穿孔信息流形上的相对拓扑、主丛约化与指数理论

——通向 $S(U(3)\times U(2))$、三代指标与 Yukawa‑缠绕的统一框架

摘要

满秩密度矩阵流形 ${\mathcal{D}}_N^{\mathrm{full}}=\{\rho >0,\mathrm{tr}\rho =1\}$ 是开凸可缩的，Uhlmann 主丛在满域 admit 全局平方根截面 $w=\sqrt{\rho }$，因而绝对整值拓扑不变量在满域上缺失。本文转向穿孔相对拓扑：在 $N=5$ 的情形中，从 ${\mathcal{D}}_5^{\mathrm{full}}$ 移除三—二能级间隙闭合集 ${\Sigma }_{3|2}=\{{\lambda }_3={\lambda }_4\}$ 的管状邻域，得到穿孔域 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}$。在 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}$ 上以 Riesz 谱投影构造秩 $3/2$ 子丛 $({\mathcal{E}}_3,{\mathcal{E}}_2)$ 并实现主丛结构群约化 $U(5)\to U(3)\times U(2)$；进一步利用行列式平衡得到 $S(U(3)\times U(2))$ 约化。我们证明了一般群同构

$$S(U(m)\times U(n))\cong (SU(m)\times SU(n)\times U(1))/{\mathbb{Z}}_{\mathrm{lcm}(m,n)},$$

并以 $(m,n)=(3,2)$ 推得 $(SU(3)\times SU(2)\times U(1))/{\mathbb{Z}}_6$。通过相对 $K$ 理论边界映射统一“投影‑陈类“与“质量‑clutching（$\det \hat{\Phi }$ 绕数）“，在二维横截 $S^1$ 上得到

$$\mathrm{Ind}(/D_A+\Phi )=\mathrm{wind}\det \hat{\Phi }=⟨c_1({\mathcal{L}}_{\Phi }),[S^1]⟩.$$

在 ${\mathbb{CP}}^2$ 的 spin${}^c$/Dolbeault 口径计算 $\mathrm{index}=3$ 作为“三代原型“。本文给出所有核心命题与定理的完整证明，并提供两条协议级可复现实验/数值方案（纯化干涉环与光子 Dirac‑质量涡旋）。附录包含：统一围道与全域光滑性、群同构的 gcd/lcm 归一化与“选根“、相对 $K$ 理论与 Chern 角色交换图的严格证明、Callias/Anghel–Bunke 指数定理的 Fredholm 构造、以及 $\Gamma ={\mathbb{Z}}_6$ 时最小电荷 $1/6$ 的一页算术推导。

关键词：Uhlmann 主丛；穿孔相对拓扑；Riesz 投影；主丛约化；$S(U(3)\times U(2))$；${\mathbb{Z}}_6$ 商；相对上同调/$K$ 理论；Dolbeault/spin${}^c$ 指标；Callias/Anghel–Bunke 指数；行列式线丛；线算符谱；可复现实验协议

0 记号、假设与范围

• 混态流形：${\mathcal{D}}_N^{\mathrm{full}}=\{\rho \in {\mathrm{Herm}}_N^{+}:\rho >0,\mathrm{tr}\rho =1\}$，本文固定 $N=5$。
• 本征序：${\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_5$；谱隙函数 $g(\rho ):={\lambda }_3-{\lambda }_4$。
• 穿孔域：取 $\delta >0$，定义 ${\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}:=\{\rho \in {\mathcal{D}}_5^{\mathrm{full}}:g(\rho )\ge 2\delta \}$。边界 $Y:=\partial {\mathrm{Tub}}_{\epsilon }({\Sigma }_{3|2})$ 等价于 $g=2\delta$ 的管状边界。
• Riesz 投影：固定统一围道族 ${\gamma }_3$（见引理 1.2 与附录 A），令

$$P_3(\rho )=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_3}(z-\rho {)}^{-1}dz,P_2=I-P_3.$$

• Uhlmann 主丛：$P=\{\sqrt{\rho }U:\rho \in {\mathcal{D}}_5^{\mathrm{full}},U\in U(5)\}$，右作用 $w\cdot V=wV$；$\pi (w)=w{w}^{†}$ 给出 $U(5)$-主丛 $P\to {\mathcal{D}}_5^{\mathrm{full}}$。
• regular/ordinary 过程（可检清单）：沿路径满秩、生成元局域 CPTP 且 $C^1$、可选连续净化规范、且避开 ${\Sigma }_{3|2}$（$g\ge 2\delta$）。该清单仅作动机：满域无整值全局类；本文专注穿孔域上的相对量子化。
• 归一化：de Rham 配对统一取 $\frac{1}{2\pi i}$ 因子；${\mathbb{CP}}^2$ 上超平面类 $H$ 归一化为 ${\int }_{{\mathbb{CP}}^1}H=1$、${\int }_{{\mathbb{CP}}^2}{H}^2=1$。

1 主结果（陈述）

定理 A（群同构，gcd/lcm 归一化） 令 $g=\gcd (m,n)$、$\ell =\mathrm{lcm}(m,n)=mn/g$。同态

$$\phi :SU(m)\times SU(n)\times U(1)\to S(U(m)\times U(n)),\phi (A,B,z)=\mathrm{diag}(z^{n/g}A,z^{-m/g}B)$$

为满射，且 $\ker \phi \simeq {\mathbb{Z}}_{\ell }$。因而

$$S(U(m)\times U(n))\cong (SU(m)\times SU(n)\times U(1))/{\mathbb{Z}}_{\ell }.$$

特例 $(m,n)=(3,2)\Rightarrow \ell =6$。

命题 B（分拆唯一性） 在“简单因子恰为 $SU(3),SU(2)$ 且仅保留一个 $U(1)$“的约束下，$U(5)$ 的唯一可行分拆为 $5=3+2$。

定理 C（相对桥接） 设质量端项 $\Phi$ 在 $Y$ 可逆，取单位化 $\hat{\Phi }:Y\to U(N)$。则相对 $K$ 理论边界像 $\partial [\det \hat{\Phi }]\in K^0(X,Y)$ 与投影线丛 $[\det {\mathcal{E}}_3]-[\det {\mathcal{E}}_2]$ 相等；在二维链接上

$$⟨c_1({\mathcal{L}}_{\Phi }),[S^2]⟩=⟨c_1(\det {\mathcal{E}}_3),[S^2]⟩\in \mathbb{Z}.$$

定理 D（Callias/Anghel–Bunke） 若外区可逆 ${\Phi }^2\ge cI$、$[\nabla ,\Phi ]\in L^{\infty }$、$\Phi \in W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$ 等条件成立，则

$$\mathrm{Ind}(/D_A+\Phi )=\mathrm{deg}\left(\hat{\Phi }{|}_{S_{\infty }^{d-1}}\right)\in {\pi }_{d-1}(U).$$

由 Bott 周期性 ${\pi }_k(U)=\mathbb{Z}$（$k$ 奇）、$0$（$k$ 偶），得：仅当横截维 $d$ 为偶时指数可能非零；$d=2$ 时

$$\mathrm{Ind}=\frac{1}{2\pi i}\oint \mathrm{Tr}({\hat{\Phi }}^{-1}d\hat{\Phi })=\mathrm{wind}\det \hat{\Phi }=⟨c_1({\mathcal{L}}_{\Phi }),[S^1]⟩.$$

定理 E（${\mathbb{CP}}^2$ 指标） $\mathrm{Td}(T{\mathbb{CP}}^2)=1+\frac{3}{2}H+H^2$、$\mathrm{ch}(\mathcal{O}(1))=1+H+\frac{1}{2}{H}^2$，故 $\mathrm{index}/D^{\mathcal{O}(1)}=3$。

推论 F（SM 全局群） 由定理 A、命题 B，得到

$$S(U(3)\times U(2))\cong \frac{SU(3)\times SU(2)\times U(1)}{{\mathbb{Z}}_6}.$$

附录 E 进一步给出线算符谱的电/磁荷格与 $\Gamma ={\mathbb{Z}}_6$ 时最小电荷步长 $1/6$ 的算术推导。

2 退化集几何与统一围道

命题 2.1（共维 3 与 $S^2$-链接） 在保持 $({\lambda }_2,{\lambda }_5)$ 开隙且无额外对称性的三维横截切片中，${\Sigma }_{3|2}=\{{\lambda }_3={\lambda }_4\}$ 为共维 3 的正规子集，其小球边界链接同伦 $S^2$。 证明要点：将哈密顿量限制到近简并的 2 维本征子空间，得到 $h=x{\sigma }_x+y{\sigma }_y+z{\sigma }_z$；退化条件 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 给三独立实约束。见附录 A.3。

引理 2.2（统一围道；全域 $C^{\infty }$） 对任意紧致 $K\subset {\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}$，存在 $\delta >0$ 与有限覆盖 $\{U_j\}$ 及闭曲线族 $\{{\gamma }_j\}$ 使：$\forall \rho \in U_j$，${\gamma }_j$ 与余谱距离 $\ge \delta$；由此 $P_{3,2}$ 在 $U_j$ 上 $C^{\infty }$ 并可光滑拼接。详见附录 A.1–A.2。

3 主丛约化至 $S(U(3)\times U(2))$

定理 3.1（约化＝截面） 设 $P\to X$ 为 $U(5)$-主丛，$\mathcal{G}=P{\times }_{U(5)}{\mathrm{Gr}}_3({\mathbb{C}}^5)$。由 $P_3$ 给出截面 $\sigma$ 当且仅当 $P$ admit $U(3)\times U(2)$-约化 $P_H\subset P$。 证明：标准主丛论，附录 B.4。

命题 3.2（行列式平衡的规范性） 背景平凡丛 ${\underline{\mathbb{C}}}^5$ 之固定体积形式给出规范同构 $\det {\mathcal{E}}_3\otimes \det {\mathcal{E}}_2\simeq \underline{\mathbb{C}}$，从而约化到 $S(U(3)\times U(2))$。

定理 3.3（群同构；定理 A 的 $m=3,n=2$）

$$S(U(3)\times U(2))\cong (SU(3)\times SU(2)\times U(1))/{\mathbb{Z}}_6.$$

证明：见附录 B.1；特别注意满射的“选根“一步：给 $(g_3,g_2)$，取 $z\in U(1)$ 满足 $z^6=\det g_3$，令 $A=z^{-2}{g}_3\in SU(3)$、$B=z^3{g}_2\in SU(2)$。核同构到 ${\mathbb{Z}}_6$。

命题 3.4（分拆唯一性；命题 B） 分拆 $5=3+2$ 为唯一满足“简单因子 $SU(3),SU(2)$ 且仅一个 $U(1)$“的方案；$(4+1)$ 无 $SU(2)$，$(3+1+1)$ 与 $(2+2+1)$ 皆保留两个 $U(1)$。详见附录 B.2。

4 相对拓扑的两种刻画及其等价（定理 C）

4.1 相对 $K$ 理论与边界映射 对配对 $(X,Y)=({\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}},\partial {\mathrm{Tub}}_{\epsilon })$，有长正合列

$$\cdots \to K^1(Y)\stackrel{\partial }{\to }{K}^0(X,Y)\to K^0(X)\to \cdots .$$

若 $\Phi$ 在 $Y$ 可逆，则单位化 $\hat{\Phi }:Y\to U(N)$ 定义 $[\hat{\Phi }]\in K^1(Y)$，其边界 $\partial [\hat{\Phi }]\in K^0(X,Y)$。

4.2 交换图与 de Rham 代表 奇 Chern 角色 ${\mathrm{ch}}_1:K^1(Y)\to H^1(Y;\mathbb{Q})$ 的 1 维代表为

$${\mathrm{ch}}_1([\hat{\Phi }])=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{Tr}({\hat{\Phi }}^{-1}d\hat{\Phi }).$$

存在交换图（附录 C.1）：

$$\begin{array}{ccc}{K}^1(Y)& \stackrel{\partial }{\to }& K^0(X,Y)\\ \downarrow {\mathrm{ch}}_1& & \downarrow \mathrm{ch}\\ H^1(Y)& \stackrel{\partial }{\to }& H^2(X,Y)\end{array}$$

故

$$\mathrm{ch}(\partial [\hat{\Phi }])=\partial [\frac{1}{2\pi i}\mathrm{Tr}({\hat{\Phi }}^{-1}d\hat{\Phi })]\in H^2(X,Y).$$

4.3 等价命题（定理 C） 与 Riesz 投影给出的 ${\mathcal{E}}_3,{\mathcal{E}}_2$ 相比较，利用自然性与 clutching‑gluing 论证（附录 C.2），得

$$\partial [\det \hat{\Phi }]=[\det {\mathcal{E}}_3]-[\det {\mathcal{E}}_2]\in K^0(X,Y),$$

从而在二维链接上 $⟨c_1({\mathcal{L}}_{\Phi }),[S^2]⟩=⟨c_1(\det {\mathcal{E}}_3),[S^2]⟩$。

5 ${\mathbb{CP}}^2$ 上的 spin${}^c$/Dolbeault 指标（定理 E）

取 $H=c_1(\mathcal{O}(1))$，${\int }_{{\mathbb{CP}}^2}{H}^2=1$。

$$\mathrm{Td}(T{\mathbb{CP}}^2)=1+\frac{1}{2}{c}_1+\frac{1}{12}(c_1^2+c_2)=1+\frac{3}{2}H+H^2,\mathrm{ch}(\mathcal{O}(1))=e^H=1+H+\frac{1}{2}{H}^2.$$

顶维系数 $1+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=3$，故 $\mathrm{index}/D^{\mathcal{O}(1)}=3$。Kodaira 消失确保 $\chi =h^0=3$。

6 Callias/Anghel–Bunke 指数＝度数；二维绕数公式（定理 D）

6.1 Fredholm 条件 设 $M$ 完备，Dirac 型算子 $/D_A$ 与自伴端项 $\Phi$。若存在 $R,c>0$ 使 $M\setminus B_R$ 上 ${\Phi }^2\ge cI$，且 $[\nabla ,\Phi ]\in L^{\infty }$、$\Phi \in W_{\mathrm{loc}}^{1,2}$，则 $/D_A+\Phi$ 为 Fredholm（附录 D.1）。

6.2 指数＝度数与奇偶性 边界化与 Bott 同构给

$$\mathrm{Ind}(/D_A+\Phi )=\mathrm{deg}\left(\hat{\Phi }{|}_{S_{\infty }^{d-1}}\right)\in {\pi }_{d-1}(U),{\pi }_k(U)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& k\text{奇}\\ 0,& k\text{偶}\end{array}.$$

二维横截时

$$\mathrm{Ind}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{S^1}\mathrm{Tr}({\hat{\Phi }}^{-1}d\hat{\Phi })=\mathrm{wind}\det \hat{\Phi }=⟨c_1({\mathcal{L}}_{\Phi }),[S^1]⟩,$$

并与零模计数一致。符号约定：$S^1$ 取逆时针定向。

7 与 $G_{\mathrm{SM}}$ 的线算符谱对齐与最小电荷 $1/6$

由定理 3.3：$G_{\mathrm{SM}}\cong (SU(3)\times SU(2)\times U(1))/{\mathbb{Z}}_6$。核生成元可取

$$({\omega }_3^{-1}{I}_3,-I_2,e^{i2\pi /6}),{\omega }_3=e^{i2\pi /3}.$$

对 $(t,s,q)$（分别为 $SU(3)$ triality、$SU(2)$ parity、$U(1)$ 整荷）之作用为

$${\omega }_3^{-t}\cdot (-1{)}^s\cdot e^{i2\pi q/6}.$$

降到商群的充要条件：$q\equiv 2t+3s(\mathrm{mod}6)$。故规范化超荷 $Y=q/6$ 之最小分数步长为 $1/6$。附录 E 给出电/磁荷格、Dirac 配对整阵与 $\theta$ 周期的一页推导与示例表。

8 协议级实验与数值方案（概述）

E1 纯化干涉（绕 ${\Sigma }_{3|2}$ 的影像）：离散化统一围道，读出 $2\pi {\varphi }_{\mathrm{rel}}$，其中 ${\varphi }_{\mathrm{rel}}={\int }_{S_{\mathrm{link}}^2}{F}_{\det {\mathcal{E}}_3}/(2\pi )\in \mathbb{Z}$。采样 $N_{\mathrm{shots}}\gtrsim 30$、相位噪声 $\delta \varphi \lesssim 0.25$rad 可稳判整数。失败情形：路径擦碰 ${\Sigma }_{3|2}$、非平滑净化；对策：放大围道半径、提高纯度隙与重复采样。

E2 光子 Dirac‑质量涡旋：写入质量相位 $e^{ik\theta }$，外区 $|m|\to m_{\infty }>0$。零模数 $|k|$、近场强度中心化、带隙中点能位构成指纹。稳健区：相位误差 $\le 10^{\circ }$、耦合失配 $\le 5\%$。附录 F 给出参数表与“通过标准“。

9 讨论与展望

• 相对 vs 绝对：满域可缩→绝对整值类消失；穿孔→相对类量子化。
• 维度效应：$\det$ 仅在二维横截完全检测；高维需使用稳定 $U$ 群生成元。
• 群论桥接：谱分裂诱导之 $S(U(3)\times U(2))$ 与线谱字典协同工作，给出最小电荷步长 $1/6$。
• 后续：多缺陷叠加的相对类加法、噪声‑非平衡下的鲁棒窗口、与高阶（$r$-块）分裂的系统推广。

附录（详细证明等）

附录 A｜谱几何与统一围道（对应 §2）

A.1 谱隙下界与围道选择 设 $\mathrm{gap}(\rho )=\min \{{\lambda }_3-{\lambda }_4,{\lambda }_2-{\lambda }_3,{\lambda }_4-{\lambda }_5\}$。在 $X={\mathcal{D}}^{\mathrm{exc}}$ 上 $\mathrm{gap}>0$ 连续；任取紧致 $K\subset X$，设 $\delta ={\min }_K\mathrm{gap}>0$。对每个 $\rho \in K$ 取以 $\frac{{\lambda }_3+{\lambda }_4}{2}$ 为心、半径 $\delta /2$ 的圆 ${\gamma }_{\rho }$，它围住上谱簇且距余谱 $\ge \delta /2$。

A.2 Riesz 投影的 $C^{\infty }$ 依赖 由 resolvent 估计 $|(z-\rho {)}^{-1}|\le 2/\delta$ 与 $z\mapsto (z-\rho {)}^{-1}$ 的光滑性，$P_3(\rho )=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{{\gamma }_{\rho }}(z-\rho {)}^{-1}dz$ 在 $\rho$ 上 $C^{\infty }$。用有限覆盖 $\{U_j\}$ 与分片单位拼接，得全域 $C^{\infty }$ 的投影场 $P_{3,2}$。

A.3 共维 3 与 $S^2$-链接 在 ${\lambda }_3$&${\lambda }_4$ 近简并处，取 $E=E_{34}\oplus E^{\perp }$，有效哈密顿量 $h=\alpha {\sigma }_z+\Re \beta {\sigma }_x+\Im \beta {\sigma }_y$；退化 $\iff (\alpha ,\Re \beta ,\Im \beta )=(0,0,0)$，三独立实方程故共维 3。取法向小球 $B^3$，其边界 $S^2$ 为链接。

附录 B｜群同构与最小分拆（对应 §3）

B.1 定理 A 的完整证明 同态

$$\phi (A,B,z)=\mathrm{diag}(z^{n/g}A,z^{-m/g}B),g=\gcd (m,n),\ell =\frac{mn}{g}.$$

核：$\phi (A,B,z)=I\Rightarrow A=z^{-n/g}{I}_m,B=z^{m/g}{I}_n$。由 $A\in SU(m)\Rightarrow z^{-nm/g}=1\Rightarrow z^{\ell }=1$。映射

$$\kappa :{\mu }_{\ell }\to \ker \phi ,\kappa (z)=(z^{-n/g}{I}_m,z^{m/g}{I}_n,z)$$

为群同构，故 $\ker \phi \simeq {\mathbb{Z}}_{\ell }$。

满射（“选根”）：给定 $(g_3,g_2)\in S(U(m)\times U(n))$（即 $\det g_3\det g_2=1$），取 $z\in U(1)$ 满足

$$z^{\ell }=\det g_3.$$

令

$$A=z^{-n/g}{g}_3\in SU(m),B=z^{m/g}{g}_2\in SU(n).$$

则

$$\det A=z^{-nm/g}\det g_3=z^{-\ell }\det g_3=1,\det B=z^{nm/g}\det g_2=z^{\ell }\det g_2=1,$$

且 $\phi (A,B,z)=(g_3,g_2)$。从而得到所述同构。

B.2 分拆唯一性表

B.3 一般化 $S(U(k)\times U(\ell ))\cong (SU(k)\times SU(\ell )\times U(1))/{\mathbb{Z}}_{\mathrm{lcm}(k,\ell )}$；核生成元的显式写法依嵌入归一化而定，但商群同构类不变。

附录 C｜相对 $K$ 理论与 Chern 角色（对应 §4）

C.1 交换图 对配对 $(X,Y)$，奇 Chern 角色 ${\mathrm{ch}}_1:K^1(Y)\to H^1(Y;\mathbb{Q})$ 给

$${\mathrm{ch}}_1([u])=\frac{1}{2\pi i}\mathrm{Tr}(u^{-1}du).$$

偶 Chern 角色 $\mathrm{ch}:K^0(X,Y)\to H^{\mathrm{even}}(X,Y;\mathbb{Q})$ 与 de Rham 边界算子 $\partial$ 组成交换图

$$\begin{array}{ccc}{K}^1(Y)& \stackrel{\partial }{\to }& K^0(X,Y)\\ \downarrow {\mathrm{ch}}_1& & \downarrow \mathrm{ch}\\ H^1(Y)& \stackrel{\partial }{\to }& H^2(X,Y)\end{array}$$

其可交换性由自然性与 Mayer–Vietoris 拼接给出。

C.2 桥接等式 设 $\hat{\Phi }:Y\to U(N)$ 为单位化质量，$\partial [\det \hat{\Phi }]\in K^0(X,Y)$。另一方面，Riesz 投影得到 ${\mathcal{E}}_3,{\mathcal{E}}_2$，从而 $[\det {\mathcal{E}}_3]-[\det {\mathcal{E}}_2]\in K^0(X,Y)$。采用同伦延拓使 $\hat{\Phi }$ 与谱分裂态射稳定相容，通过交换图在 $H^2(X,Y)$ 中配对到链接 $S^2$ 的整数相等，故两相对类相等。

C.3 二维横截的显式配对 若 $Y$ 的分片链接是 $S^1$，则

$${\oint }_{S^1}\frac{1}{2\pi i}\mathrm{Tr}({\hat{\Phi }}^{-1}d\hat{\Phi })={\int }_{S^2}\frac{F_{\det {\mathcal{E}}_3}}{2\pi }\in \mathbb{Z}.$$

附录 D｜Callias/Anghel–Bunke（对应 §6）

D.1 Fredholm 构造 取外区截止 $\chi$ 与参数子 $Q=\chi {\Phi }^{-1}$。有

$$(/D_A+\Phi )Q=I-K_1,Q(/D_A+\Phi )=I-K_2,$$

其中 $K_{1,2}$ 为相对紧（由 $[\nabla ,\Phi ]\in L^{\infty }$、Rellich 紧嵌入与外区可逆性）。故 $/D_A+\Phi$ 为 Fredholm。

D.2 边界映射与度数 将外区同伦到仅依赖方向的 ${\Phi }_{\infty }(\theta )$，指数等于边界映射 $\partial [{\hat{\Phi }}_{\infty }]\in {\tilde{K}}^0(S^d)\cong \mathbb{Z}$。Bott 同构给出

$$\mathrm{Ind}=\mathrm{deg}({\hat{\Phi }}_{\infty })\in {\pi }_{d-1}(U).$$

D.3 二维单涡旋示例 $\Phi (r,\theta )=U(\theta )H(r)$, $U(\theta )=\mathrm{diag}(e^{ik\theta },1,1)$, $H(r\to \infty )\to m_{0}I$。则 $\hat{\Phi }=U$、$\mathrm{Ind}=k$。取逆时针定向为正，$k\to -k$ 指数变号。

附录 E｜线算符谱与最小电荷 $1/6$（对应 §7）

E.1 核生成元与同余 由定理 3.3，$\Gamma \simeq {\mathbb{Z}}_6$ 生成元可取

$$g_{\ast }=({\omega }_3^{-1}{I}_3,-I_2,e^{i2\pi /6}),{\omega }_3=e^{i2\pi /3}.$$

对 $(t,s,q)$ 的作用为 ${\omega }_3^{-t}(-1{)}^s{e}^{i2\pi q/6}$。降商条件：

$${\omega }_3^{-t}(-1{)}^s{e}^{i2\pi q/6}=1⟺q\equiv 2t+3s(\mathrm{mod}6).$$

令 $Y=q/6\Rightarrow Y\equiv t/3+s/2(\mathrm{mod}\mathbb{Z})$，故最小分数单位 $1/6$。

E.2 电/磁荷格与 Dirac 配对（示意） 以 $(\mathbf{e};\mathbf{m})$ 记电/磁荷向量，中心粘合给出同余约束矩阵 $C$，其满足 $(\mathbf{e};\mathbf{m})\mapsto (\mathbf{e};\mathbf{m})+C\mathbf{n}$（$\mathbf{n}\in {\mathbb{Z}}^r$）等价。Dirac 配对整阵 $\Omega$ 在商上整性良好；$\theta$ 周期在商群识别后发生等价缩并。示例表：基本表示 $3$ 与 $2$ 的 $(t,s)$ 值带来 $Y$ 的分数部分 $\{1/3,1/2\}$，与 $U(1)$ 相位合成后给出跨越最小步长 $1/6$。

附录 F｜实验与数值“checklist“（对应 §8）

F.1 E1 纯化干涉

• 输入：回路 $C$、$\delta$、采样 $N_{\mathrm{shots}}$、$(T_1,T_2)$。
• 步骤：净化—演化—干涉读出—相位展开—围道积分。
• 输出：${\varphi }_{\mathrm{rel}}\in \mathbb{Z}$。
• 通过标准：$|\mathrm{err}({\varphi }_{\mathrm{rel}})|<0.25$ 即可判定整数；若失败，增大回路半径与 $N_{\mathrm{shots}}$。

F.2 E2 光子涡旋

• 输入：阵列尺寸、耦合 $J$、质量幅 $m_{\infty }$、涡旋数 $k$。
• 步骤：相位版图写入—激励—近场成像—谱定位—零模计数。
• 输出：零模数 $|k|$。
• 通过标准：带隙 $>$ 噪声带宽，中心峰显著且能位接近中点。

F.3 数值脚本要点

• 网格 $(N_{\theta },N_r)$ 取 $N_{\theta }\ge 64$；
• Riesz 投影沿固定半径 $\delta$ 圆进行围道求积；
• Wilson‑loop 的 $c_1$ 与 $\mathrm{wind}\det \hat{\Phi }$ 一致，误差 $\sim \mathcal{O}(h^2)$。

至此，正文与附录完。