S2. 加法镜像与零集几何

—— 二项闭合、余维 2、横截（残差）与基于幅度“平衡超平面“的局部化

摘要（定性）

在母映射框架下系统刻画有限项指数和的加法镜像结构与零集几何。在统一的管域与换序/收敛前提下，给出：二项闭合的充要条件与显式零集参数化；有限和在残差参数集上零集为实解析余维 2子流形的横截性定理（在任意固定紧致子域上为开且稠密）；零集在尺度侧受若干幅度“平衡超平面“的定量必要局部化；并列出退化族与反例。记号、Γ/π 正规化与方向切片约定与 S0/S1 保持一致，摘要仅作定性描述。

0. 记号与前置（与 S0/S1 对齐）

• 相位—尺度母映射

$$\mathcal{M}[\mu ](\theta ,\rho )=\int e^{i⟨\omega ,\theta ⟩}{e}^{⟨\gamma ,\rho ⟩}\mathrm{d}\mu (\omega ,\gamma ),\theta \in {\mathbb{R}}^m,\rho \in {\mathbb{R}}^n.$$

离散谱时

$$\mathcal{M}(\theta ,\rho )=\sum _{j=1}^J{c}_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},c_j\in \mathbb{C},{\alpha }_j\in {\mathbb{R}}^m,{\beta }_j\in {\mathbb{R}}^n.$$

• 预处理约定（C1′）：先删除所有 $c_j=0$ 的项，并对具有相同 $({\alpha }_j,{\beta }_j)$ 的项进行合并（系数相加）。在此约定下，对所有参与求和的索引 $j$ 有 $c_j\ne 0$，从而 $H_{jk}$ 与 $\delta (\rho )$ 定义良好。
• 域契约（C0）：一切计算在 S1 给定的管域/条带内进行，保证换序、逐项微分与 Poisson/Euler–Maclaurin 的合法互换。
• 方向切片（向量乘法）

$$\boxed{\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v},\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1},s\in \mathbb{R}}.$$

• 幅度与相位

$$A_j(\rho ):=|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},{\varphi }_j(\theta ):=\arg c_j+⟨{\alpha }_j,\theta ⟩.$$

• 幅度平衡超平面（尺度侧）

$$H_{jk}:=\{\rho \in {\mathbb{R}}^n:⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\rho ⟩=\log \frac{|c_k|}{|c_j|}\},j\ne k,$$

并约定：若 ${\beta }_j={\beta }_k$ 且 $|c_j|\ne |c_k|$，则 $H_{jk}:=\varnothing$；若 ${\beta }_j={\beta }_k$ 且 $|c_j|=|c_k|$，则 $H_{jk}:={\mathbb{R}}^n$（对应纯相位等幅分支）。

• 可检纪律：D1（测度/权重）、D2（Γ/π 正规化）、D3（有限阶 EM）、D4（方向化前置）。

1. 二项闭合与显式零集（加法镜像原型）

定理 T2.1（二项闭合的充要条件与零集参数化）

设

$$F(\theta ,\rho )=c_1{e}^{i⟨{\alpha }_1,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_1,\rho ⟩}+c_2{e}^{i⟨{\alpha }_2,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_2,\rho ⟩},c_1{c}_2\ne 0,$$

记 $\Delta \alpha :={\alpha }_1-{\alpha }_2,\Delta \beta :={\beta }_1-{\beta }_2$。在 C0 前提下：

1. 非退化（$\Delta \alpha \ne 0,\Delta \beta \ne 0$）

$$F=0⟺\{\begin{array}{l}⟨\Delta \beta ,\rho ⟩=-\log \left|\frac{c_1}{c_2}\right|,\\ ⟨\Delta \alpha ,\theta ⟩\equiv \pi -\arg \left(\frac{c_1}{c_2}\right)(\mathrm{mod}2\pi ).\end{array}$$

零集为实解析余维 2的可数并列（尺度侧一条超平面与相位侧平行超平面族之积）。 2. 退化 I（纯相位）（$\Delta \beta =0,\Delta \alpha \ne 0$） $|c_1|=|c_2|$ 时零集为相位侧平行超平面族；否则无零点。 3. 退化 II（纯尺度）（$\Delta \alpha =0,\Delta \beta \ne 0$） $\frac{c_1}{c_2}\in (-\infty ,0)$ 且 $⟨\Delta \beta ,\rho ⟩=-\log \left|\frac{c_1}{c_2}\right|$ 时零集为尺度侧超平面；否则无零点。 4. 退化 III（同频同尺度）（$\Delta \alpha =\Delta \beta =0$） 当且仅当 $c_1+c_2=0$ 时恒为零，否则无零点。

2. 有限项指数和的零集为余维 2（局部横截几何）

设

$$F(\theta ,\rho )=\sum _{j=1}^J{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},J\ge 2,$$

并记 $G=(\Re F,\Im F):\Omega \subset {\mathbb{R}}^{m+n}\to {\mathbb{R}}^2$。

引理 2.1（雅可比结构）

$${\partial }_{{\theta }_k}F=i\sum _{j=1}^J{\alpha }_{j,k}{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩},{\partial }_{{\rho }_{\ell }}F=\sum _{j=1}^J{\beta }_{j,\ell }{c}_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

定理 T2.2（零集的局部结构：实解析余维 2）

若 $x_0=({\theta }_0,{\rho }_0)\in \Omega$ 满足 $F(x_0)=0$ 且 $\mathrm{rank}\mathrm{D}G(x_0)=2$，则存在邻域 $U\ni x_0$ 使

$$Z\cap U=\{x\in U:G(x)=0\}$$

为 ${\mathbb{R}}^{m+n}$ 中的实解析子流形，且余维 2；该性质对 $\{c_j\}$ 与 $\{({\alpha }_j,{\beta }_j)\}$ 的小扰动稳定。

3. 横截性为残差（在紧域上开且稠密）

定理 T2.3（参数横截性）

设参数空间

$$\mathcal{P}=\{(c_1,\dots ,c_J,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_J,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_J)\}$$

具自然拓扑。则在 $\mathcal{P}$ 的残差子集上，$G$ 与 $0\in {\mathbb{R}}^2$横截；并且对任意固定的紧致子域 $K⋐\Omega$，该性质在 $\mathcal{P}$ 上为开且稠密。

思路. 令增广映射 $\mathcal{G}(\mathbf{p},x)=G_{\mathbf{p}}(x)$。参数横截性（Baire 类）给出残差性；限制于固定 $K$ 时横截性为开条件且由 Sard–Thom 原理稠密。

4. 幅度“平衡超平面“的定量必要局部化

命题 2.4（必要局部化：定量版）

定义

$$\delta (\rho ):=\underset{j<k}{\min }|⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\rho ⟩-\log \frac{|c_k|}{|c_j|}|.$$

若 $\delta (\rho )>\log (J-1)$，则对任意 $\theta$ 有 $F(\theta ,\rho )\ne 0$。因此零集在尺度投影上仅可能出现在

$$\{\rho :\delta (\rho )\le \log (J-1)\}$$

这一族“有界厚度邻域“内；当 $J=2$ 时该厚度阈值为 $0$，零点仅可出现在 $H_{12}$ 上。

证明要点. 令 $j_{\star }$ 使 $A_{j_{\star }}(\rho )={\max }_j{A}_j(\rho )$。由 $\delta (\rho )$ 的定义，对任意 $k\ne j_{\star }$ 有 $\log A_{j_{\star }}(\rho )-\log A_k(\rho )\ge \delta (\rho )$，故 $A_k(\rho )\le e^{-\delta (\rho )}{A}_{j_{\star }}(\rho )$，从而

$$\sum _{k\ne j_{\star }}{A}_k(\rho )\le (J-1)e^{-\delta (\rho )}{A}_{j_{\star }}(\rho )<A_{j_{\star }}(\rho ).$$

三角不等式给出 $|F(\theta ,\rho )|\ge A_{j_{\star }}-{\sum }_{k\ne j_{\star }}{A}_k>0$。

5. 方向切片上的横截与亚纯化接口

取 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$ 并固定 $\theta$，定义

$$f_{\theta ,{\rho }_{\perp },\mathbf{v}}(s)=\sum _{j=1}^J\left(c_j{e}^{⟨{\beta }_j,{\rho }_{\perp }⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}\right)e^{⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩s}.$$

若存在 $j\ne k$ 使 $⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩\ne 0$，则沿 $s$ 的零点在一般位置参数上为简单零（方向意义下的余维 1），其局部由两项主导的二项闭合控制；该方向性结构与 S5 的“沿方向亚纯化“自然对接。

6. 反例与边界族

• R2.1（同频同尺度合并）：${\alpha }_1={\alpha }_2,{\beta }_1={\beta }_2,c_1+c_2\ne 0$。无零点（同项合并）。
• R2.2（纯相位不等幅）：${\beta }_1={\beta }_2,|c_1|\ne |c_2|$。无零点（等式不可达）。
• R2.3（纯尺度非负比）：${\alpha }_1={\alpha }_2,\frac{c_1}{c_2}\notin (-\infty ,0)$。无零点（相位不可对径）。
• R2.4（多项和的共线梯度）：存在非平凡实向量 $u=(u_1,\dots ,u_J),v=(v_1,\dots ,v_J)\in {\mathbb{R}}^J$ 使 ${\sum }_{j=1}^J{u}_j{\alpha }_j=0,{\sum }_{j=1}^J{v}_j{\beta }_j=0$，并在零点处致 $\mathrm{D}G$ 两行共线。出现非横截零（可能余维 1 或粘连）。
• R2.5（域外切片）：尺度超平面与 C0 域不相交，参数方程无解；属域边界而非几何失效。

7. 与后续篇章的接口

• S3（自反核与函数镜像）：T2.1–T2.3 提供“幅度平衡 + 相位对径“的零集模板，可直接用于 Mellin 自反核下完成函数零点对称的局部模型；核之选取宜保 $\Delta \alpha \ne 0,\Delta \beta \ne 0$ 以维持镜像横截。
• S4（有限阶 EM 延拓）：命题 2.4 的定量界给出端点—主尺度分离的可检阈值；EM 余项以整函数方式进入，不改变“余维 2 主体几何“。
• S5（方向亚纯化）：沿方向切片的二项闭合结构（简单零与极点阶的方向模板）嵌入“极点=主尺度“的定位叙述。
• S10（amoeba/Ronkin）：$H_{jk}$ 为 amoeba 边界的线性骨架；零集的尺度投影受其支配，本篇给出必要性与定量局部化，凸性与定量增长留待 S10 完备。

8. 统一“可检清单“（最小充分条件汇总）

• C0（域）：工作点与邻域操作均处于 S1 的管域/条带内。
• C1（参数非退化）：关注二项子和满足 $\Delta \alpha \ne 0,\Delta \beta \ne 0$，或遵循 T2.1 的相应幅度/相位条件。
• C2（横截性）：候选零点处核对 $\mathrm{rank}\mathrm{D}G=2$；多项和避免诱发 $\nabla F$ 共线的代数关系。
• C3（尺度局部化）：仅在 $\{\rho :\delta (\rho )\le \log (J-1)\}$ 内搜索；若存在单项绝对占优或 $\delta (\rho )>\log (J-1)$，立判无零。
• C4（方向化）：沿 $\mathbf{v}$ 切片上确保 $⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩\ne 0$ 以获得简单零（一般位置）。
• C5（稳定性）：对小扰动参数保持 T2.2 的满秩与 T2.3 的横截性（紧域上开且稠密，整体为残差）。

9. 参考公式与微分算子（实作速记）

• 梯度与雅可比

$${\nabla }_{\theta }F=i\sum _j{\alpha }_j{\phi }_j,{\nabla }_{\rho }F=\sum _j{\beta }_j{\phi }_j,{\phi }_j:=c_j{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

• 满秩判据（等价、可检）

$$\boxed{\mathrm{rank}\mathrm{D}G=2⟺\Re \nabla F\text{与}\Im \nabla F\text{在}{\mathbb{R}}^{m+n}\text{线性无关}}.$$

等价地，存在 $u,v\in {\mathbb{R}}^{m+n}$ 使

$$\det \left(\begin{array}{cc}\Re ⟨u,\nabla F⟩& \Re ⟨v,\nabla F⟩\\ \Im ⟨u,\nabla F⟩& \Im ⟨v,\nabla F⟩\end{array}\right)\ne 0.$$

• 二项闭合判据（速记）

$$\boxed{⟨\Delta \beta ,\rho ⟩=-\log |c_1/c_2|,⟨\Delta \alpha ,\theta ⟩\equiv \pi -\arg (c_1/c_2)(\mathrm{mod}2\pi )}.$$

结语

加法镜像将“指数和为零“的问题剖分为幅度平衡与相位对径两条独立实方程；在一般位置下两者横截，零集呈现实解析余维 2的稳定几何。由此产生的二项闭合模板、参数横截性（残差/紧域开且稠密）与尺度侧的定量必要局部化，构成后续函数镜像、有限阶延拓与方向亚纯化的统一几何—分析基线。