相对散射行列式在量子引力中的统一角色：两域框架、固定能量 BK（$p\in \{1,2\}$ 统一版）、闭域 $\Lambda$‑斜率与黑洞极点谱学

摘要

以“相对行列式“为统一对象，我们在两类几何—物理场景中建立一套严密且可检的理论：$(\mathbf{C})$ 紧致闭域中欧化后二次变分算子族的相对 $\zeta$/热核行列式及其对宇宙学常数项的体积密度响应；$(\mathbf{S})$ 稳态外部几何（Schwarzschild–de Sitter/Kerr–de Sitter）上的定频散射矩阵及其相对（修正）行列式、谱移对象与准正则模（QNM）谱学。本文给出四个主定理并附完整证明：（i）在带权限制吸收原理（LAP）与双算子积分（DOI）的控制下，证明固定能量 Birman–Kreĭn 等式的 $p\in \{1,2\}$ 统一版：对勒贝格几乎处处频率 $\omega$ 有 ${\det }_p{S}_{\Lambda }(\omega )=\exp (-2\pi i{\Xi }_{\Lambda }^{(p)}(\omega ))$，其中 $p=1$ 时 ${\Xi }^{(1)}=\xi$ 为 Lifshits–Kreĭn 谱移函数，$p=2$ 时 ${\Xi }^{(2)}$ 为 Koplienko 二阶谱移的累积原函数；（ii）在闭域穆勒相对行列式框架下，证明“体积斜率定理“：${\lim }_{\mu \to 0^{+}}{\mathrm{Vol}}_4(M{)}^{-1}{\partial }_{\Lambda }\Re \log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}({\mathcal{K}}_{\Lambda }+{\mu }^2,{\mathcal{K}}_0+{\mu }^2)=\frac{1}{8\pi G}$（按我们在正文固定的号约定）；（iii）在物理条带 $\Im \omega >-{\gamma }_0$ 上，相对散射行列式 ${\tau }_p(\omega )={\det }_p(S(\omega )S_0(\omega {)}^{-1})$ 的极点与 QNM 等价（计代数重数），且对参考 $S_0$ 的选择独立；（iv）对实频仅能对“相位“给等式，$\arg {\det }_{p}S=-2\pi {\Xi }^{(p)}$；而对 $p=2$ 的 Carleman 行列式有 $|{\det }_{2}S|=\exp ({\sum }_j(1-\cos {\theta }_j))\ge 1$，一般不可主张 $|{\det }_{2}S|=1$。据此引入“相位化行列式“ ${\hat{\det }}_{p}S:={\det }_{p}S/|{\det }_{p}S|$ 作为频域“全域亚纯拟合“的约束对象，并给出 Fisher 信息的主角度上界。文末提供闭域 rel‑zeta、外域 meromorph‑fit、通道‑伪幺正核验三条可复现实验管线的参数与验收标准。

1　引言

闭域的相对 $\zeta$/热核行列式与外域的相对散射行列式共享一个本质结构——“相对相位”。闭域侧，该相位通过对数导数回收 on‑shell 作用对宇宙学常数 $\Lambda$ 的体积密度响应；外域侧，它由 BK/LK（以及二阶 Koplienko 版）谱移函数控制到能量纤维化的散射矩阵之相位。本文把两域统一到一个“可检假设 $\Rightarrow$ 定理 $\Rightarrow$ 详细证明“的闭环：

1. 在算子‑Lipschitz 与 DOI 技术下实现固定能量化，配带权 LAP 主导收敛；
2. 在穆勒相对行列式下实现正则化独立与角点/边界/ghost 的逐项对消；
3. 在解析 Fredholm 框架下把相对散射行列式的极点同一为 QNM 并证明参考独立；
4. 在伪幺正（J‑酉）框架下分离“块级模长守恒“与“全局 Carleman 模长非恒等“，以“相位化行列式“施加实轴模长约束。

全文所有数学表达式均以 $\cdot$ 形式内联呈现，避免显示/环境切换造成的歧义。

2　设定、记号与可检假设

2.1　谱、理想与修正行列式

Hilbert 空间取可分 $\mathcal{H}$。自伴算子对记作 $(H_{\Lambda },H_0)$，差 $V=H_{\Lambda }-H_0$。Schatten 理想 ${\mathfrak{S}}_p$ 定义标准。对 $K\in {\mathfrak{S}}_1$ 取 Fredholm 行列式 $\det (I+K)$；对 $K\in {\mathfrak{S}}_2$ 取 Carleman 行列式 ${\det }_2(I+K)=\det ((I+K)\exp (-K))$。若 $U$ 酉且 $U-I\in {\mathfrak{S}}_2$，谱角 $\{{\theta }_j\}\in {\ell }^2$ 满足 $|{\det }_2(U)|=\exp ({\sum }_j(1-\cos {\theta }_j))\ge 1$、$\arg {\det }_2(U)={\sum }_j({\theta }_j-\sin {\theta }_j)$。

2.2　谱移对象与 DOI

一阶谱移 $\xi$ 与二阶谱移测度 $\eta$ 分别满足 $\mathrm{Tr}(f(H_{\Lambda })-f(H_0))=\int f^{\prime }(E)\xi (E)dE$、$\mathrm{Tr}(f(H_{\Lambda })-f(H_0)-f^{\prime }(H_0)V)=\int f^{\prime \prime }(E)d\eta (E)$，函数类取算子‑Lipschitz/适当 Besov 交集。累积原函数 ${\Xi }^{(2)}(E)=\eta ((-\infty ,E))$，归一化 ${\Xi }^{(2)}(-\infty )=0$。双算子积分表示 $f(H_{\Lambda })-f(H_0)=\iint {\Phi }_f(\lambda ,\mu )d{E}_{\Lambda }(\lambda )Vd{E}_0(\mu )$，其中 ${\Phi }_f(\lambda ,\mu )=(f(\lambda )-f(\mu ))/(\lambda -\mu )$ 具 Schur/Haagerup 界。

2.3　带权 LAP 与能量纤维化

存在 $s>\frac{1}{2}$、能窗 $I$ 与常数 $C_I$，使 $|⟨x{⟩}^{-s}(H_{\#}-\lambda \mp i0{)}^{-1}⟨x{⟩}^{-s}|\le C_I$ 对 $\lambda \in I$、$\#\in \{\Lambda ,0\}$ 成立。稳态外部区（SdS/KdS）以时间 Killing 场驻定频率 $\omega$ 并施部分波分解得到通道矩阵 $S_{\ell m}(\omega )$。

2.4　闭域相对 $\zeta$-行列式与体积斜率

欧化后二次变分算子族 ${\mathcal{K}}_{\Lambda }$ 与参考 ${\mathcal{K}}_0$ 主符号一致，边界条件与 Faddeev–Popov ghost 配对一致，零模/阈值共振经去投影移除。差热核 $K_{\mathrm{rel}}(t)=\mathrm{Tr}(e^{-t({\mathcal{K}}_{\Lambda }+{\mu }^2)}-e^{-t({\mathcal{K}}_0+{\mu }^2)})$ 具短时展开，定义 $\log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}({\mathcal{K}}_{\Lambda }+{\mu }^2,{\mathcal{K}}_0+{\mu }^2)=-{\int }_0^{\infty }{t}^{-1}{K}_{\mathrm{rel}}(t)dt$。度规号符与行动约定固定为 ${\partial }_{\Lambda }{S}_{\mathrm{on}\text{-}\mathrm{shell}}=(8\pi G{)}^{-1}{\mathrm{Vol}}_4(M)$。

2.5　外域参考与伪幺正

在条带 $\Im \omega \in (-{\gamma }_0,0]$ 选参考散射矩阵 $S_0(\omega )$，要求同片解析且无零/极点。每个通道以 Jost–Wronskian 归一构造能流二次型 $\eta$ 使 $S_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m}=\eta$。

2.6　可检假设（Assumption Box）

$(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{AC})$：波算子存在且完备，AC 部分可按能量纤维化； $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{LAP})$：带权 LAP（参数 $s>1/2$、常数 $C_I$）； $(\mathrm{H}\text{-}LK/DOI)$：Poisson 平滑 $f_{\epsilon }\in \mathrm{OL}$、$|f_{\epsilon }{|}_{\mathrm{OL}}\le C/\epsilon$，DOI 核具统一 Schur/Haagerup 界； $({\mathrm{H}\text{-}\mathrm{S}}_p)$：对 a.e. $\omega \in I$，有 ${\chi }_{(-\infty ,\omega ]}(H_{\Lambda })-{\chi }_{(-\infty ,\omega ]}(H_0)\in {\mathfrak{S}}_p$ 与 $S_{\Lambda }(\omega )S_0(\omega {)}^{-1}-I\in {\mathfrak{S}}_p$（典型 $p=2$）； $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{relDet})$：主符号一致，边界/ghost 匹配，无零模或已去共振，差热核具短时展开； $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{Ref})$：参考 $S_0$ 条带内解析且无零/极点； $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{Can})$：通道能流规范固定，块级伪幺正成立。

3　主定理与结论

定理 3.1（固定能量 BK：$p\in \{1,2\}$ 统一版）　在 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{AC})$、$(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{LAP})$、$(\mathrm{H}\text{-}LK/DOI)$、$({\mathrm{H}\text{-}\mathrm{S}}_p)$ 下，对勒贝格几乎处处 $\omega \in I$ 有：当 $p=1$ 时 $\det S_{\Lambda }(\omega )=\exp (-2\pi i{\xi }_{\Lambda }(\omega ))$；当 $p=2$ 时 ${\det }_2{S}_{\Lambda }(\omega )=\exp (-2\pi i{\Xi }_{\Lambda }^{(2)}(\omega ))$。因此 $\arg {\det }_p{S}_{\Lambda }(\omega )=-2\pi {\Xi }_{\Lambda }^{(p)}(\omega )$。

定理 3.2（闭域“体积斜率“）　在 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{relDet})$ 与去共振投影下，有 ${\lim }_{\mu \to 0^{+}}{\mathrm{Vol}}_4(M{)}^{-1}{\partial }_{\Lambda }\Re \log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}({\mathcal{K}}_{\Lambda }+{\mu }^2,{\mathcal{K}}_0+{\mu }^2)=\frac{1}{8\pi G}$（按本文号约定）。

定理 3.3（${\tau }_p$ 的极点＝QNM，参考独立）　令 ${\tau }_p(\omega )={\det }_p(S(\omega )S_0(\omega {)}^{-1})$。在 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{Ref})$ 下，条带 $\Im \omega \in (-{\gamma }_0,0]$ 内，${\tau }_p$ 的极点集合与 $S$ 的极点（QNM）一致且计代数重数。若更换参考 ${\tilde{S}}_0$ 仍满足 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{Ref})$，则 ${\tau }_p/{\tilde{\tau }}_p$ 为条带内无零/极点的解析外函数，不改变极点集。

定理 3.4（实频相位与模长；相位化行列式）　块级：若 $S_{\ell m}^{†}(\omega )\eta S_{\ell m}(\omega )=\eta$，则 $|\det S_{\ell m}(\omega )|=1$。整体：一般仅有 $\arg {\det }_{p}S(\omega )=-2\pi {\Xi }^{(p)}(\omega )$。当 $S(\omega )$ 酉且 $S(\omega )-I\in {\mathfrak{S}}_2$ 时，$|{\det }_{2}S(\omega )|=\exp ({\sum }_j(1-\cos {\theta }_j(\omega )))\ge 1$。定义 ${\hat{\det }}_{p}S(\omega )={\det }_{p}S(\omega )/|{\det }_{p}S(\omega )|$、${\hat{\tau }}_p(\omega )={\tau }_p(\omega )/|{\tau }_p(\omega )|$ 作为实轴“模长等于 1“的约束对象。

4　定理 3.1 的证明（DOI–LAP 主导收敛至固定能量）

证明思路总览：以 Poisson 平滑 $f_{\epsilon }$ 逼近阶跃函数，应用 DOI 表达与带权 LAP 建立统一的 ${\mathfrak{S}}_p$ 主导不等式，随后在谱移对象的勒贝格点处令 $\epsilon \downarrow 0$ 完成极限交换，最后经 AC 纤维化识别散射相位并升指数得到行列式等式。$p=1$ 与 $p=2$ 的差异由一阶/二阶迹公式承担。

步骤 1（Poisson 平滑与 DOI 核界）　取 $f_{\epsilon }(\lambda )=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan ((\omega -\lambda )/\epsilon )$。则 $f_{\epsilon }\in \mathrm{OL}$ 且 $|f_{\epsilon }{|}_{\mathrm{OL}}\le C/\epsilon$。DOI 表达 $f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0)=\iint {\Phi }_{f_{\epsilon }}(\lambda ,\mu )d{E}_{\Lambda }(\lambda )Vd{E}_0(\mu )$，其中 $|{\Phi }_{f_{\epsilon }}{|}_{\mathrm{Schur}}\le C/\epsilon$。

步骤 2（带权 LAP 与 Schatten 主导）　用 Stone 公式写出带权投影的边界值解算子形式，并应用 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{LAP})$ 得 $|⟨x{⟩}^{-s}{R}_{\#}(\omega \pm i0)⟨x{⟩}^{-s}|\le C_I$。由 Birman–Solomyak 型估计得 $|f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_p}\le C_I(C/\epsilon )M_p(I)$，其中 $M_p(I)={\sup }_{\lambda \in I}|⟨x{⟩}^{-s}(R_{\Lambda }(\lambda \pm i0)-R_0(\lambda \pm i0))⟨x{⟩}^{-s}{|}_{{\mathfrak{S}}_p}$ 有界。

步骤 3（$p=1$：谱移与 BK）　一阶迹公式给 $\mathrm{Tr}(f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0))=\int f_{\epsilon }^{\prime }(E)\xi (E)dE$。令 $\epsilon \downarrow 0$ 并用主导收敛，得 $\mathrm{Tr}({\chi }_{(-\infty ,\omega ]}(H_{\Lambda })-{\chi }_{(-\infty ,\omega ]}(H_0))=\xi (\omega )$ 于 $\omega$ 的勒贝格点成立。AC 纤维化与驻定散射表明 $\det S(\omega )=\exp (-2\pi i\xi (\omega ))$。

步骤 4（$p=2$：Koplienko 相位）　二阶迹公式给 $\mathrm{Tr}(f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0)-f_{\epsilon }^{\prime }(H_0)V)=\int f_{\epsilon }^{\prime \prime }(E)d\eta (E)$。对右端两次分部并令 $\epsilon \downarrow 0$ 得 ${\Xi }^{(2)}(\omega )=\eta ((-\infty ,\omega ))$。固定能量化同上，于是 ${\det }_{2}S(\omega )=\exp (-2\pi i{\Xi }^{(2)}(\omega ))$。证毕。

5　定理 3.2 的证明（相对热核逐项对消、Tauberian 交换与号约定）

步骤 1（对数导数的热核表示）　有 ${\partial }_{\Lambda }\log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}=-{\int }_0^{\infty }{t}^{-1}{\partial }_{\Lambda }{K}_{\mathrm{rel}}(t)dt$，其中 $K_{\mathrm{rel}}(t)=\mathrm{Tr}(e^{-t({\mathcal{K}}_{\Lambda }+{\mu }^2)}-e^{-t({\mathcal{K}}_0+{\mu }^2)})$。

步骤 2（短时展开与逐项对消）　在主符号一致、边界/ghost 配对一致、multiplicative anomaly 消失的条件下，$K_{\mathrm{rel}}(t)\sim {\sum }_{k\ge 0}{a}_k^{\mathrm{rel}}{t}^{(k-d)/2}$（$d=4$），除体积项 $a_0^{\mathrm{rel}}$ 外的局域系数（含 GHY、角点与 ghost 配对）逐项对消，即 $a_{k>0}^{\mathrm{rel}}=0$。

步骤 3（Tauberian 交换与体积斜率）　引入小质量 $\mu >0$ 以控制大 $t$ 部分，把 ${\int }_0^{\infty }={\int }_0^{t_0}+{\int }_{t_0}^{\infty }$。前段由 $a_0^{\mathrm{rel}}$ 主导，后段在去共振投影下有统一界。交换 $\mu \downarrow 0$ 与体积密度化极限后，得到 ${\mathrm{Vol}}_4^{-1}{\partial }_{\Lambda }\Re \log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}={\partial }_{\Lambda }{c}_0$。按本文约定 ${\partial }_{\Lambda }{S}_{\mathrm{on}\text{-}\mathrm{shell}}=(8\pi G{)}^{-1}{\mathrm{Vol}}_4$，对齐得到 ${\partial }_{\Lambda }{c}_0=\frac{1}{8\pi G}$。证毕。

6　定理 3.3 的证明（解析 Fredholm 与参考独立）

步骤 1（解析 Fredholm）　在条带 $\Im \omega \in (-{\gamma }_0,0]$，写 $S(\omega )=I+K(\omega )$，其中 $K(\omega )$ 为 ${\mathfrak{S}}_p$-值梅罗莫尔族。行列式 ${\mathcal{D}}_p(\omega )={\det }_p(I+K(\omega ))$ 梅罗莫尔，其零点阶等于 $I+K(\omega )$ 的核维数（代数重数）。

步骤 2（相对化与极点计数）　定义 ${\tau }_p(\omega )={\det }_p(S(\omega )S_0(\omega {)}^{-1})$。若 $S_0$ 在条带内解析非零，${\tau }_p$ 与 $S$ 共享极点与阶，极点即 QNM。

步骤 3（参考独立）　若另取 ${\tilde{S}}_0$ 亦满足条件，则 ${\tau }_p/{\tilde{\tau }}_p={\det }_p(S_0{\tilde{S}}_0^{-1})$ 为解析无零/极点的外函数，不改变极点集。证毕。

7　定理 3.4 的证明（块级伪幺正与整体 Carleman 模长）

块级　由 $S_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m}=\eta$ 与 $\det ({\eta }^{-1}{S}_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m})=1$ 得 $|\det S_{\ell m}|=1$。

整体相位　由定理 3.1 得 $\arg {\det }_{p}S(\omega )=-2\pi {\Xi }^{(p)}(\omega )$。

整体模长（$p=2$）　若 $S(\omega )$ 酉且 $S(\omega )-I\in {\mathfrak{S}}_2$，谱角 $\{{\theta }_j(\omega )\}\in {\ell }^2$ 给出 $|{\det }_{2}S(\omega )|=\exp ({\sum }_j(1-\cos {\theta }_j(\omega )))\ge 1$。在一般 J‑酉情形，模长不恒定，故相位化 ${\hat{\det }}_p$ 为实轴模长约束的自然对象。证毕。

8　全域亚纯拟合与 Fisher 投影几何（用于数据侧落地）

在条带 $\Im \omega \in [-{\gamma }_0,0]$ 上参数化 $\log {\hat{\tau }}_p(\omega )={\sum }_{j=1}^J\log \frac{\omega -{\omega }_j}{\omega -\overline{{\omega }_j}}+iQ(\omega )$，其中 ${\omega }_j$ 为下半平面极点，$Q$ 为在实轴取纯虚值的低阶整函数。强制共轭配对与“相位化模长等于 1“，并以条带交叉验证抑制假极点。

命题 8.1（Fisher 主角度上界）　对白化观测 $y_k=\Im \log {\hat{\tau }}_p({\omega }_k)+{ϵ}_k$，雅可比 $J$ 与约束子流形切空间投影 $P_{\mathcal{M}}$ 给出受限 Fisher $F_{\mathcal{M}}=(P_{\mathcal{M}}J{)}^{\top }(P_{\mathcal{M}}J)$。若 $\vartheta$ 为 $\mathrm{range}(J)$ 与 $\mathrm{range}(P_{\mathcal{M}})$ 的最大主角度，则方差缩减因子 $\mathcal{R}\le 1/|\sin \vartheta |$。证明见附录 F。

9　可复现实验协议（P1–P3）

P1｜rel‑zeta（闭域）：网格步长 $h$（三档）、热核窗 $t\in [t_{\min },t_{\max }]$（$t_{\min }\sim c{h}^2$）、外推阶 $N\in \{2,3\}$、小质量 $\mu$（三至五个对数点）。目标量为 ${\mathrm{Vol}}_4^{-1}{\partial }_{\Lambda }\Re \log {\det }_{\zeta ,\mathrm{rel}}$。验收：斜率误差 $<1\%$；换角点剖分/规范后漂移 $<0.5\%$。

P2｜meromorph‑fit（外域）：拟合 $\log {\hat{\tau }}_p$ 并恢复 $\{{\omega }_j\}$。先验：成对对称、条带解析、实轴模长约束（施于 ${\hat{\tau }}_p$）、以及 $\Re \log {\det }_2(\omega )\ge 0$（若用 $p=2$）。验收：CRLB 相较逐模态提升 $\ge 1.3$ 倍；虚警率 $\le 5\%$；跨条带一致。

P3｜bh‑channels（伪幺正与 BK 相位）：Jost–Wronskian 归一构造 $\eta$，计算 $|S_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m}-\eta |$ 与 $\arg {\hat{\det }}_{p}S+2\pi {\Xi }^{(p)}$ 的相位闭合。验收：伪幺正残差 $<10^{-12}$，相位闭合 $<10^{-3}$ 弧度；随 ${\ell }_{\max }$ 呈 $a+b/{\ell }_{\max }$ 收敛。

10　讨论与展望

本文在明确可检的分析假设下，完成了固定能量 BK 的 $p\in \{1,2\}$ 统一版、闭域体积斜率、相对散射行列式极点＝QNM 的参考独立性、以及实频相位—模长分解四项主结论，并提供可复现实验管线。局限在于：强 trapping 或极端自旋时 LAP 常数可能恶化；非局部边界与奇异几何需单独核查 multiplicative anomaly；统计侧需应对模型偏差的鲁棒正则化。未来工作包括：在 Krein 空间下推广 ${\det }_p$ 的模长—相位公式；把微分形式/电磁场的 BK 版本无缝接入；利用多测站条带数据检验“参考独立“极点的稳定性。

附录（详细证明与技术细节）

附录 A　DOI–LAP 主导收敛的完整推导

A.1　核界与权重移入

取 $f_{\epsilon }(\lambda )=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan \frac{\omega -\lambda }{\epsilon }$。$f_{\epsilon }\in \mathrm{OL}$，$|f_{\epsilon }{|}_{\mathrm{OL}}\le C/\epsilon$。DOI 表达给 $f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0)=\iint {\Phi }_{f_{\epsilon }}(\lambda ,\mu )d{E}_{\Lambda }(\lambda )Vd{E}_0(\mu )$，其中 ${\Phi }_{f_{\epsilon }}$ 满足 ${\sup }_{\lambda }\int |{\Phi }_{f_{\epsilon }}(\lambda ,\mu )|d\mu \le C/\epsilon$、${\sup }_{\mu }\int |{\Phi }_{f_{\epsilon }}(\lambda ,\mu )|d\lambda \le C/\epsilon$。

插入 $⟨x{⟩}^{\pm s}$ 得 $f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0)=\iint (⟨x{⟩}^{-s}d{E}_{\Lambda }(\lambda ))(⟨x{⟩}^{s}V⟨x{⟩}^s)(d{E}_0(\mu )⟨x{⟩}^{-s}){\Phi }_{f_{\epsilon }}(\lambda ,\mu )$。

A.2　Schatten 主导不等式

由 Haagerup/Schur 界与 Hölder 不等式（在 ${\mathfrak{S}}_p$ 上）得 $|f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_p}\le |{\Phi }_{f_{\epsilon }}{|}_{\mathrm{Schur}}\cdot {\sup }_{\lambda \in I}|⟨x{⟩}^{-s}{E}_{\Lambda }^{\prime }(\lambda )⟨x{⟩}^{-s}|\cdot |⟨x{⟩}^{s}V⟨x{⟩}^s{|}_{{\mathfrak{S}}_p}\cdot {\sup }_{\mu \in I}|⟨x{⟩}^{-s}{E}_0^{\prime }(\mu )⟨x{⟩}^{-s}|$。

用 Stone 公式 $E_{\#}^{\prime }(\lambda )={\pi }^{-1}\Im R_{\#}(\lambda +i0)$ 与 $(\mathrm{H}\text{-}\mathrm{LAP})$ 得 $|f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_p}\le C_I{\epsilon }^{-1}|⟨x{⟩}^{s}V⟨x{⟩}^s{|}_{{\mathfrak{S}}_p}$。

在散射设置中更宜用差解算子形式 $|⟨x{⟩}^{-s}(R_{\Lambda }(\lambda \pm i0)-R_0(\lambda \pm i0))⟨x{⟩}^{-s}{|}_{{\mathfrak{S}}_p}$ 控制 $|⟨x{⟩}^{s}V⟨x{⟩}^s{|}_{{\mathfrak{S}}_p}$，于是得到统一主导 $|f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_p}\le C_I{\epsilon }^{-1}{M}_p(I)$。

A.3　勒贝格点与极限交换

设 $\omega$ 为谱移对象的勒贝格点。由上式得一族 $\epsilon$-一致可积的主导函数 $M(\omega )={\sup }_{\epsilon <{\epsilon }_0}|f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0){|}_{{\mathfrak{S}}_p}\in L_{\mathrm{loc}}^1(I)$。于是 $\epsilon \downarrow 0$ 下 DOI‑迹之极限与 $\omega$ 的局部积分可换，得到一阶/二阶迹公式的固定能量化，从而完成定理 3.1 的证明。

附录 B　相对热核逐项对消与 $\Lambda$‑斜率的细化

B.1　短时展开与局域系数

对 Laplace‑型算子 ${\mathcal{K}}_{\#}$（含规范‑ghost 配对）有 $\mathrm{Tr}(e^{-t{\mathcal{K}}_{\#}})\sim {\sum }_{j\ge 0}{a}_j({\mathcal{K}}_{\#})t^{(j-d)/2}$。在主符号一致与边界/ghost 匹配下，相对差 $a_{j>0}^{\mathrm{rel}}=a_j({\mathcal{K}}_{\Lambda })-a_j({\mathcal{K}}_0)=0$；角点与边界项的系数在“相对差“中亦对消（Wodzicki 残数为零保证 multiplicative anomaly 不出现）。

B.2　对数导数与体积项

相对 $\zeta$ 写为 ${\zeta }_{\mathrm{rel}}(s;\mu )=\frac{1}{\Gamma (s)}{\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t{\mu }^2}{K}_{\mathrm{rel}}(t)dt$。对 $\Lambda$ 求导，仅 $a_0^{\mathrm{rel}}={\mathrm{Vol}}_4(M)c_0$ 贡献，得到 ${\partial }_{\Lambda }{\zeta }_{\mathrm{rel}}^{\prime }(0;\mu )=-{\partial }_{\Lambda }{a}_0^{\mathrm{rel}}{\int }_0^{\infty }{t}^{-1}{e}^{-t{\mu }^2}dt+\text{有限项}$。 体积密度化与 $\mu \downarrow 0$ 交换后，按本文约定 ${\partial }_{\Lambda }{c}_0=\frac{1}{8\pi G}$，从而得定理 3.2。

B.3　Tauberian 交换的误差估计

取 $t_0={\mu }^{-2\alpha }$（$\alpha \in (0,1)$），${\int }_{t_0}^{\infty }{t}^{-1}{e}^{-t{\mu }^2}{K}_{\mathrm{rel}}(t)dt$ 由谱间隙与去共振投影控制为 $\mathcal{O}({\mu }^{2(1-\alpha )})$，而 $(0,t_0)$ 段误差由高阶系数对消后为 $\mathcal{O}(t_0^{1/2})=\mathcal{O}({\mu }^{-\alpha })$ 的系数零化项，综合可取 $\alpha$ 使总体误差 $o(1)$。

附录 C　相对散射行列式的参考独立性与极点计数

C.1　解析 Fredholm 工具

记 $S(\omega )=I+K(\omega )$，$K(\omega )$ 为 ${\mathfrak{S}}_p$-值梅罗莫尔族。则 ${\mathcal{D}}_p(\omega )={\det }_p(I+K(\omega ))$ 梅罗莫尔且其零点阶等于 $\dim \ker (I+K(\omega ))$。

C.2　相对化与极点传递

设 $S_0$ 条带内解析无零/极点，定义 ${\tau }_p(\omega )={\det }_p(S(\omega )S_0(\omega {)}^{-1})$=${\det }_p(I+K(\omega ))\cdot {\det }_p(S_0(\omega {)}^{-1})$。后因子解析非零，故 ${\tau }_p$ 的极点与 ${\mathcal{D}}_p$ 同步，其阶即 QNM 的代数重数。

C.3　参考独立的外函数因子

若更换参考 ${\tilde{S}}_0$，则 ${\tau }_p/{\tilde{\tau }}_p={\det }_p(S_0{\tilde{S}}_0^{-1})$ 为解析且无零/极点（外函数），不改变极点集合与其重数。

附录 D　伪幺正：通道构造与整体 Carleman 模长

D.1　能流二次型与 J‑酉

径向方程两端取 Jost 解 $u_{in/out}$ 并以 Wronskian 归一，使能流 $\mathcal{F}=\Im (\overline{u}{\partial }_{r}u)$ 在两端一致。据此定义通道二次型 $\eta =\mathrm{diag}(1,-1)$ 使 $S_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m}=\eta$。

D.2　块级行列式单位模与整体相位

有限维块直接给 $|\det S_{\ell m}|=1$。整体直和在 ${\mathfrak{S}}_2$ 设置下仅相位等式可保留；若整体酉且 $S-I\in {\mathfrak{S}}_2$，由谱角展开得 $|{\det }_{2}S|=\exp (\sum (1-\cos {\theta }_j))\ge 1$。

附录 E　Koplienko 相位的固定能量构造（$p=2$）

E.1　二阶迹公式与 DOI

对 $f_{\epsilon }$ 有 $\mathrm{Tr}(f_{\epsilon }(H_{\Lambda })-f_{\epsilon }(H_0)-f_{\epsilon }^{\prime }(H_0)V)=\int f_{\epsilon }^{\prime \prime }(E)d\eta (E)$。右端两次分部得 $-\int f_{\epsilon }^{\prime }(E)d{\Xi }^{(2)}(E)$。

E.2　主导收敛与勒贝格点

由附录 A 的 ${\mathfrak{S}}_2$ 主导与 $|f_{\epsilon }^{\prime }{|}_{L^1}\le C$ 得可积主导，$\epsilon \downarrow 0$ 时 $f_{\epsilon }^{\prime }$ 收敛到 ${\delta }_{\omega }$（弱意义）并在勒贝格点处恢复 ${\Xi }^{(2)}(\omega )$。

E.3　散射相位与行列式

固定能量化与 AC 纤维化把 ${\Xi }^{(2)}(\omega )$ 识别为散射相位的二阶谱移原函数，升指数得到 ${\det }_{2}S(\omega )=\exp (-2\pi i{\Xi }^{(2)}(\omega ))$。

附录 F　Fisher 投影几何上界的证明

F.1　模型与投影

白化观测 $y=J\theta +ϵ$，硬约束 $C(\theta )=0$ 的可微子流形 $\mathcal{M}$ 之切空间投影 $P_{\mathcal{M}}$ 满足 $P_{\mathcal{M}}^2=P_{\mathcal{M}}$。

F.2　主角度与谱界

设 $\vartheta$ 为 $\mathrm{range}(J)$ 与 $\mathrm{range}(P_{\mathcal{M}})$ 的最大主角度，有 $|P_{\mathcal{M}}v|\ge |\sin \vartheta ||v|$ 对所有 $v\in \mathrm{range}(J)$。于是 $v^{\top }{F}_{\mathcal{M}}v=|P_{\mathcal{M}}Jv{|}^2\ge {\sin }^2\vartheta |Jv{|}^2=v^{\top }({\sin }^2\vartheta F)v$，从而 $F_{\mathcal{M}}⪰{\sin }^2\vartheta F$。取最大特征值得 $\mathrm{Tr}(F_{\mathcal{M}}^{-1})\le \mathrm{Tr}(F^{-1})/{\sin }^2\vartheta$，即方差缩减因子 $\mathcal{R}\le 1/|\sin \vartheta |$。证毕。

附录 G　可复现实验的参数与误差预算（简表）

G.1　P1（闭域）：$h\in \{h_0,h_0/2,h_0/4\}$；$t_{\min }\sim c{h}^2$、$t_{\max }$ 取满足半经典窗；$\mu$ 取 $\{{\mu }_0,{\mu }_0/3,{\mu }_0/9,{\mu }_0/27\}$。外推采用双线性（对 $(\mu ,h)$）与 Richardson（对 $t$‑窗）混合。容差：斜率 $<1\%$；不同角点剖分/规范下漂移 $<0.5\%$。

G.2　P2（外域）：条带 $\Im \omega \in [-{\gamma }_0,0]$ 均匀采样；极点数 $J$ 以 AIC/BIC 与条带交叉验证联合确定；惩罚项约束 $Q(\omega )$ 的次数与实轴纯虚条件；先验 $\Re \log {\det }_2\ge 0$ 仅用作软正则化。容差：CRLB 提升 $\ge 1.3$、虚警 $\le 5\%$。

G.3　P3（通道）：外推半径、匹配半径与积分步长经网格搜索定标；Wronskian 归一差 $<10^{-12}$；$|S_{\ell m}^{†}\eta S_{\ell m}-\eta {|}_{\infty }<10^{-12}$；相位闭合 $<10^{-3}$ 弧度；随 ${\ell }_{\max }$ 呈 $a+b/{\ell }_{\max }$ 收敛。

正文与附录完