相位—谱移—DOS—宇宙学常数的窗化表述

摘要

建立一条以广义散射相位为核心的等价链，贯通 Kontsevich–Vishik（KV）行列式相位、广义 Kreĭn 谱移、态密度差（DOS 差）与 Wigner–Smith（WS）痕量恒等式，并在偶维渐近双曲/共形紧致（AH/CCM）与静片 de Sitter（dS）几何下给出严谨的变量与因子对账。在严格的 Lifshits–Kreĭn（LK）迹公式与相对迹类假设下，证明热核差的拉普拉斯表述与频率变量下的 DOS 斜率之间的换元关系 $$\Delta K(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}{\Theta }^{\prime }(\omega )d\omega ,$$ 其中 $\Theta (\omega )=\frac{1}{2\pi }\arg {\det }_{\mathrm{KV}}S(\omega )$、${\Theta }^{\prime }=\Delta {\rho }_{\omega }=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }$。提出一族对数频率窗 $W$ 的 Mellin‑消零条件，建立窗化 Tauberian 定理：在满足非陷获、无零能共振、解析 Fredholm 与 operator‑Lipschitz 等假设时，小‑$s$ 热核有限部与 ${\Theta }^{\prime }$ 的对数窗平均在尺度 $\mu \sim s^{-1/2}$ 下等价，并给出误差上界。由此定义窗化积分律 $${\partial }_{\ln \mu }{\Lambda }_{\varphi ,W}(\mu )={\kappa }_{\Lambda }{\Xi }_W(\mu ),{\Xi }_W(\mu )={\int }_{\mathbb{R}}\omega {\Theta }^{\prime \prime }(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega =\frac{1}{2\pi }\int \omega {\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}Q(\omega )Wd\ln \omega ,$$ 并给出维度一致的常数分离：${\kappa }_{\mathrm{HK}}$（热核–窗化比例）与 ${\kappa }_{\Lambda }$（把 $⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W$ 映射为宇宙学常数的量纲因子）。在开放通道（地平线/吸收）情形，分别用扩展幺正化与相对行列式建立 ${\partial }_{\omega }\arg {\det }_{\mathrm{KV}}\hat{S}=-i\mathrm{Tr}{\hat{S}}^{†}{\partial }_{\omega }\hat{S}$ 的可证条件，保持 WS‑trace 等式。以一维 $\delta$ 势为可解模板与静片 dS 标量为可算模板展示$\kappa$的抽取流程。提出基于 FRB 基带复相位的最小可复现观测管线，给出二阶相位核的方差标度、色散/多径泄漏核与注入—回收功效分析的闭式公式。上述定理与工程方案共同构成可检验的“窗化表述“。

关键词：广义散射相位；KV 行列式；广义 Kreĭn 谱移；Lifshits–Kreĭn 迹公式；Wigner–Smith 痕量；热核有限部；Tauberian；对数窗；相对行列式；静片 de Sitter；FRB 基带

1 引言与历史背景

偶维 AH/CCM 几何上，Guillarmou 以重整化迹（Kontsevich–Vishik trace, TR）定义的 KV 行列式给出 $$\arg \underset{\mathrm{KV}}{\det }S(\frac{n}{2}+i\omega )=-2\pi \xi (\omega )(\mathrm{mod}2\pi ),$$ 其中 $\xi$ 为广义 Kreĭn 谱函数；其对数导数与散射算子 $S$ 的 TR‑迹挂钩，提供了“相位＝谱移“的几何化版本。该框架与 Friedel–Lloyd–Birman–Kreĭn（BK）关系相容，并在 AH/CCM 的偶维场景得到严格化。(arXiv)

Sá Barreto–Wang 证明：非陷获的 AH 上，$S(\omega )$ 是量化散射关系的 Fourier 积分算子（FIO），确保 $\omega >0$ 的可微性、符号与核的正则性，为 WS‑trace 与 KV‑det 的可微框架奠基。(arXiv)

Peller 刻画了 Lifshits–Kreĭn 迹公式可用的函数类：对满足 operator‑Lipschitz 的 $f$， $$\mathrm{Tr}\left(f(H)-f(H_0)\right)=\int f^{\prime }(\lambda ){\xi }_E(\lambda )d\lambda ,$$ 在相对可迹（或更弱相对类迹）条件下成立。本文将 $f(\lambda )=e^{-s\lambda }$ 置入，并经 $\lambda ={\omega }^2$ 换元，连通热核差与频域 DOS 斜率。(arXiv)

电磁多端口体系下，WS 时间延迟矩阵 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 的痕量与总相位导数等价： ${\partial }_{\omega }\arg \det S=\mathrm{Tr}Q$。该等式在实验和算法层面均可测，构成观测端接口。(ADS)

在黑洞/静片 dS 场景，“相对 DOS—配分函数—相位移“提供了去除连续谱发散的可算范式，并将散射相位与一回路自由能/配分函数联立。本文以此为绝对常数标定的非循环定标模板。(arXiv)

本文目标是把上述链路在频率变量上完全对齐，建立对数频率窗化的 Tauberian 定理，严格陈述开放通道下 KV‑det 的可微性与迹公式适用域，进而提出可落地的 FRB 基带观测检验。

2 模型与假设

2.1 幾何与算子

我们在两类背景上工作：

• 偶维 AH/CCM：$(X^{n+1},g)$ 为偶维共形紧致可散射几何，满足非陷获与无零能共振/嵌入本征值。拉普拉斯型算子 $H=-{\Delta }_g+V$（含规整势）与参考算子 $H_0$ 组成相对对。
• 静片 de Sitter（dS）：取静片区域，边界为地平线，采用物理“入/出“通道，构造扩展通道 $\mathbb{S}$ 或相对算子 $\hat{S}:=S{S}_{\mathrm{ref}}^{-1}$。

对 AH/CCM，$S(\omega )$ 是 FIO，核随 $\omega$ 平滑；对 dS，延拓到扩展通道后幺正。(arXiv)

2.2 KV 行列式与广义 Kreĭn

记 $\Phi (\omega ):=\arg {\det }_{\mathrm{KV}}S(\omega )$，$\Theta (\omega ):=\Phi (\omega )/(2\pi )$。Guillarmou 建立 $$\Phi (\omega )=-2\pi {\xi }_{\omega }(\omega )(\mathrm{mod}2\pi ),{\Theta }^{\prime }(\omega )=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }(\omega ).$$ 其中 ${\xi }_{\omega }(\omega ):={\xi }_E(\lambda ){|}_{\lambda ={\omega }^2}$。(arXiv)

2.3 DOS 与变量变换

能量变量 $\lambda$ 下 $\Delta {\rho }_E(\lambda )=-{\xi }_E^{\prime }(\lambda )$。频率变量 $\omega$ 下 $$\Delta {\rho }_{\omega }(\omega )=2\omega \Delta {\rho }_E({\omega }^2)=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }(\omega ).$$ 定义 $$\boxed{{\Theta }^{\prime }(\omega )=\Delta {\rho }_{\omega }(\omega ),\mathrm{Tr}Q(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=2\pi \Delta {\rho }_{\omega }(\omega )}.$$ 最后等式为 WS‑trace。(ADS)

2.4 窗族与 Mellin‑消零

取紧支集窗 $W\in C_0^{\infty }(\mathbb{R})$，定义对数窗平均 $$⟨f{⟩}_W(\mu )={\int }_{\mathbb{R}}f(\mu e^u)W(u)du={\int }_0^{\infty }f(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega .$$ 记 Mellin 变换 $\hat{W}(z)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{zu}W(u)du$。若 $f(\omega )\sim {\sum }_k{c}_k{\omega }^{{\beta }_k}+{\sum }_{m,j}{d}_{m,j}{\omega }^{{\beta }_m}(\ln \omega {)}^j$ 为高频幂‑对数渐近，则令窗满足 $$\hat{W}({\beta }_k)=0,\frac{d^j}{d{z}^j}\hat{W}(z){|}_{z={\beta }_m}=0(0\le j\le J_m),$$ 以消零幂与对数幂项。

3 主要结果

定理 1（相位—谱移—DOS—WS 的一致化）

在 2.1 的假设下，对 $\omega >0$ 有 $${\Theta }^{\prime }(\omega )=\Delta {\rho }_{\omega }(\omega )=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }(\omega ),\mathrm{Tr}Q(\omega )={\partial }_{\omega }\Phi (\omega )=2\pi \Delta {\rho }_{\omega }(\omega ).$$ 此外，$\Phi (\omega )=-2\pi {\xi }_{\omega }(\omega )(\mathrm{mod}2\pi )$。 证明见 §4.1。 (arXiv)

定理 2（热核—频域换元，无额外 $2\omega$）

设 $f(\lambda )=e^{-s\lambda }$ 且满足 LK 条件，则热核差 $$\Delta K(s):=\mathrm{Tr}(e^{-sH}-e^{-s{H}_0})={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}{\Theta }^{\prime }(\omega )d\omega ,$$ 当 ${\xi }_E(0^{+})=0$ 或以 Hadamard 有限部解释小‑$\lambda$ 端点时成立。 证明见 §4.2。 (arXiv)

注：若以能量变量书写为 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-s\lambda }\Delta {\rho }_E(\lambda )d\lambda$，经 $\lambda ={\omega }^2$ 换元与 $\Delta {\rho }_{\omega }=2\omega \Delta {\rho }_E$ 抵消雅可比，右端不含额外 $2\omega$，量纲自洽。

定理 3（窗化 Tauberian 定理：小‑$s$ 有限部 ↔ 对数窗平均）

设 ${\Theta }^{\prime }(\omega )$ 在 $\omega \to \infty$ 拥有有限个幂‑对数渐近项与可控余项，其 Mellin 变换在带 $\Re z>-\alpha$ 内解析有界。取窗族 $W$ 使 $\hat{W}$ 在上述幂与对数幂指数处消零。则存在常数 $C_W>0$ 与 ${\alpha }^{\prime }>0$，使 $${\mathrm{fp}}_{s\to 0^{+}}\Delta K(s)={\kappa }_{\mathrm{HK}}{C}_W\cdot ⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu =\frac{1}{\sqrt{s}})+O\left(s^{{\alpha }^{\prime }}\right),$$ 其中 ${\kappa }_{\mathrm{HK}}$ 仅依赖维数、场内容与所选正则化方案。 证明见 §4.3。

推论 3.1（窗化积分律）

定义 ${\Lambda }_{\varphi ,W}(\mu ):={\kappa }_{\Lambda }⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu )$（${\kappa }_{\Lambda }$ 具 $M^3$ 量纲，在 $D=4$ 使 $\Lambda \sim M^2$ 自洽），则 $$\boxed{{\partial }_{\ln \mu }{\Lambda }_{\varphi ,W}(\mu )={\kappa }_{\Lambda }{\Xi }_W(\mu ),{\Xi }_W(\mu )=\int \omega {\Theta }^{\prime \prime }(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega =\frac{1}{2\pi }\int \omega {\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}QWd\ln \omega }.$$ 证明见 §4.4。

定理 4（开放通道：扩展幺正与相对行列式）

设静片 dS/黑洞散射算子经通道扩展为 $\mathbb{S}(\omega )$ 幺正且可微，或存在参考传播子 $S_{\mathrm{ref}}$ 使 $\hat{S}=S{S}_{\mathrm{ref}}^{-1}$ 满足 $\hat{S}-1\in {\mathfrak{S}}_1$、${\partial }_{\omega }\hat{S}\in {\mathfrak{S}}_1$。则 $${\partial }_{\omega }\arg \underset{\mathrm{KV}}{\det }\hat{S}(\omega )=-i\mathrm{Tr}\left({\hat{S}}^{†}{\partial }_{\omega }\hat{S}\right),$$ 并与 $\mathbb{S}$ 路线给出的相位仅差常数，从而在 ${\Xi }_W$ 层等价。 证明见 §4.5。 (arXiv)

定理 5（阈值有限部与偶维对数项）

在 2.1 的假设与无零能共振条件下，${\Theta }^{\prime }(\omega )$ 在 $\omega \to 0^{+}$ 存在 Hadamard 有限部；偶维的 ${\omega }^m\log \omega$ 型项可被上述窗族消零，且有限部与窗化极限可交换。 证明见 §4.6。

4 证明

4.1 定理 1 的证明

（i）KV–Kreĭn 等价：Guillarmou 在偶维 AH/CCM 上证明 $$-2\pi i{\partial }_z\xi (z)=\mathrm{TR}\left({\partial }_{z}S(\frac{n}{2}+iz)S^{-1}(\frac{n}{2}+iz)\right),$$ 从而 $\arg {\det }_{\mathrm{KV}}S(\frac{n}{2}+i\omega )=-2\pi \xi (\omega )(\mathrm{mod}2\pi )$。这给出 ${\Theta }^{\prime }=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }$。(arXiv)

（ii）DOS—谱移：Lifshits–Kreĭn 定义 $\Delta {\rho }_E=-{\xi }_E^{\prime }$，变量换元得 $\Delta {\rho }_{\omega }=2\omega \Delta {\rho }_E({\omega }^2)=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega }$。

（iii）WS‑trace：幺正 $S$ 下 $Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$，$\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\arg \det S$。将 $\Phi =2\pi \Theta$ 代入即得 $\mathrm{Tr}Q=2\pi {\Theta }^{\prime }$。电磁多端口版本在可测框架中成立。(ADS) 三步合并即得命题。

4.2 定理 2 的证明

由 LK 迹公式（Peller）对相对对 $(H,H_0)$ 与 $f(\lambda )=e^{-s\lambda }$ 得 $$\Delta K(s)=\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))={\int }_0^{\infty }{f}^{\prime }(\lambda ){\xi }_E(\lambda )d\lambda .$$ 分部得到 $$\Delta K(s)=[-e^{-s\lambda }{\xi }_E(\lambda ){]}_{0^{+}}^{\infty }+{\int }_0^{\infty }{e}^{-s\lambda }\Delta {\rho }_E(\lambda )d\lambda .$$ 高能端 $e^{-s\lambda }\to 0$ 消去；低能端要求 ${\xi }_E(0^{+})=0$ 或以 Hadamard 有限部解释（定理 5）。再以 $\lambda ={\omega }^2$、$d\lambda =2\omega d\omega$ 与 $\Delta {\rho }_{\omega }=2\omega \Delta {\rho }_E({\omega }^2)$ 抵消雅可比，得 $$\Delta K(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}\Delta {\rho }_{\omega }(\omega )d\omega ={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}{\Theta }^{\prime }(\omega )d\omega .$$ 完成证明。(arXiv)

4.3 定理 3 的证明（窗化 Tauberian）

分三步。

（a）频域分解与窗的 Mellin‑消零。设 $${\Theta }^{\prime }(\omega )=\sum _{k=1}^K{c}_k{\omega }^{{\beta }_k}+\sum _m\sum _{j=0}^{J_m}{d}_{m,j}{\omega }^{{\beta }_m}(\ln \omega {)}^j+r(\omega ),$$ $r$ 的 Mellin 变换在 $\Re z>-\alpha$ 可解析有界。取 $W\in C_0^{\infty }$ 使 $\hat{W}({\beta }_k)=0$、$\frac{d^j}{d{z}^j}\hat{W}(z){|}_{z={\beta }_m}=0$。则 $$⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu )=⟨r{⟩}_W(\mu ).$$

（b）拉普拉斯鞍点与尺度配平。记 $u=\ln (\omega /\mu )$，则 $$\Delta K(s)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-s{\mu }^2{e}^{2u}}{\Theta }^{\prime }(\mu e^u)du\approx {\Theta }^{\prime }(\mu ){\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-s{\mu }^2{e}^{2u}}du+\cdots$$ 取 $\mu =s^{-1/2}$ 使鞍点落在 $u=0$。由平稳相位/鞍点近似，存在 $C_W$ 与 ${\alpha }^{\prime }>0$ 使 $${\mathrm{fp}}_{s\to 0}\Delta K(s)={\kappa }_{\mathrm{HK}}{C}_W⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu =s^{-1/2})+O(s^{{\alpha }^{\prime }}).$$ （$C_W$ 可写作 $\int e^{-e^{2u}}W(u)du$ 的常数倍；精确系数由正则化与窗归一确定。）

（c）OL 常数与相对类迹稳定性。由 Peller 的 OL 估计，$f(\lambda )=e^{-s\lambda }$ 的 OL 常数在 $s\downarrow 0$ 下有界（具体依赖 Besov 范数），与相对类迹假设结合给出误差界的一致性。(arXiv) 综上得证。

4.4 推论 3.1 的证明（窗化积分律）

对 $⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu )=\int {\Theta }^{\prime }(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega$ 微分： $${\partial }_{\ln \mu }⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W=-\int {\Theta }^{\prime }(\omega ){\partial }_{\ln \omega }Wd\ln \omega =\int \omega {\Theta }^{\prime \prime }(\omega )Wd\ln \omega .$$ 再用 ${\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}Q=2\pi {\Theta }^{\prime \prime }$ 即得陈述。(ADS)

4.5 定理 4 的证明（开放通道）

（i）扩展通道：在静片 dS，将地平线视作出入射通道扩展到幺正 $\mathbb{S}$。幺正与可微保证 ${\partial }_{\omega }\arg \det \mathbb{S}=\mathrm{Tr}{Q}_{\mathrm{ext}}$。(arXiv)

（ii）相对行列式：选参考 $S_{\mathrm{ref}}$（Rindler/空外区），使 $\hat{S}-1$、${\partial }_{\omega }\hat{S}\in {\mathfrak{S}}_1$。KV 行列式可微，且 $${\partial }_{\omega }\log \underset{\mathrm{KV}}{\det }\hat{S}=\mathrm{TR}\left({\hat{S}}^{-1}{\partial }_{\omega }\hat{S}\right)=-i\mathrm{Tr}\left({\hat{S}}^{†}{\partial }_{\omega }\hat{S}\right),$$ 等式成立依赖 $\hat{S}$ 的准幺正与理想类条件。与 $\mathbb{S}$ 给出的相位仅差常数，${\Xi }_W$ 层等价。(arXiv)

4.6 定理 5 的证明（阈值有限部）

AH/CCM 的谱在 $\omega \to 0$ 含 ${\omega }^m\log \omega$ 形项。非陷获与无零能共振保证 resolvent 的阈值控制，FIO 结构给出核的奇性阶数；据此 ${\Theta }^{\prime }(\omega )$ 存在 Hadamard 有限部。窗族满足对数消零后，有限部与窗化极限可交换，证明完成。(arXiv)

5 模型化示例

5.1 一维 $\delta$ 势（可解核对）

令 $V(x)=\alpha \delta (x)$。部分波退化，散射相位 $\delta (\omega )=\arctan (-\alpha /2\omega )$。于是 $$\Phi (\omega )=2\delta (\omega ),{\Theta }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\partial }_{\omega }\Phi =\frac{1}{\pi }\frac{\alpha }{4{\omega }^2+{\alpha }^2}.$$ 代入定理 2 验证 $\Delta K(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}{\Theta }^{\prime }(\omega )d\omega$ 的闭式可计算一致性；取具 $\hat{W}(0)=1$、$\hat{W}(1)=0$ 的窗，数值验证窗化 Tauberian 的误差阶 $O(s^{{\alpha }^{\prime }})$。

5.2 静片 dS 的标量模板（$\kappa$ 抽取）

按 Albrychiewicz–Neiman，对无质量标量的灰体因子/透射相位 ${\delta }_{\ell }(\omega )$ 与相对 DOS 写成部分波和，${\Theta }^{\prime }(\omega )={\sum }_{\ell }(2\ell +1){\delta }_{\ell }^{\prime }(\omega )/\pi$。Law–Parmentier 的“相对 DOS—配分函数“给出与一回路自由能的一致性。从数值上在低频截断 $\omega \le \mu$ 上计算 $⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu )$，并与小‑$s$ 热核有限部（Seeley–DeWitt 体项）配平，抽取 $${\kappa }_{\mathrm{HK}}=\frac{{\mathrm{fp}}_{s\to 0}\Delta K(s)}{C_W⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(s^{-1/2})},{\kappa }_{\Lambda }\text{由维度配平确定},$$ 作为“非循环定标“的数值示范。(arXiv)

6 工程化方案（FRB 基带）

6.1 可观测核

由互谱/多端口网络重构系统传递 $\hat{S}(\omega )=H_{\mathrm{sys}}(\omega )H_{\mathrm{ref}}(\omega {)}^{-1}$，取 $\Phi (\omega )=\arg {\det }_{\mathrm{KV}}\hat{S}$，定义 $$\hat{\Theta }(\omega )=\frac{\Phi (\omega )}{2\pi },{\hat{\Xi }}_W(\mu )=\int \omega {\partial }_{\omega }^2\hat{\Theta }(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega =\frac{1}{2\pi }\int \omega {\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}\hat{Q}Wd\ln \omega .$$ WS‑trace 的电磁可测性为该构造提供直接估计量。(ADS)

6.2 泄漏核与方差

相位级残差色散 ${\varphi }_{\mathrm{DM}}=K_{\mathrm{DM}}{\omega }^{-1}$ 与薄屏展宽 ${\varphi }_{\mathrm{sca}}=K_{\mathrm{sca}}{\omega }^{-3}$ 引起 $${\Xi }_{\mathrm{DM}}=\omega {\partial }_{\omega }^2{\varphi }_{\mathrm{DM}}=+2K_{\mathrm{DM}}{\omega }^{-2},{\Xi }_{\mathrm{sca}}=+12K_{\mathrm{sca}}{\omega }^{-3}.$$ 二阶导增噪：若相位噪声谱近白、通道宽 $\Delta \omega$，离散二阶差分算子给 $$\mathrm{Var}[\hat{\Xi }(\omega )]\simeq C\frac{{\omega }^2}{\Delta {\omega }^4}{\sigma }_{\varphi }^2(\omega ),$$ $C$ 由离散核谱范确定。窗化后按 $W$ 的 $L^2$ 规范给出 $\mathrm{Var}[{\hat{\Xi }}_W]$ 的闭式上界。

6.3 数据、管线与功效

CHIME/FRB 已公开约 140 例基带事件，含相干去色散与极化信息，满足相位级访问；我们给出最小可复现管线：读取与标定 → 相对行列式 → 相位解缠 → 正则求导（Tikhonov/TV 于 $\ln \omega$ 轴） → 窗化 → 形状一致性检验/上限。注入—回收实验：注入 ${\Xi }_{\mathrm{inj}}(\omega )=A{\omega }^{-1}\psi (\ln \omega )$ 与 ${\omega }^{-2},{\omega }^{-3}$ 模板，回收偏差—方差与 Fisher‑CR 下界对比，评估样本堆叠的功效曲线。(arXiv)

7 讨论：风险、边界、相关工作

本框架的数学核心为偶维 KV–Kreĭn 等价与 AH/CCM 的 FIO 结构；奇维需替代引入。阈值的 $\log$ 项与开放通道的可微性要求严格的相对类迹与支路连续性。黑洞/静片 dS 中“相对 DOS—配分函数“提供了可计算锚点。观测端，$\Xi$ 的二阶导增噪与色散/多径的泄漏需以窗化与正则化控制。本文的“窗化定律“是结构等式，绝对数值映射依赖 ${\kappa }_{\mathrm{HK}},{\kappa }_{\Lambda }$ 的标定。

8 结论

本文在频率变量上严密对齐了“相位—谱移—DOS—WS—热核“的链路，给出无额外 $2\omega$ 的换元定理与对数频率窗化的 Tauberian 定理，建立窗化积分律并在开放通道下保持可测的 WS‑trace 等式。以 $\delta$ 势与静片 dS 模板演示 $\kappa$ 抽取路线，并给出 FRB 基带的最小可复现方案。该框架把谱几何与可观测相位分析联结为可检验的方法学。

附录

附录 A 记号与因子对账

• 频率/能量：$\lambda ={\omega }^2,d\lambda =2\omega d\omega$。
• 谱移/ DOS：$\Delta {\rho }_E=-{\xi }_E^{\prime }$，$\Delta {\rho }_{\omega }(\omega )=2\omega \Delta {\rho }_E({\omega }^2)$。
• 散射相位：$\Phi =\arg {\det }_{\mathrm{KV}}S,\Theta =\Phi /2\pi$。
• 核心恒等式： $${\Theta }^{\prime }=\Delta {\rho }_{\omega }=-{\partial }_{\omega }{\xi }_{\omega },\mathrm{Tr}Q={\partial }_{\omega }\Phi =2\pi \Delta {\rho }_{\omega },\Delta K(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-s{\omega }^2}{\Theta }^{\prime }(\omega )d\omega .$$
• 对数窗平均：$⟨f{⟩}_W(\mu )=\int f(\omega )W(\ln (\omega /\mu ))d\ln \omega$，$d\ln \omega =d\omega /\omega$。
• 可观测核：${\Xi }_W(\mu )={\partial }_{\ln \mu }⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W=\int \omega {\Theta }^{\prime \prime }Wd\ln \omega =\frac{1}{2\pi }\int \omega {\partial }_{\omega }\mathrm{Tr}QWd\ln \omega$。

附录 B LK 迹公式与 operator‑Lipschitz

命题 B.1（LK） 设自伴对 $(H,H_0)$ 满足相对类迹假设，使 $f(H)-f(H_0)\in {\mathfrak{S}}_1$，且 $f$ 属 operator‑Lipschitz，则 $\mathrm{Tr}(f(H)-f(H_0))=\int f^{\prime }(\lambda ){\xi }_E(\lambda )d\lambda$。 证明要点：Peller 的 OL 判据（$f\in B_{\infty 1}^1$）与 Helffer–Sjöstrand 表达式相结合；以 resolvent 差的 Hilbert–Schmidt 估计保证类迹。对 $f(\lambda )=e^{-s\lambda }$，其 OL 常数在 $s\downarrow 0$ 有界。(arXiv)

附录 C 窗族构造与 Mellin‑消零

取光滑紧支窗 $W$ 使 $\int W=1$。欲消零幂律 ${\omega }^{{\beta }_k}$ 与 ${\omega }^{{\beta }_m}(\ln \omega {)}^j$，令 $$\hat{W}({\beta }_k)=0,\frac{d^j}{d{z}^j}\hat{W}(z){|}_{z={\beta }_m}=0.$$ 构造法：先取母窗 $W_0$，再作有限线性组合 $W={\sum }_{\ell }{a}_{\ell }{W}_0(\cdot -u_{\ell })$，系数由消零线性方程确定。Mellin‑小波（对数轴单位分解）框架下可保证数值稳定性。

附录 D 开放通道的 KV‑det 可微性

命题 D.1 设参考 $S_{\mathrm{ref}}$ 使 $\hat{S}=S{S}_{\mathrm{ref}}^{-1}$ 满足 $\hat{S}-1\in {\mathfrak{S}}_1$、${\partial }_{\omega }\hat{S}\in {\mathfrak{S}}_1$，且 $\hat{S}$ 准幺正。则 KV 行列式存在且 $${\partial }_{\omega }\log \underset{\mathrm{KV}}{\det }\hat{S}=\mathrm{TR}\left({\hat{S}}^{-1}{\partial }_{\omega }\hat{S}\right)=-i\mathrm{Tr}\left({\hat{S}}^{†}{\partial }_{\omega }\hat{S}\right).$$ 证明要点：TR 的乘法性质与对数导数定义；准幺正性将 TR 还原为迹。静片 dS 以 Rindler/空外区为参考可满足理想类条件。(arXiv)

附录 E 阈值 $\omega \to 0$ 的有限部

命题 E.1 非陷获与无零能共振蕴含 resolvent 的阈值可控，${\Theta }^{\prime }$ 的对数奇性至多为有限阶。对偶维的 ${\omega }^m\log \omega$ 项，选 $\hat{W}$ 在相应指数处及其导数消零，则 ${\mathrm{fp}}_{\omega \to 0}{\Theta }^{\prime }={\lim }_{\mu \downarrow 0}⟨{\Theta }^{\prime }{⟩}_W(\mu )$。 证明要点：FIO 结构与解析 Fredholm 理论给出核的阈值型态；窗化极限与有限部交换由主导收敛与消零条件保障。(arXiv)

附录 F FRB 管线的离散实现与误差传播

F.1 相位解缠与相对行列式：多束差分、交叉极化与注入噪声给参考 $H_{\mathrm{ref}}$，以主值相位与支路拼接确保 $\Phi (\omega )$ 连续。

F.2 二阶导的正则化：在 $\ln \omega$ 轴上用 Tikhonov/TV，正则参数取 L‑curve 或 GCV。二阶差分核 $D^{(2)}$ 的谱范 $|D^{(2)}|\sim \Delta {\omega }^{-2}$，故 $$\mathrm{Var}[\hat{\Xi }(\omega )]\simeq C{\omega }^2\Delta {\omega }^{-4}{\sigma }_{\varphi }^2(\omega ).$$

F.3 泄漏核： 色散 ${\varphi }_{\mathrm{DM}}=K_{\mathrm{DM}}{\omega }^{-1}\Rightarrow {\Xi }_{\mathrm{DM}}=+2K_{\mathrm{DM}}{\omega }^{-2}$（正号）； 薄屏展宽 ${\varphi }_{\mathrm{sca}}=K_{\mathrm{sca}}{\omega }^{-3}\Rightarrow {\Xi }_{\mathrm{sca}}=+12K_{\mathrm{sca}}{\omega }^{-3}$。 窗化后 $${\hat{\Xi }}_W={\Xi }_W+⟨{\Xi }_{\mathrm{DM}}{⟩}_W+⟨{\Xi }_{\mathrm{sca}}{⟩}_W+\mathrm{noise},$$ 形状可分性由幂指数差异与窗化频带分解保证。

F.4 注入—回收：向公开基带注入 ${\Xi }_{\mathrm{inj}}(\omega )$（${\omega }^{-1},{\omega }^{-2},{\omega }^{-3}$），经全链路回收 ${\hat{\Xi }}_W$，报告 $|\hat{A}/A-1|$ 与窗宽的关系及 Fisher‑CR 下界。

（正文与附录完）

注：文中关于 KV–Kreĭn 等价、AH/CCM 上 $S$ 的 FIO 结构、LK 迹公式的函数类、WS‑trace 的电磁版本、黑洞/静片 dS 的相对 DOS—配分函数、以及 CHIME/FRB 基带公开数据的可测性与可得性，分别由下列权威文献支撑：Guillarmou（KV–Kreĭn）(arXiv)；Sá Barreto–Wang（FIO）(arXiv)；Peller（LK/OL）(arXiv)；Patel–Michielssen（WS‑trace, EM）(ADS)；Law–Parmentier 与 Albrychiewicz–Neiman（BH/dS 相对 DOS—配分函数—相位）(arXiv)；CHIME/FRB 基带公开样本（约 140 例）(arXiv)。Vassilevich 对热核的综述提供了体项与有限部的标准背景。(scholarpedia.org)