第二章：Z₂和乐与时间晶体奇偶标签

源理论：euler-gls-info/17-time-crystals-null-modular-z2-holonomy.md，§4；附录B-C

引言

在上一章中，我们建立了Floquet-QCA框架，并看到周期翻倍时间晶体源于准能量带的$\pi /T$分裂。但有一个深层问题尚未回答：

这种“周期翻倍“有没有拓扑不变量来刻画？

答案是肯定的！通过Null-Modular双覆盖与Z₂和乐（holonomy），我们可以将时间晶体的周期奇偶提升为一个拓扑不变量。

本章核心内容：

1. 将Floquet周期视为因果菱形链
2. 构造Null-Modular双覆盖空间
3. 定义Z₂和乐${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)$
4. 证明：周期翻倍$\iff$和乐非平凡

日常类比：

• Möbius带：走一圈回到原位但“上下翻转“（Z₂和乐=1）
• 普通圆环：走一圈回到原位且方向不变（Z₂和乐=0）
• 时间晶体的Floquet演化就像Möbius带：每走一周期翻转一次！

1. Floquet周期作为因果菱形链

1.1 回顾：因果菱形的定义

在第21章（因果菱形链理论）中，我们定义了因果菱形（causal diamond）：

$$D(p_{\mathrm{past}},p_{\mathrm{future}})=J^{+}(p_{\mathrm{past}})\cap J^{-}(p_{\mathrm{future}})$$

其中$J^{+}$为因果未来，$J^{-}$为因果过去。

Null边界双层分解： $$\tilde{E}=E^{+}\bigsqcup E^{-}$$

模哈密顿量： $$K_D=2\pi \sum _{\sigma =\pm }{\int }_{E^{\sigma }}{g}_{\sigma }(\lambda ,x_{\perp })T_{\sigma \sigma }(\lambda ,x_{\perp })\mathrm{d}\lambda {\mathrm{d}}^{d-2}{x}_{\perp }$$

Mermaid因果菱形回顾

graph TD
    A["过去顶点<br/>p_past"] --> B["菱形体积<br/>D"]
    B --> C["未来顶点<br/>p_future"]

    B --> D["Null边界<br/>tilde E"]
    D --> E["正层E+"]
    D --> F["负层E-"]

    G["模哈密顿量<br/>K_D"] -.->|"双层积分"| E
    G -.->|"双层积分"| F

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

1.2 Floquet周期钻石

核心想法（源理论§4.1）：将单个Floquet周期视为一颗因果菱形。

具体构造：

• 钻石内部顶点：在复杂性预算$T$内从某个初态层到下一层的事件集合
• 钻石边界：周期初末事件
• 钻石体积演化：由$U_F$的局域分解给出
• 边界算子：${\mathsf{K}}_{{◊}_F}$与$U_F$在边界上的作用同构

形式化定义： $${◊}_F:=\{(x,t):x\in X,t\in [0,T]\}$$

其边界为：

• 初边界：${\partial }_{\mathrm{in}}{◊}_F=X\times \{0\}$
• 末边界：${\partial }_{\mathrm{out}}{◊}_F=X\times \{T\}$

Mermaid Floquet周期钻石

graph TD
    A["初边界<br/>t=0, X"] --> B["Floquet钻石<br/>Diamond_F"]
    B --> C["末边界<br/>t=T, X"]

    B --> D["内部演化<br/>U_F = T exp(-i int H dt)"]

    E["统一时间刻度<br/>Delta tau"] -.->|"积分"| D

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1

日常类比：

• 因果菱形：从起点到终点的“可达区域“
• Floquet周期钻石：驱动一个周期内量子系统的“演化锥“
• 边界：周期的开始和结束时刻

1.3 Floquet钻石链

若系统在时间上重复驱动，事件层上形成一条Floquet钻石链：

$$\{{◊}_{F,k}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$$

其中${◊}_{F,k}$对应第$k$个Floquet周期（$k$为整数）。

链的连接：

• ${◊}_{F,k}$的末边界 = ${◊}_{F,k+1}$的初边界

统一时间刻度增量（源理论§4.1）： 对每个${◊}_{F,k}$，定义平均统一时间刻度增量：

$$\Delta {\tau }_k={\int }_{{\Omega }_F}{w}_F(\omega ){\kappa }_F(\omega )\mathrm{d}\omega$$

在周期稳定情况下，$\Delta {\tau }_k\equiv \Delta \tau$与物理周期$T$成比例。

Mermaid Floquet钻石链

graph LR
    A["Diamond_k-1"] --> B["Diamond_k"]
    B --> C["Diamond_k+1"]
    C --> D["Diamond_k+2"]

    E["周期T<br/>Delta tau"] -.->|"每个钻石"| A
    E -.-> B
    E -.-> C
    E -.-> D

    F["无限链<br/>k in Z"] -.-> B

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

2. 模2时间相位标签

2.1 散射相位与模π约化

在第21章（21-causal-diamond-chain/02-null-modular-double-cover.md）中，我们引入了π-step量化：

当散射矩阵$S(\omega )$的极点穿越实轴时，相位跳变$\pm \pi$：

$$\Delta \phi =\pm \pi$$

定义模2标签： $$ϵ=\lfloor \frac{\Delta \phi }{\pi }\rfloor \mathrm{mod}2\in \{0,1\}$$

物理意义：

• $ϵ=0$：相位增量为$0$或$2\pi$的整数倍（偶数个$\pi$）
• $ϵ=1$：相位增量为$\pi$的奇数倍

Mermaid π-step量化回顾

graph TD
    A["散射相位<br/>varphi(omega)"] --> B["相位增量<br/>Delta varphi"]

    B --> C{" Delta varphi mod 2pi? "}

    C -->|"0, 2pi, 4pi..."| D["epsilon = 0<br/>偶数"]
    C -->|"pi, 3pi, 5pi..."| E["epsilon = 1<br/>奇数"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#ffcccc
    style D fill:#e1ffe1
    style E fill:#ffe1f5

2.2 Floquet相位标签

对Floquet演化算子$U_F$，定义有效相位增量（源理论§4.2）：

$$\Delta {\phi }_F=\arg \det U_F$$

模2 Floquet标签： $$\boxed{{ϵ}_F=\lfloor \frac{\arg \det U_F}{\pi }\rfloor \mathrm{mod}2}$$

与准能量的关系： $$\det U_F=\prod _{\alpha }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}$$

因此： $$\arg \det U_F=-T\sum _{\alpha }{\epsilon }_{\alpha }\mathrm{mod}2\pi$$

准能量带分裂的影响： 若存在两条带满足${\epsilon }_{\beta }={\epsilon }_{\alpha }+\pi /T$，则：

$${\epsilon }_{\beta }T={\epsilon }_{\alpha }T+\pi$$

对行列式相位的贡献差$\pi$！

Mermaid Floquet相位标签

graph TD
    A["Floquet算子<br/>U_F"] --> B["行列式<br/>det U_F"]
    B --> C["相位<br/>arg det U_F"]

    C --> D["模pi约化<br/>floor(arg/pi) mod 2"]
    D --> E["Z_2标签<br/>epsilon_F in {0,1}"]

    F["准能量谱<br/>epsilon_alpha"] -.->|"求和"| C

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

日常类比：

• $\arg \det U_F$：Floquet演化的“总转角“
• 模$\pi$约化：判断转角是“偶数个半圈“还是“奇数个半圈“
• ${ϵ}_F$：奇偶标签（0=偶，1=奇）

2.3 链上的总奇偶

对Floquet钻石链$\{{◊}_{F,k}{\}}_{k=1}^N$（$N$个周期），定义总奇偶：

$${\Sigma }_N=\sum _{k=1}^N{ϵ}_F\mathrm{mod}2=N{ϵ}_F\mathrm{mod}2$$

两种情况：

(1) ${ϵ}_F=0$（平凡）： $${\Sigma }_N=0,\forall N$$

(2) ${ϵ}_F=1$（非平凡）： $${\Sigma }_N=N\mathrm{mod}2=\{\begin{array}{ll}0,& N\text{偶数}\\ 1,& N\text{奇数}\end{array}$$

时间晶体的关联： ${ϵ}_F=1$意味着每个周期奇偶翻转一次，两个周期才回到原奇偶——这正是周期翻倍的特征！

3. Null-Modular双覆盖空间

3.1 双覆盖的拓扑构造

双覆盖定义（回顾21章）： 设基空间$\mathfrak{D}$为Floquet钻石链。其Null-Modular双覆盖${\tilde{\mathfrak{D}}}_F$定义为：

$${\tilde{\mathfrak{D}}}_F=\mathfrak{D}\times \{+,-\}$$

投影映射： $$\pi :{\tilde{\mathfrak{D}}}_F\to \mathfrak{D},(◊,\sigma )\mapsto ◊$$

其中$\sigma \in \{+,-\}$为覆盖索引（layer index）。

Z₂作用： $${\mathbb{Z}}_2=\{e,\tau \},\tau (◊,\sigma )=(◊,-\sigma )$$

$\tau$交换两层。

Mermaid双覆盖结构

graph TD
    A["基空间<br/>D (钻石链)"] --> B["双覆盖<br/>tilde D_F"]

    B --> C["上层<br/>(Diamond, +)"]
    B --> D["下层<br/>(Diamond, -)"]

    E["投影<br/>pi"] -.->|"(Diamond, sigma) → Diamond"| A

    F["Z_2作用<br/>tau"] -.->|"交换层"| C
    F -.-> D

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

日常类比：

• 基空间：楼梯
• 双覆盖：楼梯两侧的扶手（左右两层）
• Z₂作用：从左扶手跳到右扶手

3.2 路径提升与连接规则

基空间中的路径： 设$\gamma :[0,1]\to \mathfrak{D}$为基空间中的连续路径（Floquet控制回路）。

提升路径： 双覆盖中的路径$\tilde{\gamma }:[0,1]\to {\tilde{\mathfrak{D}}}_F$满足：

$$\pi \circ \tilde{\gamma }=\gamma$$

连接规则（源理论§4.2）： 从$({◊}_k,{\sigma }_k)$到$({◊}_{k+1},{\sigma }_{k+1})$的连接由${ϵ}_F$决定：

• 若${ϵ}_F=0$：${\sigma }_{k+1}={\sigma }_k$（同层传播）
• 若${ϵ}_F=1$：${\sigma }_{k+1}=-{\sigma }_k$（换层传播）

Mermaid路径提升

graph LR
    A["基空间路径<br/>gamma: Diamond_k → Diamond_k+1"] --> B["双覆盖提升<br/>tilde gamma"]

    B --> C1["epsilon_F = 0<br/>同层"]
    B --> C2["epsilon_F = 1<br/>换层"]

    C1 --> D1["(Diamond_k, +) → (Diamond_k+1, +)"]
    C2 --> D2["(Diamond_k, +) → (Diamond_k+1, -)"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C1 fill:#e1ffe1
    style C2 fill:#ffe1f5
    style D1 fill:#f0fff0
    style D2 fill:#fff0f0

日常类比：

• ${ϵ}_F=0$：楼梯一直在左扶手走
• ${ϵ}_F=1$：每上一层楼切换一次左右扶手

3.3 闭合路径与和乐

闭合路径： 基空间中的闭合Floquet控制回路${\Gamma }_F$满足$\gamma (0)=\gamma (1)$。

提升路径的终点： 双覆盖中，提升路径$\tilde{\gamma }$的终点为：

$$\tilde{\gamma }(1)=(\gamma (1),{\sigma }_{\mathrm{end}})$$

其中${\sigma }_{\mathrm{end}}$依赖于路径。

Z₂和乐定义（源理论§4.2）： $$\boxed{{\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F):=\{\begin{array}{ll}0,& \text{若}{\sigma }_{\mathrm{end}}={\sigma }_{\mathrm{start}}\\ 1,& \text{若}{\sigma }_{\mathrm{end}}=-{\sigma }_{\mathrm{start}}\end{array}}$$

计算公式： 对$N$周期闭合回路：

$${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=\sum _{k=1}^N{ϵ}_F\mathrm{mod}2=N{ϵ}_F\mathrm{mod}2$$

两种情况：

Mermaid和乐计算

graph TD
    A["闭合回路<br/>N个周期"] --> B["每周期标签<br/>epsilon_F"]

    B --> C["累加<br/>Sigma = N * epsilon_F mod 2"]

    C --> D{" Sigma = ? "}

    D -->|"Sigma = 0"| E["和乐 = 0<br/>平凡"]
    D -->|"Sigma = 1"| F["和乐 = 1<br/>非平凡"]

    E --> G1["回到同层"]
    F --> G2["切换到异层"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#ffcccc
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

4. 时间晶体奇偶与Z₂和乐的对应

4.1 核心定理陈述

定理4.1（源理论§4.3）：

设$U_{\mathrm{FQCA}}$是满足以下条件的Floquet-QCA计算宇宙对象：

(条件1) 均匀体积极限： 存在均匀体积极限与有限相关长度的初态族${\mathcal{R}}_0$。

(条件2) Floquet能隙： 准能量谱存在能隙${\Delta }_{\mathrm{F}}>0$，并存在两个带${\epsilon }_{\alpha },{\epsilon }_{\beta }$满足：

$${\epsilon }_{\beta }\approx {\epsilon }_{\alpha }+\frac{\pi }{T}$$

(条件3) 非平凡和乐： 在对应的控制流形闭合回路${\Gamma }_F$上，Null-Modular双覆盖和乐非平凡：

$${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1$$

结论（“若“方向）： 则$U_{\mathrm{FQCA}}$处于周期$2T$的时间晶体相。

结论（“仅若“方向）： 反之，在上述正则性条件下，若$U_{\mathrm{FQCA}}$处于稳健的周期$2T$时间晶体相，则相应Floquet控制闭回路的Null-Modular和乐为非平凡元。

核心对应： $$\boxed{\text{周期翻倍时间晶体}(m=2)\iff {\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1}$$

Mermaid定理结构

graph TD
    A["Floquet-QCA<br/>U_FQCA"] --> B["条件1<br/>均匀体积极限"]
    A --> C["条件2<br/>能隙Delta_F > 0<br/>带分裂pi/T"]
    A --> D["条件3<br/>Z_2和乐 = 1"]

    B --> E["定理4.1"]
    C --> E
    D --> E

    E --> F["周期2T<br/>时间晶体"]

    F -.->|"反向<br/>充要条件"| D

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffcccc
    style F fill:#aaffaa

4.2 “若“方向证明思路

证明纲要（源理论附录C）：

步骤1：非平凡和乐的代数意义

${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1$意味着控制回路在双覆盖中翻转索引。

存在某个${\mathbb{Z}}_2$标签在一周期中翻转一次，两周期中翻转两次回到原态。

步骤2：准能量谱的对应

能带分裂${\epsilon }_{\beta }={\epsilon }_{\alpha }+\pi /T$导致：

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\beta }T}=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\epsilon }_{\alpha }T}$$

一个周期后相位反号。

步骤3：构造局域可观测量

取Floquet子空间${\mathcal{H}}_{\alpha }$和${\mathcal{H}}_{\beta }$对应两条带。

定义局域可观测量$O$使得： $$⟨O{⟩}_{{\mathcal{H}}_{\alpha }}=+a,⟨O{⟩}_{{\mathcal{H}}_{\beta }}=-a$$

步骤4：演化轨迹

初态${\rho }_0$在两子空间的相干叠加下演化为：

$${\rho }_n=\frac{1}{2}(|\alpha ⟩⟨\alpha |+(-1{)}^n|\beta ⟩⟨\beta |+\text{交叉项})$$

期望值： $$⟨O{⟩}_n=a(-1{)}^n$$

周期为$2$！

Mermaid证明流程

graph TD
    A["Z_2和乐 = 1"] --> B["双覆盖索引翻转"]
    B --> C["相位标签epsilon_F = 1"]
    C --> D["准能量带分裂<br/>epsilon_beta = epsilon_alpha + pi/T"]

    D --> E["相位反号<br/>exp(-i epsilon_beta T) = -exp(-i epsilon_alpha T)"]

    E --> F["子空间交替<br/>H_alpha <--> H_beta"]

    F --> G["可观测量振荡<br/>O_n = a(-1)^n"]

    G --> H["周期2T<br/>时间晶体"]

    style A fill:#e1f5ff
    style D fill:#ffe1e1
    style E fill:#f5e1ff
    style F fill:#fff4e1
    style G fill:#e1ffe1
    style H fill:#aaffaa

4.3 “仅若“方向证明思路

步骤1：时间晶体的拓扑必然性

周期翻倍意味着存在某个${\mathbb{Z}}_2$结构在每周期翻转。

这要求Floquet-QCA动力学在拓扑上等价于双覆盖中的非平凡闭合路径。

步骤2：反证法

若${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=0$（平凡），则不存在全局奇偶翻转结构。

任何局域可观测量在每周期后回到原值，不存在周期翻倍。

步骤3：自参照与拓扑复杂性

时间晶体的周期翻倍本质是一种自参照反馈：系统需要“记住“自己处于奇偶周期的哪一个。

这种自参照结构在双覆盖上表现为非平凡和乐。

完整形式化： 需要构造从Floquet谱到控制双覆盖的映射与相因子，限于篇幅不展开。

5. 与自参照网络的联系

5.1 自参照奇偶公式

在第21章（21-causal-diamond-chain/02-null-modular-double-cover.md§6）中，我们建立了自参照网络奇偶与Z₂和乐的对应：

$$\sigma (\gamma )={\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\gamma }_{◊})$$

其中：

• $\sigma (\gamma )$：自参照网络$\Gamma$中回路$\gamma$的奇偶标签
• ${\gamma }_{◊}$：对应的因果菱形链闭合回路

在Floquet时间晶体中的体现：

时间晶体的Floquet控制回路${\Gamma }_F$可视为一个自参照网络：

• 节点：每个Floquet周期
• 边：周期间的演化$U_F$
• 自参照结构：周期$n$的状态依赖于周期$n-1$，形成闭环

奇偶标签： $$\sigma ({\Gamma }_F)={\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)$$

周期翻倍的自参照解释：

• $\sigma =0$：系统无自参照反馈，每周期独立
• $\sigma =1$：系统有自参照反馈，需要两周期才“记住“初始状态

Mermaid自参照网络

graph TD
    A["Floquet控制回路<br/>Gamma_F"] --> B["自参照网络<br/>Gamma"]

    B --> C["节点<br/>Floquet周期"]
    B --> D["边<br/>演化U_F"]
    B --> E["闭环<br/>周期性驱动"]

    F["自参照奇偶<br/>sigma(Gamma)"] --> G["Z_2和乐<br/>hol(Gamma_Diamond)"]

    A -.->|"对应"| G

    G --> H{" hol = ? "}
    H -->|"hol = 0"| I["无自参照<br/>周期T"]
    H -->|"hol = 1"| J["有自参照<br/>周期2T"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style F fill:#f5e1ff
    style G fill:#fff4e1
    style H fill:#ffcccc
    style I fill:#f0f0f0
    style J fill:#ffe1f5

5.2 费米子双值性的类比

费米子双值性： 费米子波函数在旋转$2\pi$后获得相位$-1$（而非$+1$）：

$$\psi (\theta +2\pi )=-\psi (\theta )$$

需要旋转$4\pi$才回到原态！

时间晶体类比： 时间晶体在驱动一个周期$T$后获得“相位翻转“（子空间交换），需要驱动$2T$才回到原态。

拓扑起源： 两者都源于双覆盖空间的非平凡和乐：

• 费米子：配置空间的spin double cover
• 时间晶体：Floquet控制空间的Null-Modular double cover

Mermaid费米子类比

graph LR
    A["费米子"] --> A1["旋转2pi<br/>相位-1"]
    A1 --> A2["旋转4pi<br/>回到原态"]

    B["时间晶体"] --> B1["驱动T<br/>子空间交换"]
    B1 --> B2["驱动2T<br/>回到原态"]

    C["拓扑起源"] -.->|"spin double cover"| A
    C -.->|"Null-Modular double cover"| B

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style A1 fill:#f5e1ff
    style B1 fill:#fff4e1
    style A2 fill:#e1ffe1
    style B2 fill:#ffe1f5
    style C fill:#ffcccc

日常类比：

• 费米子：Möbius带上的蚂蚁，爬一圈（$2\pi$）回到原位但“上下颠倒“
• 时间晶体：Möbius时间轴，走一个周期回到“对面“，走两个周期才回原位

6. 拓扑不可判定性

6.1 Null-Modular停机问题

在第21章（21-causal-diamond-chain/02-null-modular-double-cover.md§7）中，我们讨论了Null-Modular停机问题：

问题：给定因果菱形链，判定其Z₂和乐${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}(\gamma )$是否为零是不可判定的（undecidable）。

在时间晶体中的体现：

判定一个给定的Floquet系统是否处于时间晶体相，本质上等价于判定其Z₂和乐。

不可判定性定理： 存在Floquet-QCA模型，其时间晶体相的存在性问题是算法不可判定的。

证明思路：

• 构造自参照网络$\Gamma$使$\sigma (\gamma )={\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\gamma }_{◊})$
• 利用自参照停机问题的不可判定性
• 通过拓扑映射归约到Z₂和乐判定

实际意义： 这不意味着所有时间晶体都无法判定！只是说存在“病态“模型无法算法判定。

实际物理模型（如自旋链）的时间晶体相可通过数值模拟、实验测量判定。

6.2 拓扑保护与鲁棒性

拓扑不变量的优势：

Z₂和乐作为拓扑不变量，对局域扰动是鲁棒的：

• 小幅度改变$U_F$不改变${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}$
• 局域噪声不破坏时间晶体相（只要能隙${\Delta }_{\mathrm{F}}$保持）

相变条件：

只有当扰动闭合能隙时，Z₂和乐才可能改变：

$${\Delta }_{\mathrm{F}}\to 0\Rightarrow \text{可能发生相变}$$

Mermaid拓扑保护

graph TD
    A["时间晶体相<br/>hol = 1"] --> B["局域扰动<br/>小幅改变U_F"]

    B --> C{" 能隙闭合? "}

    C -->|"否<br/>Delta_F > 0"| D["拓扑保护<br/>hol保持=1"]
    C -->|"是<br/>Delta_F → 0"| E["可能相变<br/>hol可能→0"]

    D --> F["时间晶体稳定"]
    E --> G["进入普通Floquet相"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#ffcccc
    style D fill:#aaffaa
    style E fill:#ffaaaa
    style F fill:#e1ffe1
    style G fill:#f0f0f0

7. 本章总结

7.1 核心概念回顾

Floquet周期钻石： $${◊}_F:=\{(x,t):x\in X,t\in [0,T]\}$$

模2相位标签： $${ϵ}_F=\lfloor \frac{\arg \det U_F}{\pi }\rfloor \mathrm{mod}2$$

Z₂和乐： $${\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=N{ϵ}_F\mathrm{mod}2$$

核心定理： $$\boxed{\text{周期翻倍时间晶体}\iff {\mathrm{hol}}_{{\mathbb{Z}}_2}({\Gamma }_F)=1}$$

7.2 关键洞察

1. 拓扑不变量的地位： Z₂和乐提供了时间晶体周期奇偶的拓扑刻画，独立于微观细节。

2. 双覆盖的几何实现： Null-Modular双覆盖将抽象的Z₂标签具象为几何空间的“两层“结构。

3. 自参照的深层联系： 时间晶体的周期翻倍本质是自参照反馈，体现为双覆盖的非平凡和乐。

4. 费米子统计的类比： 时间晶体的“两周期回原“与费米子的“旋转$4\pi$回原“有共同的拓扑起源。

5. 拓扑保护的鲁棒性： 只要能隙${\Delta }_{\mathrm{F}}>0$保持，局域扰动不破坏时间晶体相。

7.3 下一章预告

下一章（03-engineering-implementation.md）将讨论：

• 实验平台（冷原子、超导qubit、离子阱）
• DPSS窗化读出方案
• 样本复杂度$N=\mathcal{O}({\Delta }_{\mathrm{F}}^{-2}\log (1/\epsilon ))$
• 噪声鲁棒性与误差控制
• 实际实验参数设计

核心公式预告： $$N\ge C{\Delta }_{\mathrm{F}}^{-2}\log (1/\epsilon )$$

本章结束

源理论：euler-gls-info/17-time-crystals-null-modular-z2-holonomy.md，§4；附录B-C