母映射的解析域与可积性基线

（S1：严格陈述、完整证明与可检清单）

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摘要

本文以相位–尺度母映射 $\mathcal{M}[\mu ]$ 为中心对象，系统建立其解析域、可积性与换序的基线理论。我们给出：（i）指数矩—管域解析定理：若谱测度 $\mu$ 具有某方向的指数矩，则母映射在相应管域中对尺度变量全纯、对相位变量连续且一致有界；（ii）离散谱的充分收敛—全纯准则：对离散谱，${\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty$ 在某开集上成立即蕴含局部一致收敛与全纯性；（iii）换序与微分—积分互换准则：给出 Fubini/Tonelli 与主导收敛下的最小可检条件，从而合法地进行求和/积分/微分的互换。并建立增长估计、凸性与边界行为的若干引理，给出 ζ/Dirichlet 级数等典型例与两类反例。全文作为系列论文的基础篇，给出面向应用的可检清单。

关键词：母映射；指数矩；管域；Tonelli/Fubini；主导收敛；Weierstrass 判别法；局部一致收敛；全纯函数。

1. 引言与设定

相位–尺度母映射把“相位旋转“与“尺度伸缩“统一到一个解析对象中，可书写为

$$\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )={\int }_{{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n}{e}^{i⟨\omega ,\theta ⟩}{e}^{⟨\gamma ,\rho ⟩}d\mu (\omega ,\gamma ),\theta \in {\mathbb{R}}^m,\rho \in {\mathbb{C}}^n,$$

其中 $\mu$ 为 ${\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n$ 上的 $\sigma$-有限 Radon 复测度。若 ${\mathrm{proj}}_{\omega }(\mathrm{supp}\mu )\subset {\mathbb{Z}}^m$，则自然降至 ${\mathbb{T}}^m$ 的等价表述。若 $\mu$ 离散，

$$\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )=\sum _j{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},({\alpha }_j,{\beta }_j)\in {\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^n,c_j\in \mathbb{C}.$$

本文目标是刻画其解析域与可积性、给出合法换序与微分的最小充分条件，并在离散谱情形下给出可检收敛准则。

2. 记号与基本对象

• $⟨\cdot ,\cdot ⟩$：${\mathbb{R}}^d$ 上标准内积；$\Re z,\Im z$：复数的实部与虚部。
• $\mathbb{T}:=\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$，${\mathbb{T}}^m$ 为 $m$ 维相位环面。
• $|\mu |$：复测度 $\mu$ 的全变差。
• 指数矩集合：

$$\mathsf{E}(\mu ):=\{\tau \in {\mathbb{R}}^n:\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |(\omega ,\gamma )<\infty \}.$$

• 管域（tube domain）：给定 $\tau \in \mathsf{E}(\mu )$，定义

$$\mathcal{T}(\tau ):=\{\rho \in {\mathbb{C}}^n:\Re ⟨\gamma ,\rho ⟩<⟨\gamma ,\tau ⟩\text{对所有 (ω,γ)∈suppμ 且 γ=0}\}.$$

（注：若支撑含 $\gamma =0$ 的点，则上述严格不等式按“对所有 $\gamma \ne 0$ 的支撑”理解；$\{\gamma =0\}$ 上 $e^{⟨\gamma ,\rho ⟩}\equiv 1$ 仅贡献与 $\rho$ 无关的常数项。若 $|\mu |(\{\gamma =0\})=\infty$ 则 $\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |$ 本已发散，与 C1 不相容。）

3. 指数矩与管域解析

定理 3.1（管域解析定理）

若 $\tau \in \mathsf{E}(\mu )$，则对任意固定 $\theta \in {\mathbb{R}}^m$，映射 $\rho \mapsto \mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )$ 在开集 $\mathcal{T}(\tau )$ 上全纯；对任意固定 $\rho \in \mathcal{T}(\tau )$，$\theta \mapsto \mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )$ 为连续函数（并在 ${\mathbb{R}}^m$ 的任意紧致集上有界）。此外，在任意紧致 $K⋐\mathcal{T}(\tau )$ 上存在常数 $C_K$ 使

$$\underset{\theta \in {\mathbb{R}}^m,\rho \in K}{\sup }|\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )|\le C_K\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |(\omega ,\gamma ).$$

证明（给出要点）。任取 $K⋐\mathcal{T}(\tau )$。对任意 $\rho \in K$ 与支撑上 $\gamma \ne 0$，由 $\rho \in \mathcal{T}(\tau )$ 得 $\Re ⟨\gamma ,\rho ⟩<⟨\gamma ,\tau ⟩$；对 $\gamma =0$ 则有 $\Re ⟨\gamma ,\rho ⟩=⟨\gamma ,\tau ⟩=0$。因此 $$\left|e^{i⟨\omega ,\theta ⟩}{e}^{⟨\gamma ,\rho ⟩}\right|\le e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}.$$ 取 $C_K=1$。右端对 $(\omega ,\gamma )$ 可积。由主导收敛与 Morera/换序可得对 $\rho$ 的全纯性；对 $\theta$ 的连续性与（在紧致集上的）有界性同理。上式给出一致上界。∎

命题 3.2（$\mathsf{E}(\mu )$ 的凸性与非空性准则）

$\mathsf{E}(\mu )$ 为凸集；若存在 ${\tau }_0$ 与 $\epsilon >0$ 使 $\int e^{⟨\gamma ,{\tau }_0⟩+\epsilon |\gamma |}d|\mu |<\infty$（充分条件：存在邻域 $U\ni {\tau }_0$ 满足 $\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |<\infty \forall \tau \in U$），则 ${\tau }_0\in \mathrm{int}\mathsf{E}(\mu )$。

证明。由 Hölder/Young 不等式，$f(\tau )=\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |$ 为对数凸，从而 $\mathsf{E}(\mu )$ 凸；在给定的局部指数余量条件下，${\tau }_0\in \mathrm{int}\mathsf{E}(\mu )$。∎

4. 离散谱的收敛—全纯准则与增长界

定理 4.1（离散谱的充分收敛—全纯判别）

设 $\mu ={\sum }_j{c}_j{\delta }_{({\alpha }_j,{\beta }_j)}$。若存在开集 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 使对每个紧致 $K⋐U$ 有

$$\sum _j|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty ,$$

则 $\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )={\sum }_j{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}$ 在 ${\mathbb{R}}^m\times U$ 上绝对且局部一致收敛，并对 $\rho$ 全纯、对 $\theta$ 连续。逐项微分可在满足 §5.2 的充分条件时成立：

$${\partial }_{\rho }^{\nu }\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )=\sum _j{c}_j{\beta }_j^{\nu }{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},\nu \in {\mathbb{N}}^n.$$

证明。对任意紧致 $K⋐U$，由前提有 ${\sum }_j|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty$。取 $M_j=|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}$，则 ${\sum }_j{M}_j<\infty$。由 M-判别法给出在 ${\mathbb{R}}^m\times K$ 上的局部一致收敛；由 Weierstrass 定理得和函数对 $\rho$ 全纯；逐项微分则需 §5.2 的矩条件。∎

命题 4.2（增长估计）

在 4.1 的条件下，对 $K⋐U$ 有

$$\underset{\theta \in {\mathbb{R}}^m,\rho \in K}{\sup }|\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )|\le \sum _j|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}.$$

5. 换序与微分—积分互换的最小准则

定理 5.1（Fubini/Tonelli 换序）

设 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 开。若存在 ${\rho }_0\in U$ 与邻域 $V⋐U$ 使

$$\int \underset{\rho \in V}{\sup }\left|e^{⟨\gamma ,\rho ⟩}\right|d|\mu |(\omega ,\gamma )<\infty ,$$

则可合法交换下列运算： $▹$ 对 $(\omega ,\gamma )$ 的积分与对 $\theta$ 的环面积分（或傅里叶系数提取）（当 $\omega$-谱含于 ${\mathbb{Z}}^m$ 时可作傅里叶系数提取；一般情形下可理解为对 $\theta \in {\mathbb{R}}^m$ 的有界测度平均/测试函数配对，与 $(\omega ,\gamma )$-积分可在所给主导条件下互换）； $▹$ 对 $(\omega ,\gamma )$ 的积分与对 $\rho$ 的线积分（Cauchy 公式）与偏导数； $▹$ 在离散谱下，对 ${\sum }_j$ 与上述各运算的互换。

证明。由所给可积上界与 Tonelli 定理，绝对可积性保证换序；对复可微由 Morera 与 Cauchy 公式在 $V$ 内成立，逐项（或逐点）运算合法。∎

定理 5.2（逐项微分的充分条件）

若对某紧致 $K⋐U$ 与多重指标 $\nu$ 有

$$\sum _j|c_j||{\beta }_j{|}^{|\nu |}{e}^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty ,$$

则 ${\partial }_{\rho }^{\nu }\mathcal{M}[\mu ]$ 可逐项计算并在 ${\mathbb{R}}^m\times K$ 上局部一致收敛。∎

6. 边界与管域几何

记 $\partial \mathcal{T}(\tau )$ 为管域边界。若 $\rho \to {\rho }_b\in \partial \mathcal{T}(\tau )$ 并存在 $({\omega }_{\star },{\gamma }_{\star })\in \mathrm{supp}\mu$ 使 $\Re ⟨{\gamma }_{\star },{\rho }_b⟩=⟨{\gamma }_{\star },\tau ⟩$，则一般不再有统一可积主导，可能发生发散。以下给出两类标准情形：

• 规整边界：若 $⟨\gamma ,{\rho }_b⟩\le ⟨\gamma ,\tau ⟩-\delta$ 对除一薄集外成立，且该薄集上 $d|\mu |$ 可积衰减，$\mathcal{M}[\mu ]$ 可能延拓至更大管域（需补充增长条件；见系列 S3）。
• 临界发散：若存在非零测度集中在 $⟨\gamma ,{\rho }_b⟩=⟨\gamma ,\tau ⟩$ 的超平面上，典型地出现对数级或幂级发散（见反例 8.2）。

7. 例与特例

例 7.1（ζ/Dirichlet 级数）

取离散谱 ${\beta }_n=-\log n$、${\alpha }_n=\log n$、$c_n=1$。当 $\sigma >1$ 时，

$$\mathcal{M}[\mu ](-t,\sigma )=\sum _{n\ge 1}{n}^{-(\sigma +it)}=\zeta (\sigma +it),$$

（此处按 $\theta \in \mathbb{R}$、$\omega =\log n$ 的实参设定；与 §5 的换序条件兼容，因为 $|e^{i\omega \theta }|\equiv 1$。）

与定理 4.1 的判据一致；其管域边界为 $\sigma =1$。

例 7.2（有限带宽相位谱）

若仅有限个 ${\alpha }_j$ 非零而 ${\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty$，则 $\theta \mapsto \mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )$ 为有限三角多项式，$\rho \mapsto \mathcal{M}[\mu ]$ 在上式给定开集内全纯。

例 7.3（连续谱与指数核）

设 $\mu$ 密度为 $c(\omega ,\gamma )d\omega d\gamma$，且 $\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}|c|d\omega d\gamma <\infty$。定理 3.1 直接给出 $\mathcal{T}(\tau )$ 内全纯与一致上界。

8. 反例与边界案例

反例 8.1（指数矩缺失导致非解析）

令 $\mu ={\sum }_{k\ge 1}{\delta }_{({\omega }_k,{\gamma }_k)}$ 且 ${\gamma }_k=k{e}_1$（$e_1$ 为坐标向量），$c_k=e^{k^2}$。则对任意 $\tau \in {\mathbb{R}}^n$， $\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |={\sum }_k{e}^{k^2+k⟨e_1,\tau ⟩}$ 发散，故 $\mathsf{E}(\mu )=\varnothing$。此时不存在非空管域，$\rho \mapsto \mathcal{M}[\mu ]$ 无全纯区。

反例 8.2（临界边界上的发散）

取 $\mu$ 支撑在 $\{(\omega ,\gamma ):\gamma =tv,t\ge 0\},\Vert v\Vert =1,d\mu (t)=dt$。则对 $\tau <0$，${\int }_0^{\infty }{e}^{t\tau }dt<\infty$，且当且仅当 $\tau <0$。管域 $\mathcal{T}(\tau )=\{\Re ⟨v,\rho ⟩<\tau \}$。对 $\rho =sv$（$s$ 实），$s<\tau$ 时收敛；而整体解析域为 ${\bigcup }_{\tau <0}\mathcal{T}(\tau )=\{s<0\}$，其边界 $s=0$ 处 ${\int }_0^{\infty }dt=\infty$ 发散，给出边界锐性。

9. 可检清单（最小充分条件）

C1（指数矩）：存在 $\tau$ 使 $\int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |<\infty$ $\Rightarrow$ $\rho \in \mathcal{T}(\tau )$ 上全纯且一致有界。 C2（离散谱—局部 M 判别）：在开集 $U$ 上对每个紧致 $K⋐U$ 有 ${\sum }_j|c_j|e^{{\sup }_{\rho \in K}⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty$ $\Rightarrow$ 局部一致收敛与全纯；若再满足 C4（导数），则逐项微分合法。 C3（换序）：存在 $V⋐U$ 使 $\int {\sup }_{\rho \in V}|e^{⟨\gamma ,\rho ⟩}|d|\mu |<\infty$ $\Rightarrow$ 求和/积分/微分与对 $(\omega ,\gamma )$ 的积分可互换。 C4（导数）：${\sum }_j|c_j||{\beta }_j{|}^{|\nu |}{e}^{{\sup }_K⟨{\beta }_j,\Re \rho ⟩}<\infty$ $\Rightarrow$ ${\partial }_{\rho }^{\nu }$ 可逐项。 C5（边界）：若存在支撑点达成 $\Re ⟨\gamma ,{\rho }_b⟩=⟨\gamma ,\tau ⟩$ 且相应测度不可忽略，${\rho }_b$ 处一般非可积，慎用延拓。

10. 与后续篇章的接口

• S2：基于本篇的局部一致收敛与解析性，证明加法镜像下零集的横截结构与余维 $2$。
• S3：在 C1–C3 的框架中构造自反核，推导 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$ 及完成函数。
• S4/S5：在本篇换序与主导收敛的基线上，建立 Euler–Maclaurin 有限阶误差与方向化亚纯化。
• S6–S10：信息刻度、$L$-函数接口、离散一致逼近与几何增长界均依赖本篇的解析域与换序准则。

附录 A：技术引理

引理 A.1（Morera—主导收敛版）

设 $f(\rho )=\int g(x,\rho )d\nu (x)$。若对每条闭合曲线 $\Gamma \subset U$ 有 $\int g(x,\rho )d\rho$ 在 $\Gamma$ 上绝对可积且可与 $d\nu$ 交换积分，则 $f$ 在 $U$ 上全纯。∎

引理 A.2（$\mathsf{E}(\mu )$ 的对数凸性）

函数 $\tau \mapsto \log \int e^{⟨\gamma ,\tau ⟩}d|\mu |$ 为凸，因而 $\mathsf{E}(\mu )$ 凸。∎

引理 A.3（Weierstrass–M 判别法）

若 ${\sum }_j{M}_j<\infty$ 且 $|f_j(z)|\le M_j$ 于紧致集上一致成立，则 ${\sum }_j{f}_j$ 局部一致收敛并在各 $f_j$ 全纯时全纯。∎

参考文献

[1] E.M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton, 2003. [2] L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. [3] N. Bourbaki, Integration, Springer, 2004. [4] H.L. Royden, P.M. Fitzpatrick, Real Analysis, Pearson, 2010. [5] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987.

附录 B：与 ζ/Dirichlet 场景的快速对照

• ζ 场景：${\beta }_n=-\log n$，当 $\sigma >1$，C2 成立（$\sum n^{-\sigma }<\infty$），得 $\mathcal{M}[\mu ](-t,\sigma )=\zeta (\sigma +it)$ 并在 $\sigma >1$ 条带内全纯。
• 一般 Dirichlet 级数：$\sum a_n{e}^{⟨{\beta }_n,\rho ⟩}$ 的绝对收敛域由 $\sum |a_n|e^{⟨{\beta }_n,\Re \rho ⟩}$ 确定，满足 C2 时即得全纯性与逐项微分。
• 连续核/光滑窗：选 $K$ 为快速衰减核且满足自反性条件（见 S3），在 C1–C3 下可与 Poisson 求和换序并得到完成函数模板。

结语

本文给出了母映射的解析域、可积性与换序的最小充分条件，并配合离散与连续两类谱的可检判据与反例，构成系列论文的公共基线。后续各篇将以此为前提，分别落实零集几何、自反核—完成函数、伯努利层延拓、方向化亚纯化、信息刻度与 $L$-函数接口等更深层结构。