S4. 伯努利层与解析延拓范式

—— 有限阶 Euler–Maclaurin、余项整函数性与“极点 = 主尺度“原则

摘要（定性）

建立“有限阶 Euler–Maclaurin（EM）—伯努利层—解析延拓“的统一范式：在一维尺度切片上，对依赖复参 $s$ 的函数族 $f(\cdot ;s)$ 作有限阶 EM 分解；给出使余项关于 $s$ 全纯/整函数的可检条件；据此证明极点仅来自主尺度项（端点/主项积分与其有限阶导数），而 EM 校正的伯努利层仅贡献整函数修正，从而实现“极点 = 主尺度“。该范式与 S2 的“加法镜像—零集横截“在局部几何上相容，与 S3 的“自反核—完成函数—$\Gamma /\pi$ 正规化“在乘法镜像上拼接，并为 S5 的“沿方向亚纯化与极点定位“提供可检接口。

0. 记号与前置（与 S1/S2/S3 对齐）

• 尺度切片：固定方向 $\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1}$ 与横向偏置 ${\rho }_{\perp }$，令

$$f(x;s):=F(\theta ,{\rho }_{\perp }+x\mathbf{v};s),x\in {\mathbb{R}}_{\ge 0},$$

其中 $\theta$ 固定（相位层），$s$ 为（Mellin/拉普拉斯）复参。所有换序、逐项微分与收敛均在 S1 的管域/条带契约下进行（C0–C3）。

• 离散—连续桥（步长与比率）：尺度网格记为 $x_k:=a+k\Delta$（$k\in \mathbb{N}$），并记 $b:=e^{\Delta }$（乘法变量）；本文仅使用有限阶 EM，不引入无穷伯努利级数。
• S2/S3 接口：S2 的“幅度平衡 + 相位对径“提供零集的余维 2 横截几何（用于主导项/二项闭合的局部化）；S3 给出 $\Gamma /\pi$ 正规化与完成函数模板（用于消除主尺度诱发的极点并获得镜像对称）。

1. 有限阶 Euler–Maclaurin 与“伯努利层“

定义 4.1（有限阶 EM / 伯努利层）

令 $M\in \mathbb{N}$、$N\in \mathbb{N}$，并假设 $f\in C^{2M}([a,a+N\Delta ])$。则有限阶 EM 公式为

$$\sum _{k=0}^{N-1}f(a+k\Delta )=\frac{1}{\Delta }{\int }_a^{a+N\Delta }f(x)dx+\frac{f(a)-f(a+N\Delta )}{2}+\sum _{m=1}^{M-1}\frac{B_{2m}}{(2m)!}{\Delta }^{2m-1}(f^{(2m-1)}(a+N\Delta )-f^{(2m-1)}(a))+R_M,$$

其中

$$R_M=\frac{{\Delta }^{2M-1}}{(2M)!}{\int }_a^{a+N\Delta }{B}_{2M}\left(\left\{\frac{x-a}{\Delta }\right\}\right)f^{(2M)}(x)dx.$$

记

$${\mathcal{B}}_m[f]:=\frac{B_{2m}}{(2m)!}{\Delta }^{2m-1}(f^{(2m-1)}(a+N\Delta )-f^{(2m-1)}(a)),1\le m\le M-1,$$

为第 $m$ 层伯努利层，$R_M$ 为余项层。其中 $B_{2m}$ 为伯努利数，$B_{2M}(\cdot )$ 为伯努利多项式，$\{\cdot \}$ 表示小数部分。

约定：本文始终取有限 $M$；${\mathcal{B}}_m$ 与 $R_M$ 对复参 $s$ 的依赖满足后述可检条件，因而在 $s$ 上全纯/整函数。

2. 余项整函数性与条带全纯

令 $f(\cdot ;s)$ 在 $x$-方向 $C^{2M}$，在复参 $s$ 上取值于连续可微函数空间。设存在开集 $U\subset \mathbb{C}$ 使：

• (H1) 对任意紧集 $K\subset U$，存在可积权 $w_M(x)\ge 0$ 使

$$\underset{s\in K}{\sup }|f^{(k)}(x;s)|\le w_M(x),x\in [a,\infty ),0\le k\le 2M.$$

• (H2) ${\int }_a^{\infty }{w}_M(x)dx<\infty$（或相应的半无限区间与端点分离变体），且端点满足有限阶消失/有界，以确保边界项存在。

• (H0)（点态全纯）对每个 $x\in [a,\infty )$ 与 $0\le k\le 2M$，映射 $s\mapsto f^{(k)}(x;s)$ 在 $U$ 内全纯；并与 (H1) 的主导界 $w_M\in L^1$ 共同成立（对紧集一致）。

定理 T4.1（余项与伯努利层的全纯/整函数性）

在 (H0)–(H2) 下，$R_M(a,N,\Delta ;s)$ 关于 $s\in U$全纯；若 (H0)–(H2) 在 $U=\mathbb{C}$ 成立，则 $R_M$ 为 $s$ 的整函数。同理，每一层伯努利层 ${\mathcal{B}}_m[f(\cdot ;s)]$ 在 $s\in U$ 全纯。

证明（略要）。由定义，

$$R_M(s)=\frac{{\Delta }^{2M-1}}{(2M)!}{\int }_a^{a+N\Delta }{B}_{2M}\left(\left\{\frac{x-a}{\Delta }\right\}\right)f^{(2M)}(x;s)dx.$$

固定 $K\subset U$ 紧集，$B_{2M}$ 有界且 ${\sup }_{s\in K}|f^{(2M)}(x;s)|\le w_M(x)\in L^1$。由受控/主导收敛与 Morera 定理（或 Weierstrass 一致收敛判别）可交换“积分—极限/微分“，得 $R_M$ 在 $U$ 内全纯；若 (H0)–(H2) 在 $\mathbb{C}$ 成立，则 $R_M$ 为整函数。伯努利层的全纯性同理（端点值与有限阶导数在 (H0)–(H2) 下对 $s$ 全纯）。$\square$

3. “极点 = 主尺度“原则

考虑半无限和的截断

$$S_N(\Delta ;s):=\sum _{k=0}^{N-1}f(a+k\Delta ;s),N\to \infty ,$$

及其主尺度项

$$\mathcal{I}(\Delta ;s):=\frac{1}{\Delta }{\int }_a^{\infty }f(x;s)dx,$$

与有限阶伯努利校正 ${\sum }_{m=1}^{M-1}{\mathcal{B}}_m[f(\cdot ;s)]$ 及极限余项 $R_M(s)$（在 $N\to \infty$ 的意义下定义良好）。在众多母映射/拉普拉斯—Mellin 场景中（如 $f(x;s)=e^{-\sigma x}g(x;s)$ 且 $\sigma >0$），$\mathcal{I}(\Delta ;s)$ 是 $s$ 的解析（亚纯）函数，而 ${\mathcal{B}}_m$ 与 $R_M$ 在 $s$ 上全纯/整函数。

• (H3’)（无穷端点衰减，含 $k=0$）对任意紧集 $K\subset U$，有 $$\underset{s\in K}{\sup }|f^{(k)}(a+N\Delta ;s)|\underset{N\to \infty }{\to }0,k\in \{0,1,3,\dots ,2M-1\}.$$ 从而 ${\sum }_{m=1}^{M-1}{\mathcal{B}}_m[f(\cdot ;s)]$ 的上端点导数项在 $N\to \infty$ 衰减消失，可定义极限伯努利层 ${\mathcal{B}}_m^{(\infty )}[f(\cdot ;s)]$（仅依赖于 $x=a$ 处的有限阶导数），并且余项层极限 $R_M^{(\infty )}(s)$ 存在且对 $s\in U$ 局部一致。充分可选条件：存在 $\eta >0$ 使 ${\sup }_{s\in K}{e}^{\eta x}|f^{(k)}(x;s)|$ 在 $0\le k\le 2M-1$ 有界，则 (H3’) 自动成立。

定理 T4.2（极点仅出自主尺度项）

设 $f(\cdot ;s)$ 满足 T4.1 的 (H0)–(H2)，并取竖条 $V\subset U$

$$V=\{{\sigma }_0<\Re s<{\sigma }_1\}.$$

存在：

• (A0)（通常极限的存在）存在非空收敛竖条 $W\subset V$，使得在 (H0)–(H3’) 下，${\sum }_{m=1}^{M-1}{\mathcal{B}}_m[f(\cdot ;\cdot )]$ 与 $R_M$ 的 $N\to \infty$ 极限在 $W$ 内一致存在，且上端点各阶（含 $k=0$）满足 (H3’) 的衰减；据此定义 ${\mathcal{B}}_m^{(\infty )}[f(\cdot ;s)]$、$R_M^{(\infty )}(s)$，并保留端点平均项 $\frac{1}{2}f(a;s)$；
• (A1) $\mathcal{I}(\Delta ;s)$ 在 $V$ 内可解析延拓为亚纯函数，其极点集合 $\mathcal{P}\subset V$ 可数且无聚点；
• (A2) 每层伯努利层与余项在 $s\in V$ 上全纯（由 T4.1 保证）。

则：

• （通常极限） 在 $W$ 内， $$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N(\Delta ;s)=\mathcal{I}(\Delta ;s)+\frac{1}{2}f(a;s)+\sum _{m=1}^{M-1}{\mathcal{B}}_m^{(\infty )}[f(\cdot ;s)]+R_M^{(\infty )}(s).$$

• （解析延拓） 在 $V$ 内，以右端定义 $$S(\Delta ;s):=\mathcal{I}(\Delta ;s)+\frac{1}{2}f(a;s)+\sum _{m=1}^{M-1}{\mathcal{B}}_m^{(\infty )}[f(\cdot ;s)]+R_M^{(\infty )}(s),$$ 从而 $S(\Delta ;\cdot )$ 为 $V$ 内的亚纯延拓，且 $${\mathrm{Sing}}_V(S(\Delta ;\cdot ))={\mathrm{Sing}}_V(\mathcal{I}(\Delta ;\cdot ))=\mathcal{P}.$$

即在解析延拓的意义下，极点仅由主尺度项 $\mathcal{I}$ 产生；伯努利层与余项不引入新极点。

注（与 S3 的完成函数拼接）：若 $\mathcal{I}$ 的端点主项可归约为 Gamma/指数—多项式型，可按 S3 提供的模板选择对称因子 $r(s)$（$\Gamma /\pi$ 因子）使 $r(s)\mathcal{I}(\Delta ;s)$ 消极点；结合 (A2) 即得在 $V$ 内全纯（无极点）的完成函数。

4. 方向化与指数—多项式情形（S5 接口）

固定尺度方向 $\mathbf{v}$，考虑离散计数与其拉普拉斯—Stieltjes变换：

$$M_{\mathbf{v}}(t;s):=\sum _{k\ge 0}f({\rho }_{\perp }+k\Delta \mathbf{v};s)1_{[0,\infty )}(t-k\Delta ),{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s):={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}d{M}_{\mathbf{v}}(t;s).$$

若 $f(\cdot ;s)$ 在端点满足指数—多项式阶的增长/衰减，且 (H1)–(H2) 对某竖条成立，则对 $k$-变量施行有限阶 EM 并用 T4.2 可得 ${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}$ 在该竖条内的亚纯延拓，其极点完全由主尺度拉普拉斯项决定；其位置与阶与 S5 的极点定位定理一致（“主项指数—多项式 $\Rightarrow$ 极点阶 $\le$ 多项式次数 + 1”）。S2 的二项闭合判定可用于局部确定主导子和与横截性（零为简单/非简零），从而为方向化的极点结构提供几何模板。

5. 典型框架与示例（模板化落地）

框架 A（Mellin—EM 复合）

设 $K$ 为 S3 的 $a$-自反核。考虑

$$\Phi (s)=\sum _{n\ge 1}K(n)n^{-s}\text{或}{\int }_1^{\infty }K(x)x^{-s}dx.$$

当仅具有限阶端点展开（而非 Schwartz 级）时，对 ${\sum }_{n\ge 1}K(n)n^{-s}$ 施行有限阶 EM；主尺度项由 $\int K(x)x^{-s}dx$ 及其端点导数构成，余项全纯。由 T4.2，极点仅出自主尺度项。依 S3 选取 $r(s)$（$\Gamma /\pi$ 因子）可得在工作竖条内全纯（无极点）的完成函数 $\Xi =r\Phi$。

框架 B（方向化采样—Nyquist/Poisson + EM）

尺度网格 ${\rho }_k={\rho }_0+k\Delta \mathbf{v}$（$b=e^{\Delta }$）上对 $F(\theta ,\rho )$ 的采样生成函数，经有限阶 EM 分解为“主尺度积分 + 有限伯努利层 + 余项层“；主尺度积分决定条带内的亚纯延拓与潜在极点，余项层全纯。该框架与 S8 的一致逼近/误差常数表可直接拼接（误差三分解：别名/端点/截断）。

6. 反例与边界族（失效原因逐条标注）

• R4.1（无限伯努利层）：若将 EM 作为无穷级数而非有限阶使用，即便 $f$ 光滑，也可能导致发散或非一致可和，出现伪“极点“（实为形式外推的假象）。
• R4.2（端点不可积/未消去）：若 $f^{(k)}(\cdot ;s)$ 在端点不满足 (H2) 的带权可积或必要的有限阶消失，则 $R_M$ 不再全纯；端点发散会渗入余项。
• R4.3（换序违规）：未在 S1 的管域/主导收敛下进行“求和—积分—微分“的互换，结论不成立。
• R4.4（方向网格退化）：$\Delta \to 0$ 与 $N\to \infty$ 的极限若不按“先 $N$，后 $\Delta$“或缺少一致控制，可能破坏主尺度与余项的分离。

7. 统一“可检清单“（最小充分条件）

1. 有限阶：固定 $M$，仅保留至 $B_{2(M-1)}$ 的伯努利层与 $R_M$。
2. 端点正则：存在 $w_M\in L^1$ 主导 $\{f^{(k)}{\}}_{k\le 2M}$ 且满足端点有限阶消失/有界（H1–H2）。
3. 条带控制：主尺度项 $\mathcal{I}(\Delta ;s)$ 在工作竖条内亚纯，并给出潜在极点的显式位置/阶。
4. 余项全纯：按 T4.1 验证 ${\mathcal{B}}_m$ 与 $R_M$ 在条带内全纯（若全域成立，则为整函数）。
5. 镜像拼接（可选）：若需完成函数，对照 S3 选择 $r(s)$ 消去主尺度极点并获得镜像对称。
6. 几何一致性：方向化/局部二项主导时，与 S2 的二项闭合—横截模板相容（零的简单性/退化判定）。

8. 与后续篇章的接口

• → S5（方向亚纯化）：T4.2 提供“极点 = 主尺度“的解析基线；结合方向计数的指数—多项式形（S5）即可确定极点位置与阶。
• → S6（信息量刻度）：EM 仅改变整函数层，故相位层的信息守恒（S0 基本原理）与尺度层的宇称破缺校正可在不更动极点结构的前提下开展。
• → S7（$L$-函数接口）：主尺度项的极点由 archimedean 因子与端点主项诱发；以 S3 的 $r(s)$ 归一化后可直接嵌入显式公式。
• → S8（一致逼近）：有限阶 EM 的余项上界与伯努利层常数进入误差三分解；与 Nyquist/Poisson 拼接给出非渐近常数表。
• → S10（几何增长）：主尺度项决定的条带增长与 amoeba/Ronkin 几何约束相容；S2 的“平衡超平面“提供尺度投影的必要局部化。

附录 A：乘法版本的有限阶 EM（Mellin 侧速记）

令 $g\in C^{2M}([1,B])$，考虑乘法网格 $x_n=b^n$（$b=e^{\Delta }$）。对 ${\sum }_{n=0}^{N-1}g(b^n)$ 的 EM 公式可经变量代换 $y=\log x$ 自加法版本得到；伯努利层与余项形式保持不变，仅在系数中出现 $\Delta$ 的幂次。对 Mellin 变换 $\int g(x)x^{s-1}dx$ 的主尺度贡献与端点导数形成极点源，余项整函数。

附录 B：Stirling 与完成函数的垂线增长

取 S3 的对称因子 $r(s)$（$\Gamma /\pi$ 因子）。由 Stirling 估计，在任意闭竖条上 $|r(s)|$ 以 $\exp (-\frac{\pi }{2}J|t|)$ 衰减（$J$ 为成对 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}$ 因子数目），故

$$r(s)\left(\sum _{m<M}{\mathcal{B}}_m+R_M\right)$$

至多多项式增长；若 $r(s)\mathcal{I}(\Delta ;s)$ 在 $V$ 内消极点，则完成函数在 $V$ 内全纯（无极点）。

结语

有限阶 EM 将离散—连续桥接为“主尺度 + 伯努利层 + 余项层“的三段式结构：在 S1 的管域与换序纪律之下，余项层全纯/整函数、极点仅由主尺度项诱发；配合 S3 的 $\Gamma /\pi$ 正规化可消极点并获得镜像对称。该范式把 S2 的局部几何（两项闭合、横截）与 S5 的方向亚纯化精确拼接，为 S7/S8/S10 的算术接口、误差常数与几何增长提供统一、可检且可复用的解析基线。