S5. 沿方向的亚纯化与极点定位

—— 方向计数、指数–多项式渐近与 Laplace–Stieltjes 极点结构

摘要（定性）

在 S1 的管域/换序基线与 S2/S3/S4 的镜像—延拓范式之上，建立沿给定方向的计数/加权累积与其 Laplace–Stieltjes 变换之间的统一解析结构：当方向计数或加权累积具有限的指数–多项式渐近时，其沿方向的拉普拉斯–Stieltjes 变换在适当半平面内亚纯，全部极点由各指数率项的主尺度产生，极点位置由指数率决定、阶数受对应多项式次数的上界约束；在自然的单调/非负或变差控制下，反向可由变换的极点型奇性回推出计数的指数–多项式主项。该结果与 S4 的“极点 = 主尺度“原则一致，并与 S2 的二项闭合—横截几何、S3 的完成函数模板（$\Gamma /\pi$ 正规化）相互拼接。

0. 记号与前置（与 S1/S2/S3/S4 对齐）

方向切片与参数化。 固定方向 $\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1}$ 与横向偏置 ${\rho }_{\perp }$（$⟨{\rho }_{\perp },\mathbf{v}⟩=0$），记

$$\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v},s\in \mathbb{C}\text{（随后在绝对收敛半平面内按管域准则复化使用）}.$$

对离散谱

$$F(\theta ,\rho )=\sum _j{c}_j{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{\mathrm{e}}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},$$

定义方向位移

$$t_j:=⟨-{\beta }_j,\mathbf{v}⟩.$$

方向计数与加权累积。

$$N_{\mathbf{v}}(t):=\#\{j:t_j\le t\},M_{\mathbf{v}}(t;\theta ,{\rho }_{\perp }):=\sum _{t_j\le t}{c}_j{\mathrm{e}}^{⟨{\beta }_j,{\rho }_{\perp }⟩}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

两者视作右连续、局部有界变差函数（或相应 Stieltjes 测度的分布函数）。

【边界规范化与起点】如存在有限个 $t_j<0$ 的初始点，其贡献可吸收进常数（或整函数）项而不影响后续极点定位。为避免符号歧义并保证边界项消失，以下均采用规范化：

$$N_{\mathbf{v}}(0^{+})=M_{\mathbf{v}}(0^{+})=0,t_j\ge 0(\forall j).$$

如未做规范化，有限个 $t_j<0$ 的项在方向变换中仅贡献常数/整函数，不改变 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 与 ${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}$ 的极点集合与阶。

方向 Laplace–Stieltjes 变换（收敛半平面内）。

$${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s):={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}{N}_{\mathbf{v}}(t)=\sum _{t_j\ge 0}{\mathrm{e}}^{-s{t}_j}=\sum _{t_j\ge 0}{\mathrm{e}}^{s⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩},$$

$${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s;\theta ,{\rho }_{\perp }):={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}{M}_{\mathbf{v}}(t;\theta ,{\rho }_{\perp })=\sum _{t_j\ge 0}{c}_j{\mathrm{e}}^{⟨{\beta }_j,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}⟩}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}.$$

因此在绝对收敛半平面内（并在上述规范化下），

$${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s;\theta ,{\rho }_{\perp })=F(\theta ,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}).$$

工作准则。 一切换序/逐项操作遵循 S1 的管域与主导收敛准则；离散—连续桥接仅使用 S4 的有限阶 Euler–Maclaurin（EM）分解，其伯努利层与余项在参数 $s$ 上全纯/整函数，不改变极点集合。

局部零结构接口。 在主导两项情形，使用 S2 的二项闭合—横截模板判定方向切片上一元函数零的简单性与局部结构。

完成函数接口。 必要时使用 S3 的 $\Gamma /\pi$ 正规化因子于乘法侧配平增长并构造对称完成函数。

1. 收敛阈与基本半平面

引理 5.1（方向绝对收敛的阈值）。 设

$${\gamma }_{\mathrm{abs}}:=\underset{t\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{t}\log N_{\mathbf{v}}(t)\in [-\infty ,\infty ].$$

则： (i) 当 $\Re s>{\gamma }_{\mathrm{abs}}$ 时，${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)$ 绝对收敛； (ii) 若存在无穷多跳点（即 $N_{\mathbf{v}}(t)\to \infty$），且 $\Re s<{\gamma }_{\mathrm{abs}}$，则 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)$ 发散。若仅有限个跳点，则 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)$ 为有限和因而在 $s$ 平面整，断言 (ii) 不适用。 在命题 5.3 的局部多项式有界前提下（权重在单位长度区间内受控），${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)$ 与 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)$ 具有相同的方向绝对收敛半平面与阈值；否则权重可能改变绝对收敛阈值。

证明。对任意 $\epsilon >0$，存在 $T$ 使 $N_{\mathbf{v}}(t)\le C{\mathrm{e}}^{({\gamma }_{\mathrm{abs}}+\epsilon )t}$（$t\ge T$）。分部积分得

$${\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}{N}_{\mathbf{v}}(t)=s{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}{N}_{\mathbf{v}}(t)\mathrm{d}t+[{\mathrm{e}}^{-st}{N}_{\mathbf{v}}(t){]}_{0^{+}}^{\infty },$$

当 $\Re s>{\gamma }_{\mathrm{abs}}+\epsilon$ 时右端有界且边界项消失，得 (i)。反向取子列 $t_k\to \infty$ 使 $N_{\mathbf{v}}(t_k)\ge {\mathrm{e}}^{({\gamma }_{\mathrm{abs}}-\epsilon )t_k}$，与几何级数对比得 (ii)。当且仅当存在无穷多跳点（$N_{\mathbf{v}}(t)\to \infty$）时，收敛边界（abscissa）满足 $${\sigma }_a=\underset{t\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{t}\log N_{\mathbf{v}}(t),$$ 参见 Widder《The Laplace Transform》或 Doetsch《Laplace Transformation》。若仅有限跳点，则约定 ${\sigma }_a:=-\infty$（此时 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 为整函数）。此外，在命题 5.3 的局部多项式有界前提下，${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}$ 与 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 具有相同的方向绝对收敛半平面；若仅有限跳点，则二者在 $s$ 平面整，收敛边界按约定取 $-\infty$。$\square$

2. 指数–多项式主项 $\Rightarrow$ 亚纯延拓与极点上界

定义 5.2（方向指数–多项式渐近）。 称 $M_{\mathbf{v}}(t)$ 在 $t\to \infty$ 具有有限指数–多项式渐近，若存在有限指标集 $\mathcal{I}$、实数 ${\gamma }_{\ell }$（允许重复）、多项式 $Q_{\ell }$ 及 $\eta >0$，使

$$M_{\mathbf{v}}(t)=\sum _{\ell \in \mathcal{I}}{Q}_{\ell }(t){\mathrm{e}}^{{\gamma }_{\ell }t}+O\left({\mathrm{e}}^{({\gamma }_{\ast }-\eta )t}\right),{\gamma }_{\ast }:=\underset{\ell }{\max }{\gamma }_{\ell },$$

且 $M_{\mathbf{v}}$ 局部有界变差、右连续。将此定义用于非加权计数 $N_{\mathbf{v}}$ 时，$Q_{\ell }$ 取实多项式且系数非负。

为处理重复速率，记唯一速率集合 $\Gamma :=\{\gamma :\exists \ell \in \mathcal{I},{\gamma }_{\ell }=\gamma \}$，并对每个 $\gamma \in \Gamma$ 定义聚合多项式 $$Q_{\gamma }(t):=\sum _{\ell :{\gamma }_{\ell }=\gamma }{Q}_{\ell }(t)=\sum _{r=0}^{d_{\gamma }}{a}_{\gamma ,r}{t}^r,d_{\gamma }:=\mathrm{deg}{Q}_{\gamma }.$$

定理 T5.1（Abelian 方向亚纯化与极点上界）。 若 $M_{\mathbf{v}}$ 满足定义 5.2，则 ${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)$ 在半平面 $\Re s>{\gamma }_{\ast }-\eta$ 亚纯，其全部极点均位于 $\{s=\gamma :\gamma \in \Gamma \}$，并且

$${\mathrm{ord}}_{s=\gamma }{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_{\gamma }+1(\gamma \ne 0),$$ 当 $\gamma =0$ 时，整体 $s$ 因子消去一阶，进一步有 $${\mathrm{ord}}_{s=0}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_0.$$

更具体地，若

$$Q_{\gamma }(t)=\sum _{r=0}^{d_{\gamma }}{a}_{\gamma ,r}{t}^r,$$

则在 $s=\gamma$ 邻域有主部展开

$${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\left[s\sum _{r=0}^{d_{\gamma }}{a}_{\gamma ,r}\frac{r!}{(s-\gamma {)}^{r+1}}\right]+H(s),$$

其中 $H$ 在 $\Re s>{\gamma }_{\ast }-\eta$ 全纯。

证明（补充与引用）。 记 $\mathrm{d}{M}_{\mathbf{v}}$ 为 $M_{\mathbf{v}}$ 的 Stieltjes 测度。对 $\Re s>{\gamma }_{\ast }$ 有

$${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)={\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}{M}_{\mathbf{v}}(t)=s{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}{M}_{\mathbf{v}}(t)\mathrm{d}t.$$

代入渐近式并逐项积分：第二项在 $\Re s>{\gamma }_{\ast }-\eta$ 全纯；第一项对每个 $(\ell ,r)$ 给出

$$s{a}_{\ell ,r}{\int }_0^{\infty }{t}^r{\mathrm{e}}^{-(s-{\gamma }_{\ell })t}\mathrm{d}t=s{a}_{\ell ,r}\frac{r!}{(s-{\gamma }_{\ell }{)}^{r+1}},$$

由解析延拓唯一性得结论。这可视为 Abelian/传递定理的直接实例：${\int }_0^{\infty }{t}^r{\mathrm{e}}^{-(s-\gamma )t}dt=r!/(s-\gamma {)}^{r+1}$ 给出极点结构（参见 Flajolet–Sedgewick《Analytic Combinatorics》；Widder；Doetsch）。$\square$

计数版。 对 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 结论相同；在率 $\gamma$ 处最高阶主部系数为 $\gamma a_{\gamma ,d_{\gamma }}{d}_{\gamma }!$（$\gamma \ne 0$）。若 $\gamma \ge 0$ 则该系数非负；$\gamma =0$ 时为 $0$；$\gamma <0$ 时为非正。

与 S4 的一致性。 伯努利层与余项在 $s$ 上全纯，仅主尺度项可能产生极点，故“极点 = 主尺度“。

3. 从计数到加权：极点位置不右移（阶至多增加 $\kappa$）

命题 5.3（位置不右移；阶的上界）。 设 $M_{\mathbf{v}}$ 与 $N_{\mathbf{v}}$ 的跳点相同，且存在常数 $C,\kappa \ge 0$ 使

$$\underset{t<\tau \le t+1}{\sup }|M_{\mathbf{v}}(\tau )-M_{\mathbf{v}}(t)|\le C(1+t{)}^{\kappa }\underset{t<\tau \le t+1}{\sup }(N_{\mathbf{v}}(\tau )-N_{\mathbf{v}}(t)).$$

若 $N_{\mathbf{v}}$ 满足定义 5.2，则 $M_{\mathbf{v}}$ 满足上界 $$M_{\mathbf{v}}(t)\ll \sum _{\ell }(1+t{)}^{\mathrm{deg}{Q}_{\ell }(N_{\mathbf{v}})+\kappa }{\mathrm{e}}^{{\gamma }_{\ell }t},$$ 因而其最大指数率不大于计数侧（极点位置不右移），并且绝对收敛半平面不右移。仅凭上述上界不能断言极点阶。

若进一步假设 $M_{\mathbf{v}}$ 亦满足定义 5.2（例如：权重最终非负、单位区间内多项式有界且无系统性抵消，使其拥有与计数侧相同的速率集并存在带隙 $\eta >0$），则由 T5.1 可得 $${\mathrm{ord}}_{s=\gamma }{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_{\gamma }(N_{\mathbf{v}})+\kappa +1(\gamma \ne 0),$$ 且在 $\gamma =0$ 时 $${\mathrm{ord}}_{s=0}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_0(N_{\mathbf{v}})+\kappa .$$

特例：当 $\kappa =0$（单位区间内权重一致有界）时，有 $${\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le \mathrm{deg}{Q}_{\ell }(N_{\mathbf{v}})+1,\text{且极点位置不右移}.$$ 若并且计数侧在 $s={\gamma }_{\ell }$ 处达到上界（例如非负/无系统性抵消，使 ${\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}=\mathrm{deg}{Q}_{\ell }(N_{\mathbf{v}})+1$），则进一步有（阶不增） $${\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le {\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}\text{（阶不增）},$$ 并且位置与阶与计数侧一致（仅主部系数改变）。

证明略（分部求和与局部有界振幅控制）。$\square$

说明. 在母映射中，权重 $c_j{\mathrm{e}}^{⟨{\beta }_j,{\rho }_{\perp }⟩}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}$ 在单位长度的 $⟨-{\beta }_j,\mathbf{v}⟩$ 区间内多项式有界，极点几何的位置由指数率决定而与相位层无涉；对极点阶，仅在 $\kappa =0$ 时与计数侧一致，否则至多增加 $\kappa$。

4. 方向 Tauberian：极点 $\Rightarrow$ 指数–多项式主项

定理 T5.2（单极点的 Tauberian 反演，Ikehara–Delange 型）。 设 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)$ 在 $\Re s>{\gamma }_0$ 全纯并可延拓至包含 $\Re s\ge {\gamma }_0$ 的开邻域，在 $s={\gamma }_0$ 有阶 $m\ge 1$ 的极点，且 $$G(s):={\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)-\sum _{r=1}^m\frac{A_{-r}}{(s-{\gamma }_0{)}^r}$$ 在上述邻域内有界（例如：在 $\Re s={\gamma }_0$ 具有连续且有界的边界值，且 $G({\gamma }_0+iy)=o(1)$ 当 $|y|\to \infty$）。若 $N_{\mathbf{v}}$ 非减（或最终非减），则

若 ${\gamma }_0\ne 0$，则 $$N_{\mathbf{v}}(t)=\frac{A_{-m}}{{\gamma }_0(m-1)!}{\mathrm{e}}^{{\gamma }_{0}t}{t}^{m-1}+o\left({\mathrm{e}}^{{\gamma }_{0}t}{t}^{m-1}\right)(t\to \infty ).$$ 若 ${\gamma }_0=0$，则 $$N_{\mathbf{v}}(t)=\frac{A_{-m}}{m!}{t}^m+o\left(t^m\right)(t\to \infty ).$$

证明要点（补充与引用）。 取 $\sigma >{\gamma }_0$，用 Laplace–Stieltjes 反演

$$\frac{N_{\mathbf{v}}(t+)+N_{\mathbf{v}}(t-)}{2}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Re s=\sigma }\frac{{\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}(s)}{s}{\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s,$$

向左移路至 $\Re s={\gamma }_0+\epsilon$ 并取环绕 $s={\gamma }_0$ 的小圆，主部来自该极点的留数；其余边界在单调性与 $G$ 的垂线增长控制下为低阶项。此为一侧 Tauberian 范畴的典型结论：对非减（或最终非减）$N_{\mathbf{v}}$，在 $s={\gamma }_0$ 的有限阶极点蕴含 $N_{\mathbf{v}}(t)\sim c{\mathrm{e}}^{{\gamma }_{0}t}{t}^{m-1}$（参见 Korevaar, Tauberian Theory；Feller, Vol. II）。$\square$

注。 若失去单调性，可在全变差有界与局部平均化条件下得到 $\ll {\mathrm{e}}^{{\gamma }_{0}t}{t}^{m-1}$ 的上界；等号型结论需更强 Tauberian 工具。

5. 极点阶的上—下界与主项系数

若

$$M_{\mathbf{v}}(t)\sim \sum _{\ell }{Q}_{\ell }(t){\mathrm{e}}^{{\gamma }_{\ell }t},Q_{\ell }(t)=\sum _{r=0}^{d_{\ell }}{a}_{\ell ,r}{t}^r,$$

则由 T5.1

$${\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_{\ell }+1,$$

且最高阶主部系数为

$${\mathrm{Coeff}}_{(s-{\gamma }_{\ell }{)}^{-(d_{\ell }+1)}}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s)={\gamma }_{\ell }{a}_{\ell ,d_{\ell }}{d}_{\ell }!.$$

反向地，在 T5.2 的单极点情形，若 $m=d+1$ 且 $A_{-m}\ne 0$，则

$$a_d=\frac{A_{-m}}{{\gamma }_{0}d!}$$

若 ${\gamma }_0=0$，则 $m=d$，并且 $$a_d=\frac{A_{-d}}{d!}.$$

当 ${\gamma }_{\ell }=0$ 时，由于主部存在整体 $s$ 因子，极点阶自动降一阶，普遍上界可收紧为 $${\mathrm{ord}}_{s={\gamma }_{\ell }}{\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}\le d_{\ell }({\gamma }_{\ell }=0).$$

给出主项最高次系数。

6. 与 S4 的 EM 范式拼接（“极点 = 主尺度”）

对沿方向的离散和（如 ${\sum }_{k}f(a+k\Delta ;s)$ 或更一般的谱和），采用 S4 的有限阶 EM 分解为“主尺度积分 + 若干伯努利层 + 余项“。伯努利层与余项在 $s$ 上全纯/整函数，仅主尺度项可能产生极点；与第 2 节的指数–多项式主项相结合，可在所需竖条内完成亚纯延拓与极点定位。

7. 方向零–极点的互补几何（与 S2 对齐）

在方向切片 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$ 上，若某区段由两项主导，则 S2 的二项闭合给出零的局部方程（相位对径与幅度平衡），一般位置下零为简单零。与之互补地，极点来自方向累积（计数或加权）之指数增长，并非由局部两项相消产生。于是，截面函数的零—极点在几何上互补。

8. 完成函数与增长配平（与 S3 对齐）

为在更宽竖条上控制垂线增长或实现关于 $\Re s=\frac{a}{2}$ 的镜像对称，可取 S3 的 $a$-对称 $\Gamma /\pi$ 因子 $r(s)$，定义完成函数

$${\Xi }_{\mathbf{v}}(s):=r(s){\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}(s).$$

在 T5.1 的半平面内，${\Xi }_{\mathbf{v}}$ 仍亚纯；借助 Stirling 估计，沿垂线的指数增长得到配平。若 $r$ 同时消去主尺度极点，则 ${\Xi }_{\mathbf{v}}$ 在该半平面内全纯（无极点）。

9. 反例与边界族（失效原因标注）

• R5.1（亚指数累积）：若 $N_{\mathbf{v}}(t)$ 仅有 ${\mathrm{e}}^{\sqrt{t}}$ 级增长，则 ${\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 仅在 $\Re s>0$ 收敛且一般无极点；指数–多项式前提不成立。
• R5.2（剧烈振荡权重）：若加权跳跃在单位区间内呈超多项式爆长，命题 5.3 失效，可导致极点阶上升或出现自然边界。
• R5.3（无限伯努利层）：将 EM 误作无穷级数会破坏一致可和并伪造极点；必须坚持有限阶并验证余项全纯。
• R5.4（方向退化）：若 $⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩\equiv 0$（所有项沿该方向同速），则方向切片退化；零/极点结构需改以横向参数（$\theta$ 或 ${\rho }_{\perp }$）展开。

10. 统一“可检清单“（最小充分条件）

1. 收敛半平面：计算 ${\gamma }_{\mathrm{abs}}={\mathrm{limsup}}_{t\to \infty }{t}^{-1}\log N_{\mathbf{v}}(t)$，在 $\Re s>{\gamma }_{\mathrm{abs}}$ 起步。
2. 指数–多项式主项：给出 $M_{\mathbf{v}}$ 或 $N_{\mathbf{v}}$ 的有限指数–多项式渐近（指数率 ${\gamma }_{\ell }$、次数 $d_{\ell }$、间隙 $\eta >0$）。
3. 亚纯化：由 T5.1 得到 ${\mathcal{L}}_{\mathbf{v}}/{\mathcal{N}}_{\mathbf{v}}$ 的极点位置 $s={\gamma }_{\ell }$ 与阶上界 $d_{\ell }+1$。
4. 权重稳健性（上界向）：核对命题 5.3 的局部多项式有界条件，保证极点位置不右移（指数率不大于计数侧）；极点阶在 $\kappa =0$ 时不增。如需“位置/阶一致”，需另加“无系统性抵消”（如非负权重）假设。
5. Tauberian 反演（等号型）：在单调/非负等前提且满足 T5.2 的 Ikehara–Delange 边界条件时，由极点得到指数–多项式主项；若缺少该边界条件，仅可得上界，不保证等号型主项。
6. EM 拼接：任何离散—连续互换均以 S4 的有限阶 EM 执行；伯努利层与余项在 $s$ 上全纯。
7. 几何一致性：主导两项区间内与 S2 的二项闭合—横截模板一致（零的简单性与退化分支）。
8. 增长配平（可选）：需要镜像/增长控制时，选用 S3 的对称 $\Gamma /\pi$ 因子构造完成函数。

附录 A：Laplace–Stieltjes 基本公式（变差与分部积分）

令 $G$ 为右连续、局部有界变差函数，$\mathrm{d}G$ 其 Stieltjes 测度。若 $\Re s>{\sigma }_0$ 且 $|G(t)|\le C{\mathrm{e}}^{({\sigma }_0+\epsilon )t}$（$t\ge T$），则

$${\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}G(t)=s{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-st}G(t)\mathrm{d}t+[{\mathrm{e}}^{-st}G(t){]}_{0^{+}}^{\infty },$$

边界项在 $\Re s>{\sigma }_0+\epsilon$ 下消失。若再假设 $G$ 非减，则有反演公式

$$\frac{G(t+)+G(t-)}{2}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\Re s=\sigma }\frac{1}{s}\left({\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-su}\mathrm{d}G(u)\right){\mathrm{e}}^{st}\mathrm{d}s(\sigma >{\sigma }_0),$$

并配合留数定理与垂线增长估计给出 T5.2 的主项与误差控制。

结语

沿方向的计数/加权累积将母映射的谱—尺度数据压缩为一元可检对象；当其呈有限的指数–多项式增长时，沿方向的 Laplace–Stieltjes 变换在适当半平面内亚纯，其极点完全由主尺度决定：位置等于指数率，阶至多为相应多项式次数加一。该方向版解析结构与 S4 的 EM 范式严格一致，并与 S2 的零集几何、S3 的完成函数模板互补，为后续 S6 的信息刻度与 S7 的 $L$-函数接口提供了可检、可拼接的极点—增长基线。

参考文献（指引性）

1. D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton Univ. Press.
2. G. Doetsch, Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation.
3. J. Korevaar, Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer.
4. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II, Wiley.
5. P. Flajolet, R. Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge Univ. Press.