第三章：工程实现与有限复杂性读出

源理论：euler-gls-info/17-time-crystals-null-modular-z2-holonomy.md，§5；附录D

引言

前两章建立了时间晶体的理论框架：

第01章：Floquet-QCA与周期翻倍机制
第02章：Z₂和乐与拓扑不变量

现在面临实际问题：如何在实验中观测和测量时间晶体？

本章将回答：

哪些量子平台适合实现时间晶体？
如何在有限测量步数内判别时间晶体信号？
需要多少样本才能可靠判别（样本复杂度）？
如何应对噪声与耗散？

核心工具：DPSS窗化读出技术（回顾第20章）

日常类比：

时间晶体信号：微弱的周期性“心跳“
噪声：背景杂音
DPSS窗化：高灵敏度“听诊器“
样本复杂度：需要听多久才能确认心跳存在

1. 实验平台概览

1.1 四大候选平台

时间晶体可在多种量子平台实现，各有优劣：

平台	优势	劣势	TRL等级
冷原子光晶格	长相干时间单格点成像	制备复杂温度敏感	TRL 6-7
超导量子比特	快速操控可编程	短相干时间串扰	TRL 7-8
离子阱	超长相干全连接	规模受限激光复杂	TRL 6-7
固态自旋	室温操作集成化	控制精度环境噪声	TRL 5-6

TRL（Technology Readiness Level）：技术成熟度等级，1-9级，数字越大越成熟。

Mermaid平台比较

graph TD
    A["时间晶体<br/>实验平台"] --> B1["冷原子"]
    A --> B2["超导qubit"]
    A --> B3["离子阱"]
    A --> B4["固态自旋"]

    B1 --> C1["相干时间<br/>秒级"]
    B2 --> C2["门速度<br/>纳秒级"]
    B3 --> C3["保真度<br/>99.9%"]
    B4 --> C4["温度<br/>室温"]

    D["DPSS读出"] -.->|"共同需求"| B1
    D -.-> B2
    D -.-> B3
    D -.-> B4

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    style B1 fill:#ffe1e1
    style B2 fill:#f5e1ff
    style B3 fill:#fff4e1
    style B4 fill:#e1ffe1
    style D fill:#ffe1f5

1.2 平台选择标准

关键指标：

(1) Floquet能隙 $Δ_{F}$ ：

能隙越大，时间晶体信号越强
对噪声越鲁棒

(2) 相干时间 $T_{2}$ ：

需要 $T_{2} ≫ N \cdot T$ （ $N$ 为测量周期数）
限制最大可测量的 $N$

(3) 测量保真度 $F_{meas}$ ：

读出误差直接影响信噪比
需要 $F_{meas} > 95%$

(4) 可扩展性：

格点数（系统尺寸）
并行测量能力

选择矩阵：

平台	$Δ_{F}$	$T_{2}$	$F_{meas}$	可扩展性
冷原子	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐
超导qubit	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐
离子阱	⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐⭐	⭐⭐
固态自旋	⭐⭐	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐	⭐⭐⭐⭐

2. 冷原子光晶格实现

2.1 系统构成

格点：光学驻波形成的周期势阱

原子：碱金属原子（如 $^{87}$ Rb、 $^{40}$ K）

自旋态：超精细能级 $∣ F, m_{F} ⟩$ 模拟自旋-1/2

Floquet驱动：

方法1：周期性调制格点深度
方法2：Raman脉冲驱动自旋翻转
方法3：晶格振荡（shaking）

Mermaid冷原子系统

graph TD
    A["激光束"] --> B["光学晶格<br/>周期势阱"]
    B --> C["原子阵列<br/>自旋-1/2"]

    D["Floquet驱动"] --> E["调制方案"]
    E --> E1["格点深度<br/>V(t) = V_0[1+A cos(omega t)]"]
    E --> E2["Raman脉冲<br/>周期自旋翻转"]
    E --> E3["晶格振荡<br/>位置调制"]

    F["测量"] --> G["单格点成像<br/>荧光检测"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

2.2 具体实验方案

步骤1：制备初态 $∣ ψ_{0} ⟩ = ∣ ↑↓↑↓ \dots ⟩$ （反铁磁序）

步骤2：Floquet驱动 周期 $T = 1$ ms，驱动 $N = 100$ 个周期。

步骤3：测量局域自旋 $⟨ σ_{x}^{z} ⟩_{n} = ⟨ ψ_{n} ∣ σ_{x}^{z} ∣ ψ_{n} ⟩$

步骤4：DPSS窗化分析 对序列 ${a_{n}}_{n = 0}^{N - 1}$ （ $a_{n} = ⟨ σ_{x}^{z} ⟩_{n}$ ）应用DPSS窗化。

预期结果：

主频在 $ω = π$ （归一化频率）
能量峰值显著高于噪声本底

参数估计（源理论§5.3）：

参数	典型值	备注
格点数	$10 \times 10 = 100$	二维晶格
Floquet周期 $T$	1 ms	可调
能隙 $Δ_{F}$	$2 π \times 100$ Hz	依赖驱动参数
相干时间 $T_{2}$	1-10 s	超冷原子
最大周期数 $N$	$1000 - 10000$	受 $T_{2}$ 限制
测量保真度	98%	荧光成像

2.3 冷原子的优劣势

优势： ✅ 长相干时间（秒级）→ 可测量大 $N$ ✅ 单格点分辨成像 → 精确局域测量 ✅ 可调控相互作用 → 灵活控制 $Δ_{F}$ ✅ 低温环境 → 噪声小

劣势： ❌ 制备复杂（真空系统、激光冷却） ❌ 温度敏感（需要 $μ$ K级） ❌ 测量破坏性（荧光后原子丢失） ❌ 循环速率慢（每次实验数分钟）

3. 超导量子比特实现

3.1 系统构成

量子比特：约瑟夫森结（Josephson junction）

耦合：电容或电感耦合

Floquet驱动：微波脉冲序列

测量：色散读出（dispersive readout）

Mermaid超导系统

graph TD
    A["超导芯片"] --> B["qubit阵列<br/>约瑟夫森结"]
    B --> C["耦合器<br/>可调耦合"]

    D["微波驱动"] --> E["Floquet脉冲"]
    E --> E1["X门<br/>自旋翻转"]
    E --> E2["Z门<br/>相位累积"]
    E --> E3["两比特门<br/>纠缠生成"]

    F["读出"] --> G["色散测量<br/>非破坏性"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

3.2 具体实验方案

步骤1：制备初态 通过单qubit门序列制备： $∣ ψ_{0} ⟩ = ∣01010101 \dots ⟩$

步骤2：Floquet驱动 周期 $T = 1 μ$ s，驱动 $N = 1000$ 个周期。

步骤3：投影测量 $P_{z} = ⟨ σ_{x}^{z} ⟩_{n}$

步骤4：重复测量 重复 $M = 1 0^{4}$ 次，统计平均。

参数估计：

参数	典型值	备注
qubit数	10-100	当前技术
Floquet周期 $T$	$0.1 - 10 μ$ s	快速门
能隙 $Δ_{F}$	$2 π \times 1$ MHz	可调
相干时间 $T_{2}$	$10 - 100 μ$ s	主要限制
最大周期数 $N$	$10 - 1000$	受 $T_{2}$ 限制
测量保真度	99%	色散读出

3.3 超导qubit的优劣势

优势： ✅ 快速操控（纳秒级门）→ 高效率 ✅ 可编程架构 → 灵活控制序列 ✅ 非破坏性测量 → 可重复读出 ✅ 成熟工艺 → 工业化潜力

劣势： ❌ 短相干时间（ $μ$ s级）→ 限制 $N$ ❌ 串扰噪声 → 影响多qubit系统 ❌ 低温环境（mK级）→ 设备复杂 ❌ 能隙相对小 → 信噪比挑战

4. DPSS窗化读出方案

4.1 问题设定

测量序列： $a_{n} = tr (ρ_{0} U_{F}^{† n} O U_{F}^{n}), n = 0, 1, \dots, N - 1$

理想时间晶体信号（ $m = 2$ ）： $s_{n} = s_{0} (- 1)^{n}$

实际测量（含噪声）： $a_{n} = s_{n} + η_{n}$

其中 $η_{n}$ 为噪声，假设：

零均值： $E [η_{n}] = 0$
有限方差： $E [η_{n}^{2}] = σ_{η}^{2}$
有限相关长度： $E [η_{n} η_{m}] \approx 0$ （ $∣ n - m ∣$ 大时）

Mermaid测量模型

graph LR
    A["理想信号<br/>s_n = s_0(-1)^n"] --> C["实际测量<br/>a_n"]
    B["噪声<br/>eta_n"] --> C

    C --> D["DPSS窗化<br/>w_n * a_n"]
    D --> E["傅里叶变换<br/>hat a(omega)"]

    E --> F["主频检测<br/>omega = pi"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffe1f5

4.2 DPSS窗函数

DPSS定义（回顾第20章02节）：离散prolate spheroidal序列（DPSS）是以下优化问题的解：

${w_{n}} max \frac{\sum _{∣ k ∣ \leq W} ∣ w _{k} ∣ ^{2}}{\sum _{k} ∣ w _{k} ∣ ^{2}}$

受约束 $\sum_{n} ∣ w_{n} ∣^{2} = 1$ 。

Shannon数： $N_{0} = 2 N W$

其中 $N$ 为样本数， $W$ 为归一化带宽。

主DPSS序列 $w_{n}^{(0)}$ 对应最大特征值 $λ_{0} \approx 1$ 。

Mermaid DPSS特性

graph TD
    A["DPSS窗函数<br/>w_n^(0)"] --> B["时域局域<br/>支撑在[0,N-1]"]
    A --> C["频域局域<br/>集中在[-W,W]"]

    D["Shannon数<br/>N_0 = 2NW"] -.->|"自由度"| A

    E["主泄漏<br/>1-lambda_0 << 1"] -.->|"能量集中"| C

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1

4.3 窗化相位累积

加窗傅里叶谱（源理论§5.2）： $a (ω) = n = 0 \sum N - 1 w_{n}^{(0)} a_{n} e^{- i ωn}$

主频检测（ $m = 2$ 时间晶体）： $a (π) = n = 0 \sum N - 1 w_{n}^{(0)} a_{n} (- 1)^{n}$

理想信号贡献： $s (π) = s_{0} n \sum w_{n}^{(0)} ∣ (- 1)^{n} ∣^{2} = s_{0} n \sum ∣ w_{n}^{(0)} ∣^{2} = s_{0}$

噪声方差（源理论§5.3）： $Var (a (π)) = σ_{η}^{2} n \sum ∣ w_{n}^{(0)} ∣^{2} = σ_{η}^{2}$

（假设窗函数归一化 $\sum_{n} ∣ w_{n}^{(0)} ∣^{2} = 1$ ）

4.4 信噪比与判别准则

信噪比： $SNR = \frac{∣ E [ a ( π )] ∣ ^{2}}{Var ( a ( π ))} = \frac{∣ s _{0} ∣ ^{2}}{σ _{η}^{2}}$

判别准则：设阈值 $γ$ ，判别规则：

${∣ a (π) ∣ > γ ∣ a (π) ∣ \leq γ \Rightarrow 时间晶体存在 \Rightarrow 无时间晶体$

错误概率（Chebyshev不等式）： $P (错判) \leq \frac{σ _{η}^{2}}{γ ^{2}}$

选择 $γ = c σ_{η}$ （ $c > 1$ ），则： $P (错判) \leq \frac{1}{c ^{2}}$

5. 样本复杂度理论

5.1 定理陈述

定理5.1（源理论§5.3）：

在满足以下条件：

(1) Floquet能隙： $Δ_{F} > 0$

(2) 噪声有界： ${η_{n}}$ 零均值、有限相关长度、方差 $σ_{η}^{2}$ 有界

(3) DPSS窗化：使用适当带宽 $W$ 下的DPSS基序列 $w_{n}^{(0)}$

则为在错误概率不超过 $ε$ 的前提下判别是否存在周期 $2 T$ 时间晶体信号，所需复杂性步数 $N$ 满足：

$N \geq C Δ_{F}^{- 2} lo g (1/ ε)$

其中 $C$ 为常数（依赖于系统细节）。

Mermaid定理结构

graph TD
    A["定理5.1<br/>样本复杂度"] --> B["条件1<br/>能隙Delta_F > 0"]
    A --> C["条件2<br/>噪声有限方差"]
    A --> D["条件3<br/>DPSS窗化"]

    B --> E["结论"]
    C --> E
    D --> E

    E --> F["N >= C * Delta_F^-2 * log(1/epsilon)"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#ffcccc
    style F fill:#aaffaa

5.2 证明纲要

步骤1：信号幅度与能隙的关系

Floquet能隙 $Δ_{F}$ 控制时间晶体信号的幅度和耗散时间：

$∣ s_{0} ∣ \sim Δ_{F} \cdot exp (- γ / Δ_{F})$

其中 $γ$ 为噪声强度。

步骤2：DPSS能量集中性

DPSS窗函数在频带 $[- W, W]$ 附近几乎理想带限，主频 $ω = π$ 的观测主要敏感于时间晶体信号，噪声被压制。

步骤3：大偏差估计

利用Chebyshev不等式或Chernoff界，要求：

$\frac{∣ s _{0} ∣ ^{2}}{σ _{η}^{2} / N} \geq c_{0} lo g (1/ ε)$

即信噪比足够大。

步骤4：反解 $N$

由 $∣ s_{0} ∣ \sim Δ_{F}$ ，得：

$N \geq C \frac{σ _{η}^{2}}{Δ _{F}^{2}} lo g (1/ ε)$

归一化后即为定理结论。

详细计算见源理论附录D。

5.3 复杂度分析

能隙依赖：

能隙 $Δ_{F}$ 越大，信号越强，需要的样本越少
$N \propto Δ_{F}^{- 2}$ （平方反比）

误差要求：

误差容忍度 $ε$ 越小，需要的样本越多
$N \propto lo g (1/ ε)$ （对数增长，温和）

实际估计：

能隙 $Δ_{F}$	误差 $ε$	所需 $N$	实验时间
$2 π \times 1$ kHz	$1 0^{- 2}$	$\sim 1 0^{4}$	冷原子：10 s 超导：10 ms
$2 π \times 100$ Hz	$1 0^{- 2}$	$\sim 1 0^{6}$	冷原子：1000 s 超导：1 s
$2 π \times 1$ kHz	$1 0^{- 3}$	$\sim 1.5 \times 1 0^{4}$	稍增加

Mermaid复杂度趋势

graph LR
    A["能隙增大<br/>Delta_F up"] --> B["信号增强<br/>s_0 up"]
    B --> C["样本需求减少<br/>N down"]

    D["误差要求增强<br/>epsilon down"] --> E["样本需求增加<br/>N up"]

    F["N ~ Delta_F^-2 * log(1/epsilon)"]

    style A fill:#e1ffe1
    style B fill:#e1f5ff
    style C fill:#aaffaa
    style D fill:#ffcccc
    style E fill:#ffaaaa
    style F fill:#ffe1f5

6. 噪声鲁棒性与误差控制

6.1 噪声源分类

实验中的噪声：

(1) 量子投影噪声（quantum projection noise）：

测量的固有随机性
方差 $\sim 1/ M$ （ $M$ 为重复次数）

(2) 技术噪声（technical noise）：

激光强度涨落（冷原子）
微波功率涨落（超导）
磁场噪声

(3) 耗散与退相干：

自旋弛豫（ $T_{1}$ 过程）
相位退相干（ $T_{2}$ 过程）

(4) 测量误差：

读出保真度 $< 100%$
串扰（crosstalk）

Mermaid噪声源

graph TD
    A["噪声源"] --> B1["量子投影<br/>固有随机"]
    A --> B2["技术噪声<br/>环境涨落"]
    A --> B3["耗散<br/>T1, T2"]
    A --> B4["测量误差<br/>读出错误"]

    B1 --> C["总方差<br/>sigma_eta^2"]
    B2 --> C
    B3 --> C
    B4 --> C

    C --> D["影响SNR<br/>信噪比降低"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B1 fill:#ffe1e1
    style B2 fill:#f5e1ff
    style B3 fill:#fff4e1
    style B4 fill:#e1ffe1
    style C fill:#ffe1f5
    style D fill:#ffcccc

6.2 误差缓解策略

策略1：增加重复测量次数 $σ_{eff}^{2} = \frac{σ _{η}^{2}}{M}$

需要 $M$ 次独立重复。

策略2：优化窗函数带宽

选择 $W \approx 0.1$ （归一化），使DPSS集中于主频 $ω = π$ 附近，压制带外噪声。

策略3：动态解耦（dynamical decoupling）

在Floquet驱动间隙插入解耦脉冲序列，延长 $T_{2}$ 。

策略4：后处理滤波

对测量序列 ${a_{n}}$ 应用低通滤波，去除高频噪声。

策略5：量子纠错码

在多qubit系统中编码逻辑时间晶体态，容忍单qubit错误。

6.3 弱非幺正扰动

非幺正Floquet演化（源理论§3.5推论G）：

实际Floquet算子 $U_{F}$ 可能非完全幺正（耗散），定义非幺正偏差：

$Δ_{nonU} (E) = ∣ U_{F}^{†} (E) U_{F} (E) - I ∣_{1}$

鲁棒性条件：

若满足： $\int_{I} Δ_{nonU} (E) d E \leq ε$

且误差预算 $E_{h} \leq δ_{*} - ε$ （回顾21章04节），则奇偶标签 $ν_{chain}$ 不变。

物理意义：只要耗散“足够小“（积分意义），时间晶体相仍然稳定。

7. 实验参数设计实例

7.1 冷原子方案

目标：在错误率 $ε = 1 0^{- 2}$ 下判别周期翻倍时间晶体。

系统参数：

格点数： $10 \times 10 = 100$
Floquet周期： $T = 1$ ms
能隙： $Δ_{F} = 2 π \times 100$ Hz
相干时间： $T_{2} = 5$ s

DPSS参数：

带宽： $W = 0.05$ （归一化）
Shannon数： $N_{0} = 2 N W$

样本需求： $N \geq C Δ_{F}^{- 2} lo g (1/ ε) \sim 1 0^{4}$

总测量时间： $t_{total} = N \cdot T = 1 0^{4} \times 1 ms = 10 s$

✅ 满足 $t_{total} < T_{2}$

重复次数： $M = 100 次独立实验$

总实验时间： $T_{exp} = M \cdot t_{total} \sim 1000 s \approx 17 min$

Mermaid冷原子参数流程

graph TD
    A["目标<br/>epsilon = 0.01"] --> B["能隙<br/>Delta_F = 2pi × 100 Hz"]
    B --> C["样本数<br/>N ~ 10^4"]

    C --> D["总时间<br/>t = N × T = 10 s"]

    E["相干时间<br/>T_2 = 5 s"] --> F{" t < T_2 ? "}

    D --> F

    F -->|"否"| G["需要优化<br/>增大Delta_F"]
    F -->|"是"| H["方案可行<br/>重复M=100次"]

    style A fill:#e1f5ff
    style B fill:#ffe1e1
    style C fill:#f5e1ff
    style D fill:#fff4e1
    style E fill:#e1ffe1
    style F fill:#ffcccc
    style G fill:#ffaaaa
    style H fill:#aaffaa

7.2 超导qubit方案

目标：在错误率 $ε = 1 0^{- 2}$ 下判别周期翻倍时间晶体。

系统参数：

qubit数：20
Floquet周期： $T = 10 μ$ s
能隙： $Δ_{F} = 2 π \times 1$ MHz
相干时间： $T_{2} = 50 μ$ s

样本需求： $N \geq C Δ_{F}^{- 2} lo g (1/ ε) \sim 500$

总测量时间： $t_{total} = N \cdot T = 500 \times 10 μ s = 5 ms$

✅ 满足 $t_{total} ≪ T_{2}$

重复次数： $M = 1 0^{4} 次$

总实验时间： $T_{exp} = M \cdot t_{total} \sim 50 s$

优势：

快速循环（ms级）
可大量重复 $M$ 提高统计

8. 与第20章实验方案的联系

8.1 统一时间刻度测量

第20章01节（统一时间刻度）给出三重等价： $κ (ω) = \frac{φ ^{'} ( ω )}{π} = ρ_{rel} (ω) = \frac{1}{2 π} tr Q (ω)$

在Floquet时间晶体中： $κ_{F} (ω) = \frac{1}{2 π} tr Q_{F} (ω), Q_{F} = - i U_{F}^{†} \partial_{ω} U_{F}$

单周期时间增量： $Δ τ_{F} = \int_{Ω_{F}} w_{F} (ω) κ_{F} (ω) d ω$

8.2 PSWF/DPSS窗化技术

第20章02节（谱窗化）建立了DPSS理论，本章直接应用：

Shannon数 $N_{0} = 2 N W$
主泄漏上界 $1 - λ_{0} \leq \dots$
误差三重分解

在时间晶体中的特化：

主频固定为 $ω = π$ （周期翻倍）
带宽 $W$ 选择优化信噪比

8.3 拓扑指纹测量

第20章03节（拓扑指纹）讨论了：

π-step阶梯
Z₂奇偶翻转
平方根标度律

在时间晶体中的体现：

Z₂和乐 $hol_{Z_{2}} (Γ_{F})$ 是拓扑指纹
窗化奇偶阈值判据（21章04节定理G）

Mermaid章节联系

graph TD
    A["20章：实验方案"] --> B1["01节：统一时间刻度<br/>kappa(omega)"]
    A --> B2["02节：DPSS窗化<br/>Shannon数N_0"]
    A --> B3["03节：拓扑指纹<br/>Z_2奇偶"]

    C["22章：时间晶体"] --> D1["Floquet时间刻度<br/>kappa_F(omega)"]
    C --> D2["DPSS读出<br/>主频omega=pi"]
    C --> D3["Z_2和乐<br/>hol(Gamma_F)"]

    B1 -.->|"应用"| D1
    B2 -.->|"应用"| D2
    B3 -.->|"应用"| D3

    style A fill:#e1f5ff
    style B1 fill:#ffe1e1
    style B2 fill:#f5e1ff
    style B3 fill:#fff4e1
    style C fill:#e1ffe1
    style D1 fill:#ffe1f5
    style D2 fill:#f5e1ff
    style D3 fill:#fff4e1

9. 本章总结

9.1 核心内容回顾

实验平台：

冷原子：长 $T_{2}$ ，精密控制
超导qubit：快速门，可编程
离子阱：超长相干，高保真
固态自旋：室温，集成化

DPSS窗化读出： $a (ω) = n = 0 \sum N - 1 w_{n}^{(0)} a_{n} e^{- i ωn}$

样本复杂度（定理5.1）： $N \geq C Δ_{F}^{- 2} lo g (1/ ε)$

噪声鲁棒性：

增加重复 $M$ 降低方差
优化窗带宽 $W$ 压制噪声
动态解耦延长 $T_{2}$

实验参数实例：

冷原子： $N \sim 1 0^{4}$ ，总时间10 s
超导qubit： $N \sim 500$ ，总时间5 ms

9.2 关键洞察

有限复杂性是实际约束：理论预言的时间晶体必须在有限测量步数 $N$ 内判别，样本复杂度给出可实现性判据。
能隙是核心参数： $Δ_{F}$ 越大，信号越强， $N$ 需求越小。实验设计的首要目标是最大化能隙。
DPSS是最优窗化：在给定 $N$ 和 $W$ 下，DPSS最大化频域能量集中度，最小化最坏情况误差。
跨平台统一框架：冷原子、超导、离子阱虽然物理实现不同，但都遵循同一套DPSS窗化理论和样本复杂度定理。
与散射理论的深层联系：时间晶体读出本质是频域散射测量，统一时间刻度 $κ_{F} (ω)$ 贯穿始终。

9.3 下一章预告

下一章（04-time-crystal-summary.md）将：

综合全章理论（00-03）
讨论开放问题与未来方向
时间晶体作为“统一时间刻度相位锁定器“的角色
与FRB观测、δ-环散射的互补关系

本章结束

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