册 F｜实验与度量标准（续）

F-6｜镜断审计（公平性的置换检验与对称化校正）

度量

• 角色互换群 $G$；配对样本 $\{(x_i,g\cdot x_i){\}}_{i=1}^n$。
• 镜差 ${\Delta }_{\mathrm{mir}}(x):={\sup }_{g\in G}d(D(x),D(g\cdot x))$。
• 净效差

$${\Delta }_{\mathrm{net}}:=\underset{g\in G}{\sup }\left|\mathbb{E}\right[C(x,D(x))]-\mathbb{E}[C(g\cdot x,D(g\cdot x))\left]\right|.$$

判据/定理 (1) 对称化不劣：设损失 $d$ 凸，则群平均

$$D^{\mathrm{sym}}(x)={\mathbb{E}}_{g\sim \mathrm{Unif}(G)}[D(g\cdot x)]$$

满足 $D^{\mathrm{sym}}(g\cdot x)=D^{\mathrm{sym}}(x)$ 且 $\mathbb{E}[d(D^{\mathrm{sym}}(x),y)]\le \mathbb{E}[d(D(x),y)]$。 证明要点：Jensen 不等式 + 群平均交换。

(2) 置换显著性：令 ${\delta }_i=d(D(x_i),D(g\cdot x_i))$。在原假设“镜不变“下，任意符号置换的检验统计 $T=\frac{1}{n}{\sum }_i\mathrm{sign}({\delta }_i)$ 的分布近对称，置换 $p$-值 $\le \alpha$ 则拒绝。

执行规程

1. 固定 $G$ 与度量 $d,C$，构造配对集。
2. 计算 ${\hat{\Delta }}_{\mathrm{mir}},{\hat{\Delta }}_{\mathrm{net}}$ 与置换 $p$-值；若未过阈 $(\eta ,\alpha )$，以正则化 ${\min }_D\mathbb{E}[d(D(x),y)]+\lambda \mathbb{E}[{\Delta }_{\mathrm{mir}}(x)]$ 训练或采用 $D^{\mathrm{sym}}$。
3. 报告镜差曲线与“净效影子价“标尺（将 $\eta$ 与影子刻度 $\lambda$ 对齐）。

F-7｜圣时检测（相位对齐的统计判据）

度量

• 外部周期信号 $s(t)$ 与事件时间列 $\{t_k{\}}_{k=1}^N$。
• 相位 ${\varphi }_k:=2\pi t_k/T$（已按周期 $T$ 折返）。
• 方向向量 $R:=|\frac{1}{N}{\sum }_{k=1}^N(\cos {\varphi }_k,\sin {\varphi }_k)|$。

判据/定理 (1) Rayleigh 检验：在均匀相位原假设下，

$$Z=2N{R}^2\sim {\chi }_2^2(\text{近似}),p\approx e^{-N{R}^2}(1+\frac{2N{R}^2-R^4}{4N}-\cdots ).$$

(2) 交叉相关峰：定义 $R_{ys}(\tau )=\int y(t)s(t-\tau )dt$。若 ${\tau }^{\star }=\arg {\max }_{\tau }{R}_{ys}(\tau )$ 且峰值超过置换阈，则“圣时“成立。 证明要点：圆统计向量和与均匀相位的极限定理；置换法控制伪发现率。

执行规程

1. 估 $R,p$ 与 $R_{ys}(\tau )$ 峰位 ${\tau }^{\star }$。
2. 以 ${\tau }^{\star }$ 作为开窗点运行两周，比较命中率/成功率；若跨窗复演成立则登记为“圣时“。

F-8｜指针基与谱隙估计（样本复杂度与置信界）

度量

• 状态转移 $T\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$ 未知；采样序列 $x_0,\dots ,x_n$。
• 频次估计 ${\hat{T}}_{ij}=\frac{N_{ij}}{{\sum }_k{N}_{ik}}$，$N_{ij}$ 为 $i\to j$ 计数。
• 第二本征 ${\lambda }_2(T)$、谱隙 $\Delta =1-|{\lambda }_2|$。

判据/定理 (1) 矩阵 Bernstein 界：存在常数 $c$ 使

$$|\hat{T}-T|\le c\sqrt{\frac{\log (d/\delta )}{n_{\mathrm{eff}}}}\text{以概率}\ge 1-\delta ,$$

其中 $n_{\mathrm{eff}}$ 为有效独立样本数（考虑自相关衰减）。 (2) 本征值稳定性： $|{\lambda }_2(\hat{T})-{\lambda }_2(T)|\le |\hat{T}-T|$。 (3) 主向量偏差（Davis–Kahan）： $\sin \angle (v_1,{\hat{v}}_1)\le |\hat{T}-T|/\Delta$。 由此得样本复杂度

$$n_{\mathrm{eff}}\gtrsim \frac{1}{{ϵ}^2}\log \frac{d}{\delta },ϵ:=\min \{{\epsilon }_{\lambda },\Delta ,{\epsilon }_v\}.$$

执行规程

1. 采样 $n$ 足够长以满足上界，估 $\hat{T},{\hat{\lambda }}_2,{\hat{v}}_1$。
2. 报告置信区间与“圣度“ $S=\hat{\Delta }/{\epsilon }_{\text{env}}$（见 C-6）。

F-9｜风水 SNR 量化与最优布置（离散可解方案）

度量与目标

• 离散位置 $x\in \{1,\dots ,m\}$，信号 $s_x\ge 0$、噪声 $n_x>0$、权重 $W_x\ge 0$，${\sum }_x{W}_x=1$。
• 最大化

$$\mathrm{SNR}(W)=\frac{({\sum }_x{s}_x{W}_x{)}^2}{{\sum }_x{n}_x^2{W}_x^2}.$$

判据/定理 (1) Cauchy–Schwarz 最优形状：

$$W_x^{\star }=\frac{s_x/n_x^2}{{\sum }_j{s}_j/n_j^2}(\text{再截断于可行域}).$$

证明要点：令 $a_x=s_x$、$b_x=n_x{W}_x$，应用 $(\sum a_x{b}_x{)}^2\le (\sum a_x^2)(\sum b_x^2)$。

(2) 平滑-软化解：为避免极端集中，可用温度 $\tau >0$ 的软化

$$W_x(\tau )=\frac{\exp ((\log s_x-2\log n_x)/\tau )}{{\sum }_j\exp ((\log s_j-2\log n_j)/\tau )}.$$

执行规程

1. 估 $s_x,n_x$（任务成功率/干扰强度）。
2. 取 $W^{\star }$ 或 $W(\tau )$ 实施 14 天；比较完成时间/错漏率与 $\mathrm{SNR}$ 变化。
3. 以 NPE 日志评估布局读数误差（窗改变引入的混叠与尾项）。

F-10｜奇迹倾斜实验（重要抽样的方差控制）

度量与目标

• 事件 $A=\{X\in \mathcal{A}\}$，原分布 $\mathbb{P}$，倾斜 ${\mathbb{P}}_{\theta }$；权重 $w_{\theta }=\frac{d\mathbb{P}}{d{\mathbb{P}}_{\theta }}$。
• 无偏估计

$$\hat{p}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{1}_{\mathcal{A}}(X_i)w_{\theta }(X_i),X_i\sim {\mathbb{P}}_{\theta }.$$

判据/定理 (1) 方差表达： $\mathrm{Var}(\hat{p})=\frac{1}{N}({\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_{\theta }}[1_{\mathcal{A}}{w}_{\theta }^2]-p^2)$。 (2) 近似最优倾斜：令 $X$ 标量，取 $\psi (\theta )=\log {\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[e^{\theta X}]$；使 ${\psi }^{\prime }({\theta }^{\star })=x^{\star }$（事件阈值近均值化），方差最小近似。 (3) 变分选择（交叉熵法）：选 $\theta$ 最大化 ${\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}[1_{\mathcal{A}}(X)\log p_{\theta }(X)]$；迭代 $\theta$ 至收敛。 (4) 稳定性阈：${\mathrm{CV}}^2:=\frac{\mathrm{Var}(w_{\theta })}{(\mathbb{E}{w}_{\theta }{)}^2}\le 1$ 为经验上限；超限则减小 $|\theta |$。

执行规程

1. 初选 ${\theta }_0$（解 ${\psi }^{\prime }(\theta )=x^{\star }$）；
2. 以交叉熵微调 $\theta$，监控 ${\widehat{\mathrm{CV}}}^2$ 与置信区间宽度；
3. 14 天对比 $\hat{p}$ 的稳健抬升与跨窗复演性；记录 KL 成本 $\mathrm{KL}({\mathbb{P}}_{\theta }|\mathbb{P})$。

F-11｜伦理净增账（善/恶的运行度量）

度量

• 稳度 $S_t$（如谱隙 ${\lambda }_2$ 或互信息 $I$），成本 $C_t$。
• 净增 $G_t=\Delta S_t-\lambda \Delta C_t$，$\lambda$ 为影子刻度。
• 拓扑等级 $n=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{\Gamma }d\phi \in \mathbb{Z}$。

判据/定理 (1) 等级保护：若在小扰动下 $\Delta n=0$，则“善阶“不变；需跨越奇点（断路/规制根本变更）方可降阶。 (2) 长期一致性：若 ${\sum }_{t=1}^T{G}_t>0$ 且各期 $G_t$ 可复演，称“伦理净增“成立。 (3) 统计显著：令 $\bar{G}=\frac{1}{T}\sum G_t$，标准误 $s/\sqrt{T}$；若 $\bar{G}-z_{1-\alpha }s/\sqrt{T}>0$，在显著性 $\alpha$ 下通过。

执行规程

1. 每次改动记 $(S_t,C_t)$ 与 $G_t$，季度作 $t$-检验与等级核查。
2. 发布“净增账“与“等级不灭“报告（含 $\Gamma$ 的相位绕线图）。

F-12｜共识—传播优化器（会频与轮次的联合选型）

目标 给定上限容差 $\epsilon$、议题带宽 $B$、变化 Lipschitz 常数 $L$、初始散度 $Z=|x_0-\bar{y}1|$、网络 ${\lambda }_2$，最小化

$$J(\Delta t,K)=Z^2{\lambda }_2^{2K}+c{L}^2\Delta t^2$$

约束 $\Delta t\le \frac{1}{2B}$（Nyquist）。

判据/推导 (1) 取容差分配 ${\epsilon }_{\text{prop}}^2+{\epsilon }_{\text{trk}}^2={\epsilon }^2$。 (2) 由 $Z{\lambda }_2^K\le {\epsilon }_{\text{prop}}$ 得

$$K^{\star }=\lceil \frac{\log ({\epsilon }_{\text{prop}}/Z)}{\log {\lambda }_2}\rceil .$$

(3) 由 $\frac{L}{2}\Delta t\le {\epsilon }_{\text{trk}}$ 得

$$\Delta t^{\star }=\min \{\frac{2{\epsilon }_{\text{trk}}}{L},\frac{1}{2B}\}.$$

(4) 带入得 $J^{\star }\le {\epsilon }_{\text{prop}}^2+c{\epsilon }_{\text{trk}}^2$，最优分配 ${\epsilon }_{\text{trk}}^2=\frac{1}{1+c}{\epsilon }^2$。

执行规程

1. 估 $B,L,Z,{\lambda }_2$，设 $c$（保持成本权重）。
2. 计算 $(\Delta t^{\star },K^{\star })$ 并取整；若 $\Delta t^{\star }=1/(2B)$ 仍不达标，则需增连边以降 ${\lambda }_2$ 或分拆议题（降带宽）。

F-13｜别名预警（线上折叠能量检测）

度量

• STFT 能量 $E(\omega ,t)=|Y(\omega ,t){|}^2$，Nyquist 边 ${\omega }_N=\pi {\nu }_r$。
• 折叠比 $\mathrm{AR}(t)=\frac{{\int }_{|\omega |>{\omega }_N}E(\omega ,t)d\omega }{\int E(\omega ,t)d\omega }$。

判据 若 $\mathrm{AR}(t)>\tau$ 连续 $m$ 个窗，触发“加频/降带/延决“预警；$\tau$ 建议 $\le 5\%$。

执行规程 部署在线 STFT 监控与自适应会频调度；同步更新 C-5 表。

F-14｜校准记分板（概率输出的一致性评估）

度量

• ECE（期望校准误差）、NLL、Brier、Reliability 曲线。
• Isotonic/温度缩放后指标变动 $\Delta$。

判据 若 $\Delta \text{ECE}<0$，$\Delta \text{NLL}<0$ 且外测 AUC 不降，则通过；否则需“换窗/三修“。

执行规程 预注册划分验证集；上线后按 ${\nu }_r$ 节律复校并填 F-4 日志。