计算宇宙中的时间–信息–复杂性联合变分原理

控制–散射流形与任务信息流形上的计算世界线

摘要

在此前关于“计算宇宙“的系列工作中,我们将宇宙抽象为离散对象 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$,在其上构造了离散复杂性几何(基于配置图的复杂性距离、体积增长与离散 Ricci 曲率)、离散信息几何(基于任务感知相对熵与 Fisher 结构),并在统一时间刻度的散射母尺下给出了复杂性几何的连续极限:一个带 Riemann 度量 $G$ 的控制流形 $\mathcal{M}$。然而,这些几何结构仍分别刻画“时间/资源代价“和“信息质量/任务相关状态“,尚缺乏一个将二者统一到单一变分原理下的框架。

本文在控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 与任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 的基础上,引入联合流形 ${\mathcal{E}}_Q=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$,并在其上构造一个时间–信息–复杂性联合作用量 ${\mathcal{A}}_Q$,从而将计算宇宙中的“计算轨道“刻画为联合流形上的极小曲线(计算世界线)。具体而言,我们首先在离散层面给出作用量 ${\mathcal{A}}_Q^{\mathrm{disc}}(\gamma )={\sum }_k(\alpha \mathsf{C}(x_k,x_{k+1})+\beta d_{\mathrm{info},Q}(x_k,x_{k+1})-\gamma \Delta {\mathsf{I}}_Q(x_k,x_{k+1}))$,并证明在适当缩放下,该离散作用量族在 $h\to 0$ 时 $\Gamma$-收敛到连续作用量

$${\mathcal{A}}_Q[\theta (\cdot ),\varphi (\cdot )]={\int }_0^T(\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q(\varphi ))\mathrm{d}t,$$

其中 $\theta (t)\in \mathcal{M}$ 为控制轨道,$\varphi (t)\in {\mathcal{S}}_Q$ 为任务信息状态,$U_Q$ 为任务相关的信息势函数(例如负信息质量)。

然后,我们在联合流形 ${\mathcal{E}}_Q$ 上推导 Euler–Lagrange 方程,证明极小轨道满足一组耦合的“带势 geodesic 方程“:控制部分沿 $(\mathcal{M},G)$ 的 geodesic 演化但受 $U_Q$ 关于 $\varphi$ 的梯度反馈;信息部分沿 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 的 geodesic 演化但受控制轨道 $\theta$ 的调制。进一步地,我们利用标准变分法与 $\Gamma$-收敛理论证明:在统一时间刻度与局部 Lipschitz 假设下,离散最优计算路径在极限上收敛到联合流形上的极小世界线,实现了“离散计算宇宙中的最优算法“与“连续时间–信息–复杂性世界线“之间的严格对应。

本文最后讨论了带资源约束的极小化问题:在固定时间预算或复杂性预算下最大化任务信息质量。我们给出等价的拉格朗日乘子形式,从而将“给定预算下的最优信息获取策略“刻画为一类带有效势的 geodesic 流。本文的结果为后续构造“计算宇宙 ↔ 物理宇宙“的范畴等价提供了内在动力学层面的变分基础。

1 引言

在“计算宇宙“视角下,宇宙整体被抽象为一个离散动力系统:配置空间 $X$ 上的一步更新关系 $\mathsf{T}$ 与单步代价 $\mathsf{C}$ 描述了从一个状态到另一个状态需要的资源;信息质量函数 $\mathsf{I}$ 则在任务层面评估某个配置相对于目标的“好坏“。前几篇工作表明,在有限信息密度与局域更新的公理下,可以将 $(X,\mathsf{T},\mathsf{C})$ 看作复杂性图,构造出复杂性距离、复杂性球体积、复杂性维数和离散 Ricci 曲率,从而用离散几何刻画“问题难度“与“视界结构“;同时,通过观察算子族与任务感知相对熵,可在配置空间上定义信息距离与信息球,将“任务相关的可区分性“几何化。

在统一时间刻度的散射母尺下,计算宇宙的单步代价可以被视为实际物理时间刻度的离散采样:对可物理实现的计算过程,存在控制流形 $\mathcal{M}$ 与散射矩阵族 $S(\omega ;\theta )$,使得群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )$ 的控制导数诱导出复杂性度量 $G$,进而离散复杂性距离在细化极限下逼近 $(\mathcal{M},G)$ 上的测地距离。这一结果将离散复杂性几何与物理时间刻度统一进一个 Riemann 几何框架。

然而,要理解“在有限时间内以何种方式计算最合适“,仅有复杂性几何或信息几何都不够:

• 复杂性几何关心“走了多远、花了多少时间/资源“;
• 信息几何关心“在任务空间中移动了多远、获得了多少信息“;
• 真正有意义的问题是:在给定时间/复杂性预算下,如何在信息几何上达到尽可能好的终点。

这自然导向一个联合变分问题:在联合空间中,为给定任务找出同时考虑时间代价与信息收益的极小/极大轨道。

本文在控制流形 $(\mathcal{M},G)$ 与任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 的基础上,构造联合流形 ${\mathcal{E}}_Q=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q$,并在其上定义一个时间–信息–复杂性联合作用量 ${\mathcal{A}}_Q$。离散计算路径成为联合流形上的折线近似,连续计算世界线则为 ${\mathcal{E}}_Q$ 上的光滑曲线。通过使用 $\Gamma$-收敛与经典变分法,我们证明离散最优路径在极限上收敛为连续极小世界线,从而将“最优算法“的问题几何化为“最优世界线“的问题。

2 统一符号:计算宇宙、复杂性几何与信息几何

本节简要汇总前几篇工作中使用的主要对象与符号,以便后续统一推理。

2.1 计算宇宙对象

一个计算宇宙对象为四元组 $U_{\mathrm{comp}}=(X,\mathsf{T},\mathsf{C},\mathsf{I})$,其中:

1. $X$ 为可数配置集;
2. $\mathsf{T}\subset X\times X$ 为一步更新关系;
3. $\mathsf{C}:X\times X\to [0,\infty ]$ 为单步代价,若 $(x,y)\notin \mathsf{T}$ 则 $\mathsf{C}(x,y)=\infty$,若 $(x,y)\in \mathsf{T}$ 则 $\mathsf{C}(x,y)\in (0,\infty )$,并对路径加性;
4. $\mathsf{I}:X\to \mathbb{R}$ 为信息质量函数(可任务依赖)。

复杂性距离定义为

$$d_{\mathrm{comp}}(x,y)=\underset{\gamma :x\to y}{\inf }\mathsf{C}(\gamma ),$$

其中路径 $\gamma =(x_0,\dots ,x_n)$ 满足 $x_0=x,x_n=y$,且 $(x_k,x_{k+1})\in \mathsf{T}$。

2.2 复杂性几何与控制流形

在统一时间刻度框架下,对物理可实现的计算宇宙存在控制流形 $\mathcal{M}$ 与散射矩阵族 $S(\omega ;\theta )$,其群延迟矩阵 $Q(\omega ;\theta )=-\mathrm{i}{S}^{†}{\partial }_{\omega }S$ 的控制导数诱导复杂性度量

$$G_{ab}(\theta )={\int }_{\Omega }w(\omega )\mathrm{tr}({\partial }_{a}Q(\omega ;\theta ){\partial }_{b}Q(\omega ;\theta ))\mathrm{d}\omega .$$

在适当正定条件下,$(\mathcal{M},G)$ 为 Riemann 流形,离散复杂性距离在细化极限下收敛到测地距离 $d_G$。

2.3 任务信息流形

给定任务 $Q$,通过观察算子族 $\mathcal{O}=\{O_j{\}}_{j\in J}$ 定义配置 $x$ 的可见状态 $p_x^{(Q)}\in \Delta (Y_Q)$。在适当正则性假设下,这些可见状态可嵌入某个信息流形 ${\mathcal{S}}_Q$ 中:

• 存在映射 ${\Phi }_Q:X\to {\mathcal{S}}_Q$ 与嵌入 ${\Psi }_Q:{\mathcal{S}}_Q\hookrightarrow \Delta (Y_Q)$,使得 ${\Psi }_Q({\Phi }_Q(x))\approx p_x^{(Q)}$;
• Fisher 信息度量 $g_Q$ 由相对熵二阶导数给出,构成 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 的 Riemann 结构;
• 配置间信息距离可用 Jensen–Shannon 距离或 Fisher 测地距离表示,记为 $d_{\mathrm{info},Q}(x,y)\approx d_{{\mathcal{S}}_Q}({\Phi }_Q(x),{\Phi }_Q(y))$。

我们称 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q,{\Phi }_Q)$ 为任务 $Q$ 的信息几何数据。

3 联合时间–信息–复杂性流形

在上述准备下,我们构造联合流形 ${\mathcal{E}}_Q$ 及其度量。

3.1 联合流形的定义

定义 3.1(联合流形)

对给定任务 $Q$,定义联合流形

$${\mathcal{E}}_Q=\mathcal{M}\times {\mathcal{S}}_Q.$$

其点 $z=(\theta ,\varphi )$ 同时表示“控制状态“与“任务信息状态“。计算宇宙中一个观测者或算法的状态,在连续极限下可视为 ${\mathcal{E}}_Q$ 上的一点。

3.2 度量结构

在 ${\mathcal{E}}_Q$ 上,我们引入乘积型度量

$$\mathbb{G}={\alpha }^{2}G\oplus {\beta }^2{g}_Q,$$

即对切向量 $v=(v^{\mathcal{M}},v^{{\mathcal{S}}_Q})\in T_{\theta }\mathcal{M}\oplus T_{\varphi }{\mathcal{S}}_Q$,定义

$${\mathbb{G}}_z(v,v)={\alpha }^2{G}_{\theta }(v^{\mathcal{M}},v^{\mathcal{M}})+{\beta }^2{g}_{Q,\varphi }(v^{{\mathcal{S}}_Q},v^{{\mathcal{S}}_Q}).$$

这里 $\alpha ,\beta >0$ 为权重参数,用于平衡在复杂性方向与信息方向上的“速度“计量。

在该度量下,一条联合轨道

$$z(t)=(\theta (t),\varphi (t))$$

的速度平方为

$$|\dot{z}(t){|}_{\mathbb{G}}^2={\alpha }^2{G}_{ab}(\theta (t)){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi (t)){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j.$$

联合流形上的纯几何长度为

$$L_{\mathbb{G}}[z]={\int }_0^T\sqrt{|\dot{z}(t){|}_{\mathbb{G}}^2}\mathrm{d}t.$$

然而,仅靠长度不足以编码“信息质量“的增益,我们还需要一个任务相关的势函数。

3.3 信息势函数

设任务 $Q$ 的信息质量函数在信息流形上可写为 $I_Q:{\mathcal{S}}_Q\to \mathbb{R}$,例如

$$I_Q(\varphi )={\mathsf{I}}_Q(x)\text{当}\varphi ={\Phi }_Q(x).$$

我们引入信息势函数

$$U_Q(\varphi )=V(I_Q(\varphi )),$$

其中 $V:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为单调函数,一般选取 $V(u)=u$ 或 $V(u)=f_{\mathrm{sat}}(u)$(饱和型)。在本文中,为简洁起见,直接取

$$U_Q(\varphi )=I_Q(\varphi ),$$

将“信息质量“视为势能项的负号贡献(对应更高信息质量带来更低作用量)。

4 离散联合作用量与连续极限

本节在离散层面构造任务 $Q$ 的联合作用量,并证明其在细化极限下收敛到连续作用量。

4.1 离散联合作用量

考虑一条离散计算路径

$$\gamma =(x_0,x_1,\dots ,x_n),$$

其中 $(x_k,x_{k+1})\in \mathsf{T}$。对应的复杂性增量为

$$\Delta C_k=\mathsf{C}(x_k,x_{k+1}),$$

信息距离增量(任务 $Q$ 下)为

$$\Delta D_k=d_{\mathrm{info},Q}(x_k,x_{k+1}),$$

信息质量增量为

$$\Delta I_k=I_Q({\varphi }_{k+1})-I_Q({\varphi }_k),{\varphi }_k={\Phi }_Q(x_k).$$

定义 4.1(离散联合作用量)

对任务 $Q$ 与路径 $\gamma$,定义离散联合作用量

$${\mathcal{A}}_Q^{\mathrm{disc}}(\gamma )=\sum _{k=0}^{n-1}(\alpha \Delta C_k+\beta \Delta D_k-\gamma \Delta I_k),$$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ 为权重参数。

直观理解:每一步更新同时付出复杂性代价 $\alpha \Delta C_k$ 与信息调整代价 $\beta \Delta D_k$,并获得信息质量增量 $\Delta I_k$,贡献 $-\gamma \Delta I_k$ 到作用量中。最优路径是在三者平衡下使 ${\mathcal{A}}_Q^{\mathrm{disc}}$ 最小。

4.2 细化与标准时间步长

为连接离散与连续,我们引入离散时间步长 $h>0$,令路径长度 $n\approx T/h$,并设置单步代价与信息距离的缩放为

$$\Delta C_k=hc(x_k,x_{k+1})+o(h),\Delta D_k=hd(x_k,x_{k+1})+o(h),$$ $$\Delta I_k=h{\dot{I}}_Q(t_k)+o(h),$$

其中 $t_k=kh$,$c,d,{\dot{I}}_Q$ 分别为连续极限下的复杂性速度、信息速度与信息质量变化率。

在上述缩放下,离散作用量可近似为 Riemann 和

$${\mathcal{A}}_Q^{\mathrm{disc}}(\gamma )\approx \sum _{k=0}^{n-1}h(\alpha c_k+\beta d_k-\gamma {\dot{I}}_Q(t_k))\to {\int }_0^T(\alpha c(t)+\beta d(t)-\gamma {\dot{I}}_Q(t))\mathrm{d}t.$$

为了匹配几何结构,我们将 $c(t),d(t)$ 分别用 $(\mathcal{M},G)$ 与 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ 上的速度范数表示。

4.3 连续联合作用量

设控制路径为 $\theta :[0,T]\to \mathcal{M}$,信息路径为 $\varphi :[0,T]\to {\mathcal{S}}_Q$,对应速度范数为

$$v_{\mathcal{M}}^2(t)=G_{ab}(\theta (t)){\dot{\theta }}^a(t){\dot{\theta }}^b(t),$$

$$v_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)=g_{ij}(\varphi (t)){\dot{\varphi }}^i(t){\dot{\varphi }}^j(t).$$

我们选取“能量型“连续作用量:

定义 4.2(连续联合作用量)

$${\mathcal{A}}_Q[\theta (\cdot ),\varphi (\cdot )]={\int }_0^T(\frac{1}{2}{\alpha }^2{v}_{\mathcal{M}}^2(t)+\frac{1}{2}{\beta }^2{v}_{{\mathcal{S}}_Q}^2(t)-\gamma U_Q(\varphi (t)))\mathrm{d}t.$$

其中 $U_Q(\varphi )=I_Q(\varphi )$ 或其某个单调变换。

这是一个标准的“动能减势能“形式:前两项为复杂性与信息几何上的动能,后项为任务相关的负势能,极小世界线在保持有限速度的同时尽量进入信息势能较低的区域。

5 Euler–Lagrange 方程与计算世界线

本节在联合流形上推导 Euler–Lagrange 方程,给出极小世界线满足的动力学形式。

5.1 Lagrangian 与变分

设 Lagrangian 为

$$L(\theta ,\dot{\theta };\varphi ,\dot{\varphi })=\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q(\varphi ).$$

对 ${\theta }^a$ 与 ${\varphi }^i$ 分别进行变分,得到 Euler–Lagrange 方程:

对 ${\theta }^a$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^b)-\frac{1}{2}{\alpha }^2({\partial }_a{G}_{bc})(\theta ){\dot{\theta }}^b{\dot{\theta }}^c=0,$$

对 ${\varphi }^i$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^j)-\frac{1}{2}{\beta }^2({\partial }_i{g}_{jk})(\varphi ){\dot{\varphi }}^j{\dot{\varphi }}^k+\gamma {\partial }_i{U}_Q(\varphi )=0.$$

其中 ${\partial }_a{G}_{bc}=\partial G_{bc}/\partial {\theta }^a$,${\partial }_i{g}_{jk}=\partial g_{jk}/\partial {\varphi }^i$。

5.2 联合 geodesic–势方程

在标准 Riemann 几何中,geodesic 方程可写为

$${\ddot{\theta }}^a+{\Gamma }_{bc}^a(\theta ){\dot{\theta }}^b{\dot{\theta }}^c=0,$$

其中 ${\Gamma }_{bc}^a$ 为 Levi–Civita 联络的 Christoffel 符号。我们在此将控制与信息部分分别重写为 geodesic–势形式。

对控制变量 ${\theta }^a$,令

$${\Gamma }_{bc}^a(\theta )=\frac{1}{2}{G}^{ad}({\partial }_b{G}_{dc}+{\partial }_c{G}_{db}-{\partial }_d{G}_{bc}),$$

其中 $G^{ad}$ 为度量矩阵的逆。Euler–Lagrange 方程可重写为

$${\ddot{\theta }}^a+{\Gamma }_{bc}^a(\theta ){\dot{\theta }}^b{\dot{\theta }}^c=0.$$

由于 Lagrangian 中控制部分不含显式势能,控制轨道为 $(\mathcal{M},G)$ 上的 geodesic。

对信息变量 ${\varphi }^i$,类似地,定义 ${\Gamma }_{jk}^i(\varphi )$ 为 $g_Q$ 的 Christoffel 符号,则 Euler–Lagrange 方程重写为

$${\ddot{\varphi }}^i+{\Gamma }_{jk}^i(\varphi ){\dot{\varphi }}^j{\dot{\varphi }}^k=-\frac{\gamma }{{\beta }^2}{g}^{ij}(\varphi ){\partial }_j{U}_Q(\varphi ).$$

右侧项为势能梯度在信息流形上的共变提升,代表“信息势“对信息轨道的驱动力。

因此,联合世界线满足如下耦合系统:

1. 控制部分:沿 $(\mathcal{M},G)$ geodesic 演化;
2. 信息部分:沿 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$ geodesic,但受 $U_Q$ 的梯度驱动偏离 geodesic。

可以将其视为“在复杂性–信息乘积流形上带势 geodesic“的特殊情形。

6 离散–连续一致性的 $\Gamma$-收敛

为了证明离散最优路径在极限上收敛到连续极小世界线,我们使用 $\Gamma$-收敛理论。仅给出结构性定理与证明思路,技术细节置于附录。

6.1 作用量泛函族

考虑一族离散时间步长 $h=T/n$,将离散路径 ${\gamma }^{(h)}=(x_0,\dots ,x_n)$ 嵌入到分段常数或分段线性曲线 $z^{(h)}:[0,T]\to {\mathcal{E}}_Q$ 中,使得

$$z^{(h)}(t)=({\theta }^{(h)}(t),{\varphi }^{(h)}(t)),t\in [kh,(k+1)h),$$

且 $z^{(h)}(kh)=({\theta }_k,{\varphi }_k)$ 与 $x_k$ 对应。定义离散作用量

$${\mathcal{A}}_Q^{(h)}[z^{(h)}]=\sum _{k=0}^{n-1}(\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{\Delta s_{\mathcal{M},k}^2}{h}+\frac{1}{2}{\beta }^2\frac{\Delta s_{{\mathcal{S}}_Q,k}^2}{h}-\gamma U_Q({\varphi }_k)h),$$

其中 $\Delta s_{\mathcal{M},k}^2=d_{\mathcal{M}}({\theta }_k,{\theta }_{k+1}{)}^2$,$\Delta s_{{\mathcal{S}}_Q,k}^2=d_{{\mathcal{S}}_Q}({\varphi }_k,{\varphi }_{k+1}{)}^2$。

在局部一致性假设下,$\Delta s_{\mathcal{M},k}\approx h\sqrt{G_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b}$,$\Delta s_{{\mathcal{S}}_Q,k}\approx h\sqrt{g_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j}$。

6.2 $\Gamma$-收敛定理

定理 6.1($\Gamma$-收敛,示意)

在统一时间刻度与局部正则性假设下,离散作用量泛函族 $\{{\mathcal{A}}_Q^{(h)}{\}}_{h>0}$ 在适当的拓扑(例如 $z^{(h)}\rightharpoonup z$ 的弱 $H^1$ 拓扑)下 $\Gamma$-收敛到连续作用量泛函

$${\mathcal{A}}_Q[z]={\int }_0^T(\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q(\varphi ))\mathrm{d}t.$$

特别地,离散极小序列的任何极限点都是连续作用量的极小曲线。

证明思路见附录 B.2,基于标准的“能量型泛函离散化“的 $\Gamma$-收敛框架:下半连续性由凸结构与弱拓扑的下半连续性给出,恢复序列则通过对连续轨道的时间离散化构造。

7 资源约束下的最优计算世界线

在实际问题中,我们常常关心如下优化问题:

• 在给定时间预算 $T$ 或复杂性预算 $C_{\max }$ 下,最大化终点的信息质量 $I_Q(\varphi (T))$;
• 或在给定终点信息质量需求 $I_{\mathrm{target}}$ 下,最小化所需时间或复杂性。

利用拉格朗日乘子方法,可以将资源约束吸收入联合作用量中。

例如,在给定 $T$ 的情况下最大化 $I_Q(\varphi (T))$,等价于在自由末端条件下极小化

$${\tilde{\mathcal{A}}}_Q[z]={\int }_0^T(\frac{1}{2}{\alpha }^2{v}_{\mathcal{M}}^2+\frac{1}{2}{\beta }^2{v}_{{\mathcal{S}}_Q}^2)\mathrm{d}t-\gamma I_Q(\varphi (T)),$$

这与前文作用量仅在势能项上不同。相应的 Euler–Lagrange 方程在 bulk 区间内与前述相同,但在终点处增加自然边界条件

$${\beta }^2{g}_{ij}(\varphi (T)){\dot{\varphi }}^j(T)=\gamma {\partial }_i{I}_Q(\varphi (T)).$$

该边界条件可视为一种“终点反射条件“:在终点处,信息速度与信息质量梯度的比值由参数 $\gamma /{\beta }^2$ 控制,反映出对终点信息质量的偏好强度。

类似地,在给定信息质量目标的情况下最小化时间,可通过约束 $I_Q(\varphi (T))=I_{\mathrm{target}}$ 并引入乘子 $\lambda$ 得到等价的自由问题,进而得到一套带全球约束的 geodesic–势方程。

这些变分问题为“最优算法设计“提供了几何化视角:在联合流形 ${\mathcal{E}}_Q$ 上寻找满足资源约束与终点信息约束的极小曲线,即为在计算宇宙中寻找最优的计算世界线。

附录 A:度量与势作用下的 Euler–Lagrange 推导

A.1 变分推导的细节

令

$$L(\theta ,\dot{\theta };\varphi ,\dot{\varphi })=\frac{1}{2}{\alpha }^2{G}_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+\frac{1}{2}{\beta }^2{g}_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j-\gamma U_Q(\varphi ).$$

对 ${\theta }^a$ 的变分 ${\theta }^a\mapsto {\theta }^a+\epsilon {\eta }^a$(${\eta }^a(T_0)={\eta }^a(T_1)=0$)有

$$\delta L=\frac{1}{2}{\alpha }^2({\partial }_c{G}_{ab}){\eta }^c{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b+{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\eta }}^b.$$

积分后

$$\delta {\mathcal{A}}_Q={\int }_{T_0}^{T_1}{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\eta }}^b+\frac{1}{2}{\alpha }^2({\partial }_c{G}_{ab}){\eta }^c{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b\mathrm{d}t.$$

对第一项做分部积分

$${\int }_{T_0}^{T_1}{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\dot{\eta }}^b\mathrm{d}t=[{\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a{\eta }^b{]}_{T_0}^{T_1}-{\int }_{T_0}^{T_1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a){\eta }^b\mathrm{d}t.$$

边界项为零,合并得到

$$\delta {\mathcal{A}}_Q={\int }_{T_0}^{T_1}(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a)+\frac{1}{2}{\alpha }^2{\partial }_b{G}_{ac}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^c){\eta }^b\mathrm{d}t.$$

由变分任意性,得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\alpha }^2{G}_{ab}{\dot{\theta }}^a)-\frac{1}{2}{\alpha }^2{\partial }_b{G}_{ac}{\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^c=0.$$

乘以 $G^{db}$ 即得 geodesic 方程形式。对 ${\varphi }^i$ 的变分完全类似,额外项来自 $-\gamma U_Q(\varphi )$,从而得到

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\beta }^2{g}_{ij}{\dot{\varphi }}^j)-\frac{1}{2}{\beta }^2{\partial }_i{g}_{jk}{\dot{\varphi }}^j{\dot{\varphi }}^k+\gamma {\partial }_i{U}_Q(\varphi )=0.$$

证毕。

附录 B:$\Gamma$-收敛的技术框架

B.1 能量型离散泛函的标准 $\Gamma$-收敛结论

设 $H$ 为 Hilbert 空间,${\mathcal{F}}_h:H\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ 为一族泛函,形如

$${\mathcal{F}}_h[u]=\sum _{k=0}^{n_h-1}(\frac{1}{2}{a}_h^k\frac{(u_{k+1}-u_k{)}^2}{h}+h{V}_h^k(u_k)),$$

在适当一致性假设下,当 $h\to 0$ 时 ${\mathcal{F}}_h$ $\Gamma$-收敛到

$$\mathcal{F}[u]={\int }_0^T(\frac{1}{2}a(t)\dot{u}(t{)}^2+V(t,u(t)))\mathrm{d}t.$$

我们的离散联合作用量 ${\mathcal{A}}_Q^{(h)}$ 属于该类泛函的矢量版本,其 $\Gamma$-收敛可通过将控制与信息部分分别应用上述标量理论并合并得到。关键条件包括:

1. 单步代价与信息距离的二阶一致性:

$$\frac{\Delta s_{\mathcal{M},k}^2}{h^2}\to G_{ab}(\theta ){\dot{\theta }}^a{\dot{\theta }}^b,\frac{\Delta s_{{\mathcal{S}}_Q,k}^2}{h^2}\to g_{ij}(\varphi ){\dot{\varphi }}^i{\dot{\varphi }}^j;$$

2. 势能项 $U_Q({\varphi }_k)h$ 一致逼近积分项 $\int U_Q(\varphi (t))\mathrm{d}t$;

3. 适当的紧性条件(例如能量有界性)保证极小序列有弱收敛子序列。

详细技术推导与对应文献框架在此不赘述。

B.2 定理 6.1 的证明思路

下半连续性方向:对任意弱极限 $z$ 与收敛序列 $z^{(h)}\rightharpoonup z$,由动能项的凸性与弱下半连续性得到

$${\mathcal{A}}_Q[z]\le \underset{h\to 0}{\mathrm{liminf}}{\mathcal{A}}_Q^{(h)}[z^{(h)}].$$

恢复序列方向:对任意光滑极限轨道 $z$,使用时间离散化构造 $z^{(h)}$ 使得 ${\mathcal{A}}_Q^{(h)}[z^{(h)}]\to {\mathcal{A}}_Q[z]$。具体构造通过将 $z$ 在网格点 $t_k=kh$ 处采样得到 $z_k=z(t_k)$,并定义 $z^{(h)}$ 为分段线性插值,从而单步增量的二次型与势能项均逼近对应的积分。

综上,$\Gamma$-收敛成立。由 $\Gamma$-收敛的一般理论可知:若 $z^{(h)}$ 为 ${\mathcal{A}}_Q^{(h)}$ 的近似极小序列,则其任意弱极限点 $z$ 为 ${\mathcal{A}}_Q$ 的极小点。

附录 C:范畴结构的补充说明

尽管本文未系统展开范畴论部分,这里对“计算宇宙范畴 ↔ 控制–散射范畴“的连接做一简要补充,以说明联合变分原理在范畴层面上的自然性。

1. 对象层面:对每个物理可实现的计算宇宙 $U_{\mathrm{comp}}$,构造控制–散射对象 $(\mathcal{M},G,S)$ 及任务信息流形 $({\mathcal{S}}_Q,g_Q)$,其联合流形 ${\mathcal{E}}_Q$ 与联合作用量 ${\mathcal{A}}_Q$ 构成该对象的“内在动力学几何像“。

2. 態射层面:模拟映射 $f:U_{\mathrm{comp}}⇝U_{\mathrm{comp}}^{\prime }$ 可通过物理实现给出控制流形与信息流形之间的映射 $f_{\mathcal{M}},f_{{\mathcal{S}}_Q}$,这些映射在度量与潜在的联合作用量下满足 Lipschitz 型不等式,从而保持极小世界线的基本结构。

3. 联合世界线的自然性:不同计算宇宙之间的模拟在联合流形上的像是一族“变形“的世界线,$\Gamma$-收敛保证在适当的极限下,极小世界线的像仍为极小世界线。

这一结构为后续构造“物理宇宙范畴与计算宇宙范畴的范畴等价“提供了一个动力学–变分的中介层,使得“宇宙 = 计算“的主张不仅在静态结构(配置、更新)上成立,也在时间–信息–复杂性三重结构的演化上成立。