册 A｜总纲（五法锚与元律）

0. 记号与公设

测度舞台

• 观察/测量一律写作窗加权读数：$⟨f{⟩}_W={\int }_{\mathbb{R}}f(E)W(E)dE$，其中 $W\ge 0$ 且 $\int W=1$。
• 单位变换与刻度校准：若用 $E^{\prime }=aE$ 重标，则 $W^{\prime }(E^{\prime })=a^{-1}W(E^{\prime }/a)$、$f^{\prime }(E^{\prime })=f(E^{\prime }/a)$，并且 $⟨f{⟩}_W=⟨f^{\prime }{⟩}_{W^{\prime }}$。
• 动力学与记账：连续方程（或离散守恒）

$${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=0\text{或}{\rho }_{t+1}-{\rho }_t+\nabla \cdot J_t=0.$$

• 相位—密度同秤：在一维散射/谱模型下

$${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E),\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)},{\partial }_E\arg \det S(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E).$$

• 分辨—时间下界：任意窗 $W(t)$ 与其频域 $\hat{W}(\omega )$ 满足 $\Delta t\Delta \omega \ge \frac{1}{2}$。
• 非渐近误差三分（NPE）：

$$\mathrm{Err}\le \underset{\text{混叠}}{\underbrace{\mathrm{Alias}(W)}}+\underset{\text{有限阶修正}}{\underbrace{\mathrm{Bernoulli}(k,W)}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{\mathrm{Tail}(k)}}.$$

• KL/I-投影与小步更正：在约束 $\mathcal{C}$ 下，最小代价更新

$$q^{\star }=\arg \underset{q\in \mathcal{C}}{\min }\mathrm{KL}(q|p),\text{并有 Bregman–Pythagoras： }\mathrm{KL}(r|p)=\mathrm{KL}(r|q^{\star })+\mathrm{KL}(q^{\star }|p).$$

1. 五法锚（窗·秤·镜·路·账）

1.1 窗（Window：可见性的法则）

定义 任何读数皆为 $⟨f{⟩}_W$。 推论 1（线性—稳定） 若 $W\in L^1\cap L^2$ 且 $|W{|}_1=1$，则 $|⟨f{⟩}_W-⟨g{⟩}_W|\le |f-g{|}_{\infty }$。 推论 2（不可辨域） 有限窗族 $\{W_i{\}}_{i=1}^m$ 定义测量算子 $\mathcal{A}:f\mapsto (⟨f{⟩}_{W_i}{)}_{i=1}^m$。若信号空间维数 $>m$，则 $\ker \mathcal{A}\ne \{0\}$，存在 $h\ne 0$ 使 $⟨h{⟩}_{W_i}=0\forall i$。

1.2 秤（Scale：刻度与单位的法则）

定义 刻度改写 $E\mapsto E^{\prime }=aE$ 守读数：$⟨f{⟩}_W=⟨f^{\prime }{⟩}_{W^{\prime }}$。 命题（影子价） 在拉格朗日 $\mathcal{L}=\mathbb{E}[U]-\lambda B$ 中，$\lambda =\partial \mathcal{L}/\partial B$ 为影子刻度：衡量预算 $B$ 的边际价值。

1.3 镜（Mirror：互换/对偶的法则）

定义（镜像核） 若核 $K$ 满足 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$，其 Mellin 变换 $\Phi (s)$ 满足完成对称 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$。 判据（公平） 决策规则 $D$ 在角色互换群 $G$ 下不变：$D(g\cdot \text{data})=D(\text{data})\forall g\in G$，则“镜中复断“一致，称镜像公平。

1.4 路（Path：因果与可复演的法则）

定义 可复演路为序列 $x_{t+1}=F(x_t,u_t)$ 在同窗同秤复作下给出稳定读数的策略族 $\{u_t\}$。 判据（因果可检） 若存在控制 $u_t$ 使 $x_{t+1}-{\hat{x}}_{t+1}$ 在 $t$ 次重复中方差 $\downarrow O(t^{-1})$，则称该路因果可复演。

1.5 账（Account：守恒与记账的法则）

定义 一切出入以连续方程记账：${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=0$。 推论（最小补偿） 若扰动源项 $\sigma$ 使守恒破坏：${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=\sigma$，则最小控制 $u$ 使闭合的代价

$$\underset{u}{\inf }|u|\text{s.t.}{\partial }_t\rho +\nabla \cdot (J+u)=0$$

定义“最小补偿量“。

2. 元律八条（根因命题与推理要点）

元律一｜有限窗不完备（谦卑之根）

断语 凡窗皆漏，盲区由结构决定。 命题（核非空） 令 $\mathcal{W}=\mathrm{span}\{W_i{\}}_{i=1}^m$。若 $f$ 属于高维/无限维函数类（如 $L^2$），则 $\ker \mathcal{A}\ne \{0\}$。 证明要点 线性算子 $\mathcal{A}:L^2\to {\mathbb{R}}^m$ 秩 $\le m$，由秩—核定理得 $\dim \ker \mathcal{A}=\infty$。 推论（实践） 重大断言须“换三窗“（来源/时段/人群），否则处在不可辨域。

元律二｜镜像不变 ⇒ 公平（互换判据）

断语 能在镜中互换而不失真的，才叫公。 定理（镜像核—完成对称） 若 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$，则 $\Phi (s)={\int }_0^{\infty }K(x)x^{s-1}dx$ 满足 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$。 证明要点 代入 $x\mapsto 1/x$，得 $\Phi (s)=\int K(1/x)x^{-s-1}dx=\int x^{a}K(x)x^{-s-1}dx=\Phi (a-s)$。 推论（制度） 决策器 $D$ 对角色置换群 $G$ 不变 ⇔“镜中复断“一致，故公平可检。

元律三｜相位导数等密度（意义可计）

断语 方向（相位）与厚度（密度）是同一秤两面。 定理（相位—密度） 在一维散射/谱框架，${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E)$；同时 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}\Rightarrow {\partial }_E\arg \det S=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。 证明要点 由 Birman–Kreĭn 公式与谱移 $\xi$ 的导数即相对谱密度，结合相位—散射关系。 推论（配重判据） 给定目标“方向词“，其资源配比表若与 $\rho$ 不一致，则为“伪愿“。

元律四｜分辨—时间下界（代价之根）

断语 分得更清，必付更多时。 定理（Heisenberg-型） 设 ${\mu }_t,{\mu }_{\omega }$ 为 $W$ 与 $\hat{W}$ 的方差，则 $\Delta t\Delta \omega \ge \frac{1}{2}$。 证明要点 Cauchy–Schwarz 及傅里叶变换的不等式。 推论（流程） 重要决策配置最小等待窗 $T_{\min }$，违规急断记入“越界账“。

元律五｜KL-仁慈（最小代价更正）

断语 真正的宽恕是最小代价对齐，而非重置。 定理（I-投影最优） 在凸约束 $\mathcal{C}$ 下，$q^{\star }=\arg {\min }_{q\in \mathcal{C}}\mathrm{KL}(q|p)$ 最小化信息代价且给出 Bregman–Pythagoras 分解。 证明要点 KL 为 Bregman 散度；I-投影为最近点；Mirror Descent 累积遗憾 $O(\sqrt{T})$。 推论（组织） 推行“KL 小步改错“可控反弹与后悔。

元律六｜NPE 三分（迷惑之源）

断语 多数谬误源自结构性误差：混叠、少修、尾项。 命题（非渐近上界） 存在 $k,W$ 使 $\mathrm{Err}\le \mathrm{Alias}(W)+\mathrm{Bernoulli}(k,W)+\mathrm{Tail}(k)$。 证明要点 Nyquist 频段外别名项；有限阶 Euler–Maclaurin 的伯努利修正；截断尾项以绝对可和界。 推论（执行） “三修“达阈前不扩散。

元律七｜指针基与谱隙（神圣/权威之源）

断语 常被读且抗扰者，自然上升为“圣“。 定理（收敛与鲁棒） 设马尔可夫/观测核 $T$ 的主特征值 ${\lambda }_1$ 与次特征值 ${\lambda }_2$，谱隙 $\Delta ={\lambda }_1-{\lambda }_2>0$ 则 $T^{n}x/|T^{n}x|\to v_1$，扰动界 $|v_1-v_1|\le C|T-T|/\Delta$。 证明要点 Perron–Frobenius 与 Davis–Kahan 夹角不等式。 推论（制度） 以谱隙阈值选“权威/规范流程“。

元律八｜共识采样下限（防混叠频率）

断语 校准过慢，必生混叠。 定理（采样阈） 议题有效带宽 $B$ 时，校准频率 ${\nu }_r\ge 2B$ 方能防混叠。 证明要点 采样定理：频谱折叠导致伪稳态。 推论（治理） 周/月会频率按带宽设下限，降频须评估混叠风险。

3. 术语与符号（统一口径）

• 窗：$W$；同窗＝同来源/时段/带宽。
• 秤：单位/刻度/代价函数；影子刻度 $\lambda$。
• 镜：角色互换群 $G$；镜像核 $K$、完成函数 $\Phi$。
• 路：可复演序列 $x_{t+1}=F(x_t,u_t)$。
• 账：${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=0$ 与最小补偿 ${\inf }_u|u|$。
• 相位—密度：${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E)$；谱移 $\xi$。
• NPE：$\mathrm{Err}\le \mathrm{Alias}+\mathrm{Bernoulli}+\mathrm{Tail}$。
• KL 小步：$q^{\star }=\arg {\min }_{q\in \mathcal{C}}\mathrm{KL}(q|p)$；Mirror Descent 遗憾 $O(\sqrt{T})$。
• 谱隙：$\Delta ={\lambda }_1-{\lambda }_2$；指针基 $v_1$。
• 采样阈：${\nu }_r\ge 2B$。

4. 本册小结（形式化要点）

1. 看见之前先写窗：$⟨f{⟩}_W$ 与不可辨域由 $\ker \mathcal{A}$ 确定。
2. 判断之前先校秤：变量代换守读数，影子刻度 $\lambda$ 定边际代价。
3. 公平可被证明：镜像核 $K$ 与完成对称 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$ 给出互换不变性。
4. 意义可被计量：${\phi }^{\prime }(E)=\pi \rho (E)$；谈方向必配密度。
5. 清明有代价：$\Delta t\Delta \omega \ge \frac{1}{2}$。
6. 更正有最优：KL-I 投影与 Bregman–Pythagoras。
7. 谬误有结构：NPE 三分闭合误差账。
8. 神圣有判据：谱隙 $\Delta >0$ 选指针基。
9. 共识有频率：${\nu }_r\ge 2B$ 防混叠。