mathbb{Z}\to m\mathbb{Z}$的自发对称性破缺

2. 准能量带分裂是微观机制： ${\epsilon }_{\beta }-{\epsilon }_{\alpha }=\pi /T$导致相位翻转

3. 计算宇宙提供离散化框架： 事件层$E=X\times \mathbb{Z}$，复杂性代价${\mathsf{C}}_T$

4. 自旋链模型可实现： 两步Floquet演化$U_F=U_2{U}_1$在适当参数下展现周期翻倍

7.3 下一章预告

下一章（02-time-crystal-z2.md）将讨论：

• Null-Modular双覆盖在Floquet链上的实现
• 模2相位标签${ϵ}_F$
• Z₂和乐与时间晶体奇偶的精确对应
• 定理4.1的证明

核心公式预告： $$\boxed{\text{周期翻倍时间晶体}\iff {\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1}$$

本章结束

源理论：euler-gls-info/17-time-crystals-null-modular-z2-holonomy.md，§2-3