相位–尺度母映射与欧拉–ζ–素数的镜像统一

（严格推导、解析延拓、离散–连续桥与信息量刻度）

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摘要

本文提出以母映射（phase–scale mother mapping）为核心的纯数学框架，统一论证：欧拉公式（单模相位）—黎曼 ζ 函数（多模相位–尺度叠加）—素数的欧拉积—完成函数的镜像对称。我们建立：(i) 相位–尺度正交与母映射的解析域；(ii) 加法镜像（二项闭合的充要条件）及零集的余维 2 几何；(iii) 基于自反核的 Mellin 不变性所导出的函数镜像（泛函方程）；(iv) 将 Euler–Maclaurin 组织为伯努利层，给出沿指定尺度方向的解析延拓与极点定位；(v) ζ/Dirichlet 级数的嵌入与信息量刻度（熵、有效模态数、参与率），从而精确定义“相位层信息守恒 / 尺度与离散层宇称不守恒“；(vi) 与一般 $L$-函数（Selberg/GL $(n)$）的公理化接口（degree 与 conductor、完成函数、显式公式）；(vii) 离散化与一致逼近（Poisson 或 Nyquist 加 Euler–Maclaurin）及差分湮灭结构。全文独立于特定维数。

关键词：欧拉公式；黎曼 ζ；欧拉积；完成函数；Mellin 变换；Poisson 求和；伯努利数；Euler–Maclaurin；自守 $L$-函数；信息熵。

1. 记号与总体贡献

相位变量取作非紧致实向量 $\theta \in {\mathbb{R}}^m$，尺度变量 $\rho \in {\mathbb{C}}^n$。复乘法群 ${\mathbb{C}}^{\times }\cong {\mathbb{R}}_{+}\times U(1)$ 给出尺度–相位分解；$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 为欧氏内积；$\Re z,\Im z$ 分别为实部与虚部；$B_k$ 为伯努利数。记 $DG$ 为雅可比矩阵。

总体贡献：

1. 定义母映射 $\mathcal{M}[\mu ]$ 并以被积函数的绝对可积性直接刻画管域解析；
2. 证明二项闭合的充要条件与多项零集的余维 2 结构；
3. 以自反核给出函数镜像并构造完成函数；
4. 以有限阶 Euler–Maclaurin 与伯努利层确立解析延拓范式与误差控制；
5. 在带权累积分布的指数–多项式渐近下，证明沿指定尺度方向的亚纯化与极点定位；
6. 建立信息量刻度，并给出相位层守恒与尺度/离散层破缺；
7. 对接一般 $L$-函数的 degree 与 conductor、完成函数与显式公式，并给出离散一致逼近与差分湮灭的可执行方案。

2. 相位–尺度母映射与解析域

设 $\mu$ 为支撑于 ${\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n$ 的复 Radon 测度（局部有限/σ-有限）。定义

$$\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )={\int }_{{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n}{e}^{i⟨\omega ,\theta ⟩}{e}^{⟨\gamma ,\rho ⟩}d\mu (\omega ,\gamma ),\theta \in {\mathbb{R}}^m,\rho \in {\mathbb{C}}^n.$$

若 $\mu ={\sum }_j{c}_j{\delta }_{({\alpha }_j,{\beta }_j)}$ 为离散（可无限支撑），则

$$\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )=\sum _j{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

管域解析（以绝对可积性定义） 设

$$\mathcal{T}:=\{\rho \in {\mathbb{C}}^n:\int e^{\Re ⟨\gamma ,\rho ⟩}d|\mu |(\omega ,\gamma )<\infty \}.$$

则 $\mathcal{T}$ 凸，其内部 $\mathrm{int}\mathcal{T}$ 为开且为全纯域，并且 $\rho \mapsto \mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )$ 在 $\mathrm{int}\mathcal{T}$ 上全纯；对每个固定 $\rho \in \mathcal{T}$，$\theta \mapsto \mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )$ 为 ${\mathbb{R}}^m$ 上的有界连续函数。在离散情形，若对每个紧集 $K⋐\mathrm{int}\mathcal{T}$ 有 $$\sum _j|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}\Re ⟨{\beta }_j,\rho ⟩}<\infty ,$$ 则在 $K$ 上绝对一致收敛，从而由 Weierstrass 判别法得全纯；一般情形无需该一致收敛结论，可直接由积分形式配合主导收敛/Morera 得到关于 $\rho$ 的全纯性。

3. 加法镜像（二项闭合）与零集余维 2

以下默认 $\rho \in {\mathbb{R}}^n$。

令

$$F(\theta ,\rho )=\sum _{j=1}^k{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},G=(\Re F,\Im F):{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^2.$$

定理 3.1（二项闭合）. 当 $k=2$ 且 $c_1{c}_2\ne 0$ 时，

$$F(\theta ,\rho )=0⟺\{\begin{array}{l}⟨{\beta }_1-{\beta }_2,\rho ⟩=\log |c_2/c_1|,\\ ⟨{\alpha }_2-{\alpha }_1,\theta ⟩\equiv \pi -\arg (c_2/c_1)(\mathrm{mod}2\pi ).\end{array}$$

上述充要条件适用于 ${\alpha }_2\ne {\alpha }_1$ 且 ${\beta }_2\ne {\beta }_1$。 若 ${\alpha }_2={\alpha }_1$，则 $F=0⟺c_1{e}^{⟨{\beta }_1,\rho ⟩}+c_2{e}^{⟨{\beta }_2,\rho ⟩}=0$（仅约束 $\rho$）； 若 ${\beta }_2={\beta }_1$，则 $F=0⟺c_1+c_2{e}^{i⟨{\alpha }_2-{\alpha }_1,\theta ⟩}=0$（仅约束 $\theta$）； 若二者皆等，则 $F=0⟺c_1+c_2=0$。

定理 3.2（零集余维 $2$）. 若 $F(p)=0$ 且 $\mathrm{rank}DG(p)=2$，则零集 $\{F=0\}$ 在 $p$ 邻域为维数 $m+n-2$ 的实解析子流形（隐函数定理）。当 $\rho$ 取复值时需同时配平 $\Im ⟨{\beta }_2-{\beta }_1,\rho ⟩$ 以保持秩为 2。

相位镜像 定义为 $\theta \mapsto -\theta$。因 $e^{i⟨\alpha ,-\theta ⟩}=\overline{e^{i⟨\alpha ,\theta ⟩}}$，它是 Fourier 侧的幺正反射，保持谱能量与第 8 节定义的信息刻度不变。

4. 乘法镜像（函数镜像）与 Mellin 自反

取核 $K:(0,\infty )\to \mathbb{C}$ 满足

$$K(x)=x^{-a}K(1/x),$$

并在 $x\to 0,\infty$ 具有足够衰减。其 Mellin 变换

$$\Phi (s)={\int }_0^{\infty }K(x)x^s\frac{dx}{x}$$

满足

$$\Phi (s)=\Phi (a-s).$$

当 $a=1$ 时给出标准的 $s\mapsto 1-s$ 对称。完成函数

$$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$$

满足 $\xi (s)=\xi (1-s)$。

5. 相位镜像与乘法镜像的统一

令 $\rho =({\rho }_1,\dots ,{\rho }_n)$、$x_j=e^{{\rho }_j}$（分量指数），则

$$e^{⟨\beta ,-\rho ⟩}=\prod _{j=1}^n{x}_j^{-{\beta }_j}.$$

以 $\varphi =e^{i\theta }$ 表示相位，得到

$$\boxed{\text{乘法镜像}=\text{相位镜像在 }\rho =\log x\text{ 下的指数延拓}\oplus \text{(Γ–π 正规化)}}.$$

在 $n=1$ 的情况下，$e^{⟨\beta ,-\rho ⟩}=(1/x{)}^{\beta }$ 为上述公式的标量特例。

6. 伯努利层与离散–连续桥

若 $f\in C^{2M}([a,b])$，Euler–Maclaurin 公式给出

$$\sum _{n=a}^{b}f(n)={\int }_a^{b}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{m=1}^{M-1}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(f^{(2m-1)}(b)-f^{(2m-1)}(a))+R_M,$$

$$|R_M|\le \frac{|B_{2M}|}{(2M)!}(b-a)\underset{x\in [a,b]}{\sup }|f^{(2M)}(x)|.$$

取 $f(x)=a(x)x^{-s}$ 并假设存在 $ϵ>0$ 使 $a^{(r)}(x)=O(x^{-1-ϵ-r})$。为保证余项 $R_M(s)$ 关于 $s$ 的条带内全纯，引入可积性与条带一致性条件：存在 $M\ge 1$ 与实数 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$，使

$${\int }_1^{\infty }|f^{(2M)}(x)|dx<\infty \text{且对}\sigma \in [{\sigma }_1,{\sigma }_2]\text{一致成立}.$$

则 $R_M(s)$ 在上述条带 $\sigma \in [{\sigma }_1,{\sigma }_2]$ 上全纯（等价地：在满足可积性的区域内全纯）；极点全部来自主尺度积分项对 $s$ 的解析延拓。

6.1 延拓范式（极点源自主尺度积分）

在上述假设下，${\sum }_{n\ge 1}f(n)$ 的极点由 ${\int }_1^{\infty }f(x)dx$ 的解析延拓产生，余项在上述条带内全纯。伯努利层给出离散端点的系统校正。

6.2 方向化解析延拓（带权累积分布与拉普拉斯–Stieltjes 变换）

令 $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$ 为单位向量，分解 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$（$⟨{\rho }_{\perp },\mathbf{v}⟩=0$）。在离散情形置

$$t_j:=⟨-{\beta }_j,\mathbf{v}⟩,w_j:=c_j{e}^{⟨{\beta }_j,{\rho }_{\perp }⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},$$

并定义带权累积分布

$$M_{\mathbf{v}}(t):=\sum _{j:t_j\le t}{w}_j.$$

假设存在实数 ${\gamma }_0>{\gamma }_1>\cdots >{\gamma }_L$、$\delta >0$ 与多项式 $Q_{\ell }$（可取复系数），使得当 $t\to +\infty$（沿 $\mathbf{v}$ 的正向）：

$$M_{\mathbf{v}}(t)=\sum _{\ell =0}^L{Q}_{\ell }(t)e^{{\gamma }_{\ell }t}+O\left(e^{({\gamma }_L-\delta )t}\right),$$

并且存在常数 $A,a\ge 0$ 使 $|w_j|\le A{e}^{a{t}_j}$（温和增长），以及存在 $t_{\ast }\in \mathbb{R}$ 使 $t_j\ge t_{\ast }$ 对所有 $j$ 成立，从而以级数 ${\sum }_j{w}_j{e}^{-s{t}_j}$ 为主定义；当 $M_{\mathbf{v}}$ 具有界变差时，与 Stieltjes 积分记号等价。

$${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)=\sum _j{w}_j{e}^{-s{t}_j}=\mathcal{M}[\mu ](\theta ,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}).$$

则 ${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)$ 在 $\Re s>{\gamma }_0$ 作为拉普拉斯–Stieltjes 变换收敛，并可亚纯延拓至 $\Re s>{\gamma }_L-\delta$，其在 $s={\gamma }_{\ell }$ 处至多出现 $\mathrm{deg}{Q}_{\ell }+1$ 阶极点。若进一步假设

$$\sum _{t_j\le t}|w_j|=O(e^{{\gamma }_{0}t})(\text{等价地：}{M}_{\mathbf{v}}\text{有界变差且总变差满足该上界}),$$

则在 $\Re s>{\gamma }_0$ 获得绝对收敛。

7. ζ 函数与 Dirichlet 多项式的嵌入

取

$$\mu =\sum _{n\ge 1}{\delta }_{(\log n,-\log n)},\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )=\sum _{n\ge 1}{e}^{-\rho \log n}{e}^{i\theta \log n}.$$

当 $\sigma >1$，置 $\rho =\sigma \in \mathbb{R}$、$\theta =-t\in \mathbb{R}$，则

$$\mathcal{M}[\mu ](-t,\sigma )=\sum _{n\ge 1}{n}^{-\sigma }{e}^{-it\log n}=\sum _{n\ge 1}{n}^{-(\sigma +it)}=\zeta (\sigma +it).$$

对任意 Dirichlet 多项式 $S_N(s)={\sum }_{n\le N}{a}_n{n}^{-s}$，令 $({\alpha }_n,{\beta }_n,c_n)=(\log n,-\log n,a_n)$，则

$$S_N(\sigma +it)=\sum _{n\le N}{a}_n{e}^{-\sigma \log n}{e}^{-it\log n}=\mathcal{M}[{\mu }_N](\theta =-t,\rho =\sigma ).$$

8. 信息量刻度与“信息守恒 / 宇称不守恒“

本节以下计算均在 $\sigma >1$ 的收敛域内进行。

在离散谱 $\{c_j,{\beta }_j\}$ 下定义

$$p_j(\rho )=\frac{|c_j|e^{\Re ⟨{\beta }_j,\rho ⟩}}{{\sum }_{\ell }|c_{\ell }|e^{\Re ⟨{\beta }_{\ell },\rho ⟩}},H=-\sum _j{p}_j\log p_j,N_{\mathrm{eff}}=e^H,N_2=(\sum _j{p}_j^2{)}^{-1}.$$

相位层信息守恒：固定 $\rho$ 时，相位旋转与指标置换不改变 $(p_j,H,N_{\mathrm{eff}},N_2)$。 尺度与离散层宇称破缺：一般谱对反射 $\rho \mapsto 2{\rho }_0-\rho$ 不保持上述量；离散求和破坏平移对称，其偏差由伯努利层校正；完成函数中的 $\Gamma ,\pi$ 因子在函数层面恢复 $s\leftrightarrow 1-s$ 的镜像。

ζ 的量化示例. 设 $p_n(\sigma )=\zeta (\sigma {)}^{-1}{n}^{-\sigma }$（$\sigma >1$），则

$$H(\sigma )=\log \zeta (\sigma )-\sigma \frac{{\zeta }^{\prime }(\sigma )}{\zeta (\sigma )},N_2(\sigma )=\frac{\zeta (\sigma {)}^2}{\zeta (2\sigma )}.$$

当 $\sigma \downarrow 1$ 时 $N_{\mathrm{eff}},N_2\to \infty$；当 $\sigma \to \infty$ 时 $N_{\mathrm{eff}}\to 1$。

9. $L$-函数接口：degree、conductor、完成函数与显式公式

设

$$L(s)=\sum _{n\ge 1}{a}_n{n}^{-s},\Lambda (s)=Q^s(\prod _{j=1}^d\Gamma ({\lambda }_{j}s+{\mu }_j))L(s),$$

满足

$$\Lambda (s)=\epsilon \overline{\Lambda }(1-\overline{s}),$$

并有欧拉积

$$L(s)=\prod _p\prod _{j=1}^d(1-{\alpha }_{p,j}{p}^{-s}{)}^{-1}.$$

则 $d$ 为 degree，$Q$ 为 conductor。把 ${\alpha }_{p,j}$ 视作本地相位、$p^{-s}$ 视作本地尺度，即可嵌入 $\mathcal{M}[\mu ]$；完成函数由与 $\Gamma$-因子对应的自反核保障镜像；在统一试验核下，Weil 显式公式配对“零点—素数“。

10. 离散化一致逼近与差分湮灭

取尺度步长 $\Delta >0$，记 $b=e^{\Delta }$。对相位带限（$\le B$）的三角多项式，在 $q>2B$ 的等距采样（Nyquist）下无失真重构。定义离散逼近

$$\boxed{F_q(\mathbf{j},\ell )=\sum _r{c}_r{e}^{⟨{\beta }_r,{\rho }_0⟩}\left(b^{⟨{\beta }_r,\mathbf{v}⟩}{)}^{\ell }\exp \right(\frac{2\pi i}{q}⟨{\alpha }_r,\mathbf{j}⟩)}$$

在给定相位/尺度窗口中仅保留有限个指标 $r$（或 $\mu$ 的支撑本身有限）时，定义采样格点 ${\theta }_{\mathbf{j}}=\frac{2\pi }{q}\mathbf{j}$，

$$\boxed{{\rho }_{\ell }={\rho }_0+\Delta \ell \mathbf{v}}$$

（${\rho }_0$ 为窗口起点），则

$$\boxed{\underset{(\mathbf{j},\ell )}{\sup }|\mathcal{M}[\mu ]({\theta }_{\mathbf{j}},{\rho }_{\ell })-F_q(\mathbf{j},\ell )|\le C_1\text{(带宽别名)}+C_2\text{(伯努利端点余项)}+C_0\text{(截断误差)}.}$$

在此前提下，在尺度维数 $n=1$ 的情形下，固定 $\mathbf{j}$ 的序列 $\ell \mapsto F_q(\mathbf{j},\ell )$ 为有限项几何级数，其一个差分湮灭算子为

$$\boxed{\prod _r(S-{\lambda }_{r}I)=0},(Sf)(\ell )=f(\ell +1),{\lambda }_r=b^{⟨{\beta }_r,\mathbf{v}⟩}=e^{\Delta ⟨{\beta }_r,\mathbf{v}⟩}.$$

验证：对单项 $f_r(\ell )={\lambda }_r^{\ell }$，有 $(S-{\lambda }_{r}I)f_r(\ell )={\lambda }_r^{\ell +1}-{\lambda }_r\cdot {\lambda }_r^{\ell }=0$。

一维特例取 $\Delta =1$ 时，${\lambda }_r=b^{⟨{\beta }_r,\mathbf{v}⟩}$。

11. 结论

本文从相位–尺度正交出发，以母映射统一欧拉（单模）与 ζ（多模），给出加法镜像与乘法镜像的统一原理与解析延拓范式；在信息刻度下刻画“单模↔多模“的数量级差异；并在 $L$-函数层面通过 degree、conductor、完成函数与显式公式建立统一接口。离散一致逼近与差分湮灭提供了可执行的数值路径，为后续系列工作的严密化与外延奠定共同基底。

附录 A：$\Gamma$ 与伯努利展开（渐近扇形与收敛说明）

(i) 收敛级数.

$$x\cot x=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{2^{2k}{B}_{2k}}{(2k)!}{x}^{2k}(|x|<\pi ).$$

(ii) Stirling 渐近展开（非收敛）. 在 $|\arg z|<\pi$ 的扇形内、$|z|\to \infty$：

$$\log \Gamma z=(z-\frac{1}{2})\log z-z+\frac{1}{2}\log (2\pi )+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}+\cdots ,$$

上述为渐近级数而非常值域收敛级数。

附录 B：Jacobian 与横截检验（计算式）

$${\partial }_{{\theta }_{\ell }}F=i\sum _j{c}_j{\alpha }_{j,\ell }{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},{\partial }_{{\rho }_{\ell }}F=\sum _j{c}_j{\beta }_{j,\ell }{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

在 $F=0$ 处，从 $\{{\partial }_{{\theta }_{\ell }}\Re F,{\partial }_{{\rho }_{\ell }}\Im F\}$ 中取两列线性无关向量，即得 $\mathrm{rank}DG=2$。

参考文献

1. Titchmarsh, E. C. (1986). The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.). Oxford University Press.

2. Iwaniec, H., & Kowalski, E. (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society.

3. Montgomery, H. L., & Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative Number Theory I: Classical Theory. Cambridge University Press.

4. Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag.

5. Conrey, J. B. (1989). More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 399, 1–26.

6. Weil, A. (1952). Sur les “formules explicites” de la théorie des nombres premiers. Meddelanden från Lunds Universitets Matematiska Seminarium, 252–265.