自指散射网络：联络矩阵综合、$J$‑幺正稳健性与 Floquet 带缘拓扑

Version 1.10

摘要

本文在自指散射网络（Self‑Referential Scattering Networks, SSN）中，给出一套从设计—实现—读出—证伪到定理化保障的闭环方法学。在迹类口径下，将整体半相位（$\sqrt{\det }$ 覆盖）的 holonomy 与谱位移、过 $-1$ 的谱流、判别子横截建立模二等价。相较前稿，本版在五个关键环节补齐可核查细节与可检常数：（i）第 3 节新增“$\log \det$ 正则化—Birman–Kreĭn—$-1$ 谱流—模二交数“的桥接引理与半页级自足证明；（ii）第 4 节给出星乘后“无伪交“的定量结构引理，明确主块最小梯度 $g_{\min }$ 与互耦上界 $r_{\max }$ 的比较原则与设计线；（iii）第 5 节把二值化投影＋多数投票写成集中不等式，给出误判率与样本数的显式关系，并附相关性修正；（iv）第 6 节用 $J$‑内积归一化的虚部 Rayleigh 商（Kreĭn 角）刻画稳健域，构造极化同伦并给出阈值函数 ${\epsilon }_0(\eta ,\beta )$ 的可行上界，统一保障 Cayley 分母可逆性与判别子不穿越；（v）第 7 节把相位型 Floquet 指标的截断独立与规范独立写成定理，并在 Hilbert–Schmidt 场景下以 ${\det }_2$ 完成正则化一致性与失败检测**。工程侧以两端口“耦合器—微环—增益“原型给出可仿真的 Schur‑闭合式，量化群延迟“双峰并合“的平方根标度与阈值选取依据。

关键词：闭环散射；Redheffer 星乘；Schur 补；Herglotz/Nevanlinna；判别子；谱位移与谱流；模二 Levinson；$J$‑幺正；Kreĭn 角；Floquet 相位型指标。

1 口径与基本对象

频域与变量：$\omega$ 为角频率（静态 $\omega \in \mathbb{R}$；周期系统 $\omega \in [-\pi /T,\pi /T]$），上半平面口径取 $z=\omega +\mathrm{i}{0}^{+}$。必要处与单位圆口径经 Cayley 映射互换，取向保持一致。

散射与星乘：端口化节点散射 $S_j(z)$ 经互联（含反馈）由 Redheffer 星乘与 Schur 补得到闭环 $S^{\circlearrowleft }(z)$。

Cayley 对偶（统一记号）：

$$S^{\circlearrowleft }(z)=(I-\mathrm{i}K(z))(I+\mathrm{i}K(z){)}^{-1},K(z)=-\mathrm{i}(I+S^{\circlearrowleft }(z){)}^{-1}(I-S^{\circlearrowleft }(z)).$$

迹类与正则化：凡与谱位移 $\xi$ 和 Birman–Kreĭn 相关的结果，统一假设 $S^{\circlearrowleft }-I\in {\mathfrak{S}}_1$ 并使用 $\det$。无限维（如 Floquet 侧带）先做有限截断，必要时用 ${\det }_2$；本文模二结论与 $\det /{\det }_2$ 的选择无关（见附录 F）。

$J$‑幺正口径：$J=J^{†}=J^{-1}$，$S^{♯}=J^{-1}{S}^{†}J$、$S^{†}JS=J$。非厄米稳健性均在此口径下陈述。

2 判别子、局部模型与横截

在参数流形 $X$ 上定义余维一的分片光滑子流形族 $D={⨆}_b{D}_b$，其局部模型包括 Jost 零点、阈值开闭、嵌入本征值与 EP 并合。去除后 $X^{\circ }=X\setminus D$。对闭路 $\gamma \subset X^{\circ }$，模二交数 $I_2(\gamma ,D)$ 为横截点数奇偶。端点/阈值以小半圆切除并入 $D$ 的边界分量。闭环实现层面可用

$$D=\{(\omega ,\vartheta ):{\sigma }_{\min }(I-\mathcal{C}(\omega ,\vartheta )S_{ii}(\omega ,\vartheta ))=0\},$$

在一般位置时与 $\det (I-\mathcal{C}{S}_{ii})=0$ 等价。

3 模二半相位—谱位移—谱流—交数：桥接引理与等价定理（迹类）

定义 3.1（整体半相位）：

$${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}(\gamma )=\exp \left(\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2}\mathrm{d}\arg \det S^{\circlearrowleft }\right)\in \{\pm 1\}.$$

引理 3.2（$\log \det$ 正则化与端点处理） 若沿闭路 $\gamma$ 几乎处处 $S^{\circlearrowleft }$ 幺正且 $S^{\circlearrowleft }-I\in {\mathfrak{S}}_1$，则 $\log \det S^{\circlearrowleft }$ 可沿 $\gamma$ 连续延拓并可积；按 §2 的小半圆切除规则处理端点/阈值后，${\oint }_{\gamma }\frac{1}{2}\mathrm{d}\arg \det S^{\circlearrowleft }$ 良定（$\mathrm{mod}2\pi$）。

引理 3.3（Birman–Kreĭn—$-1$ 谱流桥梁：两步可核查细节） 记 $\xi (\omega )$ 为谱位移。则 (i) 由 BK 公式 $\det S(\omega )=\exp \{-2\pi \mathrm{i}\xi (\omega )\}$，任意分支更换使 $\xi \mapsto \xi +n$（$n\in \mathbb{Z}$），对半相位的贡献为 $\exp \{\mathrm{i}\oint \frac{1}{2}\mathrm{d}(2\pi n)\}=1$，故模二不变； (ii) 令 $S(\tau )=V(\tau )e^{\mathrm{i}\Phi (\tau )}U(\tau )$ 为局部 Schur 形且在 $\tau ={\tau }_c$ 仅有一一重本征相位 ${\varphi }_j$ 横越 $\pi$（$-1$），则 $\xi$ 的跃迁为 $\pm 1$ 而 ${\mathrm{Sf}}_{-1}=1$。多重横越分解为有限次单横越叠加，故

$$\exp (-\mathrm{i}\pi {\oint }_{\gamma }\mathrm{d}\xi )=(-1{)}^{{\mathrm{Sf}}_{-1}(S^{\circlearrowleft }\circ \gamma )}.$$

命题 3.4（基点与分支独立的模二性） 对任意基点与连续分支延拓，${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}(\gamma )$ 不变；允许的端点处理等同于在 $D$ 上添加边界同伦，模二值保持。

定理 3.5（四重等价） 若沿 $\gamma$ 几乎处处 $S^{\circlearrowleft }$ 幺正且 $S^{\circlearrowleft }-I\in {\mathfrak{S}}_1$，则

$${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}(\gamma )=\exp (-\mathrm{i}\pi {\oint }_{\gamma }\mathrm{d}\xi )=(-1{)}^{{\mathrm{Sf}}_{-1}(S^{\circlearrowleft }\circ \gamma )}=(-1{)}^{I_2(\gamma ,D)}.$$

4 星乘后的“无伪交“与 ${\mathbb{Z}}_2$ 组合律（定量版）

分块记号：

$$S^{(k)}=\left(\begin{array}{cc}{S}_{ee}^{(k)}& S_{ei}^{(k)}\\ S_{ie}^{(k)}& S_{ii}^{(k)}\end{array}\right),k=1,2.$$

结构引理 4.1（无伪交：定量条件，带管状分离） 设在邻域 $U\subset X^{\circ }$ 内满足 (i) Schur 可逆下界：${\sigma }_{\min }(I-S_{ii}^{(1)}{S}_{ii}^{(2)})\ge \delta >0$； (ii) 互耦小量：$\Vert S_{ei}^{(1)}{\Vert }_2,\Vert S_{ie}^{(2)}{\Vert }_2\le \rho <1$； (iii) 管状分离：对 $k=1,2$ 的零集 $D_{(k)}$ 存在统一管状半径 ${\tau }_{\ast }>0$，取 $0<\tau \le {\tau }_{\ast }$ 使得 $N_{\tau }(D_{(1)})$、$N_{\tau }(D_{(2)})\subset U$ 且不相交。

定义主判别式 ${\Phi }_k(\vartheta )=\det (I-\mathcal{C}{S}_{ii}^{(k)})$ 与主块最小梯度

$$g_{\min }=\underset{\vartheta \in U}{\inf }\min \{|{\nabla }_{\vartheta }{\Phi }_1(\vartheta )|,|{\nabla }_{\vartheta }{\Phi }_2(\vartheta )|\}.$$

则存在互耦残差上界

$$r_{\max }\le \frac{\Vert S_{ei}^{(1)}{\Vert }_2\Vert S_{ie}^{(2)}{\Vert }_2}{{\delta }^2},$$

且当

$$r_{\max }<(\tau g_{\min }{)}^2$$

时，网络判别子为子网判别子的横离并：$D_{\mathrm{net}}=D_{(1)}\bigsqcup D_{(2)}$，并有

$$I_2(\gamma ,D_{\mathrm{net}})=I_2(\gamma ,D_{(1)})+I_2(\gamma ,D_{(2)})\mathrm{mod}2.$$

证明要点：由管状分离与平均值定理，在管外有 $|{\Phi }_1(\vartheta )|\wedge |{\Phi }_2(\vartheta )|\ge \tau g_{\min }$，因而 $|{\Phi }_1(\vartheta ){\Phi }_2(\vartheta )|\ge (\tau g_{\min }{)}^2$；当 $r_{\max }<(\tau g_{\min }{)}^2$ 时，互耦余项不足以在管外引入新零点。在每个单管内用隐函数定理得零集为原零集的法向微小形变，因管不相交而得到横离并。

工程设计线（可检） 取 $\delta ={\inf }_U{\sigma }_{\min }(I-S_{ii}^{(1)}{S}_{ii}^{(2)})$。若

$$\Vert S_{ei}^{(1)}{\Vert }_2\Vert S_{ie}^{(2)}{\Vert }_2\le \frac{1}{2}{\delta }^2(\tau g_{\min }{)}^2,$$

则 $r_{\max }\le \frac{1}{2}(\tau g_{\min }{)}^2<(\tau g_{\min }{)}^2$，从而满足引理的充分条件。

边界与失败模式 4.2：当 $\delta \to 0^{+}$ 或 $\rho \to 1^{-}$ 时，可能出现近切交与共振‑诱发的“伪交“。应实时监测 ${\sigma }_{\min }(I-\mathcal{C}{S}_{ii})$ 的裕度与 $g_{\min }$ 的数值估计，必要时缩小 $U$ 或重配端口。

定理 4.3（${\mathbb{Z}}_2$ 组合律） 在引理条件下，${\mathbf{\nu }}_{\mathrm{net}}={\mathbf{\nu }}_{(1)}\odot {\mathbf{\nu }}_{(2)}$（分量乘，模二加法）。

5 二值化投影、集中不等式与去混叠

相位增量与二值化：

$$\Delta {\varphi }_{ab}=\frac{1}{2}\left[\arg \det S\right({\gamma }_a;{\theta }_b+\delta )-\arg \det S({\gamma }_a;{\theta }_b-\delta ){]}_{\mathrm{cont}},\Pi (\Delta {\varphi }_{ab})=1_{\{|\Delta {\varphi }_{ab}|\ge \pi /2\}}.$$

定义（有效相位窗） 设实验/仿真使用的测量网格为 $\mathcal{G}=\{(a,b)\}$，并按上式定义 $\Delta {\varphi }_{ab}$ 与二值化规则 $\Pi (\cdot )$。定义

$$\Delta {\varphi }_{\mathrm{eff}}:=\underset{(a,b)\in \mathcal{G}}{\mathrm{essinf}}|\Delta {\varphi }_{ab}|.$$

当存在有界加性噪声 $\epsilon$ 且 $|\epsilon |\le ϵ$ 时，采用门限条件 $\Delta {\varphi }_{\mathrm{eff}}>\frac{\pi }{2}+2ϵ$；据此得到定理 5.1 的误判率与样本复杂度估计。

假设（独立与次高斯） 测量样本 $\{{\widehat{\Delta \varphi }}_{ab}^{(n)}{\}}_{n=1}^N$ 独立，$\mathbb{E}{\widehat{\Delta \varphi }}_{ab}^{(n)}=\Delta {\varphi }_{ab}$，且为次高斯，代理方差 ${\sigma }^2$。

定理 5.1（多数投票的误差界与样本复杂度）

设测量样本 $\{{\widehat{\Delta \varphi }}_{ab}^{(n)}{\}}_{n=1}^N$ 相互独立，$\mathbb{E}{\widehat{\Delta \varphi }}_{ab}^{(n)}=\Delta {\varphi }_{ab}$，且为次高斯，代理方差 ${\sigma }^2$；并有有界加性偏置 $|\epsilon |\le ϵ$。记

$$m:=\Delta {\varphi }_{\mathrm{eff}}-\frac{\pi }{2}-2ϵ>0,q:=\mathbb{P}(|{\widehat{\Delta \varphi }}_{ab}^{(n)}|<\frac{\pi }{2}).$$

则

$$q\le 2\exp (-\frac{m^2}{2{\sigma }^2}),\mathbb{P}(\text{多数投票误判})\le \exp (-2N(\frac{1}{2}-q{)}^2).$$

给定目标误差 $\delta \in (0,1)$，充分条件为

$$N\ge \frac{\log (1/\delta )}{2(\frac{1}{2}-2e^{-m^2/(2{\sigma }^2)}{)}^2},$$

且需 $m>\sigma \sqrt{2\log 4}$ 以确保 $q<\frac{1}{2}$ 从而多数投票收敛。若存在过采样相关性，以上式中 $N$ 替换为有效样本数 $N_{\mathrm{eff}}$。

命题 5.2（去混叠与二级证据融合） 多重穿越或近阈值掩蔽时： (i) 采用多窗滑动与锚点连续化策略； (ii) 融合群延迟双峰并合，仅当两指纹同步时确认“有交“； (iii) 出现串扰时，增添与既有灵敏度近正交的冗余列并重算 Gram 判据直至满秩。

6 $J$‑幺正稳健性：Kreĭn 角、极化同伦与阈值函数

Kreĭn 角与角度缺口：假定 $⟨{\psi }_j(\tau ),J{\psi }_j(\tau )⟩\ne 0$（非中性本征态），否则 ${\varkappa }_j$ 不定义，且该参数点视为稳健域边界并予以排除。 定义

$${\varkappa }_j(\tau )=\frac{\mathrm{Im}⟨{\psi }_j(\tau ),J{S}^{-1}({\partial }_{\tau }S){\psi }_j(\tau )⟩}{⟨{\psi }_j(\tau ),J{\psi }_j(\tau )⟩},$$

其在幺正极限 $J=I$ 时与 ${\partial }_{\tau }{\varphi }_j$ 一致，用作相位斜率。角度缺口定义为

$$\eta :=\underset{j}{\min }\underset{\tau }{\inf }\mathrm{dist}({\varphi }_j(\tau ),\pi +2\pi \mathbb{Z})\in (0,\pi ].$$

近 $J$‑幺正下存在 $c_{\pm }(\epsilon )\to 1$ 使 $c_{-}|{\partial }_{\tau }{\varphi }_j|\le |{\varkappa }_j|\le c_{+}|{\partial }_{\tau }{\varphi }_j|$。*注：${\varkappa }_j$ 仅作为斜率控制项，不参与 $\eta$ 的定义。

小引理 6.1（$(S^{†}JS-J)$ 到 $(K-K^{♯})$ 的估计）

设 $S(\tau )$ 沿所考察参数域逐点可逆，且

$$\underset{\tau }{\sup }|S(\tau )|<\infty ,\underset{\tau }{\sup }|S(\tau {)}^{-1}|<\infty ,|S^{†}JS-J|\le \epsilon ,\beta =\underset{\tau }{\inf }{\sigma }_{\min }(I+\mathrm{i}K(\tau ))>0.$$

则存在常数 $C=C(\beta ,\sup |S|,\sup |S^{-1}|)$ 使

$$|K-K^{♯}|\le C\epsilon .$$

证要：用 Cayley 逆映射 $K=-\mathrm{i}(I+S{)}^{-1}(I-S)$ 的 Fréchet 微分并配合 $J$‑共轭与有界乘子不等式。

构造 6.2（极化同伦） 令

$$K_t=(1-t)K+t\frac{1}{2}(K+K^{♯}),S_t=(I-\mathrm{i}{K}_t)(I+\mathrm{i}{K}_t{)}^{-1},t\in [0,1].$$

由引理 6.1 与 Neumann 引理得

$${\sigma }_{\min }(I+\mathrm{i}{K}_t(\tau ))\ge \beta -\frac{t}{2}C\epsilon ,$$

故当 $\epsilon <2\beta /C$ 时，$(I+\mathrm{i}{K}_t)$ 在 $t\in [0,1]$ 全程可逆，$S_t$ 良定。在近 $J$‑幺正口径下，存在常数 $\alpha >0$（依赖于 $|S|$、$|S^{-1}|$、$\beta$）使

$${\epsilon }_0(\eta ,\beta ):=\min \left\{\frac{2\beta }{C},\alpha {\sin }^2\frac{\eta }{2}\right\}$$

成为可行上界：当 $\Vert S^{†}JS-J\Vert \le \epsilon <{\epsilon }_0(\eta ,\beta )$ 且 $\eta >0$ 时，同伦 $\{S_t\}$ 不与 $D$ 相交，且 Cayley 分母全程可逆。

定理 6.3（同伦稳健性） 若存在满足上式的同伦 $\{S_t\}$ 且过程中不与 $D$ 相交，则 ${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}$ 与幺正极限同值。

平方根渐近（工程指纹）：主导支化的 $2\times 2$ 有效子空间给出

$$\arg \det S(t)=\arg \det S(t_c)\pm \arctan ({\kappa }^{1/2}|t-t_c{|}^{1/2})+O(|t-t_c{|}^{3/2}),$$

群延迟呈对称双峰并合，峰距 $\Delta \omega =C\sqrt{|t-t_c|}+O(|t-t_c{|}^{3/2})$。高阶根（EP 阶数 $>2$）在模二上与平方根同类。

7 Floquet‑SSN：相位型带缘指标、截断与规范独立

定义 7.1（相位型指标）：侧带截断至 $|n|\le N$ 得有限维 $S_F^{(N)}(\omega )$，定义

$${\nu }_F^{(N)}=\exp (\frac{\mathrm{i}}{2}{\int }_{-\pi /T}^{\pi /T}{\partial }_{\omega }\arg \det S_F^{(N)}(\omega )\mathrm{d}\omega )\in \{\pm 1\}.$$

等价地，

$${\nu }_F^{(N)}=\exp (\frac{\mathrm{i}}{2}{\int }_{-\pi /T}^{\pi /T}\mathrm{Im}{\partial }_{\omega }\log \det S_F^{(N)}(\omega )\mathrm{d}\omega ).$$

定理 7.2（截断独立：范数/HS 版本） 若 $S_F^{(N)}\to S_F$ 于算子范数或 Hilbert–Schmidt 拓扑，且端点 $\omega =\pm \pi /T$ 无随 $N$ 迁移的支化，则存在 $N_{\ast }$ 使 $N\ge N_{\ast }$ 时 ${\nu }_F^{(N)}$ 稳定；定义 ${\nu }_F={\nu }_F^{(N_{\ast })}$。在 Hilbert–Schmidt 场景，用 Koplienko 谱位移与 ${\det }_2$ 的导数配方替换 $\det$ 的微分，结合附录 F 的模二一致性，得到相同的 ${\nu }_F$。仅有强收敛不足以保证 ${\det }_2$ 与二阶迹公式的良定，因此不纳入本定理的前提。

引理 7.3（规范独立性） 若 $S_F(\omega )\mapsto U_L(\omega )S_F(\omega )U_R(\omega )$，其中 $U_{L,R}$ 连续、$|\det U_{L,R}|=1$，并满足带缘粘合条件

$$[\arg \det U_L+\arg \det U_R{]}_{-\pi /T}^{\pi /T}\in 4\pi \mathbb{Z},$$

则

$${\int }_{-\pi /T}^{\pi /T}{\partial }_{\omega }\arg \det S_F(\omega )\mathrm{d}\omega$$

的模二值不变。

定理 7.4（带缘等价） 若端点处满足平方根局部模型且定理 7.2 成立，则

$${\nu }_F=(-1{)}^{I_2([-\pi /T,\pi /T],D_F)}.$$

失败模式 7.5（探测与容错阈值） 截断诱发端点伪支化时，监测

$$\underset{\omega \in \{\pm \pi /T\}}{\min }{\sigma }_{\min }(I-\mathcal{C}{S}_{ii}^{(N)}(\omega ))\ge {\delta }_F,$$

并要求 ${\nu }_F^{(N)}={\nu }_F^{(N+1)}={\nu }_F^{(N+2)}$ 连续三阶一致，方判定“稳定“。

8 原型与 SOP

8.1 单次穿越的两类等价路径： (i) 复参数小环：$\lambda$ 在复平面绕 Jost 零点一次； (ii) 实参横越 + 频域读出：实参沿横截 $D$ 前后，在频域选取单支并用锚点连续化。两者同伦等价。沿任一由复参数小环或“实参横越 + 回程闭合“得到的闭合回路，有

$$\oint \mathrm{d}\arg \det S=\pm 2\pi ,\exp (\frac{\mathrm{i}}{2}\oint \mathrm{d}\arg \det S)=-1,$$

与 §3 的半相位—谱流奇偶完全一致。

8.2 两端口“耦合器—微环—增益“原型（可仿真）： 耦合器

$$C(\kappa )=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{1-{\kappa }^2}& \mathrm{i}\kappa \\ \mathrm{i}\kappa & \sqrt{1-{\kappa }^2}\end{array}\right),\mathcal{C}(\omega ,t)=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi (\omega ,t)}.$$

等效散射（Schur‑闭合）

$$S^{\circlearrowleft }=S_{ee}+S_{ei}(I-\mathcal{C}{S}_{ii}{)}^{-1}\mathcal{C}{S}_{ie}.$$

在 $\mathcal{C}{S}_{ii}\to I$ 的临界邻域回落到 §8.1 的平方根模型，可直接重现 $\Delta \phi =\pi$ 与群延迟双峰并合。

8.3 SOP 与判据：端口去嵌→扫反馈跨越 $D$→以 $\Delta {\varphi }_{\mathrm{eff}}>\pi /2+2ϵ$ 与双峰并合作为通过条件；三重指纹不同步即否决因果链，回到列可控性流程做冗余增列或重选频窗。

9 读出学与 Wigner–Smith 统一口径

$${\partial }_{\omega }\log \det S=\mathrm{tr}\left(S^{-1}{\partial }_{\omega }S\right),{\partial }_{\omega }\arg \det S=\mathrm{Im}\mathrm{tr}\left(S^{-1}{\partial }_{\omega }S\right).$$

幺正情形设 $Q(\omega )=-\mathrm{i}{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$，则 ${\partial }_{\omega }\arg \det S=\mathrm{tr}Q(\omega )$。在 $J$‑幺正情形亦可写为 ${\partial }_{\omega }\arg \det S=\mathrm{Im}\mathrm{tr}(S^{♯}{\partial }_{\omega }S)$。

10 结论

本文以桥接引理严密化“半相位—谱位移—谱流—交数“的四重等价；以定量结构引理确保星乘互联的判别子横离并与 ${\mathbb{Z}}_2$ 组合律；以集中不等式保障二值化投影的可复核性；以Kreĭn 角与极化同伦刻画近 $J$‑幺正的稳健域与阈值；以相位型 Floquet 指标与截断/规范独立定理闭合带缘拓扑读出链路。配合最小原型与 SOP，给出“闭环自洽 $\Rightarrow$ 平方根临界 $\Rightarrow$ 双层黎曼面 $\Rightarrow {\mathbb{Z}}_2$ 半相位“的可编程实现与反事实检验。

参考文献（择要）

[1] R. Redheffer, “On a Certain Linear Fractional Transformation,” Pacific J. Math., 9 (1959) 871–893. [2] J. Gough, M. R. James, “The Series Product and Its Application to Quantum Feedforward and Feedback Networks,” IEEE TAC, 54 (2009) 2530–2544. [3] B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, 2nd ed., AMS (2005). [4] M. Sh. Birman, M. G. Kreĭn, “On the Theory of Wave and Scattering Operators,” Sov. Math. Dokl., 3 (1962) 740–744. [5] L. Koplienko, “Trace Formula for Perturbations of Class ${\mathfrak{S}}_2$,” Sb. Math., 122 (1983) 457–486. [6] E. P. Wigner, “Lower Limit for the Energy Derivative of the Scattering Phase Shift,” Phys. Rev., 98 (1955) 145–147；F. T. Smith, “Lifetime Matrix in Collision Theory,” Phys. Rev., 118 (1960) 349–356. [7] T. Ya. Azizov, I. S. Iokhvidov, Linear Operators in Spaces with an Indefinite Metric, Wiley (1989). [8] D. Z. Arov, H. Dym, $J$‑Contractive Matrix‑Valued Functions and Related Topics, CUP (2008). [9] I. C. Fulga, F. Hassler, A. R. Akhmerov, “Scattering Formula for the Topological Quantum Number,” Phys. Rev. B, 85 (2012) 165409. [10] M. S. Rudner, N. H. Lindner, E. Berg, M. Levin, “Anomalous Edge States…,” Phys. Rev. X, 3 (2013) 031005.

附录 A 记号与正则化

记号：$J$（Kreĭn 度量），$S^{♯}=J^{-1}{S}^{†}J$；${\mathfrak{S}}_1/{\mathfrak{S}}_2$（迹类/HS）；${\det }_{\star }$（有限维取 $\det$，HS 取 ${\det }_2$）；$D,D_F$（判别子/带缘判别子）；$\Lambda$、${\Pi }_{\tau }$、$\eta$、$Q=-\mathrm{i}{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$、${\nu }_{\sqrt{\det S^{\circlearrowleft }}}$、${\nu }_F$。 口径：主文采用 ${\mathfrak{S}}_1$。HS 情形以 ${\det }_2$ 稳定化；四重等价与 ${\nu }_F$ 的模二值与 $\det /{\det }_2$ 的选择无关（见附录 F）。

附录 B 覆盖—提升与 ${\mathbb{Z}}_2$ 约化

平方覆盖 $p:z\mapsto z^2$ 在上同调中对应乘二：存在 $s:X^{\circ }\to U(1)$ 使 $s^2=\det S^{\circlearrowleft }$ 当且仅当 $[\det S^{\circlearrowleft }]\in 2H^1(X^{\circ };\mathbb{Z})$。其 ${\mathbb{Z}}_2$ 约化即本文整体半相位不变量。

附录 C 平方根 Puiseux 渐近与误差

对 $2\times 2$ 有效子块 $M(t)$ 与 $\Delta (t)\approx {\Delta }^{\prime }(t_c)(t-t_c)$，Cayley 映到 $S(t)=(I-\mathrm{i}M)(I+\mathrm{i}M{)}^{-1}$ 后主导项为

$$\pm \arctan ({\kappa }^{1/2}|t-t_c{|}^{1/2})+O(|t-t_c{|}^{3/2}),$$

群延迟呈对称双峰并合，峰距 $\Delta \omega =C\sqrt{|t-t_c|}+O(|t-t_c{|}^{3/2})$。代入 §5 的 $\Delta {\varphi }_{\mathrm{eff}}$ 即得样本复杂度估计。

附录 D 目标—到—器件执行清单与 $\ell$

开环标定与去嵌→选 $W$ 与步长→计算 ${\mathcal{S}}_{{\theta }_b}(\omega )={\partial }_{{\theta }_b}\arg \det S(\omega )$ 并积成 $M$→以 $\pi /2\pm \tau$ 得 $\Pi (M)$ 并检秩→解 $\Pi (M)\mathbf{x}=\ell$ 选列→逐列触发并以 $\Delta \phi =\pi$、双峰并合作停止→反事实复核与归档。 $\ell =(1-{\mathbf{\nu }}^{\star })/2\in \{0,1{\}}^m$（${\nu }^{\star }=+1\mapsto 0,{\nu }^{\star }=-1\mapsto 1$）。

附录 E $J$‑幺正下的 Kreĭn 角与同伦阈值

设 $S^{†}JS=J$，记 $X=S^{-1}\dot{S}$。由微分得 $X^{♯}=-X$（$J$‑斜厄米）。对 $({\lambda }_j={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_j},v_j)$：

$${\dot{\theta }}_j=\frac{\mathrm{Im}⟨v_j,JX{v}_j⟩}{v_j^{†}J{v}_j},{\varkappa }_j=\frac{\mathrm{Im}⟨v_j,JX{v}_j⟩}{v_j^{†}J{v}_j}.$$

由上两式逐点可得 ${\varkappa }_j={\dot{\theta }}_j$，因而

$$|{\dot{\theta }}_1-{\dot{\theta }}_2|=|{\varkappa }_1-{\varkappa }_2|.$$

以引理 6.1 得 $\Vert K-K^{♯}\Vert \le C\epsilon$。取 $K_t=(1-t)K+t(K+K^{♯})/2$，$S_t=(I-\mathrm{i}{K}_t)(I+\mathrm{i}{K}_t{)}^{-1}$。由 Neumann 引理得 ${\sigma }_{\min }(I+\mathrm{i}{K}_t)\ge \beta -\frac{t}{2}C\epsilon$，故当 $\epsilon <2\beta /C$ 时 $S_t$ 良定。若 $\Vert S^{†}JS-J\Vert \le \epsilon$ 且 $\eta >0$，存在常数 $\alpha >0$ 使 ${\epsilon }_0(\eta ,\beta )=\min \{2\beta /C,\alpha {\sin }^2(\eta /2)\}$ 为可行上界，统一保障 Cayley 分母可逆性与判别子不穿越。

附录 F 正则化独立性（统一命题）

命题 F.1（$\det /{\det }_2$ 的模二一致性） 设沿闭路 $\gamma$ 几乎处处 $S^{\circlearrowleft }$ 幺正。若 $S^{\circlearrowleft }-I\in {\mathfrak{S}}_1$ 则

$$\exp (\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2}\partial \log \det S^{\circlearrowleft })=(-1{)}^{{\mathrm{Sf}}_{-1}}=(-1{)}^{I_2}.$$

若仅 $S^{\circlearrowleft }-I\in {\mathfrak{S}}_2$，取 ${\mathfrak{S}}_1$ 近似族 $S_{ϵ}^{\circlearrowleft }\to S^{\circlearrowleft }$ 于 HS 拓扑，并以 ${\det }_2$ 定义半相位，则

$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\exp (\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2}\partial \log \det S_{ϵ}^{\circlearrowleft })=\exp (\mathrm{i}{\oint }_{\gamma }\frac{1}{2}\partial \log \underset{2}{\det }{S}^{\circlearrowleft }),$$

且两边的模二值与 ${\mathrm{Sf}}_{-1}$、$I_2$ 一致。

附录 G Floquet 截断、收敛与失败模式

将 $S_F$ 侧带截断至 $|m|\le M$ 得 $S_F^{(M)}$。若 ${\sum }_{|m|>M}\Vert K_m\Vert \to 0$（算子范数或 HS 收敛；该条件蕴含算子范数收敛），且端点不出现随 $M$ 迁移的支化，则 ${\sup }_{\omega }\Vert S_F^{(M+1)}-S_F^{(M)}\Vert \to 0$，存在 $M_0$ 使 $M\ge M_0$ 时 ${\nu }_F^{(M)}$ 稳定。检测量：端点奇异值阈值 ${\delta }_F$ 与“台阶稳定“准则（${\nu }_F^{(M)}={\nu }_F^{(M+1)}={\nu }_F^{(M+2)}$）。出现异常漂移时增大 $M$ 或缩小耦合带宽以规避伪支化。