尺度规范化宇宙观测理论

——“膨胀≡分辨率提升“的严格等价、公理化读数、相对论重述、信息边界与图灵语义

Version: 1.15

摘要

建立一套以尺度规范（scale gauge, 记作 $a(t)$）与内部观测尺标（c-lock, 记作 $R(t)$）对偶为核心的宇宙观测理论。设 $a(t)=R(t{)}^{-1}$、$\kappa (t):=\dot{a}/a=-\dot{R}/R$，则宇宙学红移与时间伸长统一为能量轴上的 Mellin 伸缩：$1+z=a(t_0)/a(t_e)=R(t_e)/R(t_0)$、${\nu }_0={\nu }_e/(1+z)$、$\Delta t_0=(1+z)\Delta t_e$。读数全部在“母尺“上对齐：

$$\boxed{\rho (E)=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi },\mathsf{Q}:=-i{S}^{†}{S}^{\prime }},$$

其中 $\rho$ 为相对态密度，$\mathsf{Q}$ 为 Wigner–Smith 群延迟矩阵，$\phi$ 为总散射相位。母尺由 Birman–Kreĭn 公式与群延迟定义等价刻画，给出跨装置可比的刻度统一（单位固定；量纲 $E^{-1}$）。读数误差遵循“Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）有限阶闭合“：Nyquist 关断别名、Poisson 求和桥接离散—连续、有限阶 Euler–Maclaurin（EM）以伯努利层与尾项确界封装端点误差。在 Landau 密度门槛与 Wexler–Raz 对偶的帧条件下，缩窗 $r\downarrow$ 保持奇性不增；而 Fisher 信息对 $r$ 的单调性与标度依赖于噪声模型与归一化选择，一般不存在普适单调或 $r^{-2}$ 下界。保持“光锥 + 母尺“不变的线性稳定子唯一对应洛伦兹群；在 FRW 背景下的统一频移律 $1+z=((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_e)/((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_o)$ 导出 Etherington 距离对偶 $D_L=(1+z{)}^2{D}_A$ 与 Tolman 面亮度 $(1+z{)}^{-4}$ 的自然成立。借助可逆因果自动机（RCA/QCA）语义，给出“光““红移”“共享主频“及“注意力/行动力资源的 $c$-限速分配“的统一表述。本文区分“规范“与“真动力学”，提出可证伪判据与工程化“分辨率分配矩阵“方法。

0. 记号、公理与约定（Notation & Axioms / Conventions）

0.1 观测对象与散射几何

1. 背景希尔伯特空间 $\mathcal{H}$；能量参量 $E\in \mathbb{R}$。
2. 散射矩阵 $S(E)$ 与 Wigner–Smith 矩阵 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}(E){\partial }_{E}S(E)$。
3. 总散射相位 $\phi (E)=\arg \det S(E)$。
4. 三位一体母尺： $$\rho (E):=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi },$$ 其等价来自 Birman–Kreĭn 公式 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$（其中 $\xi (E)$ 为谱位移函数）与群延迟定义；因此 $\rho (E)=-{\xi }^{\prime }(E)$ 成立。上述关系在广义散射与几何设置中成立。(arXiv)

0.2 尺度规范 / c-lock

外部尺度因子 $a(t)$ 与内部观测尺标 $R(t)$ 满足

$$a(t)=R(t{)}^{-1},\kappa (t):=\frac{\dot{a}}{a}=-\frac{\dot{R}}{R}.$$

设内部主频 $f_{\mathrm{clk}}(t):=\frac{c}{{\ell }_{\mathrm{clk}}(t)}=\frac{c}{R(t){\ell }_{\ast }}$，其中 ${\ell }_{\ast }$ 为固定母尺长度常数、$R(t)$ 为无量纲内部尺标且满足 $a(t)=R(t{)}^{-1}$。任何“提分辨率“操作指 $r\downarrow$ 或采样密度 $\mathrm{dens}(\Lambda )\uparrow$。

0.3 NPE 有限阶闭合（非渐近）

• Nyquist：带限目标在采样率超过两倍带宽时别名项为零；非带限情形下别名项显式入账。(维基百科)
• Poisson：离散—连续桥接以 Poisson 求和式实现，允许将格点和卷积切换到频域的梳状谱。(dlmf.nist.gov)
• Euler–Maclaurin（有限阶）：以伯努利多项式给出端点层与尾项界，截断阶 $p$ 固定、误差上界可审计。(dlmf.nist.gov)

误差记号定义：记 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}(r)\ge 0$ 为经 Poisson 求和式引入之别名项的 $L^1$-上界；当满足 Nyquist 条件时 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}(r)=0$。记 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}(\delta ;r;p)\ge 0$ 为以固定阶 $p$ 截断 Euler–Maclaurin 公式后的“端点层+尾项“账本（$\delta$ 为采样步长/等效网格间距）。存在常数 $C_{2p}(r)$ 使

$${\epsilon }_{\mathrm{EM}}(\delta ;r;p)\le C_{2p}(r){\delta }^{2p}.$$

一般情形不主张与 $r$ 的普适幂次关系；若进一步给出 $w\in W^{2p,1}$、$h\ast \rho \in L_{\mathrm{loc}}^1$ 等正则性，则可推出 $C_{2p}(r)\lesssim r^{-2p}$，因而 ${\epsilon }_{\mathrm{EM}}(\delta ;r;p)=O({\delta }^{2p}{r}^{-2p})$ 为模型依赖结论。下文若未显式给出 $p$，均指固定有限阶。上述阶次界成立需假设 $h\ast \rho$ 在工作紧域的厚化 $K^{\uparrow }$（其中 $K^{\uparrow }:=K+\mathrm{supp}(w_r\ast h)$）上为分片 $C^{2p}$ 且相应导数有界；或在较弱的 $BV$ 假设下，将全部跳跃贡献并入伯努利端点层后再作估计（此时仅能得到 $BV$ 版本的上界，不与分片 $C^{2p}$ 等价）。超出该正则性范围时，本文不主张该阶次。

0.4 帧与密度门槛

采用 Gabor/Weyl–Heisenberg 框架：对窗 $w$ 与格点 $\Lambda$，要求 Landau 必要密度与 Wexler–Raz 对偶以保证稳定可逆重建。(numdam.org)

1. 膨胀≡分辨率提升：Mellin 伸缩与统一频移

定义 1（尺度规范）

称 $(a,R)$ 满足 $a(t)=R(t{)}^{-1}$ 的选择为尺度规范。在该规范下，外部“膨胀“与内部“分辨率提升“严格等价为能量轴的 Mellin 伸缩。

定理 1（红移—伸长等价）

对同一光子在发射 $t_e$ 与观测 $t_0$ 的读数，有

$$1+z=\frac{a(t_0)}{a(t_e)}=\frac{R(t_e)}{R(t_0)},{\nu }_0=\frac{{\nu }_e}{1+z},\Delta t_0=(1+z)\Delta t_e.$$

证明要点：在 FRW 度规中，频率为 $\omega =-k_{\mu }{u}^{\mu }$，故 $1+z=((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_e)/((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_o)$；而 $k^{\mu }$ 沿零测地方向平行移动给出 $\omega \propto a^{-1}$。代入 $a=R^{-1}$ 即得。(arXiv)

命题 1（Etherington 对偶与 Tolman 衰减）

若光子数守恒、几何由度规引力描述且光行唯一零测地，则

$$D_L=(1+z{)}^2{D}_A,I_{\mathrm{obs}}=\frac{I_{\mathrm{em}}}{(1+z{)}^4}.$$

该结论与尺度规范选择无关，属几何—计数不变式。(维基百科)

2. 相对论的窗化重述：光锥 + 母尺的稳定子

定理 2（洛伦兹群 = 稳定子）

保持 Minkowski 光锥结构与母尺不变的线性变换群同构于 $S{O}^{+}(1,3)$。

论证：固定原点（去除平移自由度）后，保因果序的线性自同构群由 ${\mathbb{R}}_{+}\times S{O}^{+}(1,3)$ 生成；再要求母尺不变（排除整体伸缩），仅余 $S{O}^{+}(1,3)$。该结论与 Alexandrov–Zeeman 型定理一致。(math.tecnico.ulisboa.pt)

命题 2（GR 局域协变化与统一频移）

在流形各点局部平直化“光锥 + 母尺“，由 $\omega =-k_{\mu }{u}^{\mu }$ 得统一频移律

$$1+z=\frac{(k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_e}{(k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_o},$$

与测地方程的稳相条件相容，并与 SR/GR 运动学之标准处理一致。(arXiv)

3. 提升分辨率的本质：信息几何与奇性守恒

设归一化窗 $w_r(x):=\frac{1}{r}w(x/r)$，其中 $w\ge 0,w\in W^{1,1}(\mathbb{R})$、${\int }_{\mathbb{R}}w=1$（可选：$\int xw(x)dx=0$），卷积核 $h$，观测量

$$g_r(E)=(w_r\ast h\ast \rho )(E).$$

命题 3（梯度响应的尺度界与收敛）

设 $w\ge 0,w\in W^{1,1}(\mathbb{R}),\int w=1$，并且 $h\ast \rho \in L_{\mathrm{loc}}^1$（或 $BV$），令 $g_r=w_r\ast h\ast \rho$。对紧域 $K$ 有

$$|{\partial }_E{g}_r{|}_{L^1(K)}\le \frac{|w^{\prime }{|}_{L^1}}{r}|h\ast \rho {|}_{L^1(K^{\uparrow })}.$$

收敛分情形：

（i）若 $h\ast \rho \in W^{1,1}(K^{\uparrow })$ 且 $w\ge 0,\int w=1$，则

$$\underset{r\downarrow 0}{\lim }|{\partial }_E{g}_r-(h\ast \rho {)}^{\prime }{|}_{L^1(K)}=0,|{\partial }_E{g}_r{|}_{L^1(K)}\le |(h\ast \rho {)}^{\prime }{|}_{L^1(K^{\uparrow })}.$$

（ii）若 $h\ast \rho \in BV(K^{\uparrow })$（不必在 $W^{1,1}$），则

$$g_r\underset{r\downarrow 0}{\to }h\ast \rho \text{于 }{L}^1(K),|{\partial }_E{g}_r{|}_{L^1(K)}\le \mathrm{TV}(h\ast \rho ;K^{\uparrow }),$$

且 ${\partial }_E{g}_r\stackrel{\ast }{\rightharpoonup }D(h\ast \rho )$ 于测度空间（弱${}^{\ast }$）意义下。此时不主张 $|{\partial }_E{g}_r-(h\ast \rho {)}^{\prime }{|}_{L^1}$ 收敛。

NPE 估计器版（用于离散实现 ${\hat{g}}_r$）：

$$|{\partial }_E{\hat{g}}_r{|}_{L^1(K)}\le \frac{|w^{\prime }{|}_{L^1}}{r}|h\ast \rho {|}_{L^1(K^{\uparrow })}+{\epsilon }_{\mathrm{alias}}(r)+{\epsilon }_{\mathrm{EM}}(\delta ;r;p).$$

若满足 Nyquist 条件，则 ${\epsilon }_{\mathrm{alias}}(r)=0$，仅余 EM 端点—尾项账本。

上式体现：减小$r$提高边缘逼近度，但不产生普适的$1/r$下界增长。其中 $K^{\uparrow }:=K+\mathrm{supp}(w_r\ast h)$ 表示对紧域 $K$ 按卷积核的有效支撑做的厚化。(dlmf.nist.gov)

命题 4（Fisher 信息的模型依赖性）

在满足 Nyquist 与 NPE 误差账本（${\epsilon }_{\mathrm{alias}},{\epsilon }_{\mathrm{EM}}$）可审计的前提下，${\mathcal{I}}_r(\theta )$ 对$r$的单调性与标度依赖于噪声模型与归一化选择；一般情形下不存在普适的$r^{-2}$下界或单调性结论。当噪声统计（如 AWGN/Poisson）与窗归一化（如$\int w=1$或$|w_r{|}_2$固定）明确后，方可据该模型导出相应的$r$-标度与比较结论。(维基百科)

定理 3（奇性不增）

合法换窗（$w\mapsto w_r$ 与固定阶 EM 账本）对应的平滑不会新增$h\ast \rho$的奇性；因此在 alias 受控与 EM 误差可审计的条件下，提分辨率不会“制造伪峰“。奇性的位置与阶次可能受平滑影响，本文不作不变性主张。(dlmf.nist.gov)

4. 稳定重建与帧门槛

定理 4（Landau 必要密度）

带限类 Paley–Wiener 空间的稳定采样需下 Beurling 密度不低于带宽体积常数；若不足，重建条件数爆炸。(numdam.org)

定理 5（Wexler–Raz 对偶与紧框架）

对 Gabor 系，Wexler–Raz 双正交关系刻画了对偶窗的正交条件；存在参数域使紧框架成立，重建稳健。多窗融合在统计独立近似下将估计方差从 ${\sigma }^2$ 近似降至 ${\sigma }^2/K$。(sites.math.duke.edu)

备注（Balian–Low 障碍）

临界密度的正交基无法同时实现良好时频局域（Balian–Low），提示需用冗余帧而非临界基。(heil.math.gatech.edu)

5. 规范 vs. 真动力学：可证伪指纹

定义宇宙学状态指纹：减速 $q:=-\ddot{a}a/{\dot{a}}^2$、jerk $j:=\dddot a/(aH^3)$。定义

$$\eta (z):=\frac{D_L}{(1+z{)}^2{D}_A}.$$

判据：若 $\eta (z)\equiv 1$，且在 NPE 账本闭合与母尺不变下无新增奇性/伪峰，则属规范层一致；若出现 $\eta (z)\ne 1$ 或新增奇性/伪峰，则指向真动力学/新物理（如光学深度、非度规效应或光子非守恒）。(arXiv)

6. RCA/QCA 语义：光锥、红移与 $c$-限速分配

定义 2（因果锥与“光“）

局域可逆更新的格点动力学满足 Lieb–Robinson 上界，诱导有效“光锥“；饱和该上界的最小记号流称为“光“。(维基百科)

命题 6（红移的离散表述）

以主频 $f_{\mathrm{clk}}(t)=\frac{c}{R(t){\ell }_{\ast }}$ 计时，同一码元流观测的离散周期满足

$$P_0=(1+z)P_e,{\nu }_0={\nu }_e/(1+z),$$

即宇宙学红移的离散时间伸长，与连续表述一致。（由 §1 的统一频移律在离散时序上的直接化。）

命题 7（注意力/行动力的 $c$-限速分配）

设资源密度—流对 $(\rho ,J)$ 满足守恒式 ${\partial }_t\rho +\nabla \cdot J=s$ 与约束 $|J|\le c\rho$，则影响仅能在因果锥内以不超过 $c$ 的速度传播；该“调度光速“与 Lieb–Robinson 速度一致。(link.aps.org)

7. 信息边界与速度极限

命题 8（处理速率上界：量子速度极限）

Mandelstam–Tamm 与 Margolus–Levitin 界给出最短演化时间与最大状态变更率；因此在给定能量/功率预算下，任何“分辨率提升—处理速率“均受其限制，不因尺度规范而放宽。(pubs.aip.org)

8. 观测—重建—对偶一致性的操作学规程

流程 A（母尺三重闭合）：对同一对象同时计算 ${\phi }^{\prime }(E)/(2\pi )$、$(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)$、$\rho (E)$，要求曲线与方向极点一致，以验证刻度统一与 Birman–Kreĭn—Wigner–Smith 的互证。(arXiv)

流程 B（NPE 账本）：对每条数据管线报告“alias=0/≠0、EM 阶次 $p$、尾项上界“；在 Nyquist 满足且噪声/归一化已定的前提下，$r\downarrow$ 降低偏差但方差通常上升（需带宽优化），无新增奇性、无伪峰由 §3“奇性不增“与 alias/EM 账本保障。(维基百科)

流程 C（几何对偶校验）：构造 $\eta (z)=D_L/[(1+z{)}^2{D}_A]$ 并做 Tolman 指数回归（期望 $n=4$），作为“规范 vs. 动力学“的一致性证据。(维基百科)

流程 D（分辨率分配矩阵）：在时/频/角/尺度–相位坐标上，取

$$M^{\star }=\arg \underset{M⪰0,\mathrm{tr}M=\chi }{\max }⟨M,{\nabla }_{\mathbf{r}}\mathcal{I}{\nabla }_{\mathbf{r}}{\mathcal{I}}^{\top }⟩,$$

其中 $\chi >0$ 为固定资源预算常数（与 $\kappa (t)=\dot{a}/a$ 无关），$\mathbf{r}=(t,\omega ,\vartheta ,s)$ 收集时域/频域/角域/尺度–相位坐标（可按任务裁剪）。报告 Fisher 信息增益与条件数改善。

9. 理论之最小充分性

1. 尺度规范 $a=R^{-1}$：把“外部膨胀“与“内部提分辨率“统一为同一 Mellin 伸缩，不改变本体奇性。
2. 母尺刻度：以 $\rho =-{\xi }^{\prime }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S=\frac{{\phi }^{\prime }}{2\pi }$ 统一读数，跨装置可比。(arXiv)
3. NPE 有限阶闭合：以 Poisson–EM 的有限阶纪律关闭误差账本，Nyquist 消灭别名。(dlmf.nist.gov)
4. 帧门槛：Landau 必要密度与 Wexler–Raz 对偶保证稳定可逆重建。(msp.org)
5. 相对论一致性：光锥 + 母尺的稳定子给出洛伦兹群；FRW 中统一频移律、Etherington 与 Tolman 自然成立。(math.tecnico.ulisboa.pt)

附：若干标准结果与本文结构的对应

• Wigner–Smith 群延迟与“密度—相位导数“三等价：群延迟矩阵定义与实验可测性、以及 $\det S$ 与谱位移函数的 Birman–Kreĭn 关系，支撑母尺刻度。(chaosbook.org)
• 红移的协变表述：$\omega =-k_{\mu }{u}^{\mu }$ 与 $1+z=((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_e)/((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_o)$；宇宙学距离量的标准复合与对偶关系。(arXiv)
• Tolman $(1+z{)}^{-4}$ 与对偶检验：观测校准与方法学指引。(arXiv)
• Alexandrov–Zeeman 定理：因果结构决定（至多差整体伸缩的）洛伦兹—庞加莱群，缩去整体伸缩即得洛伦兹群。(math.tecnico.ulisboa.pt)
• Landau 密度、Wexler–Raz、Balian–Low：稳定采样—对偶—不可兼得局域性的三点平衡。(numdam.org)
• Lieb–Robinson 与 QCA：格点上的“有效光速“与可逆更新的因果锥。(维基百科)
• 量子速度极限：分辨率提升与处理速率受 MT/ML 类界统一约束。(pubs.aip.org)

证明附录（选）

A. Birman–Kreĭn—群延迟—相位导数三位一体

令可逆 $S(E)$ 单位散射矩阵。由 Smith 定义 $\mathsf{Q}(E)=-i{S}^{†}{S}^{\prime }$，则

$$\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })=-i{\partial }_E\log \det S,$$

其中用到 ${\partial }_E\log \det S=\mathrm{tr}(S^{-1}{S}^{\prime })=\mathrm{tr}(S^{†}{S}^{\prime })$（因 $S$ 单位）。由 $\det S(E)=e^{-2\pi i\xi (E)}$ 与 $\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-i{\partial }_E\log \det S$ 得 $\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}=-{\xi }^{\prime }(E)$。又 $\phi (E)=\arg \det S(E)=-2\pi \xi (E)$ 故 ${\phi }^{\prime }(E)=-2\pi {\xi }^{\prime }(E)$。于是

$$\rho (E)=-{\xi }^{\prime }(E)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}(E)=\frac{1}{2\pi i}{\partial }_E\log \det S(E)=\frac{{\phi }^{\prime }(E)}{2\pi }.$$

(arXiv)

B. Etherington 与 Tolman 的几何来源

在唯一零测地、光子数守恒且度规引力下，测角面元与固有光度的变换给出 $D_L=(1+z{)}^2{D}_A$；结合单位时间—单位面积通量与光子能量/到达率的 $(1+z{)}^{-1}\times (1+z{)}^{-1}$ 因子，再与视角面积缩放的 $(1+z{)}^{-2}$ 合成 Tolman 面亮度衰减 $(1+z{)}^{-4}$。(维基百科)

C. Alexandrov–Zeeman 稳定子到洛伦兹群

固定原点后，保因果序的线性映射由 ${\mathbb{R}}_{+}\times S{O}^{+}(1,3)$ 生成；再引入母尺的不变性即可去除整体伸缩，余下 $S{O}^{+}(1,3)$。(math.tecnico.ulisboa.pt)

D. Landau—Wexler–Raz—Balian–Low 的帧三角

Landau 下界给出采样点的必要密度；Wexler–Raz 刻画对偶窗使重建算子为恒等；Balian–Low 宣告临界密度正交基无法同时良好局域，故工程上以冗余紧框架替代。(msp.org)

工具性定义与符号索引

• $a(t)$：尺度因子；$R(t)=a(t{)}^{-1}$：内部尺标；$\kappa =\dot{a}/a$。
• $S(E)$, $\mathsf{Q}(E)$, $\phi (E)$, $\rho (E)$：三位一体母尺对象。(arXiv)
• NPE：Nyquist（别名入账/关断）–Poisson（求和桥接）–Euler–Maclaurin（有限阶伯努利层与尾项）。(维基百科)
• 帧密度与对偶：Landau 必要密度、Wexler–Raz 对偶、Balian–Low 限制。(numdam.org)
• 统一频移：$1+z=((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_e)/((k_{\mu }{u}^{\mu }{)}_o)$。(arXiv)