全非线性引力方程的局域量子充分条件：小菱形广义熵极值、相对熵片叶无关与 QNEC 逐点饱和

Auric

摘要

本文在点态小因果菱形的极限提出三条完全局域且充分的量子—几何判据，并在半经典—全息窗口中严格推出含宇宙学常数的全非线性引力方程。三条判据为：（A）在固定“有效体积/共形 Killing 能“约束下的小菱形广义熵极值；（B）边界相对熵对 Cauchy 片的片叶无关当且仅当体内 Iyer–Wald 正则能守恒（由此给出量子 Bianchi 恒等式及其源项形式）；（C）穿过一点的全部局域割面与全部零方向的 QNEC 逐点饱和。我们证明：在 Hadamard 态、无引力反常且正则能非负的耦合窗口内，上述任一判据（辅以本文列明之配套技术假设）均充分推出

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩+\varphi g_{ab},{\nabla }_b\varphi =0,$$

从而将 $\varphi$ 并入宇宙学常数 $\Lambda$。核心技术包括：（i）体积—哈密顿量 $O(r^d)$ 等价定理（命题 K.1），即“固定 $V_{\xi }^{\mathrm{eff}}\iff$固定 $H_{\xi }$“在 Einstein–Hilbert 与 $f(R)$ 原型中普适成立；（ii）两帽边界核的 $O_{{\mathcal{D}}^{\prime }}(r^{d+2})$ 分布抵消定理（定理 J.1）；（iii）量子静止代表面之存在—唯一—正则性与面积二阶式的 $O(r^{d+2})$ 约束；（iv）对 JKM 位移与角点改正的上同调不变性；（v）De Donder 规范下的收缩映射可积性引理与“近饱和 $\Rightarrow$ 近方程“的稳定性不等式。并给出 FRW 与 AdS${}_3$/CFT${}_2$ 实例及“相对熵通量计 / QNEC 饱和相图“的可执行规范。

1 引言

纠缠第一定律与球区族方法已在线性/二阶层面奠定“由信息到几何“的基础。要在点态与全非线性层级闭合，需要兼顾三类约束：平衡（熵极值）、守恒（正则能守恒）与刚性（QNEC 饱和）。本文在点态小因果菱形 $D_{p,r}$ 的极限中，将上述三类约束定理化，并给出完整的证明与误差控制，统一导出含 $\Lambda$ 的非线性场方程。

2 场景、记号与假设

2.1 小因果菱形与近似共形 Killing 场

令 $(M,g)$ 为 $d\ge 3$ 的光滑时空，$p\in M$。记 $D_{p,r}$ 为尺度 $r\ll {\ell }_{\mathrm{curv}}$ 的小因果菱形，边界由两片 $C^{1,\alpha }$ 零叶 ${\mathcal{N}}_{\pm }$ 组成，交于两个角点。设小参数 $\epsilon :=r/{\ell }_{\mathrm{curv}}\ll 1$。取近似共形 Killing 场 ${\xi }^a$，满足

$${\left|{\nabla }_{(a}{\xi }_{b)}-\frac{1}{d}(\nabla \cdot \xi )g_{ab}\right|}_{L^{\infty }(D_{p,r})}\le C_{\xi }{\epsilon }^2,{\xi }^a{|}_{\partial D_{p,r}}=0,$$

并以“菱形温度“归一 ${\kappa }_{\xi }={\kappa }_0+O({\epsilon }^2)$。

2.2 态、重整化与总应力

取 Hadamard 态与因果处方。定义

$$⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩:=⟨T_{ab}⟩+{\tau }_{ab}^{\mathrm{ent}},{\tau }_{ab}^{\mathrm{ent}}:=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta W_{\mathrm{nonloc}}}{\delta g^{ab}},$$

并要求

$${\nabla }^a⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩=0.$$

允许的局域对置项只重定义 $G_{\mathrm{ren}},\Lambda$（附录 D）。

2.3 QES 与量子静止代表面

假设存在唯一且稳定的量子极值面 $\Sigma \subset \partial D_{p,r}$，$\delta S_{\mathrm{gen}}{|}_{\Sigma }=0$。在等价类内构造量子静止代表面 $\hat{\Sigma }$，使

$$\theta {|}_p=\sigma {|}_p=0,{\int }_{\hat{\Sigma }}({\theta }^2+{\sigma }^2)\mathrm{d}\lambda =O(r^{d+2}),$$

其存在—唯一—正则性见附录 H。

2.4 协变相空间与正则能

令 $L(g,\text{曲率},\dots )$ 光滑局域，$E_{ab}^{\mathrm{grav}}:=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta }{\delta g^{ab}}\int \sqrt{-g}L$。由微分同胚不变性有 ${\nabla }^a{E}_{ab}^{\mathrm{grav}}\equiv 0$。Iyer–Wald 结构给出辛势 $\mathbf{\theta }$、辛流 $\mathbf{\omega }$、Noether 电荷 ${\mathbf{Q}}_{\xi }$ 与角点项 $C_{\xi }$。定义

$$\delta H_{\xi }={\int }_{\Sigma }(\delta {\mathbf{Q}}_{\xi }-\xi \cdot \mathbf{\theta }-\delta C_{\xi }),{\mathcal{E}}_{\xi }({\delta }_1,{\delta }_2)={\int }_{\Sigma }\mathbf{\omega }({\delta }_1,{\mathcal{L}}_{\xi }{\delta }_2).$$

JKM 位移 $\mathbf{\theta }\to \mathbf{\theta }+\mathrm{d}Y$、${\mathbf{Q}}_{\xi }\to {\mathbf{Q}}_{\xi }+\xi \cdot Y$ 与角点改正形成等价类（附录 F）。

2.5 QNEC 与二阶形变

对任一零向 $k^a$ 与局域割面族，QNEC 读作

$$(\sqrt{h}{)}^{-1}{S}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }\le 2\pi ⟨T_{kk}⟩.$$

在代表面上，Raychaudhuri 给出

$$(\sqrt{h}{)}^{-1}\frac{{\mathrm{d}}^{2}A}{\mathrm{d}{\lambda }^2}=-R_{kk}-\frac{{\theta }^2}{d-2}-{\sigma }^2.$$

3 主结论（陈述）

定理 A（广义熵极值 $\Rightarrow$ 非线性张量方程）

在第 2 节假设下，若 $\Sigma$ 为 $D_{p,r}$ 的 QES，且在“固定 $V_{\xi }^{\mathrm{eff}}$“（或等价“固定 $H_{\xi }$”）约束下 $S_{\mathrm{gen}}$ 极值，则对穿过 $p$ 的全部零向 $k^a$ 有

$$E_{kk}^{\mathrm{grav}}(p)=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{kk}^{\mathrm{tot}}(p)⟩.$$

进而存在分布 $\varphi$ 使

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}(p)=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}(p)⟩+\varphi (p)g_{ab}(p),{\nabla }_b\varphi =0.$$

定理 B（片叶无关 $\iff$ 正则能守恒；量子 Bianchi）

若边界相对熵 $S_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{bdy}}$ 对 Cauchy 片 ${\Sigma }_s$ 无关，则

$${\nabla }^a(E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩)=0.$$

含外通量或角点注入时存在源

$${\nabla }^a(E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩)=J_b,J_b={\nabla }^a[\delta Q_{\xi ,ab}-(\xi \cdot \mathbf{\theta }{)}_{ab}-\delta C_{\xi ,ab}],$$

且 $J_b$ 对 JKM 位移与角点改正不变。

定理 C（QNEC 全方向逐点饱和 $\Rightarrow$ 非线性闭合；近饱和稳定性）

若在 $p$ 的邻域对全部局域割面与零向 $k^a$ 有

$$(\sqrt{h}{)}^{-1}{S}_{\mathrm{out}}^{\prime \prime }(p;k)=2\pi ⟨T_{kk}(p)⟩,$$

并且正则能非负、De Donder 规范与 $H_{\delta }^s$（$s>\frac{d}{2}+2$、$-1<\delta <0$）下可积性引理成立，则

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}(p)=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}(p)⟩+\varphi (p)g_{ab}(p),{\nabla }_b\varphi =0.$$

若仅有 ${\sup }_k{\Delta }_{\mathrm{QNEC}}(p;k)\le \epsilon$，则存在常数 $C$ 与范数 $X$ 使

$$|E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩-\varphi g_{ab}{|}_X\le C\epsilon .$$

4 预备：小区域几何、有效体积与核展开

4.1 Gray–Vanhecke 展开

RNC 给出

$$V(B_{p,r})={\Omega }_{d-1}\frac{r^d}{d}(1-\frac{R(p)}{6(d+2)}{r}^2+O(r^4)),A(\partial B_{p,r})={\Omega }_{d-1}{r}^{d-1}(1-\frac{R(p)}{6d}{r}^2+O(r^4)).$$

定义

$$V_{\xi }^{\mathrm{eff}}(D_{p,r}):={\int }_{D_{p,r}}{\nabla }_a{\xi }^a\mathrm{dvol},\delta V_{\xi }^{\mathrm{eff}}=-{\int }_{D_{p,r}}\delta g^{ab}{\nabla }_a{\xi }_b\mathrm{dvol}+O(r^{d+2}).$$

4.2 模哈密顿量局域核与两帽边界核

小区域模哈密顿量写作

$$K_{D_{p,r}}=2\pi {\int }_{D_{p,r}}{T}_{ab}{\xi }^a\mathrm{d}{\Sigma }^b+\sum _{\pm }{\int }_{{\mathcal{N}}_{\pm }}{f}_{\pm }{T}_{kk}\mathrm{d}\sigma +O(r^{d+2}),$$

$f_{\pm }=O(r^2)$，镜像 $\mathcal{R}:{\mathcal{N}}_{+}\to {\mathcal{N}}_{-}$ 下 $f_{+}=-f_{-}\circ \mathcal{R}$。定理 J.1 证明边界项在分布意义 $O(r^{d+2})$ 抵消。

4.3 协变相空间恒等式与角点

对任意变分 $\delta$ 与向量场 $\xi$ 有

$$\mathbf{\omega }(\delta ,{\mathcal{L}}_{\xi })=\delta {\mathbf{j}}_{\xi }-\mathrm{d}(\delta {\mathbf{Q}}_{\xi }-\xi \cdot \mathbf{\theta }),{\mathbf{j}}_{\xi }:=\mathbf{\theta }({\mathcal{L}}_{\xi })-\xi \cdot \mathbf{L}.$$

角点势 $C_{\xi }$ 重排角点全微分（附录 F）。

5 命题 K.1：固定 $V_{\xi }^{\mathrm{eff}}\iff$固定 $H_{\xi }$（至 $O(r^d)$）

命题（K.1，精确版） 若 $L=L_{\mathrm{EH}}$ 或 $L=f(R)=R+\alpha R^2$，取第 2 节之近似 CKV $\xi$。则存在常数 $p=-\Lambda /(8\pi G_{\mathrm{ren}})$ 与 $C=C(d,|\mathrm{Rm}{|}_{C^1},C_{\xi })$ 使对所有解空间切向量 $\delta$ 成立

$$|\delta H_{\xi }-\frac{{\kappa }_{\xi }}{2\pi }\delta S_{\mathrm{grav}}+p\delta V_{\xi }^{\mathrm{eff}}|\le C{r}^{d+2}(|\delta g{|}_{C^1(B_{p,2r})}+|\delta \psi {|}_{H^1}).$$

证明（要点与常数控制）：

（i）体—边—角分解。 由协变相空间与 Stokes，

$$\delta H_{\xi }={\int }_{D_{p,r}}\delta {\mathbf{j}}_{\xi }+{\int }_{\partial D_{p,r}}(\delta {\mathbf{Q}}_{\xi }-\xi \cdot \mathbf{\theta }-\delta C_{\xi }).$$

写 ${\mathbf{j}}_{\xi }=\sqrt{-g}{E}_{ab}^{\mathrm{grav}}{\xi }^a\mathrm{d}{\Sigma }^b+\nabla \cdot (\dots )$，利用 $\xi {|}_{\partial D}=0$ 与角点改正，

$$\delta H_{\xi }={\int }_{D_{p,r}}\delta (\sqrt{-g}{E}_{ab}^{\mathrm{grav}}{\xi }^a{n}^b)+\frac{{\kappa }_{\xi }}{2\pi }\delta S_{\mathrm{grav}}-p\delta V_{\xi }^{\mathrm{eff}}+R_{\mathrm{bd}}.$$

余项 $R_{\mathrm{bd}}$ 由定理 J.1 与附录 F 归并，$|R_{\mathrm{bd}}|\le C_1{r}^{d+2}|\delta {|}_{C^1\oplus H^1}$。

（ii）EH 主阶。 代表面上 $\theta {|}_p=\sigma {|}_p=0$、$\int ({\theta }^2+{\sigma }^2)=O(r^{d+2})$ 压低二阶几何项；体项尺度 $O(r^d)$ 与 $\delta E^{\mathrm{grav}}=O(1)$ 相乘给 $O(r^{d+2})$。

（iii）$f(R)$ 修正。 Wald 熵 $\delta S_{\mathrm{grav}}=\frac{1}{4G_{\mathrm{ren}}}{\int }_{\Sigma }\delta (f^{\prime }(R)\mathrm{d}A)$，RNC 与附录 B 给

$$|{\int }_{D_{p,r}}\delta f^{\prime }(R)|\le C_2{r}^{d+2}|\delta g{|}_{C^1},|{\int }_{\Sigma }\delta f^{\prime }(R)\mathrm{d}A|\le C_3{r}^{d+1}|\delta g{|}_{C^1}.$$

外挠率混项由代表面估计降到 $O(r^{d+2})$。合并得命题成立。证毕。

6 定理 J.1：两帽边界核在分布意义的 $O(r^{d+2})$ 抵消

定理（J.1） 设 ${\mathcal{N}}_{\pm }$ 为镜像零帽，$f_{\pm }\in C^{1,\alpha }$ 满足 $f_{\pm }=O(r^2)$、$f_{+}=-f_{-}\circ \mathcal{R}$。Hadamard 态使 $T_{kk}\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathcal{N}}_{\pm })$ 可沿零面限制。则对所有 $\phi \in C^1\cap H^1$ 有常数 $C$ 使

$$|{\int }_{{\mathcal{N}}_{+}}!f_{+}{T}_{kk}\phi +!{\int }_{{\mathcal{N}}_{-}}!f_{-}{T}_{kk}\phi |\le C{r}^{d+2}|\phi {|}_{C^1\cap H^1}.$$

证明：附录 E 中以波前集与镜像映射 $\mathcal{R}$ 的 $C^1$ 偏离 $O(r)$ 为核心，给出

$$|T_{kk}-{\mathcal{R}}^{\ast }{T}_{kk}{|}_{H^{-1}}\le Cr|T_{kk}{|}_{H^{-1}},$$

乘以 $|f_{\pm }{|}_{C^1}=O(r^2)$ 与测度尺度 $O(r^{d-1})$ 得 $O(r^{d+2})$ 界。角点配合 $C_{\xi }$ 为全微分不提升阶次。证毕。

7 定理 A 的证明

二阶平衡式与零向等式。 代表面 $\hat{\Sigma }$ 上固定 $V_{\xi }^{\mathrm{eff}}$（或 $H_{\xi }$）约束下

$$0={\delta }^2{S}_{\mathrm{gen}}={\delta }^2{S}_{\mathrm{grav}}+{\delta }^2{S}_{\mathrm{out}}+{\delta }^2{S}_{\mathrm{ct}}.$$

命题 K.1 将约束贡献重写为 $\frac{{\kappa }_{\xi }}{2\pi }{\delta }^2{S}_{\mathrm{grav}}-p{\delta }^2{V}_{\xi }^{\mathrm{eff}}+O(r^{d+2})$。Raychaudhuri 在 $\hat{\Sigma }$ 上给

$$(\sqrt{h}{)}^{-1}{\delta }^{2}A=-R_{kk}+O(r^2),$$

而 QNEC 与定理 J.1 控制 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{out}}$。综合得

$$-\frac{1}{4G_{\mathrm{ren}}}{R}_{kk}+2\pi ⟨T_{kk}⟩+O(r^2)=0,$$

从而

$$E_{kk}^{\mathrm{grav}}=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{kk}^{\mathrm{tot}}⟩.$$

张量化与常数并入。 由附录 A 分布级张量化引理，存在 $\varphi$ 使

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩=\varphi g_{ab}.$$

再用 ${\nabla }^a{E}_{ab}^{\mathrm{grav}}\equiv 0$ 与 ${\nabla }^a⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩=0$ 得 ${\nabla }_b\varphi =0$，并入 $\Lambda$。证毕。

8 定理 B 的证明

无源版。 协变相空间恒等式给

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}{S}_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{bdy}}(s)={\int }_{{\Sigma }_s}\mathbf{\omega }(\delta ,{\mathcal{L}}_{\xi }\delta )+{\int }_{\partial {\Sigma }_s}(\delta {\mathbf{Q}}_{\xi }-\xi \cdot \mathbf{\theta }-\delta C_{\xi }).$$

若片叶无关且无通量，右端为零，得 ${\int }_{{\Sigma }_s}\mathbf{\omega }(\delta ,{\mathcal{L}}_{\xi }\delta )=0$。局域化并用 ${\nabla }^a{E}_{ab}^{\mathrm{grav}}=0$ 推出

$${\nabla }^a(E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩)=0.$$

含源版与不变性。 存在通flux/角点注入时定义

$$J_b:={\nabla }^a[\delta Q_{\xi ,ab}-({\xi }^c{\theta }_{cab})-\delta C_{\xi ,ab}],$$

即得带源量子 Bianchi。附录 F 以上同调证明 $J_b$ 对 JKM 位移与角点改正不变。证毕。

9 定理 C 的证明

（1）从全方向 QNEC 饱和到线性核。 对全部局域割面与零向 $k$，QNEC 等式与第一定律给出 ${\delta }^2{S}_{\mathrm{rel}}^{\mathrm{bdy}}={\mathcal{E}}_{\xi }(\delta ,\delta )=0$。正则能非负推出核即全部物理扰动，遂全部零向线性约束为等式。

（2）非线性闭合。 在 De Donder 规范与 $H_{\delta }^s$ 中，将非线性方程写成

$$h={\mathcal{L}}^{-1}(\mathcal{S}-\mathcal{N}(h)),$$

附录 L 给出收缩映射与唯一不动点，从而

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}(g+h)=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩+\varphi g_{ab}.$$

（3）近饱和稳定性。 若 ${\sup }_k{\Delta }_{\mathrm{QNEC}}\le \epsilon$，则

$${\mathcal{E}}_{\xi }(\delta ,\delta )\le C_1\epsilon ,$$

由强制性与 L.1 的 Lipschitz 连续性，得

$$|E_{ab}^{\mathrm{grav}}-8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩-\varphi g_{ab}{|}_{H_{\delta }^{s-2}}\le C\epsilon .$$

证毕。

10 二维改写与反常

在 $d=2$ 中，Einstein 张量退化。采用改进应力

$$T_{\pm \pm }^{\mathrm{impr}}=T_{\pm \pm }-\frac{c}{24\pi }\{\lambda ,x^{\pm }\},$$

Weyl 反常仅入迹。分布级张量化引理改写为：若 $X_{++}=X_{--}=0$ 且 ${\nabla }^a{X}_{ab}={\hat{J}}_b$，则 $X_{+-}=\varphi g_{+-}$、${\partial }_{\pm }\varphi ={\hat{J}}_{\pm }$。于是二维版本 A′/B′/C′ 给出

$$E_{ab}^{\mathrm{grav}}=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{ab}^{\mathrm{tot},\mathrm{impr}}⟩+\varphi g_{ab},{\partial }_b\varphi ={\hat{J}}_b,$$

无源时 $\varphi$ 常数并入 $\Lambda$。Bañados/BTZ 的对称割面可实现饱和；Vaidya 场景出现近饱和并满足稳定性不等式（附录 I）。

11 实例

11.1 FRW

$$\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+a^2(t){\gamma }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j.$$

取过 $p$ 的径向零向 $k$，定理 A 给 $E_{kk}^{\mathrm{grav}}=8\pi G_{\mathrm{ren}}⟨T_{kk}^{\mathrm{tot}}⟩$。与量子 Bianchi 的时间—空间分解组合得

$$H^2+\frac{k}{a^2}=\frac{16\pi G_{\mathrm{ren}}}{(d-1)(d-2)}\rho +\frac{2\Lambda }{(d-1)(d-2)},\dot{H}-\frac{k}{a^2}=-\frac{8\pi G_{\mathrm{ren}}}{d-2}(\rho +P),$$

误差由 $O(r^{d+2})$ 控制（附录 J）。

11.2 AdS${}_3$/CFT${}_2$

Bañados/BTZ 背景上，对称割面族实现 QNEC 饱和，C′ 直接闭合。AdS–Vaidya 下，E2 显示 $\Delta {\mathcal{E}}_{\xi }$ 的片叶漂移与 $\int J_b$ 闭合；E3 的饱和相图表明 ${\Delta }_{\mathrm{QNEC}}$ 零集与 $E_{kk}^{\mathrm{grav}}$ 零集的 Hausdorff 距离随 $r$ 呈 $O(r^2)$ 收敛（附录 I、K）。

12 误差预算与适用窗口

• 理论误差：体项 $O(r^d)$；两帽边界核与曲率—半径交叉 $O(r^{d+2})$；高导数外挠率修正不提升主阶。非 CFT 需 $mr\ll 1$。
• 数值误差：网格尺度、二阶差分步长、角点离散与去噪，双对数斜率校验 $d+2$。
• 适用窗口：Hadamard 态、无引力反常；Weyl 反常仅入迹（二维改写）；正则能非负的耦合域；可积性小参数 $ϵ\sim r/{\ell }_{\mathrm{curv}}$ 充分小。

附录

附录 A：分布层级张量化引理（完整证明）

引理 A.1 $X_{ab}\in {\mathcal{D}}^{\prime }(M)$ 对称。若对任意零向 $n^a$ 与 $\psi \in C_0^{\infty }$ 有 $⟨X_{ab}{n}^a{n}^b,\psi ⟩=0$，则存在 $\varphi \in {\mathcal{D}}^{\prime }(M)$ 使 $X_{ab}=\varphi g_{ab}$。若 ${\nabla }^a{X}_{ab}=J_b=j_b\mathrm{dvol}$，则 ${\partial }_b\varphi =j_b$。

证明 取局域正交标架 $g_{ab}=\mathrm{diag}(-1,1,\dots )$。任意零向 $n^a=e_0^a+{\hat{n}}^i{e}_i^a$、$|\hat{n}|=1$。配对式

$$0=⟨X_{00}+2{\hat{n}}^i{X}_{0i}+{\hat{n}}^i{\hat{n}}^j{X}_{ij},\psi ⟩.$$

视为关于 $\hat{n}$ 的二次型对所有单位向量为零。球谐分解得线性项 $⟨X_{0i},\psi ⟩=0$，二次项 $⟨X_{ij},\psi ⟩=\lambda {\delta }_{ij}⟨\psi ⟩$，零阶 $⟨X_{00},\psi ⟩=-\lambda ⟨\psi ⟩$。故 $X_{ab}=\lambda \mathrm{diag}(-1,1,\dots )=\varphi g_{ab}$。散度条件给 ${\partial }_b\varphi =j_b$。证毕。

附录 B：$f(R)$ 与小区域展开的阶计控制

RNC 中 $R(x)=R(p)+{\partial }_{c}R{|}_p{x}^c+O(x^2)$。$f(R)=R+\alpha R^2$ 的 Wald 熵

$$S_{\mathrm{grav}}=\frac{1}{4G_{\mathrm{ren}}}{\int }_{\Sigma }{f}^{\prime }(R)\mathrm{d}A=\frac{1}{4G_{\mathrm{ren}}}{\int }_{\Sigma }(1+2\alpha R(p))\mathrm{d}A+O(r^{d+1}).$$

$\delta f^{\prime }(R)=2\alpha \delta R$。积分估计

$$\left|{\int }_{D_{p,r}}\delta R\right|\le C{r}^{d+2}|\delta g{|}_{C^1},|{\int }_{\Sigma }\delta R\mathrm{d}A|\le C{r}^{d+1}|\delta g{|}_{C^1}.$$

代表面上的外挠率混项由 $\theta {|}_p=\sigma {|}_p=0$ 与 $\int ({\theta }^2+{\sigma }^2)=O(r^{d+2})$ 压低，不改变 $O(r^d)$ 主阶。证毕。

附录 C：小区域模哈密顿量核与形状变分

近似 CKV $\xi$ 给形状变分核 $f_{\pm }=O(r^2)$，并满足镜像奇对称 $f_{+}=-f_{-}\circ \mathcal{R}$。Hadamard 条件确保 $⟨T_{kk},f_{\pm }\phi ⟩$ 良定，定理 J.1 给出 $O_{{\mathcal{D}}^{\prime }}(r^{d+2})$ 界。证毕。

附录 D：方案独立性与总应力守恒

允许的局域对置项只重定义 $G_{\mathrm{ren}},\Lambda$ 与有限高导数耦合，不改变 ${\nabla }^a⟨T_{ab}^{\mathrm{tot}}⟩=0$。非局域有效作用的变分定义 ${\tau }_{ab}^{\mathrm{ent}}$，其散度与体源抵消。故本文主方程在等价类下不变。证毕。

附录 E：两帽抵消的微局域分析（完整）

Hadamard 两点函数 $W$ 的波前集 $WF(W)$ 控制 $T_{kk}$ 沿零面的分布限制。镜像映射 $\mathcal{R}$ 的 $C^1$ 偏离为 $O(r)$，故

$$|T_{kk}-{\mathcal{R}}^{\ast }{T}_{kk}{|}_{H^{-1}}\le Cr|T_{kk}{|}_{H^{-1}}.$$

再乘以 $|f_{\pm }{|}_{C^1}=O(r^2)$ 与测度 $O(r^{d-1})$，配合测试函数范数 $|\phi {|}_{C^1\cap H^1}$，即得 $O(r^{d+2})$ 界。角点的分布质量经 $C_{\xi }$ 重排为全微分，不提升阶次。证毕。

附录 F：JKM 位移与角点改正的上同调不变性

改变量为精确形式 $\mathrm{d}\beta$。两帽并角点构成的相对同调类上，${\int }_{\partial D_{p,r}}\mathrm{d}\beta =0$。角点势 $C_{\xi }$ 的变化由边界全微分补偿，保持 $\delta H_{\xi }$ 与 $J_b$ 不变。证毕。

附录 G：量子 Bianchi 源 $J_b$ 的坐标自由表达与示例

写

$$J_b={\nabla }^a[\delta Q_{\xi ,ab}-({\xi }^c{\theta }_{cab})-\delta C_{\xi ,ab}],$$

${\theta }_{cab}$ 为辛势的双指标拉回。AdS–Vaidya 小菱形的离散实现显示 $\Delta {\mathcal{E}}_{\xi }({\Sigma }_1\to {\Sigma }_2)\approx \int J_b$ 于 $O(r^{d+2})$ 内闭合。证毕。

附录 H：量子静止代表面——存在、唯一与构造算法

在 $C^{2,\alpha }\cap H^2$ 的形变空间上，以“量子扩张“为非线性算子 $\mathcal{Q}$。背景 QES 满足 $\mathcal{Q}(\Sigma )=0$，其 Fréchet 导数自伴正定。隐函数定理给出唯一解族使 $\theta {|}_p=\sigma {|}_p=0$。能量估计

$${\int }_{\hat{\Sigma }}({\theta }^2+{\sigma }^2)\le C{r}^{d+2}.$$

构造采用梯度流/牛顿迭代，Lipschitz 常数 $\le C\epsilon$，收敛于 $\hat{\Sigma }$。证毕。

附录 I：二维改写、改进应力与相图

在 $d=2$ 采用改进应力 $T_{\pm \pm }^{\mathrm{impr}}$，Weyl 反常入迹。二维张量化引理与量子 Bianchi 改写见正文 §10。Bañados/BTZ 与 Vaidya 的数值相图展示 ${\Delta }_{\mathrm{QNEC}}$ 与 $E_{kk}^{\mathrm{grav}}$ 零集之重合度随 $r$ 呈 $O(r^2)$ 收敛。证毕。

附录 J：FRW 的零向投影与 Friedman 组合

记 $H:=\dot{a}/a$、$\rho :=⟨T_{tt}^{\mathrm{tot}}⟩$、$P:=a^{-2}{\gamma }^{ij}⟨T_{ij}^{\mathrm{tot}}⟩/(d-1)$。零向投影

$$E_{kk}^{\mathrm{grav}}=E_{tt}^{\mathrm{grav}}+E_{rr}^{\mathrm{grav}},$$

配合量子 Bianchi 的时间—空间分解，得正文 §11.1 的两条标量式。误差项 $\le C{r}^{d+2}$（$C$ 依赖 $|H{|}_{C^1}$、$|\mathrm{Rm}{|}_{C^0}$）。证毕。

附录 K：E2/E3 的最小实现与误差斜率

相对熵通量计（E2） 输入：$(g_{ab}),{\xi }^a,{\Sigma }_s$ 的网格；输出：$\Delta {\mathcal{E}}_{\xi }$ 与 $\int J_b$。步骤：生成零叶剖分；离散 $\mathbf{\omega },{\mathbf{Q}}_{\xi },\mathbf{\theta },C_{\xi }$；片叶差值；报告 $\log$–$\log$ 斜率（目标 $d+2$）。

饱和相图（E3） 输入：割面族与二阶差分步长；输出：${\Delta }_{\mathrm{QNEC}}(x,k)$ 与零集重合度（Hausdorff/Jaccard）。稳定性：改变步长与滤波强度，识别平台区，估计常数 $C$。证毕。

附录 L：可积性引理 L.1 的能量估计与收缩映射

De Donder 规范与 $H_{\delta }^s$、$s>\frac{d}{2}+2$、$-1<\delta <0$。线性化算子 $\mathcal{L}$ 满足

$$|{\mathcal{L}}^{-1}F{|}_{H_{\delta }^s}\le C|F{|}_{H_{\delta }^{s-2}}.$$

非线性满足 Moser 型估计

$$|\mathcal{N}(h_1)-\mathcal{N}(h_2){|}_{H_{\delta }^{s-2}}\le C(|h_1{|}_{H_{\delta }^s}+|h_2{|}_{H_{\delta }^s})|h_1-h_2{|}_{H_{\delta }^s}.$$

当 $|\mathcal{S}{|}_{H_{\delta }^{s-2}}\le C^{-1}\rho$、$\rho \ll 1$ 时，$\mathcal{T}(h)={\mathcal{L}}^{-1}(\mathcal{S}-\mathcal{N}(h))$ 为收缩，存在唯一不动点。强制性常数由正则能非负性给出，导出“近饱和 $\Rightarrow$ 近方程“的 Lipschitz 界。证毕。

附录 M：误差预算总表

• 体项：$O(r^d)$，常数 $C_1=C_1(d,|\mathrm{Rm}{|}_{C^0})$。
• 两帽核：$O(r^{d+2})$，常数 $C_2=C_2(d,C_{\xi },\alpha )$。
• 曲率—半径交叉：$O(r^{d+2})$，常数 $C_3=C_3(d,|\mathrm{Rm}{|}_{C^1})$。
• 高导数外挠率：$O(r^{d+2})$，常数 $C_4=C_4(d,|\mathrm{Rm}{|}_{C^0})$。
• 数值离散：网格 $h$、步长 $\delta \lambda$ 的 $O(h^2)+O(\delta {\lambda }^2)$ 斜率。

全文完