信息熵—几何统一与宇宙学项的窗化生成

Version: 1.5

从相对熵 Hessian 到有效作用、Poisson–Euler–Maclaurin 有限阶纪律与 Friedmann 方程的几何熵分解

Author: Auric (S-series / EBOC) MSC: 53Bxx; 83C05; 58J35; 46E22; 47B35; 42A38; 94A17; 81U40 Keywords: 信息几何；Eguchi 正则散度；Fisher–Rao 度量；Amari α–联络；Bregman/Hessian；谱移函数；Birman–Krein；Wigner–Smith 群延迟；Toeplitz/Berezin 压缩；Schatten–迹类准则；Poisson 求和；Euler–Maclaurin 余项常数；波前集与 Toeplitz–FIO；热核/Seeley–DeWitt；谱作用；运行真空；FRW 几何熵分解

Abstract

在统一的“算子—测度—函数“框架中，建立把相对熵的多阶响应、散射谱的母尺刻度、窗化读数的 Toeplitz/Berezin 压缩与Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin（NPE）有限阶纪律有机拼接到几何有效作用与宇宙学项的闭合推导。首先，在 Eguchi 正则散度与 Amari α–几何下证明 Fisher–Rao 度量与对偶联络的构造；其次，在迹类/相对迹类扰动与能量可导的散射理论假设下给出“母尺“三位一体

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=-{\xi }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ),Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$$

的定理化陈述，并指出阈值/长程势处的分布意义修正。再次，选定 Paley–Wiener / de Branges / Hardy 环境，采用对称平滑分配（$\hat{g}=\sqrt{\hat{h}}$，$h=g\ast g$）将 ${\mathsf{K}}_{w,h}=P{M}_{w^{1/2}}{C}_g\cdot C_g{M}_{w^{1/2}}P$ 置入 Schatten–迹类并给出显式上界。随后统一 Fourier 约定并区分Poisson 零别项判据 ($\Delta <2\pi /B$) 与香农无混叠重构 ($\Delta <\pi /B$) 的倍常数差异；在“近带限“的双层尾部控制下给出 EM 余项的 $\zeta (2m)$ 显式常数。利用 Toeplitz–FIO 的对角型波前关系证明窗化—压缩—卷积的奇性不增（在去零截切 $T^{\ast }X\setminus 0$ 上成立，带限/近带限窗化下为全局包含）。在线性化重力的最小可算模型中，给出四阶响应到曲率二次不变量的显式系数，由此得到体积项的尺度积分律

$${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )-{\Lambda }_{\mathrm{eff}}({\mu }_0)={\int }_{{\mu }_0}^{\mu }\Xi (\omega )d\ln \omega ,[\Xi ]=L^{-2},$$

并给出 $\Xi$ 的正性/单调的充分条件与共振—阈值处的局部非单调边界。作用量统一为

$$S_{\mathrm{eff}}[g]=\int d^{4}x\sqrt{-g}[\frac{R-2{\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )}{16\pi G}+\alpha R^2+\beta R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+\cdots ],$$

其中 $\alpha ,\beta$ 无量纲。以三维 $S^3$ 的热核—计数函数—曲率对接示例闭合 FRW 曲率项的谱—几何解释，并以一维 $\delta$ 势与 AB 散射展示“单峰饱和/峰族准对数累积“的窗化机制。附录提供所有定理的完整证明、常数估计与量纲表，以及可复现实验/数值脚本要点。

Keywords

信息几何；Hessian 与 α–联络；谱移与群延迟；Toeplitz/Berezin 与 Schatten–迹类；Poisson 求和与 EM 常数；波前集；热核与谱作用；宇宙学常数；FRW

Introduction & Historical Context

信息几何以散度生成的 Hessian 度量与 α–联络刻画统计流形；相对熵的二阶响应给出 Fisher–Rao 度量，三阶响应对应 Amari–Chentsov 张量与 $\alpha$–联络。Bregman 散度在指数族上诱导对偶平坦（Hessian）结构与 Legendre 对偶坐标。谱—散射理论中，Lifshitz–Krein 迹公式与 Birman–Krein 等式将谱移函数 $\xi$ 与散射行列式关联，Friedel–Lloyd 与 Wigner–Smith 则把相位导数、群延迟与态密度差分统一在同一刻度。热核/Seeley–DeWitt 展开与谱作用原则为“几何不变量—窗化谱“的桥接提供标准工具。本文把上述元素在定理级假设下闭合为一条从“相对熵—母尺—窗化—NPE—热核—FRW“的逻辑链。

Model & Assumptions

1. Fourier 约定、变量与窗核总声明

固定

$$\hat{f}(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-i\omega x}f(x)dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{e}^{i\omega x}\hat{f}(\omega )d\omega .$$

全文统一以频率 $\omega$ 记能量变量（读者可视作 $E\equiv \omega$）。 窗 $w_{\mu }$ 取平滑化对数窗，满足 $w_{\mu }\in C_0^{\infty }\cap L^{\infty }$ 且 $\mathrm{supp}{w}_{\mu }\subset [{\mu }_0,\mu ]$、$\mu >{\mu }_0>0$；具体可取

$$w_{\mu }(\omega )=\frac{\psi (\omega )}{\omega },\psi \in C_0^{\infty },\psi \equiv 1\text{于}[{\mu }_0,\mu {]}^{\circ },$$

并在 $\omega ={\mu }_0,\mu$ 处平滑截断（若需覆盖 $\omega \approx 0$ 的区间，则先取 ${\mu }_0>0$ 后极限）。 总声明：读数核 $h$ 默认为Bochner 正定（$\hat{h}\ge 0$、$\hat{h}\in L^1$），从而存在 $\hat{g}=\sqrt{\hat{h}}\in L^2$ 使 $h=g\ast \tilde{g}$。

2. 信息散度与对偶平坦

正则散度 $D(\theta \Vert {\theta }_0)$ 的二/三/四阶响应

$$g_{ij}={\partial }_i{\partial }_{j}D{|}_{{\theta }_0},T_{ijk}={\partial }_i{\partial }_j{\partial }_{k}D{|}_{{\theta }_0},\boxed{{\mathcal{K}}_{ijkl}={\partial }_i{\partial }_j{\partial }_k{\partial }_{l}D{|}_{{\theta }_0}}.$$

记 $\boxed{\mathcal{K}:={\mathcal{K}}^{ij}{}_{ij}}$ 为四阶响应张量的完全收缩（与 ${\mathsf{K}}_{w,h}$ 无关）。

诱导 Fisher–Rao 与 $\alpha$–联络：${\Gamma }^{(\alpha )}{}_{ijk}={\Gamma }^{(0)}{}_{ijk}+\frac{\alpha }{2}{T}_{ijk}$。Bregman 散度 $D_{\psi }$ 使 $g={\nabla }^2\psi$，${\nabla }^{(\pm 1)}$ 平直。

3. 母尺、散射—谱移与阈值条款

自伴对 $(H_0,H)$ 满足迹类或相对迹类扰动，波算子完备；$S(\omega )$ 幺正且弱可导。谱移 $\xi (\omega )$ 满足 $\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$。

定义（总散射相位） 令

$$\phi (\omega ):=\frac{1}{2i}\mathrm{Log}\det S(\omega ),$$

取与阈值相位重整一致且在 $\omega \to +\infty$ 连续的支。则

$${\phi }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{2i}\mathrm{tr}\left(S^{-1}{\partial }_{\omega }S\right)=\frac{1}{2}\mathrm{tr}Q(\omega ),Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S,$$

因而

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=-{\xi }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega ),$$

离散阈值集 $\Sigma$ 上以分布意义成立。

4. Toeplitz/Berezin 压缩与读数

取 Paley–Wiener / de Branges / Hardy 空间 $\mathcal{H}$，正交投影 $P$（范数 $|P|=1$）。设 $w\in C_0^{\infty }\cap L^{\infty }$，$h=g\ast \tilde{g}$ 如上。

定义（相对谱投影差） 记 $\Pi$ 为自伴对 $(H_0,H)$ 的相对谱投影差在能量表象下的分布核（等价于相对谱测度），使得

$$\mathrm{tr}({\mathsf{K}}_{w,h}\Pi )=\int w(\omega )[h\ast !{\rho }_{\mathrm{rel}}](\omega )d\omega ,$$

其中 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )=\frac{{\phi }^{\prime }(\omega )}{\pi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )$，$Q=-i{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$。

定义

$${\mathsf{K}}_{w,h}:=P{M}_{w^{1/2}}{C}_g\cdot C_{\tilde{g}}{M}_{w^{1/2}}P,\mathrm{Obs}(w,h)=\mathrm{tr}({\mathsf{K}}_{w,h}\Pi )=\int w(\omega )[h\ast !{\rho }_{\mathrm{rel}}](\omega )d\omega .$$

5. NPE 纪律与“近带限“

严格带限：$\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-B,B]$。 近带限：${\int }_{|\omega |>B}|\hat{f}|d\omega \le \epsilon$ 且 ${\int }_{|\omega |>B}|\hat{f}{|}^{2}d\omega \le {\epsilon }^2$。 判据区分（详见定理 3）：Poisson 零别项 $\Delta <2\pi /B$；香农无混叠重构 $\Delta <\pi /B$。

6. 有效作用与量纲

取 $c=\hslash =1$。作用写作

$$S_{\mathrm{eff}}=\int d^{4}x\sqrt{-g}[\frac{R-2{\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )}{16\pi G}+\alpha R^2+\beta R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+\cdots ],$$

四维中 $\alpha ,\beta$ 无量纲；$[{\Lambda }_{\mathrm{eff}}]=L^{-2}$。量纲表见附录 J。

Main Results (Theorems and alignments)

定理 1（相对熵 Hessian 与 α–联络）

相对熵的二阶响应给出 Fisher–Rao 度量，三阶响应经 ${\Gamma }^{(\alpha )}{}_{ijk}={\Gamma }^{(0)}{}_{ijk}+\frac{\alpha }{2}{T}_{ijk}$ 生成 α–联络；Bregman 散度诱导对偶平坦（Hessian）结构。

定理 2（母尺三位一体：充分条件与阈值修正）

在 §3 假设下，$\det S(\omega )=e^{-2\pi i\xi (\omega )}$ 且 $\boxed{{\xi }^{\prime }(\omega )=-\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}Q(\omega )}$ 几乎处处成立；$\omega \in \Sigma$ 或长程势时以分布意义并带重整相位成立。

定理 3（Poisson 零别项判据与香农重构判据）

在本 Fourier 约定下，若 $\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-B,B]$，则

$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}f(n\Delta )=\frac{1}{\Delta }\sum _{k\in \mathbb{Z}}\hat{f}\left(\frac{2\pi k}{\Delta }\right)$$

的 $k\ne 0$ 别项严格为零的充要条件为 $\Delta <2\pi /B$；香农无混叠重构需要 $\Delta <\pi /B$。

定理 4（NPE：Euler–Maclaurin 显式常数与近带限尾部）

若 $f\in C^{2m}[a,b]$ 且为 $(B,\epsilon )$-近带限，

$$|R_m|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(b-a)\underset{[a,b]}{\sup }|f^{(2m)}|+O(\epsilon ),\sup |f^{(2m)}|\le C{B}^{2m}|f{|}_{\infty }.$$

定理 5（Toeplitz–FIO 的伪局部性与奇性不增）

令 $w\in C^{\infty }$，$h\in \mathcal{S}$，$P$ 为对角型波前关系的 Toeplitz–FIO。对任意分布 $u$ 与任意远离零截切的开锥域 $U⋐T^{\ast }X\setminus 0$，有

$$\mathrm{WF}\left(P{M}_w{C}_{h}Pu\right)\cap U\subseteq \mathrm{WF}(u)\cap U.$$

注：在能量壳窗化（带限/近带限）排除了 $|\xi |\approx 0$ 的低频邻域时，得到全局包含

$$\mathrm{WF}(P{M}_w{C}_{h}Pu)\subseteq \mathrm{WF}(u),$$

且当 $\mathrm{WF}(u)\ne \varnothing$ 时，上述包含为严格包含。

定理 6（四阶响应 $\to$ 曲率二次项：最小可算模型与系数）

在线性化 $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$、谐和规范下，按标量/横 traceless（TT）分解并定义窗化谱权

$${\mathcal{N}}_s=\int d^{4}k{k}^{4}W(k)|{\mathcal{A}}_s(k)\sigma (k){|}^2,{\mathcal{N}}_t=\int d^{4}k{k}^{4}W(k)|{\mathcal{A}}_t(k)h^{\mathrm{TT}}(k){|}^2,$$

其中 $W$ 由 ${\rho }_{\mathrm{rel}},w,h$ 决定。则

$$\boxed{\int \sqrt{-g}\mathcal{K}=c_1\int \sqrt{-g}{R}^2+c_2\int \sqrt{-g}{R}_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+\text{(总导数)}},$$

且

$$\boxed{c_1=\frac{{\mathcal{N}}_s}{36},c_2=\frac{{\mathcal{N}}_s}{12}+\frac{{\mathcal{N}}_t}{4}}.$$

归一声明：${\mathcal{N}}_{s,t}$ 的定义已吸收本节统一的 Fourier 约定中的所有 $(2\pi )$ 因子与测度常数；不同约定下需相应重标。

定理 7（体积项的尺度积分律与 $\Xi$ 的正性/单调）

信息自由能窗化后

$${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )-{\Lambda }_{\mathrm{eff}}({\mu }_0)={\int }_{{\mu }_0}^{\mu }\Xi (\omega )d\ln \omega ,\Xi (\omega )=⟨\mathcal{K},{\rho }_{\mathrm{rel}}{⟩}_{w_{\omega },h},[\Xi ]=L^{-2}.$$

若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\ge 0$ 且诱导二点核与 $w_{\omega },h$ 为非负/Bochner 正定，则 $\Xi (\omega )\ge 0$ 并随 $\ln \mu$ 单调不减；若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 符号可变，则仅能得到窗口平均意义下的准单调性，或将 $\Xi$ 改为二次型以获得严格非负。阈值/共振簇可致局部非单调，但当峰族在 $\ln \omega$ 上近匀密且权重缓变时，$\Xi$ 在宽区间近常，出现“准对数“累积。

定理 8（FRW 曲率项的谱—几何对接）

三维常曲率流形的热核渐近

$$\mathrm{Tr}{e}^{-t\Delta }\sim (4\pi t{)}^{-3/2}[\mathrm{Vol}+\frac{t}{6}\int R+O(t^2)],t\downarrow 0,$$

对 $S^3(L)$ 有 $R=6/L^2$、$\mathrm{Vol}=2{\pi }^2{L}^3$。窗化计数函数的次主项 $\propto \int R\propto \kappa \mathrm{Vol}$ 与 FRW 的 $-\kappa /a^2$ 项一致；窗形仅改变系数，不破坏同质各向同性。

Proofs

定理 1（相对熵 Hessian 与 α–联络）

由 Eguchi 的 contrast 泛函与 Amari–Chentsov 张量定义推出。指数族下以 Bregman 势实现对偶平坦。

定理 2（母尺三位一体：充分条件与阈值修正）

证明分三步：

1. 谱移函数的定义：由 Lifshitz–Krein 迹公式定义 $\xi$。
2. 散射行列式关系：Birman–Krein 等式给出 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$。
3. 导数关系：stationary scattering 的可导性导出 ${\xi }^{\prime }=-(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q$。

阈值/长程势情形以分布意义与相位重整修正。

定理 3（Poisson 零别项判据与香农重构判据）

由 Poisson 公式与本 Fourier 约定，$\hat{f}(2\pi k/\Delta )=0$（$k\ne 0$）的充要条件为 $\Delta <2\pi /B$。

香农无混叠重构需要更严格的条件：$\Delta <\pi /B$。

定理 4（NPE：Euler–Maclaurin 显式常数与近带限尾部）

采用 DLMF 的 EM 余项常数与 Bernstein 型导数界。近带限尾部进入 $O(\epsilon )$。

定理 5（Toeplitz–FIO 的伪局部性与奇性不增）

Hörmander 伪局部性给出 $\mathrm{WF}(M_{w}u)\subseteq \mathrm{WF}(u)$，而 $C_h$ 为平滑算子。Toeplitz–FIO 的对角型波前关系蕴含：对任意 $U⋐T^{\ast }X\setminus 0$，

$$\mathrm{WF}(P{M}_w{C}_{h}Pu)\cap U\subseteq \mathrm{WF}(u)\cap U.$$

在带限/近带限窗化下可取 $U$ 覆盖整个 $T^{\ast }X\setminus 0$，于是 $\mathrm{WF}(P{M}_w{C}_{h}Pu)\subseteq \mathrm{WF}(u)$。

定理 6（四阶响应 $\to$ 曲率二次项：最小可算模型与系数）

由线性化分解得 $\boxed{{\mathcal{K}}_{ijkl}}$ 的贡献；其完全收缩 $\boxed{\mathcal{K}}$ 与 $R^2,R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }$ 的匹配系数为 $c_1={\mathcal{N}}_s/36,c_2={\mathcal{N}}_s/12+{\mathcal{N}}_t/4$。

标量模：线性化曲率 $R^{(1)}=-6\square \sigma$，从而 $R^2=36k^4{\sigma }^2$，$R_{\mu \nu }^{(1)}{R}^{\mu \nu (1)}=12k^4{\sigma }^2$。

TT 模：$R^{(1)}=0$，$R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }=\frac{1}{4}{k}^4(h^{\mathrm{TT}}{)}^2$。

与窗化四阶核权重匹配得到系数 $c_{1,2}$。

定理 7（体积项的尺度积分律与 $\Xi$ 的正性/单调）

低频簇（Poisson 的 $k=0$）主导体积项。当 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\ge 0$ 且核与窗为非负/Bochner 正定时，$\Xi \ge 0$；若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 符号可变，则需窗口平均或改为二次型。

峰族在 $\ln \omega$ 上近匀密时的 Tauberian 控制保证“准对数“区间。

定理 8（FRW 曲率项的谱—几何对接）

用 $S^3$ 谱 ${\lambda }_n=n(n+2)/L^2$、重数 $(n+1{)}^2$ 与 Tauberian 定理复元热核次主项并对接 FRW 曲率项。

Model Apply

1. 一维 $\delta$ 势：单峰饱和与准对数累积

取 $V(x)=\lambda \delta (x)$。在本文单位约定下以能量变量 $E\equiv \omega$ 表述，相移写作

$$\delta (E)=\delta (k(E))=-\arctan \frac{\lambda }{2k(E)},k(E)=\sqrt{E}(\text{可取 }2m=1),$$

因而相对态密度

$$\boxed{{\rho }_{\mathrm{rel}}(E)=\frac{1}{\pi }\frac{d\delta }{dE}=\frac{1}{\pi }\frac{d\delta }{dk}\frac{dk}{dE}}\left(\text{下文将 E 与 ω 等同}\right).$$

随后采用对数窗与洛伦兹峰的解析积分来展示“单峰饱和/峰族准对数累积“，与上式兼容。对平滑对数窗

$$I(\mu ;{\mu }_0)={\int }_{{\mu }_0}^{\mu }\frac{\Gamma }{(\omega -{\omega }_0{)}^2+{\Gamma }^2}\frac{d\omega }{\omega }$$

有闭式

$$\begin{array}{rl}I(\mu ;{\mu }_0)& =\frac{\Gamma }{{\omega }_0^2+{\Gamma }^2}\ln \frac{\mu }{{\mu }_0}-\frac{\Gamma }{2({\omega }_0^2+{\Gamma }^2)}\ln \frac{(\mu -{\omega }_0{)}^2+{\Gamma }^2}{({\mu }_0-{\omega }_0{)}^2+{\Gamma }^2}\\ & +\frac{{\omega }_0}{{\omega }_0^2+{\Gamma }^2}[\arctan \frac{\mu -{\omega }_0}{\Gamma }-\arctan \frac{{\mu }_0-{\omega }_0}{\Gamma }],\end{array}$$

两类 $\ln \mu$ 精确抵消，单峰饱和；峰族在 $\ln \omega$ 上近匀密且权重缓变时，出现“准对数“累积。

可复现实验要点（示例参数）：$\lambda =1$；${\mu }_0=10^{-3}$、$\mu$ 扫描到 $10^3$；窗宽平滑参数 $\sigma =0.05$；核 $h(\omega )=e^{-{\omega }^2/2{\sigma }_h^2}$ 取 ${\sigma }_h=0.1$。

2. AB 散射：拓扑—谱密度差分的窗化

理想 AB 模型相移能量无关，$\mathrm{tr}Q=0$；有限半径/屏蔽模型引入能量依赖，窗化差分形成对曲率/拓扑项的等效贡献，非解析点对应 $\Xi$ 的台阶/尖点。

Engineering Proposals

1. 群延迟计量链：测量多端口 $S(\omega )$ 并差分相位得 $Q(\omega )$，构造 $\Xi (\omega )$ 与 ${\Lambda }_{\mathrm{eff}}(\mu )$ 曲线，NPE 常数给出误差带。
2. Toeplitz/Berezin 数值谱学：实现 ${\mathsf{K}}_{w,h}$ 并监测 $|{\mathsf{K}}_{w,h}{|}_1$；半经典区以符号积分近似迹并用 EM 常数评估余项。
3. FRW 曲率窗化校核：在 $S^3/H^3/$三环面上对比热核次主项与窗化计数函数，验证 $-\kappa /a^2$ 的谱—几何对接。

Discussion

母尺三位一体在迹类/相对迹类与可导假设下成立；长程势与阈值以分布意义修正。Toeplitz/Berezin 的对称平滑分配给出可检的迹类上界；NPE 纪律以 $\zeta (2m)$ 常数与频域尾部控制形成有限阶误差预算；窗化—压缩—卷积不增奇性。四阶响应到 $R^2,R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }$ 的系数在最小模型中可复核；$\Xi$ 的正性—单调条件明确，峰族统计支撑“准对数“区间。FRW 曲率项的窗化解释经 $S^3$ 示例闭合。开放体系或非幺正 $S$ 的扩展需要耗散散射框架，此时 $\mathrm{tr}Q$ 不保正性。

Conclusion

完成从信息散度—母尺—窗化—NPE—热核—FRW的定理化闭合： （i）母尺三位一体在定理级假设下成立； （ii）Toeplitz/Berezin 压缩以对称平滑分配进入迹类并具显式上界（$|P|=1$）； （iii）Poisson 零别项与香农重构判据分离且常数一致； （iv）EM 余项具 $\zeta (2m)$ 常数，近带限尾部可控； （v）窗化—压缩—卷积不增奇性（能量壳窗化下严格不增）； （vi）四阶响应到曲率二次项的系数显式可复核； （vii）体积项 obeys 尺度积分律，$\Xi$ 的正性与“准对数“机制清晰； （viii）FRW 曲率项的谱—几何对接完成。以上结果为“信息几何 × 谱—散射 × 宇宙学“的统一方案提供可验证的技术基础。

Acknowledgements, Code Availability

未使用专有代码；附录附有可复现实验/数值脚本要点与参数表。

References

Amari, S.-i.; Nagaoka, H. Methods of Information Geometry. AMS–OUP, 2000（Chs. 2–4：Fisher–Rao 与 α–联络；Ch. 8：对偶平坦）. Eguchi, S. “A differential geometric approach to statistical inference on the basis of contrast functionals.” Hiroshima Math. J. 15 (1985) 341–391. Birman, M. S.; Krein, M. G. “On the theory of wave and scattering operators.” 1962（见 Yafaev, Chs. 6–8）. Yafaev, D. R. Mathematical Scattering Theory. AMS, 1992/2005（Ch. 8：散射矩阵与谱移；Ch. 10：阈值）. Simon, B. Trace Ideals and Their Applications. 2nd ed., AMS, 2005（Ch. 2：Schatten 理想；HS×HS $\subset$ S1）. Boutet de Monvel, L.; Guillemin, V. The Spectral Theory of Toeplitz Operators. Princeton, 1981（Chs. 1–3：Toeplitz–FIO 与波前关系）. Hörmander, L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. 2nd ed., Springer, 1990（§8：伪局部性；波前集基础）. NIST DLMF, §24（Euler–Maclaurin，特别是 §24.7 余项常数）. Vassilevich, D. V. “Heat kernel expansion: user’s manual.” Phys. Rep. 388 (2003) 279–360（Seeley–DeWitt 系数）. Chamseddine, A.; Connes, A. “The spectral action principle.” Commun. Math. Phys. 186 (1997) 731–750. Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. Academic Press, 1984（Ch. III：Weyl 律与热核）。 Texier, C. “Wigner time delay and related concepts.” Phys. Rep. 2016（讲义版 2015 可参）。 Hagen, C. R. “Aharonov–Bohm scattering of particles with spin.” Phys. Rev. D 41 (1990).

Proofs（Appendix）

附录 A：Fourier 约定与变量统一

给出本文固定的 Fourier 对与所有 $(2\pi )$ 因子的吸收规则，声明 $\omega \equiv E$ 的等价使用，列出变换下的量纲一致性。

附录 B：母尺等式的 KFL 链闭合

由 Lifshitz–Krein 迹公式定义 $\xi$；Birman–Krein 等式给 $\det S=e^{-2\pi i\xi }$；stationary scattering 的可导性推出 ${\xi }^{\prime }=-(2\pi {)}^{-1}\mathrm{tr}Q$；阈值/长程势的分布意义修正。

附录 C：Toeplitz/Berezin—Schatten 迹类：对称平滑分配

取 $\hat{g}=\sqrt{\hat{h}}$、$h=g\ast \tilde{g}$，写

$${\mathsf{K}}_{w,h}=(P{M}_{w^{1/2}}{C}_g)(C_{\tilde{g}}{M}_{w^{1/2}}P),$$

两因子为 Hilbert–Schmidt，乘法得 ${\mathfrak{S}}_1$。上界

$$|{\mathsf{K}}_{w,h}{|}_1\le |P{|}^2|w{|}_1\frac{|\hat{h}{|}_1}{2\pi },$$

在三类空间中 $|P|=1$。

附录 D：Poisson 零别项与香农重构（倍常数差异）

在本 Fourier 约定下证明：$\Delta <2\pi /B\Rightarrow$ Poisson 零别项；$\Delta <\pi /B\Rightarrow$ 香农重构；给出频域示意与别项消失的充要性证明。

附录 E：EM 余项常数与近带限尾部

采用 DLMF 的余项表达与 Bernoulli 数常数，结合 Bernstein 导数界给出 $|R_m|\le \frac{2\zeta (2m)}{(2\pi {)}^{2m}}(b-a)\sup |f^{(2m)}|+O(\epsilon )$。

附录 F：波前集不增与去零截切

Hörmander 伪局部性给出 $\mathrm{WF}(M_{w}u)\subseteq \mathrm{WF}(u)$，而 $C_h$ 为平滑算子。Toeplitz–FIO 的对角型波前关系蕴含：对任意 $U⋐T^{\ast }X\setminus 0$，

$$\mathrm{WF}(P{M}_w{C}_{h}Pu)\cap U\subseteq \mathrm{WF}(u)\cap U.$$

在带限/近带限窗化下可取 $U$ 覆盖整个 $T^{\ast }X\setminus 0$，于是 $\mathrm{WF}(P{M}_w{C}_{h}Pu)\subseteq \mathrm{WF}(u)$。

附录 G：四阶响应到 $R^2,R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }$ 的系数推导

由线性化分解得 $\boxed{{\mathcal{K}}_{ijkl}}$ 的贡献；其完全收缩 $\boxed{\mathcal{K}}$ 与 $R^2,R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }$ 的匹配系数为 $c_1={\mathcal{N}}_s/36,c_2={\mathcal{N}}_s/12+{\mathcal{N}}_t/4$。

标量：$R^{(1)}=-6\square \sigma \Rightarrow R^2=36k^4{\sigma }^2$、$R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }=12k^4{\sigma }^2$。 TT：$R^{(1)}=0$、$R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }=\frac{1}{4}{k}^4(h^{\mathrm{TT}}{)}^2$。 与窗化四阶核权重匹配得 $c_1={\mathcal{N}}_s/36,c_2={\mathcal{N}}_s/12+{\mathcal{N}}_t/4$。

附录 H：$\Xi (\omega )$ 的正性与反例边界

当 ${\rho }_{\mathrm{rel}}(\omega )\ge 0$ 且诱导二点核与 $w,h$ 为非负/Bochner 正定时，$\Xi \ge 0$；若 ${\rho }_{\mathrm{rel}}$ 符号可变，则 $\Xi$ 可能为负，此时需窗口平均或改为二次型以获得非负性。阈值/共振簇可导致局部负；对数尺度上的窗口平均 $\overline{\Xi }$ 的变差界提供“准对数“区间的可测检判据。

附录 I：对数窗×洛伦兹峰的恒等式与饱和

完整推导

$${\int }_{{\mu }_0}^{\mu }\frac{\Gamma }{(\omega -{\omega }_0{)}^2+{\Gamma }^2}\frac{d\omega }{\omega }$$

的分解式，证明两类 $\ln \mu$ 抵消与单峰饱和；峰族在 $\ln \omega$ 上近匀密时的 Tauberian 控制。

附录 J：量纲表与可复现实验/数值脚本要点

量纲表： $[Q]=E^{-1}$，$[{\rho }_{\mathrm{rel}}]=E^{-1}$，$[w_{\mu }]=E^{-1}$，$[h]=1$，$[\Xi ]=L^{-2}$，$[{\Lambda }_{\mathrm{eff}}]=L^{-2}$，$[R]=L^{-2}$，$[\alpha ]=[\beta ]=1$，$[d\ln \omega ]=1$。 脚本要点：核宽 ${\sigma }_h$、窗平滑 $\sigma$、带宽 $B$、采样 $\Delta$、尾部 $\epsilon$ 的推荐区间与一组“$\delta$ 势/AB 有限半径“参数表，便于复现实验与误差预算。