S3. 自反核与函数镜像

—— Mellin 自反性、完成函数模板与增长界的可检基线

摘要（定性）

在 S1 的管域/换序基线与 S2 的加法镜像几何之后，本文系统建立自反核—Mellin 镜像与完成函数的统一模板：在最小可积假设下，由自反核 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$ 推出 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$ 的严格定理；在乘法群 Schwartz 类与有限阶端点正则两类前提下，给出 $\Phi$ 的解析性与（按需）整性/亚纯性；构造满足 $r(s)=r(a-s)$ 的 $(\Gamma /\pi )$ 正规化因子，建立完成函数 $\Xi (s)=r(s)\Phi (s)$ 的模板定义与垂线增长界；并以 $\xi (s)$ 为例示范核的选取与对称性。全文给出可检条件与完整证明，记号与换序纪律与 S0/S1 保持一致。

0. 记号与前置（与 S0/S1/S2 对齐）

0.1 Mellin 变换与自反核

对 $K:(0,\infty )\to \mathbb{C}$ 与复数 $a$，称 $K$ 为**$a$-自反核**，若

$$K(x)=x^{-a}K(1/x)(x>0).$$

$$\boxed{\text{本文中 }a\in \mathbb{R}.}$$

定义 Mellin 变换

$$\Phi (s):=\mathcal{M}[K](s)={\int }_0^{\infty }K(x)x^{s-1}dx$$

在其绝对收敛条带内全纯。收敛、换序、逐项运算均遵循 S1 的 C0–C3（管域、Tonelli–Fubini、Morera、Weierstrass 判据）。

0.2 可积域

$$\mathcal{I}(K):=\{\sigma \in \mathbb{R}:{\int }_0^1|K(x)|x^{\sigma -1}dx<\infty ,{\int }_1^{\infty }|K(x)|x^{\sigma -1}dx<\infty \}.$$

若 $\mathcal{I}(K)\ne \varnothing$，则 $\mathcal{I}(K{)}^{\circ }$ 一般为若干开区间的并。取其中任一连通分量 $({\sigma }_{-},{\sigma }_{+})$。

0.3 乘法群上的 Schwartz 类

定义

$$\boxed{H\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}_{+}^{\times })⟺\underset{x>0}{\sup }(1+|\log x|{)}^M|(x{\partial }_x{)}^{N}H(x)|<\infty (\forall M,N\in \mathbb{N})}$$

等价于 $h(y):=H(e^y)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$。此为标准的 Mellin–Fourier 词典。

0.4 与 S2 的镜像接口

S2 的“幅度平衡 + 相位对径“给出零集的横截几何（余维 $2$）。本篇在乘法侧给出解析对称 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$，二者在核选取与完成函数构造上对偶。

1. 自反核推出函数镜像（最小可积前提）

定理 T3.1（Mellin 自反性 $\Rightarrow$ 函数镜像）

设 $K$ 为 $a$-自反核，且 $\mathcal{I}(K)\cap (a-\mathcal{I}(K))\ne \varnothing$。取 $\mathcal{I}(K{)}^{\circ }$ 的任一连通分量 $({\sigma }_{-},{\sigma }_{+})$，则对

$$\Re s\in ({\sigma }_{-},{\sigma }_{+})\cap (a-{\sigma }_{+},a-{\sigma }_{-})$$

有

$$\Phi (s)=\Phi (a-s).$$

因此 $\Phi$ 在该竖条内关于 $\Re s=\frac{a}{2}$ 对称并全纯。

证明。 绝对收敛下换元 $x\mapsto 1/x$：

$$\Phi (s)={\int }_0^{\infty }K(x)x^{s-1}dx:={\int }_0^{\infty }{x}^{-a}K(1/x)x^{s-1}dx:={\int }_0^{\infty }K(u)u^{a-s-1}du:=\Phi (a-s).$$

端点项由绝对可积排除；全纯性由 S1 的 Morera–Tonelli 与 Cauchy 公式给出。∎

2. 自反核的构造与整性情形

命题 3.2（自反核的系统构造）

任取 $H:(0,\infty )\to \mathbb{C}$，令

$$K_H^{(a)}(x):=x^{-a/2}(H(x)+H(1/x)).$$

则 $K_H^{(a)}$ 为 $a$-自反核。若 $H\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}_{+}^{\times })$，则

$$\Phi (s)={\int }_0^{\infty }{K}_H^{(a)}(x)x^{s-1}dx$$

在中央竖线 $\Re s=\frac{a}{2}$ 上以 Lebesgue 积分一定良好定义，且 $t\mapsto \Phi (\frac{a}{2}+it)$ 为 Schwartz。若不额外假设指数型衰减或紧支撑，则一般仅能在中央竖线绝对可积；若存在 $\eta >0$ 使 $e^{\eta |\log x|}H\in L^1({\mathbb{R}}_{+}^{\times })$（或 $h$ 在 $y$ 上紧支撑），则可得 $|\Re s-\frac{a}{2}|<\eta$ 的竖条（或更大域）内的全纯与竖线多项式界（与下文一致）。

证明要点。 以 $y=\log x$ 化到加法群并反复做乘法分部积分，边界项因 $H\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}_{+}^{\times })$ 消失；中央竖线对应偶 Fourier 变换给出 Schwartz 级衰减。若加入指数权假设，则由 Montel/Weierstrass 在中心条带内得全纯性与竖线多项式界。∎

3. 完成函数的 $\Gamma /\pi$ 正规化与垂线增长

定义 3.3（对称 $\Gamma /\pi$ 因子）

称 $r(s)$ 为**$a$-对称 $\Gamma /\pi$ 因子**，若存在有限组 $\{({\lambda }_j,{\delta }_j){\}}_{j=1}^J$（${\lambda }_j\in \mathbb{R}$, ${\delta }_j\in \{0,1\}$）使

$$r(s)=\prod _{j=1}^J\left[{\pi }^{-\frac{s+{\lambda }_j}{2}}\Gamma \right(\frac{s+{\lambda }_j}{2}\left){\pi }^{-\frac{a-s+{\lambda }_j}{2}}\Gamma \right(\frac{a-s+{\lambda }_j}{2}){]}^{{\delta }_j}$$

从而 $r(a-s)=r(s)$。

定义 3.4（完成函数）

在 T3.1 的竖条内，定义

$$\Xi (s):=r(s)\Phi (s)\Rightarrow \Xi (a-s)=\Xi (s).$$

命题 3.5（垂线增长控制）

若 $\Phi$ 在竖条 ${\sigma }_0\le \Re s\le {\sigma }_1$ 内至多多项式增长，则 $\Xi (s)$ 在同一竖条内具多项式界，且每一对 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}$-因子同时附加

$${\Gamma }_{\mathbb{R}}(u):={\pi }^{-u/2}\Gamma (u/2)$$

在 $\Re s=\sigma$ 上提供 $e^{-\frac{\pi }{2}|t|}$ 级别的指数衰减；若共有 $J$ 对，则在该竖条内整体获得 $e^{-\frac{\pi }{2}J|t|}$ 的指数级衰减。

证明要点。 固定 $\sigma$ 应用 Stirling 估计 $|\Gamma ({\sigma }^{\prime }+i{t}^{\prime })|\sim \sqrt{2\pi }|t^{\prime }{|}^{{\sigma }^{\prime }-1/2}{e}^{-\frac{\pi }{2}|t^{\prime }|}$， 对 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+{\lambda }_j){\Gamma }_{\mathbb{R}}(a-s+{\lambda }_j)$ 得到 $e^{-\frac{\pi }{2}|t|}$ 衰减，与 $\Phi$ 的多项式界相乘即得结论。∎

4. 典型特例：$\xi (s)$ 的核化表达

令 Jacobi $\vartheta$-核

$$\vartheta (x)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{-\pi n^{2}x},\vartheta (x)=x^{-1/2}\vartheta (1/x),$$

并取

$$K_{\vartheta }(x):=\vartheta (x)-1-x^{-1/2},{\Phi }_{\vartheta }(s):={\int }_0^{\infty }{K}_{\vartheta }(x)x^{\frac{s}{2}-1}dx.$$

上述积分在 $0<\Re s<1$ 绝对收敛并由此定义 ${\Phi }_{\vartheta }$；在该条带外，${\Phi }_{\vartheta }$ 取其解析延拓（下述恒等式先在 $1<\Re s<2$ 成立，并由解析延拓确定 ${\Phi }_{\vartheta }$ 的整性）。

则 $K_{\vartheta }$ 为 $a=\frac{1}{2}$ 的自反核；在 $x\to 0^{+}$ 端有 $K_{\vartheta }(x)\to -1$，且 $\vartheta (x)-x^{-1/2}$ 部分指数小；在 $x\to \infty$ 端为 $-x^{-1/2}+O(e^{-\pi x})$ 的幂主导衰减。由正规化恒等式 ${\pi }^{-s/2}\Gamma (\frac{s}{2})\zeta (s)=\frac{1}{2}{\Phi }_{\vartheta }(s)+\frac{1}{s(s-1)}$ 抵消因端点常数主项产生的极点，得 ${\Phi }_{\vartheta }$ 的整性（经解析延拓）。

经典恒等式（对 $1<\Re s<2$ 先成立，后解析延拓）为

$$\boxed{{\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s):=\frac{1}{2}{\Phi }_{\vartheta }(s)+\frac{1}{s(s-1)}}\text{（其中 }\frac{1}{s(s-1)}\text{ 由两端的主项（}x\to 0^{+}\text{ 的常数项与 }x\to \infty \text{ 的幂主项）合并产生）}$$

据此定义

$$\boxed{{\Xi }_{\vartheta }(s):=\frac{1}{2}s(s-1)(\frac{1}{2}{\Phi }_{\vartheta }(s)+\frac{1}{s(s-1)}):=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)},$$

则 ${\Xi }_{\vartheta }(1-s)={\Xi }_{\vartheta }(s)$，即黎曼完成函数 $\xi (s)$ 的标准对称性。

5. 逆向命题与核—函数等价

定理 T3.6（镜像函数的核化表示）

设 $F(s)$ 在竖条 ${\sigma }_0\le \Re s\le {\sigma }_1$ 全纯并多项式增长，且 $F(s)=F(a-s)$。取 $\sigma \in ({\sigma }_0,{\sigma }_1)$ 使

$$\boxed{\{\sigma ,a-\sigma \}\subset ({\sigma }_0,{\sigma }_1)\text{且}F\text{在闭条带 }\min \{\sigma ,a-\sigma \}\le \Re s\le \max \{\sigma ,a-\sigma \}\text{内至多多项式增长}}$$

在 Mellin-温和分布意义下定义

$$K(x):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Re s=\sigma }F(s)x^{-s}ds.$$

则（在分布意义下）有 $K(x)=x^{-a}K(1/x)$，且 $\mathcal{M}[K](s)=F(s)$ 在该条带成立；若进一步有 $F(\sigma +it)=O(|t{|}^{-1-\epsilon })$（或充分的 $L^1$ 条件），则 $K$ 在函数意义下成立同样结论。

证明要点。 由增长界合法移线至 $\Re s=a-\sigma$，并用镜像 $F(s)=F(a-s)$ 与柯西定理，得自反关系与 Mellin 互逆。若要求在函数意义下直接移线，可补充 $F(\sigma +it)=O(|t{|}^{-1-\epsilon })$（任一闭条带内）等 Phragmén–Lindelöf 型控制；否则按文中所述取分布意义。∎

6. 反例与边界族

• R3.1（非严格自反）：若 $K=x^{-a}K(1/x)+E$ 且 $E\not\equiv 0$，则 $\Phi (s)-\Phi (a-s)=\mathcal{M}[E](s)$。
• R3.2（端点不可积）：若端点型 $K(x)\sim x^{-\beta }(x\to 0^{+})$ 或 $\sim x^{-\gamma }(x\to \infty )$ 致 $\mathcal{I}(K)=\varnothing$，则 $\Phi$ 无合法条带。
• R3.3（换序违规）：未满足 S1 的主导收敛/绝对收敛条件时，Poisson—Mellin 交换与微分/积分互换不成立。

7. 统一“可检清单“（S3-CL）

1. 自反性：$K(x)=x^{-a}K(1/x)$。
2. 收敛竖条：$\mathcal{I}(K)$ 含非空开区间；镜像在 $\max \{{\sigma }_{-},a-{\sigma }_{+}\}<\Re s<\min \{{\sigma }_{+},a-{\sigma }_{-}\}$ 内成立。
3. 换序纪律：凡换元、Poisson、逐项运算，均在 S1 的 C0–C3 假设下进行。
4. 全纯/整性途径（二选一）： (a) 若仅 $H\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}_{+}^{\times })$，则保证中央竖线 $\Re s=\frac{a}{2}$ 上的可积与随 $t$ 的快速衰减；若需条带内全纯与多项式界，需额外指数权或改用 S4；或 (b) 具有限阶端点展开并带权可积（极点来源与亚纯延拓由 S4 的“伯努利层 + 有限阶 EM“给出）。
5. 正规化：取 $a$-对称 $\Gamma /\pi$ 因子 $r(s)$，则 $\Xi =r\Phi$ 满足 $\Xi (a-s)=\Xi (s)$；每对 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}$ 在垂线给出 $e^{-\frac{\pi }{2}|t|}$ 衰减。

附录 A：Mellin 分部积分与整性判据

若 $f\in C^N(0,\infty )$ 且对某 $\sigma \in \mathbb{R}$，$(x{\partial }_x{)}^{k}f\in L^1((0,\infty ),x^{\sigma -1}dx)$（$0\le k\le N$），并满足

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\sigma }\sum _{k=0}^{N-1}|(x{\partial }_x{)}^{k}f(x)|=0,\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\sigma }\sum _{k=0}^{N-1}|(x{\partial }_x{)}^{k}f(x)|=0,$$

则在 $\Re s=\sigma$ 上（若 $s\notin \{0\}$）

$${\int }_0^{\infty }f(x)x^{s-1}dx=\frac{(-1{)}^N}{s^N}{\int }_0^{\infty }(x{\partial }_x{)}^{N}f(x)x^{s-1}dx.$$

在 $s=0$ 处以极限作连续延拓。并要求在所取 $\Re s=\sigma$ 上满足带权可积与边界项消失。若右端对所有 $s\in \mathbb{C}$ 绝对收敛（例如 $f$ 紧支撑，或满足 $\forall \eta >0,e^{\eta |\log x|}f\in L^1$），则 $\Phi$ 整。

附录 B：$\vartheta$-核与 $\xi (s)$ 的积分表示

由 Poisson 求和得 $\vartheta (x)=x^{-1/2}\vartheta (1/x)$。对 $1<\Re s<2$,

$${\int }_0^{\infty }(\vartheta (x)-1)x^{\frac{s}{2}-1}dx=2{\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s),$$

再以 $K_{\vartheta }=\vartheta -1-x^{-1/2}$ 规约两端发散并解析延拓，得到 §4 的恒等式与 ${\Xi }_{\vartheta }(s)=\xi (s)$。

附录 C：垂线增长的 Stirling 估计

记 $s=\sigma +it$。Stirling 公式给

$$\left|\Gamma \right(\frac{s+\lambda }{2}\left)\right|\sim \sqrt{2\pi }|\frac{t}{2}{|}^{\frac{\sigma +\lambda }{2}-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{\pi }{4}|t|}(|t|\to \infty ),$$

故每对 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+\lambda ){\Gamma }_{\mathbb{R}}(a-s+\lambda )$ 在 $\Re s=\sigma$ 上提供 $e^{-\frac{\pi }{2}|t|}$ 的指数级衰减，与 $\Phi$ 的多项式界合并即得命题 3.5。

结语

自反核把 S2 的几何镜像提升为乘法侧的解析镜像：在最小可积前提下得到 $\Phi (s)=\Phi (a-s)$；在强正则下获得整性与垂线增长控制；借助对称的 $\Gamma /\pi$ 正规化，完成函数 $\Xi$ 自然呈现对称轴 $\Re s=\frac{a}{2}$。该模板既支撑 S4 的有限阶 Euler–Maclaurin 解析延拓与极点消除，也为 S7 的 $L$-函数 archimedean 因子与显式公式提供统一语法与增长工具。