一致性工厂：受限主丛—散射—$K^1$ 的族级统一与整数唯一性

摘要

本文建立一个把受限几何（受限酉群与受限 Grassmann 流形）、散射谱理论（Birman–Kreĭn 公式、谱移函数、谱流）与拓扑 $K$ 理论（$K^1$ 的表示空间）在族（families）层级无缝拼接的框架。首先以 Hilbert–Schmidt 受限模型赋予 $U_{\mathrm{res}}$ 与 ${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 明确的 Hilbert–Lie 几何结构，证明存在 $H$-空间等价 $U_{\mathrm{res}}\simeq \Omega U$ 并据此得到去圈识别 $B{U}_{\mathrm{res}}\simeq U$，从而在仿紧基空间上给出 $U_{\mathrm{res}}$-主丛的 $K^1$-分类。其次，在“gap 连续 + 相对迹类 + 族 Schatten 连续 + 端点闭合“的最小可检假设下，以相对 Cayley 变换将散射族 $(H,H_0)$ 送入 $K^1(X)$，并通过 Pushnitski 不变性、Birman–Kreĭn 公式与“谱移＝谱流＝$K^1$ 基本类“的传送带，证明该构造与能量侧稳定酉环路之类一致且与平滑/截断选择无关。最后提出一组极简公理（连续性、函子性/不变性、外直和加性、尺度等变、BK 归一化），在可表性与 Bott 兼容的约束下证明：满足这些公理的任何自然变换均为“乘以整数“的唯一类，经秩一原型归一化得到整数 $+1$。作为跨域参照，给出 $\mathbf{FinStat}$ 上相对熵类函子的张量自然变换唯一到非负常数倍。附录提供主丛局部切片与去圈识别、相对 Cayley 的族级 Schatten 控制、尺度等变的显式同伦、能量侧端点闭合与族版不变性、秩一 BK 归一化及“唯一至整数倍“的函子论证明等完整技术细节。

关键词：受限酉群；受限 Grassmann 流形；去圈识别；Bott 周期性；主丛分类；相对 Cayley 变换；谱移函数；Birman–Kreĭn 公式；谱流；$K^1$ 表示；张量自然变换；相对熵

1. 引言与历史背景

本文的目标是把下列三条成熟脉络在族级层面对齐并闭合为“存在—分类—唯一“的环路：

• 受限几何 $⟷$ $K^1$ 表示：受限 Grassmann 流形 ${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 与受限酉群 $U_{\mathrm{res}}$ 的同伦型与 Bott 周期性匹配，诱导 $B{U}_{\mathrm{res}}\simeq U$，从而在仿紧 $X$ 上 ${\mathrm{Prin}}_{U_{\mathrm{res}}}(X)\cong K^1(X)$。
• 散射 $⟷$ $K^1$：对自伴算子对 $(H,H_0)$ 的族，在相对迹类与 gap 连续下经相对 Cayley 变换得到 $K^1(X)$ 元；能量侧由稳定酉环路（行列式相位的绕数）给出同一 $K^1$ 元；两者对平滑/截断选择同伦不变。
• 唯一性范式：在极简公理（连续性、加性、尺度等变、BK 归一化）下，散射族 $\to K^1$ 的自然变换唯一到整数倍；经秩一原型归一化为 $+1$。在 $\mathbf{FinStat}$ 上相对熵类函子唯一到非负常数倍作为平行参照。

经典来源包括：Segal–Wilson 与 Pressley–Segal 关于受限 Grassmann/受限群的几何与同伦结构；Kuiper 关于无限维酉群的可收缩性；Bott 周期性与 $K^1$ 的表示；Pushnitski 的不变性原理与 Birman–Kreĭn 公式；谱移＝谱流（Azamov–Carey–Dodds–Sukochev）与谱流＝$K^1$ 基本类（Phillips）；Baez–Fritz 关于 $\mathbf{FinStat}$ 上相对熵的范畴刻画。本文在这些基底上，系统化族级正则与选择无关性，并把“公理 + 归一化 $\Rightarrow$ 唯一倍数“的思想推广到散射 $\to K^1$。

2. 模型与假设

2.1 受限模型与拓扑约定

令 $\mathcal{H}$ 为可分复 Hilbert 空间，取极化 $\mathcal{H}={\mathcal{H}}_{+}\oplus {\mathcal{H}}_{-}$ 与正投影 ${\mathsf{P}}_{+}$。记 Schatten 理想 ${\mathfrak{S}}_p$（$1\le p\le \infty$），Hilbert–Schmidt 理想 ${\mathfrak{S}}_2$。

• 受限酉群（Hilbert–Schmidt 受限）

$$U_{\mathrm{res}}=\{U\in U(\mathcal{H}):[U,{\mathsf{P}}_{+}]\in {\mathfrak{S}}_2\},$$

以 ${\mathfrak{S}}_2$ 模型为切空间赋予 Hilbert–Lie 群结构与相应流形拓扑。

• 受限 Grassmann 流形

$${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}=\{W\subset \mathcal{H}\text{闭直和子空间}:{\mathsf{P}}_{+}{|}_W-{\mathrm{id}}_W\in {\mathfrak{S}}_2\},$$

用图像坐标（到 $\mathcal{B}({\mathcal{H}}_{+},{\mathcal{H}}_{-})\cap {\mathfrak{S}}_2$）赋予 Hilbert 流形结构。$U_{\mathrm{res}}$ 以 $U\cdot W=UW$ 作用其上。

• 稳定酉群与 $K^1$ 表示 以直和极限 $U={\underrightarrow{\lim }}_{n}U(n)$ 为 $H$-空间（外直和乘法）；对仿紧/CW 型拓扑空间 $X$ 有 $[X,U]\cong K^1(X)$。

记号：若不致混淆，$H$-空间同伦等价与弱同伦等价均记为 $\simeq$；同构记为 $\cong$。

2.2 散射族最小可检假设

设 $X$ 为仿紧可度量空间。对自伴算子族 $\{(H_x,H_{0,x}){\}}_{x\in X}\subset \mathcal{B}(\mathcal{H})$ 要求：

• (S1) gap 连续：$x\mapsto (H_x\pm i{)}^{-1}$、$(H_{0,x}\pm i{)}^{-1}$ 在算子范数连续。

• (S2) 相对迹类与族 ${\mathfrak{S}}_1$ 连续：

$$(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1,x⟼|(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}-i{)}^{-1}{|}_{{\mathfrak{S}}_1}\text{连续}.$$

• (S3) 散射正则（族版）：a.e. $\lambda >0$ 有 $S_x(\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_1$，且对任意紧能量区间 $I\subset (0,\infty )$、紧 $K\subset X$，

$$\underset{x\in K}{\sup }{\int }_I|S_x(\lambda )-1{|}_{{\mathfrak{S}}_1}d\lambda <\infty .$$

• (S4) 端点闭合：存在统一的能量重参数与端点静态连接，使 $\lambda \in [0,\infty ]\mapsto S_x(\lambda )$ 在商 $U^{(1)}:=\{1+{\mathfrak{S}}_1\}$ 中闭合为环路，且该闭合对选择同伦不变。

适用范围备注：一维短程或相对有限秩/迹类模型满足（S3）；高维情形常见 $S(\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_p$（$p>1$），可用修正行列式与相位替代，见 §8 讨论。

2.3 自然性公理（散射族 $\to K^1$）

设候选自然变换 $\Phi$ 将对象 $(H,H_0)$（或其族）送入 $K^1$：

• (C0) 极限/同伦保持：对（S1）–（S2）控制下的逼近与 gap 同伦，$\Phi$ 保持极限与同伦类；
• (C1) 不变性/函子性：对纤维上连续的酉共轭、平凡稳定化、同构拉回不变；
• (C2) 外直和加性：$\Phi ((H_1\oplus H_2),(H_{0,1}\oplus H_{0,2}))=\Phi (H_1,H_{0,1})+\Phi (H_2,H_{0,2})$；
• (C3) 尺度等变：$\Phi (aH,a{H}_0)=\Phi (H,H_0)$（$a>0$）；
• (C4) BK 归一化：在标准秩一原型（§6）上 $\Phi$ 取 $K^1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ 的正生成元。

3. 主要结果

定理 B（受限主丛的 $K^1$ 分类）

存在 $H$-空间等价

$$U_{\mathrm{res}}\simeq \Omega U,$$

从而 $B{U}_{\mathrm{res}}\simeq U$。对仿紧 $X$，自然同构

$${\mathrm{Prin}}_{U_{\mathrm{res}}}(X)\cong [X,B{U}_{\mathrm{res}}]\cong [X,U]\cong K^1(X).$$

定理 A1（相对 Cayley 的族级 $K^1$ 构造）

在（S1）–（S2）下，定义

$$U(H):=(H-i)(H+i{)}^{-1},u_x:=U(H_x)U(H_{0,x}{)}^{-1}\in U^{(1)}.$$

则 $x\mapsto u_x$ 范数连续并确定 $K^1(X)$ 元 $[u_{\bullet }]$。

定理 A2（能量侧与 Cayley 侧的一致性与选择无关）

在（S1）–（S4）下，由 $S_x(\lambda )$ 的稳定酉环路构造的 ${\Gamma }_x:S^1\to U^{(1)}$ 给出 $K^1(X)$ 元 $[{\Gamma }_{\bullet }]$。有

$$[{\Gamma }_{\bullet }]=[u_{\bullet }]\in K^1(X),$$

并且对能量平滑、截断与端点闭合的选择同伦不变。

定理 A3（唯一性至整数倍）

设 $\Phi$ 为把散射族送入 $K^1$ 的自然变换，满足（C0）–（C4）。则存在唯一整数 $n$ 使得

$$\Phi =n\cdot {\Phi }_{\mathrm{can}},$$

其中 ${\Phi }_{\mathrm{can}}(H,H_0)=[x\mapsto U(H_x)U(H_{0,x}{)}^{-1}]$ 为定理 A1 的规范构造。由（C4）在秩一原型上归一化得 $n=1$。

定理 C（$\mathbf{FinStat}$ 上相对熵的张量自然变换唯一）

在有限集概率分布与带右逆 Markov 箭头形成的范畴 $\mathbf{FinStat}$ 上，满足“凸线性、下半连续、数据处理不等式、最优假设处取零“的相对熵型函子均为 Kullback–Leibler 的常数倍。若 $F,G$ 为到 $({\mathbb{R}}_{\ge 0},+)$ 的单体（笛卡尔张量）函子，则任意单体自然变换 $\eta :F\Rightarrow G$ 为某个非负常数 $c$ 的逐对象标量倍，且 $c$ 由 $\eta$ 在幺元对象处的值唯一决定。

4. 证明

4.1 定理 B

步骤 1：主丛与同伦等价 $U_{\mathrm{res}}$ 通过 $U\cdot W=UW$ 自由、适当地作用于 ${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$。以图像坐标给出局部切片：对 $W\in {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$，取小球 ${\mathcal{U}}_W\subset \mathcal{B}({\mathcal{H}}_{+},{\mathcal{H}}_{-})\cap {\mathfrak{S}}_2$ 映到 $\mathrm{graph}(T)$。局部平凡性推出投影 $\pi :U_{\mathrm{res}}\to {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 为光滑主丛，稳定子为块对角 $U({\mathcal{H}}_{+})\times U({\mathcal{H}}_{-})$。稳定子在范数拓扑可收缩（Kuiper），且其包含到受限子群为弱等价；纤维同伦平凡推出

$$U_{\mathrm{res}}\simeq {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}.$$

步骤 2：${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 的同伦型 受限 Grassmann 的连通分支由虚维（Fredholm 指数）标号，${\pi }_0\cong \mathbb{Z}$。每个分支与 $BU$ 同伦等价，因此

$${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}\simeq \mathbb{Z}\times BU.$$

步骤 3：Bott 与去圈识别 Bott 周期性 $\Omega U\simeq \mathbb{Z}\times BU$ 给出 $H$-空间等价

$$U_{\mathrm{res}}\simeq \Omega U.$$

对良点化 $A_{\infty }$ 空间之弱等价 $f:G\to H$，classifying space 函子 $B$ 保弱等价，遂

$$B{U}_{\mathrm{res}}\simeq U.$$

最后利用 $[X,U]\cong K^1(X)$ 得分类陈述。 $\square$

4.2 定理 A1

对自伴 $T$，分式预解式恒等式

$$U(T)=\frac{T-i}{T+i}=I-2i(T+i{)}^{-1}.$$

于是

$$U(H_x)-U(H_{0,x})=2i(H_x+i{)}^{-1}(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}+i{)}^{-1}.$$

由（S1）$(H_x\pm i{)}^{-1}$ 范数连续且一致有界；由（S2）$(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}-i{)}^{-1}\in {\mathfrak{S}}_1$ 且族 ${\mathfrak{S}}_1$ 连续。理想性质给出

$$|U(H_x)-U(H_{0,x}){|}_{{\mathfrak{S}}_1}\le 2|(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}+i{)}^{-1}{|}_{{\mathfrak{S}}_1},$$

从而 $u_x-I\in {\mathfrak{S}}_1$ 且 $x\mapsto u_x$ 范数连续，定义 $K^1(X)$ 元 $[u_{\bullet }]$。 $\square$

4.3 定理 A2

（i）能量侧环路与 BK 公式 在（S3）–（S4）下，选取统一能量重参数 $h:[0,1]\to [0,\infty ]$ 与端点静态连接，使 $S_x(h(t))$ 在 $U^{(1)}$ 中闭合成环路 ${\Gamma }_x$。Birman–Kreĭn 公式给出

$$\det S_x(\lambda )=\exp \{-2\pi i{\xi }_x(\lambda )\},$$

其微分式为

$$\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(S_x(\lambda {)}^{-1}{\partial }_{\lambda }{S}_x(\lambda ))d\lambda =d{\xi }_x(\lambda ).$$

端点闭合与局部一致可积确保整环路的绕数等于 ${\xi }_x$ 的总变差。

（ii）不变性与谱流 Pushnitski 不变性将谱移函数从 $(H_x,H_{0,x})$ 降至有界演算（如 $\arctan$ 或 Cayley），保持 ${\xi }_x$。谱移 = 谱流把 ${\xi }_x$ 与路径 $\{(H_x-\mu ){\}}_{\mu }$ 的谱流等同。Phillips 识别谱流为 $K^1$ 基本类，遂有能量侧 $[{\Gamma }_{\bullet }]=[u_{\bullet }]$。平滑/截断与端点闭合选择在不变性下同伦不变。 $\square$

4.4 定理 A3

（i）因子化到表示空间 可表性 $K1(X)\cong [X,U]$ 使任何自然自同态 $\Phi :K^1(-)\Rightarrow K^1(-)$ 唯一对应于某个 $H$-空间自映射 $f:U\to U$ 的后合成：${\Phi }_X([g])=[f\circ g]$。对散射族的自然变换 $\Phi$ 以 $(H,H_0)\mapsto u$ 的“忘却“函子 $\mathcal{U}$ 为中介（由 A1 定义）得到 $\Phi ={\Phi }^U\circ \mathcal{U}$。

（ii）生成元检测与延拓 取 $X=S^1$，${\tilde{K}}^1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ 迫使 ${\Phi }_{S^1}$ 为乘 $n$。由外直和加性与 Bott 兼容，乘 $n$ 延拓至任意 $X$；因此 $\Phi =n\cdot {\Phi }_{\mathrm{can}}$。

（iii）归一化 在 §6 的秩一原型上 ${\Phi }_{\mathrm{can}}$ 取 $+1$；（C4）给出 $n=1$。 $\square$

4.5 定理 C（完整证明）

对象与态射。$\mathbf{FinStat}$ 的对象为有限集合 $X$ 携带先验 $q\in \Delta (X)$ 与“假设—观测“对 $(f,s)$（$f:X\to Y$ 为 Markov 箭头，$s:Y\to X$ 为右逆 Bayesian 更新，$fs={\mathrm{id}}_Y$）。态射为可与右逆配对的 Markov 箭头；张量结构为笛卡尔乘积 $\otimes$，幺元对象为单点 $1$；目标单体范畴取 $({\mathbb{R}}_{\ge 0},+,0)$。

Baez–Fritz 唯一性。满足“凸线性、下半连续、数据处理不等式、最优假设处取零“的函子 $F:\mathbf{FinStat}\to ({\mathbb{R}}_{\ge 0},+)$ 必为 $c\cdot D_{\mathrm{KL}}$（$c\ge 0$）。

单体自然变换的唯一性。设 $F=c\cdot D_{\mathrm{KL}}$、$G=d\cdot D_{\mathrm{KL}}$ 为单体函子，$\eta :F\Rightarrow G$ 为单体自然变换，需证存在唯一 $a\ge 0$ 使 ${\eta }_X=a\cdot {\mathrm{id}}_{F(X)}$（逐对象恒等的标量倍）。

• （a）逐对象为加法同态。单体性给

$${\eta }_{X\times Y}(F(x)+F(y))={\eta }_X(F(x))+{\eta }_Y(F(y)).$$

取 $Y=1$、$F(1)=0$，得 ${\eta }_X$ 为 $({\mathbb{R}}_{\ge 0},+)$ 上的加法同态，且由下半连续性可推为线性：${\eta }_X(t)=a_{X}t$（$a_X\ge 0$）。

• （b）自然性使比例常数与对象无关。对任意 Markov 箭头 $f:X\to Y$，自然性给出

$$a_{Y}F(f)={\eta }_Y\circ F(f)=G(f)\circ {\eta }_X=a_{X}F(f).$$

选取使 $F(f)\ne 0$ 的简单二点分布模型（如 Bernoulli），即得 $a_X=a_Y$。于是 $a_X\equiv a$ 与对象无关。

• （c）幺元处决定系数。由单体性

$${\eta }_1(0)=0,{\eta }_{X\times 1}={\eta }_X+{\eta }_1.$$

归纳得 $\eta$ 完全由 $a={\eta }_1^{\prime }$ 决定；又 $a\ge 0$。取 $a=d/c$ 则 $\eta$ 与 $F,G$ 匹配。唯一性显然。 $\square$

5. 模型化应用

5.1 一维 Schrödinger 秩一族

取 $\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R})$，

$$H_0=-{\partial }_x^2,H=H_0+\alpha ⟨\cdot ,\varphi ⟩\varphi ,$$

其中 $\alpha >0$、$|\varphi |=1$。令参数 $\alpha =\alpha (x)$ 连续变化。该族满足（S1）–（S4），且 $S(\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_1$（a.e. $\lambda$）。由 A1 得 $[u_{\bullet }]\in K^1(X)$，由 A2 得能量侧绕数等于 $[u_{\bullet }]$ 的度。标准相移计算给出 $\frac{1}{2\pi i}\int \mathrm{tr}(S^{-1}dS)=+1$ 的归一单位，匹配 A3 的 $n=1$。

5.2 扭转情形与极化不可全局选择

若极化在底空间 $X$ 上扭转，则应以 $PU(\mathcal{H})$-主丛与 Dixmier–Douady 类 $\delta \in H^3(X,\mathbb{Z})$ 表示，输出从 $K^1(X)$ 替换为扭转 $K_{\delta }^1(X)$。受限几何与散射通道的构造在局部坐标下不变，粘合由束枢纽决定。

6. 工程化建议（可复现管线）

输入：能量网格 $\{{\lambda }_k{\}}_{k=0}^N$、散射矩阵近似 $S({\lambda }_k)$。

步骤：

1. 端点静态连接：在 ${\lambda }_0,{\lambda }_N$ 处引入小弧连接确保环路闭合；
2. 平滑：对 $\lambda \mapsto S(\lambda )$ 施加固定带宽能量平滑以抑制阈值噪声；
3. 行列式相位与绕数：计算 $\arg \det S({\lambda }_k)$ 并作去跳跃展开，累加差分近似 $\sum \Delta \arg /2\pi$ 得绕数；
4. 稳健性：随平滑核宽度、网格密度、端点连接长度微调应保持整数不变；
5. 交叉校验：并行计算相对 Cayley 侧的有限维截断近似 $\mathrm{wind}\det U(H_n)U(H_{0,n}{)}^{-1}$ 交叉验证。

误差记分：由 §4.2 的 ${\mathfrak{S}}_1$ 上界与（S3）的局部一致可积，网格误差由 $\sup |S-1{|}_{{\mathfrak{S}}_1}$ 与步长控制；平滑误差在 Pushnitski 不变性下同伦不变。

7. 归一化原型与取向核对

以 §5.1 的秩一原型为归一单位：固定相移 $\delta (\lambda )$ 之号记，使

$$\det S(\lambda )=e^{-2i\delta (\lambda )},\xi (\lambda )=\frac{\delta (\lambda )}{\pi }.$$

端点可积与单调性给

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{\infty }\mathrm{tr}(S^{-1}(\lambda ){\partial }_{\lambda }S(\lambda ))d\lambda =\frac{1}{\pi }(\delta (0^{+})-\delta (\infty ))=+1.$$

尺度 $a>0$ 不改变 $\mathrm{sgn}(H)$ 与 $K^1$ 类；Mellin–Hardy 极化下尺度对应于相位乘子，保持极化分解不变（见附录 C）。

8. 讨论（边界、风险与相关工作）

• 维度与理想阶：高维短程散射常仅有 $S(\lambda )-1\in {\mathfrak{S}}_p$（$p>1$）。可改用修正行列式 ${\det }_p$ 与修正相位，沿 A2 之链路获得 $K^1$ 类与唯一性，技术细节与本框架兼容。
• 阈值与共振：零能阈值可通过有限秩/紧扰动将 0 推离本质谱，再由（C0）传回；或引入修正相位。
• 受限模型的等价：不同受限理想（紧、${\mathfrak{S}}_2$、${\mathfrak{S}}_1$）在合理比较拓扑下同伦等价并与 Bott 对齐。
• 谱流与非有界 Fredholm：亦可在非有界 Fredholm 模型下直接实现谱流=$K^1$ 的识别。
• $\mathbf{FinStat}$ 对照：唯一性范式在统计/信息论侧展示“公理 + 归一化 $\Rightarrow$ 唯一倍数“的同型逻辑。

9. 结论

受限几何提供 $K^1$ 的几何化分类，散射谱理论提供从算子与能量到 $K^1$ 的通道，可表性与 Bott 结构则把“自然性 + 归一化“压缩为整数唯一性。三者在族级层面的拼接，给出一个可移植的“唯一性工厂“：在最小可检假设下产出存在、对齐与唯一。工程化流程展示了数值上稳健提取 $K^1$ 指标的可行性，并为高维/修正相位与扭转情形的推广提供清晰路线。

参考文献

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2. G. Segal, G. Wilson, “Loop groups and equations of KdV type”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 61 (1985), 5–65.
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4. A. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory, 2017.
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7. A. Pushnitski, “The spectral shift function and the invariance principle”, Journal of Functional Analysis 183 (2001), 269–320.
8. D. R. Yafaev, Mathematical Scattering Theory: General Theory, Springer, 1992.
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10. V. V. Peller, “Multiple operator integrals in perturbation theory”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 290 (2015), 209–233.
11. D. Potapov, F. Sukochev, “Operator-Lipschitz functions in Schatten–von Neumann classes”, Acta Mathematica 207 (2011), 375–389.
12. S. Booss-Bavnbek, M. Lesch, J. Phillips, “Unbounded Fredholm operators and spectral flow”, Canadian Journal of Mathematics 57 (2005), 225–250.
13. J. C. Baez, T. Fritz, “A Bayesian characterization of relative entropy”, Theory and Applications of Categories 29 (2014), 421–478.
14. L. Fullwood, “On a 2-Relative Entropy”, Entropy 24 (2022), 74.
15. R. Wurzbacher, “The restricted Grassmannian, Banach Lie–Poisson spaces and coadjoint orbits”, 见于 Analysis, Geometry and Topology of Elliptic Operators, World Scientific, 2006.

附录

附录 A：受限主丛、局部切片与去圈识别

A.1 局部切片与主丛 对 $W\in {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 取邻域

$${\mathcal{U}}_W=\{T\in \mathcal{B}({\mathcal{H}}_{+},{\mathcal{H}}_{-})\cap {\mathfrak{S}}_2:|T|\text{小}\},$$

映射 $T\mapsto \mathrm{graph}(T)$ 给出坐标。联合作用

$$U_{\mathrm{res}}\times {\mathcal{U}}_W\to {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}},(U,T)\mapsto U\cdot \mathrm{graph}(T)$$

局部为纤维丛，稳定子为 $U({\mathcal{H}}_{+})\times U({\mathcal{H}}_{-})$。因 $U_{\mathrm{res}}$ 为 Hilbert–Lie 群，作用自由适当，投影 $\pi :U_{\mathrm{res}}\to {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}$ 为光滑主丛。

A.2 稳定子收缩与同伦等价 Kuiper 定理：$U({\mathcal{H}}_{\pm })$ 在范数拓扑可收缩；其包含到子群（由受限拓扑诱导）为弱等价。主丛纤维同伦平凡，故

$$U_{\mathrm{res}}\simeq {\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}.$$

A.3 ${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}\simeq \mathbb{Z}\times BU$ 与 $U_{\mathrm{res}}\simeq \Omega U$ 受限 Grassmann 的分支按虚维（Fredholm 指数）分解，每一分支同伦等价于 $BU$，得 ${\mathrm{Gr}}_{\mathrm{res}}\simeq \mathbb{Z}\times BU$。配合 Bott 周期性 $\Omega U\simeq \mathbb{Z}\times BU$ 得 $U_{\mathrm{res}}\simeq \Omega U$ 的 $H$-空间等价。

A.4 去圈识别 对良点化 $A_{\infty }$ 空间之弱等价 $f:G\to H$，classifying space 函子 $B$ 保弱等价。取 $G=U_{\mathrm{res}},H=\Omega U$ 得

$$B{U}_{\mathrm{res}}\simeq U.$$

附录 B：相对 Cayley 的族级 Schatten 控制

B.1 分式预解式与迹类估计 对自伴 $T$，

$$U(T)=I-2i(T+i{)}^{-1}.$$

于是

$$U(H)-U(H_0)=2i(H+i{)}^{-1}(H-H_0)(H_0+i{)}^{-1}.$$

若（S1）–（S2）成立，右端为 ${\mathfrak{S}}_1$，且

$$|U(H)-U(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_1}\le 2|(H-H_0)(H_0+i{)}^{-1}{|}_{{\mathfrak{S}}_1}.$$

B.2 族连续性与一致常数 在 $K\subset X$ 紧集上，由（S1）${\sup }_{x\in K}|(H_x\pm i{)}^{-1}|<\infty$，（S2）给出

$$\underset{x\in K}{\sup }|U(H_x)-U(H_{0,x}){|}_{{\mathfrak{S}}_1}\le 2\underset{x\in K}{\sup }|(H_x-H_{0,x})(H_{0,x}+i{)}^{-1}{|}_{{\mathfrak{S}}_1}.$$

从而 $x\mapsto u_x$ 范数连续。

B.3 MOI/DOI 提升（可选） 如需推广到更一般的函数演算，取 $f\in B_{\infty ,1}^1$（Besov），多算子积分给出

$$|f(H)-f(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_1}\lesssim |(H-H_0)(H_0-i{)}^{-1}{|}_{{\mathfrak{S}}_1},$$

并随族连续。

附录 C：尺度等变的显式同伦

取 ${\phi }_t(\lambda )=\frac{\lambda -i/t}{\lambda +i/t}$（$t>0$），定义

$$u_t(x)={\phi }_t(H_x){\phi }_t(H_{0,x}{)}^{-1}.$$

利用分式预解式，

$$u_t-I=2it(H+i/t{)}^{-1}(H-H_0)(H_0+i/t{)}^{-1}{\phi }_t(H_0{)}^{-1}.$$

在（S1）–（S2）下 $(x,t)\mapsto u_t(x)$ 于 $X\times (0,\infty )$ 范数连续；并且

$$[u_1]=[U(H)U(H_0{)}^{-1}],[u_{1/a}]=[U(aH)U(a{H}_0{)}^{-1}].$$

若 $0\notin {\sigma }_{\mathrm{ess}}(H_x)$ 与 $0\notin {\sigma }_{\mathrm{ess}}(H_{0,x})$，或经有限秩扰动将 0 推离本质谱，则 $t\downarrow 0$ 时 $u_t$ 同伦至相对 $\mathrm{sgn}$ 构造；由（C0）把有限秩修正传回原族。

附录 D：能量侧端点闭合与族版不变性

D.1 环路闭合 取单调 $h:[0,1]\to [0,\infty ]$，$h(0)=0,h(1)=\infty$。在端点以常值段连接：$[-ϵ,0]\mapsto 1$、$[1,1+ϵ]\mapsto 1$。由（S3）局部一致可积与（S4）闭合假设，得连续族环路 ${\Gamma }_x$。

D.2 选择无关 两种平滑/截断的差产生在 $U^{(1)}$ 中的可收缩环路；Pushnitski 不变性与 BK 公式使行列式相位之总绕数保持不变，因而 $K^1$ 类同伦不变。

附录 E：秩一 BK 归一化

对 §5.1 模型，散射相移 $\delta (\lambda )$ 单调且 ${\lim }_{\lambda \to \infty }\delta (\lambda )=0$、${\lim }_{\lambda \to 0^{+}}\delta (\lambda )=\pi$。故

$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{\infty }\mathrm{tr}\left(S^{-1}{\partial }_{\lambda }S\right)d\lambda =\frac{1}{\pi }(\delta (0^{+})-\delta (\infty ))=+1,$$

作为 $K^1(S^1)$ 的正生成元；与定理 A3 的归一化一致。

附录 F：唯一性至整数倍的函子论证明（细节）

F.1 因子化到 $U$ 以 A1 定义的“忘却“函子 $\mathcal{U}:\mathbf{Scatt}\to {\mathrm{Top}}_{\ast }$ 将 $(H,H_0)$ 送到基点映射 $u:X\to U^{(1)}\subset U$。设 $\Phi$ 满足（C0）–（C3）。若 $(H,H_0)$ 与 $(H^{\prime },H_0^{\prime })$ 在 $\mathbf{Scatt}$ 中经 $(X\times I)$-族连接（保持（S1）–（S4）的一致性），则由函子性与极限保持有 $\Phi (H,H_0)=\Phi (H^{\prime },H_0^{\prime })$。于是 $\Phi$ 只依赖于 $u$ 的同伦类，存在唯一 $H$-空间自映射 $f:U\to U$ 使

$$\Phi (H,H_0)=[f\circ u]\in [X,U]\cong K^1(X).$$

F.2 $H$-映射提升与 Bott 兼容 由（C2）外直和加性与（C3）尺度等变，$f$ 与 $U$ 的乘法（由块和稳定化诱导）相容，即 $f$ 为 $H$-映射。由定理 B 的去圈识别，存在 $\tilde{f}:BU\to BU$ 使 $\Omega \tilde{f}\simeq f$。

F.3 通过 $BU$ 上的特征类确定度数 $H^{\ast }(BU;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,c_2,\dots ]$。${\tilde{f}}^{\ast }$ 为环自同态，且由（C2）–（C3）与 Bott 兼容性，必有

$${\tilde{f}}^{\ast }(c_1)=n{c}_1(n\in \mathbb{Z}),$$

进而 ${\tilde{f}}^{\ast }(c_j)=n^j{c}_j$。由 Hurewicz 与 Bott 周期性知 $f$ 在 ${\pi }_{2j-1}(U)\cong \mathbb{Z}$ 上作用为乘 $n^j$，在 ${\tilde{K}}^1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ 上为乘 $n$。

F.4 生成元检测与归一化 取 $X=S^1$ 与秩一散射原型（附录 E），有 ${\Phi }_{\mathrm{can}}$ 取 $+1$。若 $\Phi =n\cdot {\Phi }_{\mathrm{can}}$，则 ${\Phi }_{S^1}$ 必为乘 $n$；由（C4）得 $n=1$。由（C2）–（C3）与 Bott，乘 $n$ 延拓到任意 $X$。$\square$

F.5 排除不稳定运算的备注 Adams 运算 ${\psi }^m$ 在 $K$-理论的奇次 Chern 分量按 $m^j$ 缩放；若要求与（C2）外直和与（C3）尺度等变同时兼容且与散射侧的归一化（C4）一致，则唯一可能是 $m=1$，因此不产生新的自然自同态。本定理的“整数倍“已为最一般形态。

（全文完）