Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe

第二门｜约之门（圣域篆・长愿灯・清账符・共识印）

体例同前：每条含法条（简述）、数学推理（判据/证明要点）、可检步骤（最小可复演），统一使用册 A 的记号与公设。

5. 圣域篆（“圣”＝稳定指针基）

法条 凡经反复读而不乱、遇扰不偏者，称“圣“。其数理像即“指针基“与谱隙：稳定方向 $v_1$ 与谱隙 $\Delta ={\lambda }_1-{\lambda }_2>0$。

数学推理 (1) 设行为/流程的更新核为 $T$（马尔可夫或线性正算子），主特征值为 ${\lambda }_1$（规范化为 $1$），次特征值为 ${\lambda }_2$。则反复观测有 $T^{n}x/|T^{n}x|\to v_1$，收敛速率受谱隙控制：$|T^n-1v_1^{\top }|\le C|{\lambda }_2{|}^n=C{e}^{-n{\Delta }^{\prime }}$（其中 ${\Delta }^{\prime }=-\log |{\lambda }_2|$，等价于谱隙）。 (2) 抗扰性由 Davis–Kahan 夹角不等式界定：若扰动 $T$ 满足 $|T-T|\le \epsilon$，则指针方向偏移 $\sin \angle (v_1,{\tilde{v}}_1)\le \epsilon /\Delta$。谱隙越大，越“圣“。 (3) “圣度指标“可取 $S=\Delta /{\epsilon }_{\text{env}}$，其中 ${\epsilon }_{\text{env}}$ 为环境典型扰动尺度；当 $S\ge S_0$（阈值）时，流程可晋升“圣规”。

可检步骤 （i）由 30 天日志估计 $T$；（ii）求 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 得谱隙 $\Delta$；（iii）做“小扰动压力测评“估 ${\epsilon }_{\text{env}}$；（iv）计算 $S=\Delta /{\epsilon }_{\text{env}}$。若 $S\ge S_0$ 且复演误差 $\downarrow O(n^{-1})$，列入“圣规清单“。

6. 长愿灯（祈＝权重重排＋延长时间窗）

法条 祈愿是把优先级写入权重并“拉长时间窗“。最优的重排满足一个“软最大化“，日更以“KL 小步“。

数学推理 (1) 在预算 ${\sum }_i{w}_i=1$，$w_i\ge 0$ 下，最大化“效用－惩罚“

$$\underset{w}{\max }\sum _i{w}_i{u}_i-\tau \mathrm{KL}(w|w_0).$$

一阶条件给出软最优权重 $w_i^{\star }=\frac{w_{0,i}{e}^{u_i/\tau }}{{\sum }_j{w}_{0,j}{e}^{u_j/\tau }}$。这就是“把愿望写进秤“的闭式式子。 (2) 日常更新用 Mirror Descent 的指数权重法（KL 小步）：$w_i^{+}\propto w_i\exp (\eta {\hat{g}}_i)$，其中 ${\hat{g}}_i$ 是当日梯度估计（收益或进展信号），并归一化；其累积遗憾为 $O(\sqrt{T})$。 (3) 延长时间窗降低波动：若日序列自相关系数为 $\rho \in [0,1)$，长度为 $T$ 的移动平均方差近似 $\mathrm{Var}({\overline{X}}_T)\approx {\sigma }^2\frac{1+\rho }{1-\rho }\cdot \frac{1}{T}$。定义有效样本数 $T_{\mathrm{eff}}=T\cdot \frac{1-\rho }{1+\rho }$。拉长窗即增大 $T_{\mathrm{eff}}$，故“愿“需配“久“。

可检步骤 选三类投入 $i=1,2,3$（如时间、练习、联络），估计 $u_i$ 与初始 $w_{0,i}$，按 $w^{\star }$ 设每日“一分钟动作“，用 $w^{+}\propto w\exp (\eta \hat{g})$ 更新；每 7 天计算 ${\overline{X}}_T$ 的方差是否 $\downarrow$ 且目标相关事件频率是否 $\uparrow$。

7. 清账符（罪＝破坏守恒；赦＝最小补偿＋复路）

法条 “罪“是对公共账本的破坏；“赦“是以最小代价重闭守恒并恢复可复演路径。

数学推理 (1) 守恒破坏写作 ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=\sigma$。令控制通量为 $u$，最小能量补偿问题

$$\underset{u}{\min }{\int }_0^T\int |u{|}^2\text{s.t.}{\partial }_t\rho +\nabla \cdot (J+u)=0.$$

拉格朗日乘子法给欧拉–拉格朗日方程：最优 $u^{\star }=-\nabla \varphi$，势函数 $\varphi$ 解泊松型方程 $-\Delta \varphi =\sigma$。最小能量为 $\int |\nabla \varphi {|}^2=⟨\sigma ,\varphi ⟩$，下界为 $|\sigma {|}_{{\mathcal{H}}^{-1}}^2$。 (2) 离散图网络上，图拉普拉斯 $L\varphi =\sigma$，最小代价 ${\varphi }^{\top }L\varphi$。这给出“补偿账“的可计算度量。 (3) 赦后复路需要策略分布的“KL 小步“回可行域：在约束 $\mathcal{C}$ 下令 $q^{\star }=\arg {\min }_{q\in \mathcal{C}}\mathrm{KL}(q|p)$。由 Bregman–毕达哥拉斯，任意后续目标分布 $r$ 满足 $\mathrm{KL}(r|p)=\mathrm{KL}(r|q^{\star })+\mathrm{KL}(q^{\star }|p)$，即“先复账，再上路“减少后悔。

可检步骤 识别源项 $\sigma$（何处破坏守恒），解 $-\Delta \varphi =\sigma$（或 $L\varphi =\sigma$）估算最小补偿；执行“最小闭环补偿“并用 $q^{\star }$ 重设策略；30 天后复查：守恒误差是否 $\downarrow$，复路流程的复演误差是否 $\downarrow O(n^{-1})$。

8. 共识印（仪式＝定期校窗校秤；采样频率有下限）

法条 仪式的本质是“同窗同秤“的定期校准；其频率必须不低于议题带宽的两倍，方可防混叠与伪稳态。

数学推理 (1) 设议题状态 $y(t)$ 的有效带宽为 $B$。若校准频率 ${\nu }_r<2B$，则离散采样的频谱折叠产生混叠，群体读数进入伪稳态；故需 ${\nu }_r\ge 2B$。 (2) 群体共识迭代写作 $x_{t+1}=W{x}_t$，其中 $W$ 为行和为 $1$ 的权重矩阵。若 $W$ 原始且非负，则 $x_t\to \bar{x}1$（$\bar{x}$ 为均值），收敛速率由谱半径 $\rho (W-\frac{1}{n}11^{\top })={\lambda }_2(W)$ 控制，谱隙 $1-{\lambda }_2(W)$ 越大，共识越快。 (3) 当议题随时间变动 $y(t)$ 时，若会期间隔为 $\Delta t$，则“共识误差“含两项：传播误差 $\propto {\lambda }_2(W{)}^k$ 与跟踪误差 $\propto |y(t)-y(t-\Delta t)|$。选 $\Delta t$ 与 $W$ 使二者总和最小，且守住 ${\nu }_r=1/\Delta t\ge 2B$。

可检步骤 为每类议题估计带宽 $B$（近 4–8 周的频谱或变化率），设置会频 ${\nu }_r\ge 2B$。会议程序：先对“窗/秤“记名表决（统一来源/时段/单位），再执行“误差先报“（不确定与假设），最后发“最小闭环单“。每季评估 ${\lambda }_2(W)$ 与争议率下降幅度，必要时重构 $W$（增加跨组连接，扩大谱隙）。

小结（约之门）

5. 圣域篆以谱隙 $\Delta$ 给出“圣“的量化判据与抗扰边界；
6. 长愿灯把“愿“落到软最大化与 KL 小步，说明“延长时间窗“如何实降方差；
7. 清账符用 $-\Delta \varphi =\sigma$ 与 ${\mathcal{H}}^{-1}$ 范数刻画“最小补偿“，并以 I-投影恢复复路；
8. 共识印把仪式的必要性落实为 ${\nu }_r\ge 2B$ 与共识谱隙的双重条件，使群体读数免于混叠与伪稳态。